5 Puntos, rectas y planos en el...

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  • 41

    Pgina 145

    Geometra elptica

    a) Sean R1 y R2 rectas en la geometra elptica, y S la su-perficie esfrica.

    R1 = 1 S; R2 = 2 S

    Como los dos planos pasan por el centro, se cortan, luego 1 2 = r

    Los puntos P = r S verifican:

    P R1 y P R2 P R1 R2 R1 y R2 se cortan.

    b) No es posible puesto que todas las rectas se cortan.

    c) El quinto postulado de Euclides:

    Por un punto P exterior a una recta r del plano solo se puede trazar una recta paralela a ella.

    Si fuera cierto, por un punto P exterior a una recta r del plano se puede trazar una recta que no la corta, pero hemos visto que eso es imposible, luego no se cumple el postulado.

    Pgina 146

    1

    Y

    S

    UQ T

    R

    P

    Z

    X

    2 P (3, 5, 2)

    YP

    P'

    Z

    X

    Pgina 148

    1 m = 0 y n = 20

    2 C ' = , ,21 2

    27d n ; A' = , ,

    21 6 4d n ; B' = , ,0 1

    211d n

    3 a) (0, 5, 5)

    b) B' (9, 5, 23)

    c) M (1, 5, 3)

    d) , ,N23 5 8c m

    Pgina 151

    1 Ecuaciones paramtricas: lll

    xyz

    2 73 63 4

    = +==

    *

    Ecuacin continua: xy z

    72

    63

    43

    =

    +=

    Ecuaciones implcitas: x yx z

    6 7 9 04 7 29 0

    + + =+ =

    *

    2 (9, 9, 1); (16, 15, 5); (23, 21, 9); (30, 27, 13);

    (12, 9, 11); (19, 15, 15)

    3 A r, B r, C r, D r

    Pgina 155

    1 a) Ecuaciones paramtricas: l l l

    xyz

    4 35 2

    2 4

    = + +== +

    * Ecuacin implcita: 6x + 10y + z 74 = 0

    b) (7, 3, 2); (5, 4, 4); (8, 2, 6)

    c) 1063

    2 Como el sistema tiene solucin, el punto pertenece al plano y se obtiene con los valores = 1, = 7.

    Pgina 157

    1 La recta y el plano son paralelos, pues no tienen ningn punto en comn.

    2 x y zx y z

    2 3 83 5

    + =

    + =4 Se cortan en una recta.

    x y zx y z

    3 52 6 2 5

    + =+ =

    4 Son paralelos.

    x y zx y z

    2 3 82 6 2 5

    + =

    + =4 Se cortan en una recta.

    No hay ningn punto comn a los tres planos.

    5 Puntos, rectas y planos en el espacio

  • 42

    Pgina 159

    1 a) : x = 0 : l

    xyz

    0===

    *

    b) Eje X: yz

    00

    ==

    ) r : lx

    yz

    00

    ===

    *

    c) : 2x y = 0 : ll

    xyz

    2===

    *

    d) r : :l

    l8

    yx z r

    xyz

    03 4 12

    4 403

    =+ =

    ===

    ) *

    e) : y = 7 : l

    xyz

    7===

    *

    f ) : 3x + 4z = 12 : l

    l

    xyz

    4 4

    3

    ===

    *

    2 a) b)

    Es el mismo plano que el del apartado anterior.

    X

    Z

    Y

    c) d)

    X

    Z

    Yr

    X

    Z

    Yr

    e) Es la ecuacin implcita de la recta anterior.

    f ) g)

    X

    Z

    Y

    X

    Z

    Y

    h) i)

    X

    Zr

    Y

    X

    Z

    P

    Y

    j) Representa todo el espacio.

    k) l)

    X

    Z

    Y

    X

    Z

    Y

    m) n)

    Y

    Z

    X

    Y

    Z

    X

    Pgina 160

    1 Hazlo t.

    l

    l

    l

    x

    y

    z

    79

    71

    75

    710

    =

    = +

    =

    *2 Hazlo t.

    a) : 2x + y + 5 = 0

    b) s : lll

    xyz

    55 21 3

    = += += +

    *

    Pgina 161

    3 Hazlo t.

    : x + y 4z 11 = 0

    4 Hazlo t.

    Si a 2 ran (A) = ran (A' ) = 3, los planos se cortan en un punto.

    Si a = 2, el sistema es incompatible. Los planos no son paralelos, se cortan dos a dos.

    5 Hazlo t.

    a) r y s se cruzan.

    b) : x + y 5z 3 = 0

    Pgina 162

    6 Hazlo t.

    : x + 2y + 6z 2 = 0

  • 43

    7 Hazlo t.

    Si m = 1 r // s No son coincidentes.

    Si m 1 Las rectas se cruzan.

    Pgina 163

    8 Hazlo t.

    : 2x 4y z 1 = 0

    9 Hazlo t.

    Si a = 23 r // Son paralelos y distintos.

    Si a 23 , se cortan.

    b) Si a = 1 se cortan. P = , ,57

    53

    52 d n = r

    Pgina 164

    10 Hazlo t.

    t : x z xx y z

    4 2 4 6 018 34 28 42 0

    + + =

    =*

    Pgina 165

    1 a) , ,232 6c m b) , ,1

    37 6c m

    2 Solo verifican la ecuacin del plano si a = 3.

    3 r : l

    lxyz 0

    ===

    *4 a) a = 1 b) Q = (3, 3, 4)

    c) Si a 1 el sistema es incompatible, luego las rectas se cruzan.

    5 P = , ,123

    23d n

    Pgina 166

    1 A(0, 0, 3); B(0, 3, 3); C (3, 3, 3); D(3, 0, 3); E (3, 0, 0); F (3, 3, 0); G (0, 3, 0);

    P , ,023 3d n ; Q , ,0 3

    23d n ; R , ,3

    23 0d n ; S , ,3 0

    23d n

    2 P = , ,125

    32 d n Q = , ,0

    37

    34d n

    3 a = 1; b = 25

    4 OQ = (5, 3, 2); OP = (4, 2, 1)

    5 A' (4, 5, 4)

    6 ( , , )OD 3 2 6= ; , ,OM25 1 2= c m

    7 a) Ecuaciones paramtricas: lll

    xyz

    32

    1 2

    = +== +

    *

    Ecuaciones implcitas: x yx z

    1 02 5 0

    + + =+ + =

    )

    b) Ecuaciones paramtricas: lll

    xyz

    11 2

    === +

    *

    Ecuaciones implcitas: x yz y

    1 02 1 0

    + =+ =

    *

    8 Lado AB : yz

    01

    ==

    * Lado AC : x yz3 3

    1 =

    =*

    Lado BC : x y

    z3 6 2

    1+ =

    =*

    9 Sus coordenadas no son proporcionales. Luego los puntos no estn alineados.

    10 Paramtricas:

    Eje OX = lx

    yz

    00

    ===

    * Eje OY = lxyz

    0

    0

    ===

    * Eje OZ = l

    xyz

    00

    ===

    *Implcitas:

    Eje OX = yz

    00

    ==

    * Eje OY = xz

    00

    ==

    * Eje OZ = xy

    00

    ==

    *

    11 Ecuacin vectorial: (x, y, z) = ( 4, 2, 5) + (0, 0, 1)

    Ecuaciones paramtricas: l

    xyz

    425

    === +

    *

    Forma continua: xy z

    04

    02

    15 + = =

    Forma implcita: xy

    4 02 0

    + ==

    *

  • 44

    12 Ecuacin vectorial: (x, y, z) = (1, 3, 0) + (0, 2, 1)

    Ecuaciones paramtricas: ll

    xyz

    13 2

    ===

    +* Forma continua: x

    y z0

    12

    31

    0 =+

    =

    Forma implcita: xy z

    1 02 3 0

    =+ =

    *

    13 r : ll

    xyz

    11

    == +=

    *

    s :

    l

    l

    l

    x

    y

    z

    37

    37

    31

    32

    = +

    =

    =

    *

    14 a) (1, 1, 1) b) ll

    l

    xyz 2

    === +

    *

    15 x zx y

    2 02 2 0

    =+ + =

    *

    16 a) Las rectas se cruzan.

    b) Las rectas se cortan en el punto (0, 3, 3).

    c) Las rectas son paralelas.

    d) Las rectas r y s coinciden, son la misma recta.

    17 a = 3. Obtenemos el punto de corte (1, 1, 2).

    18 Para m = 12 y n = 3, las dos rectas tienen la misma direccin.

    19 r : ll

    xyz

    72 2

    1

    = += +=

    *

    20 s : l

    ll

    xyz

    15 =

    = +=

    *Pgina 167

    21 a) 3x 6y + z 23 = 0

    b) 5x 3y 4z 15 = 0

    c) 2x y + 3z 5 = 0

    22 Plano XY : Paramtricas: l

    xyz 0

    ===

    * Implcita: z = 0

    Plano YZ : Paramtricas: l

    xyz

    0===

    * Implcita: x = 0

    Plano XZ : Paramtricas: l

    xyz

    0===

    * Implcita: y = 0

    23 a) l

    xyz 3

    ===

    * b) l

    xyz

    1===

    * c) l

    xyz

    2===

    *24 El vector normal al plano x = 1 es n (1, 0, 0).

    Recta: lx

    yz

    230

    = +==

    *

    25 m = 6, n = 31 . Los planos son paralelos, no coincidentes.

    26 Son coplanarios si m = 6.

    27 : z 2 = 0

    28 Se cortan porque hay solucin. P = r = , ,3

    1034 7d n

    29 : ll

    l

    xyz

    212 3

    = += += +

    *30 a) Las rectas r y s tienen la misma direccin. Adems,

    P (1, 0, 2) r, pero P s. Luego las rectas son para-lelas.

    b) x + 8y 10z + 19 = 0

    31 Los puntos no son coplanarios.

    32 a) Los tres planos se cortan en un punto.

    b) Los tres planos se cortan en una recta.

    c) Los planos se cortan dos a dos, pero no hay ningn punto comn a los tres.

    d) Los tres planos se cortan en un punto.

    33 2x + 5y 6z + 4 = 0

    34 No son paralelos. Se cortan.

    35 Son perpendiculares y se cortan en el punto (3, 2, 1).

  • 45

    36 : 5x + 4y + 11z 15 = 0

    37 a) m = 1 b) m = 13

    38 : 3y 3x 3z + 6 = 0

    39 : 3x 5y + z 5 = 0

    Pgina 168

    40 a) r s = P (2, 1, 0) b) : 4y x + 3z 2 = 0

    41 a) ': x + z = 1 b) r : l

    l

    xyz

    11

    = +==

    * r y ' son perpendiculares.

    42 Si m 11, los planos se cortan dos a dos.

    43 a = 11

    44 t : x y zx y z

    3 5 01 0

    + =+ =

    *

    45 b = 11. Obtenemos el punto de corte , ,6225 4d n .

    46 a) k = 2. El plano que las contiene es: x y 2z 2 = 0.

    b) Para todos los valores de k las rectas r y s son copla-narias. El plano que las contiene es:

    (4 k)x + (3k + 12)z + (12 3k ) = 0

    47 Las rectas son paralelas. El plano es x + 2y + 2z 3 = 0.

    48 El plano es: 4x + 7y + z 27 = 0.

    49 a) D = (1, 2, 5) b) r : ll

    l

    xyz

    1 21 6

    2 2

    = +==

    *50 a) Si m = 1, no tienen ningn punto en comn.

    b) Tienen una recta en comn.

    51 La ecuacin del plano es: x 4y + 3z 2 = 0.

    Para que A pertenezca al mismo plano, ha de ser: m = 1.

    52 5x + 3y z 12 = 0

    53

    xyz

    221

    == +=

    *54 a) a = 3

    b) No existe ningn valor de a para el cual r sea perpen-dicular al plano.

    Pgina 169

    55

    lll

    xyz