41

Pgina 145

Geometra elptica

a) Sean R1 y R2 rectas en la geometra elptica, y S la su-perficie esfrica.

R1 = 1 S; R2 = 2 S

Como los dos planos pasan por el centro, se cortan, luego 1 2 = r

Los puntos P = r S verifican:

P R1 y P R2 P R1 R2 R1 y R2 se cortan.

b) No es posible puesto que todas las rectas se cortan.

c) El quinto postulado de Euclides:

Por un punto P exterior a una recta r del plano solo se puede trazar una recta paralela a ella.

Si fuera cierto, por un punto P exterior a una recta r del plano se puede trazar una recta que no la corta, pero hemos visto que eso es imposible, luego no se cumple el postulado.

Pgina 146

1

Y

S

UQ T

R

P

Z

X

2 P (3, 5, 2)

YP

P'

Z

X

Pgina 148

1 m = 0 y n = 20

2 C ' = , ,21 2

27d n ; A' = , ,

21 6 4d n ; B' = , ,0 1

211d n

3 a) (0, 5, 5)

b) B' (9, 5, 23)

c) M (1, 5, 3)

d) , ,N23 5 8c m

Pgina 151

1 Ecuaciones paramtricas: lll

xyz

2 73 63 4

= +==

*

Ecuacin continua: xy z

72

63

43

=

+=

Ecuaciones implcitas: x yx z

6 7 9 04 7 29 0

+ + =+ =

*

2 (9, 9, 1); (16, 15, 5); (23, 21, 9); (30, 27, 13);

(12, 9, 11); (19, 15, 15)

3 A r, B r, C r, D r

Pgina 155

1 a) Ecuaciones paramtricas: l l l

xyz

4 35 2

2 4

= + +== +

* Ecuacin implcita: 6x + 10y + z 74 = 0

b) (7, 3, 2); (5, 4, 4); (8, 2, 6)

c) 1063

2 Como el sistema tiene solucin, el punto pertenece al plano y se obtiene con los valores = 1, = 7.

Pgina 157

1 La recta y el plano son paralelos, pues no tienen ningn punto en comn.

2 x y zx y z

2 3 83 5

+ =

+ =4 Se cortan en una recta.

x y zx y z

3 52 6 2 5

+ =+ =

4 Son paralelos.

x y zx y z

2 3 82 6 2 5

+ =

+ =4 Se cortan en una recta.

No hay ningn punto comn a los tres planos.

5 Puntos, rectas y planos en el espacio

42

Pgina 159

1 a) : x = 0 : l

xyz

0===

*

b) Eje X: yz

00

==

) r : lx

yz

00

===

*

c) : 2x y = 0 : ll

xyz

2===

*

d) r : :l

l8

yx z r

xyz

03 4 12

4 403

=+ =

===

) *

e) : y = 7 : l

xyz

7===

*

f ) : 3x + 4z = 12 : l

l

xyz

4 4

3

===

*

2 a) b)

Es el mismo plano que el del apartado anterior.

X

Z

Y

c) d)

X

Z

Yr

X

Z

Yr

e) Es la ecuacin implcita de la recta anterior.

f ) g)

X

Z

Y

X

Z

Y

h) i)

X

Zr

Y

X

Z

P

Y

j) Representa todo el espacio.

k) l)

X

Z

Y

X

Z

Y

m) n)

Y

Z

X

Y

Z

X

Pgina 160

1 Hazlo t.

l

l

l

x

y

z

79

71

75

710

=

= +

=

*2 Hazlo t.

a) : 2x + y + 5 = 0

b) s : lll

xyz

55 21 3

= += += +

*

Pgina 161

3 Hazlo t.

: x + y 4z 11 = 0

4 Hazlo t.

Si a 2 ran (A) = ran (A' ) = 3, los planos se cortan en un punto.

Si a = 2, el sistema es incompatible. Los planos no son paralelos, se cortan dos a dos.

5 Hazlo t.

a) r y s se cruzan.

b) : x + y 5z 3 = 0

Pgina 162

6 Hazlo t.

: x + 2y + 6z 2 = 0

43

7 Hazlo t.

Si m = 1 r // s No son coincidentes.

Si m 1 Las rectas se cruzan.

Pgina 163

8 Hazlo t.

: 2x 4y z 1 = 0

9 Hazlo t.

Si a = 23 r // Son paralelos y distintos.

Si a 23 , se cortan.

b) Si a = 1 se cortan. P = , ,57

53

52 d n = r

Pgina 164

10 Hazlo t.

t : x z xx y z

4 2 4 6 018 34 28 42 0

+ + =

=*

Pgina 165

1 a) , ,232 6c m b) , ,1

37 6c m

2 Solo verifican la ecuacin del plano si a = 3.

3 r : l

lxyz 0

===

*4 a) a = 1 b) Q = (3, 3, 4)

c) Si a 1 el sistema es incompatible, luego las rectas se cruzan.

5 P = , ,123

23d n

Pgina 166

1 A(0, 0, 3); B(0, 3, 3); C (3, 3, 3); D(3, 0, 3); E (3, 0, 0); F (3, 3, 0); G (0, 3, 0);

P , ,023 3d n ; Q , ,0 3

23d n ; R , ,3

23 0d n ; S , ,3 0

23d n

2 P = , ,125

32 d n Q = , ,0

37

34d n

3 a = 1; b = 25

4 OQ = (5, 3, 2); OP = (4, 2, 1)

5 A' (4, 5, 4)

6 ( , , )OD 3 2 6= ; , ,OM25 1 2= c m

7 a) Ecuaciones paramtricas: lll

xyz

32

1 2

= +== +

*

Ecuaciones implcitas: x yx z

1 02 5 0

+ + =+ + =

)

b) Ecuaciones paramtricas: lll

xyz

11 2

=== +

*

Ecuaciones implcitas: x yz y

1 02 1 0

+ =+ =

*

8 Lado AB : yz

01

==

* Lado AC : x yz3 3

1 =

=*

Lado BC : x y

z3 6 2

1+ =

=*

9 Sus coordenadas no son proporcionales. Luego los puntos no estn alineados.

10 Paramtricas:

Eje OX = lx

yz

00

===

* Eje OY = lxyz

0

0

===

* Eje OZ = l

xyz

00

===

*Implcitas:

Eje OX = yz

00

==

* Eje OY = xz

00

==

* Eje OZ = xy

00

==

*

11 Ecuacin vectorial: (x, y, z) = ( 4, 2, 5) + (0, 0, 1)

Ecuaciones paramtricas: l

xyz

425

=== +

*

Forma continua: xy z

04

02

15 + = =

Forma implcita: xy

4 02 0

+ ==

*

44

12 Ecuacin vectorial: (x, y, z) = (1, 3, 0) + (0, 2, 1)

Ecuaciones paramtricas: ll

xyz

13 2

===

+* Forma continua: x

y z0

12

31

0 =+

=

Forma implcita: xy z

1 02 3 0

=+ =

*

13 r : ll

xyz

11

== +=

*

s :

l

l

l

x

y

z

37

37

31

32

= +

=

=

*

14 a) (1, 1, 1) b) ll

l

xyz 2

=== +

*

15 x zx y

2 02 2 0

=+ + =

*

16 a) Las rectas se cruzan.

b) Las rectas se cortan en el punto (0, 3, 3).

c) Las rectas son paralelas.

d) Las rectas r y s coinciden, son la misma recta.

17 a = 3. Obtenemos el punto de corte (1, 1, 2).

18 Para m = 12 y n = 3, las dos rectas tienen la misma direccin.

19 r : ll

xyz

72 2

1

= += +=

*

20 s : l

ll

xyz

15 =

= +=

*Pgina 167

21 a) 3x 6y + z 23 = 0

b) 5x 3y 4z 15 = 0

c) 2x y + 3z 5 = 0

22 Plano XY : Paramtricas: l

xyz 0

===

* Implcita: z = 0

Plano YZ : Paramtricas: l

xyz

0===

* Implcita: x = 0

Plano XZ : Paramtricas: l

xyz

0===

* Implcita: y = 0

23 a) l

xyz 3

===

* b) l

xyz

1===

* c) l

xyz

2===

*24 El vector normal al plano x = 1 es n (1, 0, 0).

Recta: lx

yz

230

= +==

*

25 m = 6, n = 31 . Los planos son paralelos, no coincidentes.

26 Son coplanarios si m = 6.

27 : z 2 = 0

28 Se cortan porque hay solucin. P = r = , ,3

1034 7d n

29 : ll

l

xyz

212 3

= += += +

*30 a) Las rectas r y s tienen la misma direccin. Adems,

P (1, 0, 2) r, pero P s. Luego las rectas son para-lelas.

b) x + 8y 10z + 19 = 0

31 Los puntos no son coplanarios.

32 a) Los tres planos se cortan en un punto.

b) Los tres planos se cortan en una recta.

c) Los planos se cortan dos a dos, pero no hay ningn punto comn a los tres.

d) Los tres planos se cortan en un punto.

33 2x + 5y 6z + 4 = 0

34 No son paralelos. Se cortan.

35 Son perpendiculares y se cortan en el punto (3, 2, 1).

45

36 : 5x + 4y + 11z 15 = 0

37 a) m = 1 b) m = 13

38 : 3y 3x 3z + 6 = 0

39 : 3x 5y + z 5 = 0

Pgina 168

40 a) r s = P (2, 1, 0) b) : 4y x + 3z 2 = 0

41 a) ': x + z = 1 b) r : l

l

xyz

11

= +==

* r y ' son perpendiculares.

42 Si m 11, los planos se cortan dos a dos.

43 a = 11

44 t : x y zx y z

3 5 01 0

+ =+ =

*

45 b = 11. Obtenemos el punto de corte , ,6225 4d n .

46 a) k = 2. El plano que las contiene es: x y 2z 2 = 0.

b) Para todos los valores de k las rectas r y s son copla-narias. El plano que las contiene es:

(4 k)x + (3k + 12)z + (12 3k ) = 0

47 Las rectas son paralelas. El plano es x + 2y + 2z 3 = 0.

48 El plano es: 4x + 7y + z 27 = 0.

49 a) D = (1, 2, 5) b) r : ll

l

xyz

1 21 6

2 2

= +==

*50 a) Si m = 1, no tienen ningn punto en comn.

b) Tienen una recta en comn.

51 La ecuacin del plano es: x 4y + 3z 2 = 0.

Para que A pertenezca al mismo plano, ha de ser: m = 1.

52 5x + 3y z 12 = 0

53

xyz

221

== +=

*54 a) a = 3

b) No existe ningn valor de a para el cual r sea perpen-dicular al plano.

Pgina 169

55

lll

xyz