OGásdeFermiNão-interagente

Amecânicaquân9cadeumgásdeelétronsnão-interagentesemumacaixa

AequaçãodeSchrödingerindependentedotempodeumaparBculacomenergiaεemtrêsdimensõesédadapor

Comoummodelosimplesdoselétronsemummetalvamossubs9tuiroefeitodetodososíonsporumpotencialqueéindependentedaposição,,eignorararepulsãoCoulombianaentreoselétrons.

Seoselétronses9veremmuitoligadosnointeriordometal,égrande,setomarmosolimiteemoverozerodaenergiaparaofundodessepoçoconfinante,podemosescrever

(dentrodacaixa)

(foradacaixa)

Temosagoradeterminarosníveisdeenergiaassociadosaessepotencial.Afunçãodeondatridimensional,podeserescritacomooprodutodetrêsfunçõesdeondaunidimensionais:,inserindoestaformanaequaçãodeondaedividindopelafunçãodeondatemos

Umavezqueostrêstermosentrecolchetessãoindependentesentresi,aequaçãoacimaterásoluçãoapenasseostrêstermosforemseparadamenteiguaisàconstantes,,epodemosescreverasequaçõesresultantescomo

sendoqueparaaequaçãodeSchrödingersersa9sfeitatemosque

Assoluçõespara,etêmtodasamesmaforma,quenocasodeédadapor

Opotencialqueestásendoconsideradorequerqueafunçãodeondaseanulenasparedesdacaixa.PorconveniênciaseráconsideradoumcubodeladoigualaL.Impondoqueseanuleemx,youz= 0fazcomque,impondoqueseanuleemx,youz= L,requerque,sendoquesão inteiros

Afunçãodeondaentãofica

ondeastrêsconstantesAiforamcombinadasemumaúnicaconstante,aqualédeterminadapelacondiçãodenormalização

Fazendo-seaintegralobtemos

Temosentãoque

e

Existeumaoutracondiçãodecontornoquepodemosu9lizarnasfunçõesdeondaquemaislargamenteu9lizadaemXsicadoestadosólido.Éachamadacondiçãoperiódocadecontorno.

L

ConsideremosumsólidounidimensionaldecomprimentoL,vamos“dobrá-lo”ejuntarasduasextremidadesdemaneiraaformarumcírculo,oquepodeserfeitoemumasegundadimensão

Acon9nuidadedafunçãodeondarequerque

Emduasdimensões,asextremidadespodemserconectadasemumaterceiradimensãoformandoumtoro

Emtrêsdimensõesesseprocessorequerumaquartadimensãoparaaformaçãodeumtoronoespaçoquadrimensional

Emtodososcasosareceitaéamesmaeem3Dteremos

AssoluçõesdaequaçãodeSchrödingerpodemagoraserescritasemtermosdeondasplanas

ondeéumfatordenormalizaçãoapropriado

Acondiçãoperiódicadecontornotomaaforma

edeformaanálogaparaasdireçõesyez,

ousejadevemoster,oquerequerqueou

Aexpressãoparaaenergiaserá

com

Comopodeassumirvaloresposi9vosposi9vosenega9vos,ascomponentesdovetordeondatambémpodemterambosossinais,oquecorrespondeaondassepropagandonosdoissen9dosparaqualquerdireção.Destaforma,temosquenocasodeumacaixacomparedesrígidasafunçãodeondaresultantecorrespondeaumaondaestacionária,enquantonocasodascondiçõesperiódicasdecontornotemosondaspropagantes

Soluçõesdo9poondapropagantesãoemgeralpreferidasporqueelaspodemsernaturalmenteassociadasaofluxodeprobabilidade,S,queédefinidoemmecânicaquân9cacomo

Adensidadedecorrenteporelétron,,ficadadapor

ondevéavelocidadedoelétron.

Sees9versendodiscu9dootransporteelétricodeumdadoelétronquetemoosnúmerosquân9cos,,deve-seu9lizarnafórmuladacorrenteosvetoresdeonda

Devemosnotarqueadensidadedeestadosnoespaçodosvetoresdeondanocasodassoluçõesdo9poondaestacionáriaéiguala

L3

π 3 =Vπ 3

aopassoquenocasodassoluções9poondapropaganteadensidadefica

L3

2π( )3= V

8π 3

ouseja,adensidadenocasodasondasestacionáriasé8vezesmaiorquenocasodasondaspropagantes.

Entretanto,nocasodasondasestacionáriasosestadosocupamapenasooctantecomvetoresdeondacomcomponentesposi9vas(li>0),aopassoquenocasodasondaspropagantesosvetoresdeondapodemtercomponentesposi9vasenega9vas(li>0eli<0)ocupandotodososoitooctantes,ouseja,temos8vezesmaisvetoresdeondanocasodasondaspropagantes.Nofinalonúmerodeestadosnosdoiscasosseráomesmo.

Quandoconsideramosumsistemamacroscópico,,temosquenestecasoascomponentesdovetordeonda,,setornamvariáveisessencialmenteconBnuas

L→∞

Assimsendo,temosqueassomasnoespaçodovetordeondasetransformamemintegraisdaseguinteforma

GásdeFermiNão-interagenteem0K

Aindaéprecisodiscu9rosefeitosdoPrincípiodaExclusãodePauliedatemperaturanogásdeelétronsnãointeragente;vamoscomeçarcomoprimeiroefeito.

OPrincípiodaExclusãodizqueapenasumelétron(fermion)podeocuparumdadoestadoquân9co.Comooelétronpossuiummomentoangulardespin½,comprojeções,issosignificaqueteremosdoisestadosdespinparacadaestadodesignadopelovetordeondak.Assimafórmulaqueforneceaconversãodasomanosestadoskparaumaintegraldeveserescritacomo

Destaforma,se9vermosNelétronsnacaixaemT=0K,entãoosistemadeveestarnaenergiamaisbaixaounoestadofundamentaletodososestadosquân9coscomenergiaεF(chamadadeenergiadeFermi)devemestarocupadoseosestadosacimadaenergiadeFermidevemestarvazios.

Portantotemos,

Sendoogásdeelétronsisotrópico,podemossubs9tuirpor.Usandoque,temos

Podemostambémescrever

onde

queéonúmerodeestadosporunidadedeenergia,ousimplificando,densidadedeestados

U9lizandoumresultadoqueacabamosdeverificar,podemosescreveraenergiadeFermicomo

U9lizandoarelaçàoentreaenergiaeovetordeondapodemosescrever

queéovetordeondadeFermi

PodemosdefinirtambémomomentodeFermiatravésdarelação,com

Éú9lpensarnastrêscomponentesdekcomocons9tuindoumespaçochamadodeespaço-k(bemcomoumespaço-p)

Osestadosocupados(k < kF)eosestadosdesocupados(k >kF)sãoseparadosporumasuperXcieesférica,chamadadeesferadeFermi.

QuandoT > 0,estadoscomk >kF passarãoaserocupados,veremoscomodeterminaraocupaçãodessesestadosemseguida

AEstaBs9cadeFermi-Dirac

com

gl númerodeestadosentre l e l +1

l = 3 l = 4g3 = 2π ⋅3⋅ 4 − 3( ) ≈19Exemploemduasdimensões

gl = 4π l2Δl (trêsdimensões)

gl = 2π lΔl (duasdimensões)

Elétrons(fermions)obedecemoPrincípiodeExclusãodePauli

Vamosconsiderarocasoemqueg = 4 e n = 2

w(g,n) = w(4,2) = 6 éonúmerodeconfiguraçõescompaBveiscomoPrincípiodeExclusão,ouseja,dequantasformaspodemosdistribuir2elétronsem4estadosdeacordocomoPrincípiodeExclusão.

Vamosmostrarcomodeterminarw(g,n)paraumcasogeral

Vamosconsiderarinicialmentequeoselétronssejamdis9nguíveis

Nestecasotemos12configuraçõespossíveis

Esseresutadopodeserentendidodaseguintemaneira:temos4possibilidadesondecolocaroprimeiroelétron,devidoaoPrincípiodeExclusãotemosagoraapenas3estadosparacolocarosegundoelétron.Ousejaw=4x3=12

Portanto,nocasogenéricoemquetemosgestadosenelétronsteremos

w g,n( ) = g g-1( ) g-2( )! g-n+1( )

Comooselétronssãoindis9nguíveis,devemosre9rarasconfiguraçõesquesãoidên9caspelapermutaçãodeduasparBculas

Nestecasotemosquesempreháduasconfiguraçõesidên9casseconsiderarmosasparBculasindis9nguíveis,ouseja,temosapenas6configuraçõesdis9ntas.IssoquerdizerquedevemosdividironúmerodeconfiguraçõesconsiderandoasparBculasdis9nguíveispelonúmerodepermutações(n!),quenestecasoseria2!=2

Portanto,nocasodefermions

w g,n( ) = g g-1( ) g-2( )… g-n+1( )

n!Podemosescreverestaúl9maexpressõadeumaoutraforma

w g,n( ) = g g-1( ) g-2( )… g-n+1( ) g-n( ) g-n-1( )…1n! g-n( ) g-n-1( )…1

= g!n! g-n( )!

Seconsiderarmosaexpansãodobinômio

temosw(g,n)sãooscoeficientesdaexpansãobinomial

Consideremosagoraquetemosníveisdeenergiacomdegenerescênciagl comocupação nl Nestecasoonúmerototaldeconfiguraçõesserá

Destaforma,noequilíbrioosistemaseráencontradocommaiorprobabilidadeemumestadoquemaximizaonúmerodeconfiguraçõespossíveis(istoequivaleamaximizaraentropiadosistema)

Entretanto,essamaximizaçãodeveserfeitarespeitandoosvínculos

(númerototaldeparBculasfixo)

(energiatotalfixa)

Comoomáximodeumafunçãodemuitasvariáveiseomáximodessamesmafunçãoocorremparaosmesmovaloresdessavariável,émaisconvenientetrabalharmoscomln(W) doquecomW

lnW=ln w gl ,nl( )l∏⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ln wl

l∏⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ln

l∑ wl( )

Considerandoquetemosumnúmeromuitograndedeelétrons,podemosu9lizarnoscálculosachamadaaproximaçãodeS9rling

Assimobtemos

Amaximizaçãocomarestriçãodosvínculospodeserfeitaatravésdatécnicadosmul9plicadoresdeLagrange

ondeαeβsãoosmul9plicadoresdeLagrange

Destaformaobtemos

ou

e

resolvendoparanl

Temosqueiden9ficarosignificadoXsicodosmul9plicadoresdeLagrangeαeβ

Vamosinicialmentedefinir,ondeµéochamadopotencialquímicoα ≡ −βµ

Destaformatemos

(sendoqueosubíndicelfoiomi9donaexpressãoacima)

n= geβ ε−µ( ) +1

Masemaltastemperaturas,aocupaçãodeveseguiradistribuiçãodeBoltzmann

n=ge− ε−µ( ) kBT

Quandoatemperaturaéalta,estadosdealtaenergiasãoocupados,assimteremos

Portanto,podemosiden9ficar

Podemosreesceveraocupaçãocomo

sendoque

estaéachamadadistribuiçãodeFermi-Dirac

Para T→ 0

Se,entãoeε < µ e ε−µ( ) kBT → 0 f ε( )→1

ε > µSe,entãoee ε−µ( ) kBT →∞ f ε( )→ 0

ArepresentaçãográficadadistribuiçãodeFermi-Dirac

T=0

T≠0

Paratemperaturasarbitráriasopotencialquímicoµédeterminadopelaintegral

aintegralresultaem,quepodeserinver9daparaseobter