O Gás de Fermi Não-interagente aantone/condensada/FI104/Gas_de_Eletrons.pdf Usando que...

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  • O Gás de Fermi Não-interagente

    A mecânica quân9ca de um gás de elétrons não-interagentes em uma caixa

    A equação de Schrödinger independente do tempo de uma parBcula com energia ε em três dimensões é dada por

    Como um modelo simples dos elétrons em um metal vamos subs9tuir o efeito de todos os íons por um potencial que é independente da posição, , e ignorar a repulsão Coulombiana entre os elétrons.

  • Se os elétrons es9verem muito ligados no interior do metal, é grande, se tomarmos o limite e mover o zero da energia para o fundo desse poço confinante, podemos escrever

    (dentro da caixa)

    (fora da caixa)

    Temos agora determinar os níveis de energia associados a esse potencial. A função de onda tridimensional , pode ser escrita como o produto de três funções de onda unidimensionais: , inserindo esta forma na equação de onda e dividindo pela função de onda temos

    Uma vez que os três termos entre colchetes são independentes entre si, a equação acima terá solução apenas se os três termos forem separadamente iguais à constantes, , e podemos escrever as equações resultantes como

  • sendo que para a equação de Schrödinger ser sa9sfeita temos que

    As soluções para , e têm todas a mesma forma, que no caso de é dada por

    O potencial que está sendo considerado requer que a função de onda se anule nas paredes da caixa. Por conveniência será considerado um cubo de lado igual a L. Impondo que se anule em x, y ou z = 0 faz com que , impondo que se anule em x, y ou z = L , requer que , sendo que são inteiros

  • A função de onda então fica

    onde as três constantes Ai foram combinadas em uma única constante, a qual é determinada pela condição de normalização

    Fazendo-se a integral obtemos

    Temos então que

    e

  • Existe uma outra condição de contorno que podemos u9lizar nas funções de onda que mais largamente u9lizada em Xsica do estado sólido. É a chamada condição periódoca de contorno.

    L

    Consideremos um sólido unidimensional de comprimento L, vamos “dobrá-lo” e juntar as duas extremidades de maneira a formar um círculo, o que pode ser feito em uma segunda dimensão

    A con9nuidade da função de onda requer que

  • Em duas dimensões, as extremidades podem ser conectadas em uma terceira dimensão formando um toro

    Em três dimensões esse processo requer uma quarta dimensão para a formação de um toro no espaço quadrimensional

  • Em todos os casos a receita é a mesma e em 3D teremos

    As soluções da equação de Schrödinger podem agora ser escritas em termos de ondas planas

    onde é um fator de normalização apropriado

    A condição periódica de contorno toma a forma

    e de forma análoga para as direções y e z,

  • ou seja devemos ter , o que requer que ou

    A expressão para a energia será

    com

    Como pode assumir valores posi9vos posi9vos e nega9vos, as componentes do vetor de onda também podem ter ambos os sinais, o que corresponde a ondas se propagando nos dois sen9dos para qualquer direção. Desta forma, temos que no caso de uma caixa com paredes rígidas a função de onda resultante corresponde a uma onda estacionária, enquanto no caso das condições periódicas de contorno temos ondas propagantes

  • Soluções do 9po onda propagante são em geral preferidas porque elas podem ser naturalmente associadas ao fluxo de probabilidade, S, que é definido em mecânica quân9ca como

    A densidade de corrente por elétron, , fica dada por

    onde v é a velocidade do elétron.

    Se es9ver sendo discu9do o transporte elétrico de um dado elétron que tem o os números quân9cos, , deve-se u9lizar na fórmula da corrente os vetores de onda

  • Devemos notar que a densidade de estados no espaço dos vetores de onda no caso das soluções do 9po onda estacionária é igual a

    L3

    π 3 = V π 3

    ao passo que no caso das soluções 9po onda propagante a densidade fica

    L3

    2π( )3 = V

    8π 3

    ou seja, a densidade no caso das ondas estacionárias é 8 vezes maior que no caso das ondas propagantes.

    Entretanto, no caso das ondas estacionárias os estados ocupam apenas o octante com vetores de onda com componentes posi9vas ( li > 0), ao passo que no caso das ondas propagantes os vetores de onda podem ter componentes posi9vas e nega9vas ( li > 0 e li < 0 ) ocupando todos os oito octantes, ou seja, temos 8 vezes mais vetores de onda no caso das ondas propagantes. No final o número de estados nos dois casos será o mesmo.

  • Quando consideramos um sistema macroscópico, , temos que neste caso as componentes do vetor de onda, , se tornam variáveis essencialmente conBnuas

    L→∞

    Assim sendo, temos que as somas no espaço do vetor de onda se transformam em integrais da seguinte forma

  • Gás de Fermi Não-interagente em 0 K

    Ainda é preciso discu9r os efeitos do Princípio da Exclusão de Pauli e da temperatura no gás de elétrons não interagente; vamos começar com o primeiro efeito.

    O Princípio da Exclusão diz que apenas um elétron (fermion) pode ocupar um dado estado quân9co. Como o elétron possui um momento angular de spin ½, com projeções , isso significa que teremos dois estados de spin para cada estado designado pelo vetor de onda k. Assim a fórmula que fornece a conversão da soma nos estados k para uma integral deve ser escrita como

    Desta forma, se 9vermos N elétrons na caixa em T = 0 K, então o sistema deve estar na energia mais baixa ou no estado fundamental e todos os estados quân9cos com energia εF (chamada de energia de Fermi) devem estar ocupados e os estados acima da energia de Fermi devem estar vazios.

  • Portanto temos,

    Sendo o gás de elétrons isotrópico, podemos subs9tuir por . Usando que , temos

  • Podemos também escrever

    onde

    que é o número de estados por unidade de energia, ou simplificando, densidade de estados

    U9lizando um resultado que acabamos de verificar, podemos escrever a energia de Fermi como

  • U9lizando a relaçào entre a energia e o vetor de onda podemos escrever

    que é o vetor de onda de Fermi

    Podemos definir também o momento de Fermi através da relação , com

    É ú9l pensar nas três componentes de k como cons9tuindo um espaço chamado de espaço-k (bem como um espaço-p)

    Os estados ocupados (k < kF) e os estados desocupados (k > kF) são separados por uma superXcie esférica, chamada de esfera de Fermi.

    Quando T > 0, estados com k > kF passarão a ser ocupados, veremos como determinar a ocupação desses estados em seguida

  • A EstaBs9ca de Fermi-Dirac

    com

    gl número de estados entre l e l +1

    l = 3 l = 4 g3 = 2π ⋅3⋅ 4 − 3( ) ≈19 Exemplo em duas dimensões

    gl = 4π l 2Δl (três dimensões)

    gl = 2π lΔl (duas dimensões)

  • Elétrons (fermions) obedecem o Princípio de Exclusão de Pauli

    Vamos considerar o caso em que g = 4 e n = 2

    w(g,n) = w(4,2) = 6 é o número de configurações compaBveis com o Princípio de Exclusão, ou seja, de quantas formas podemos distribuir 2 elétrons em 4 estados de acordo com o Princípio de Exclusão.

    Vamos mostrar como determinar w(g,n) para um caso geral

  • Vamos considerar inicialmente que os elétrons sejam dis9nguíveis

    Neste caso temos 12 configurações possíveis

    Esse resutado pode ser entendido da seguinte maneira: temos 4 possibilidades onde colocar o primeiro elétron, devido ao Princípio de Exclusão temos agora apenas 3 estados para colocar o segundo elétron. Ou seja w = 4 x 3 = 12

  • Portanto, no caso genérico em que temos g estados e n elétrons teremos

    w g,n( ) = g g-1( ) g-2( )! g-n+1( )

    Como os elétrons são indis9nguíveis, devemos re9rar as configurações que são idên9cas pela permutação de duas parBculas

    Neste caso temos que sempre há duas configurações idên9cas se considerarmos as parBculas indis9nguíveis, ou seja, temos apenas 6 configurações dis9ntas. Isso quer dizer que devemos dividir o número de configurações considerando as parBculas dis9nguíveis pelo número de permutações (n!), que neste caso seria 2! = 2

  • Portanto, no caso de fermions

    w g,n( ) = g g-1( ) g-2( )… g-n+1( )

    n! Podemos escrever esta úl9ma expressõa de uma outra forma

    w g,n( ) = g g-1( ) g-2( )… g-n+1( ) g-n( ) g-n-1( )…1 n! g-n( ) g-n-1( )…1

    = g! n! g-n( )!

    Se considerarmos a expansão do binômio

    temos w(g,n) são os coeficientes da expansão binomial

  • Consideremos