MÓDULO 5 Verificação da segurança aos estados …£o Armado e Pré-Esforçado I MÓDULO 5 –...

Betão Armado e Pré-Esforçado I

MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limites

últimos de elementos com esforço axial não desprezável (pilares) 1. Flexão Composta (Flexão com esforço normal de tracção ou compressão)

1.1. ROTURA CONVENCIONAL

εs ≤ 10‰

εc(-) ≤ 3.5‰

Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ εc(-) ≤ 3.5‰

Tensões uniformes

σc εc

(-)

2‰

Tensões não uniformes

(-)

2‰ ≤ εc ≤ 3.5‰σc

ou

εc = 3.5‰

(-)

σc

00

1.2. DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES NA ROTURA

Com base nas extensões máximas para o betão e armaduras, podem ser definidas 5

zonas com diagramas associados à rotura:

As2

As1

MN 1

10‰

10‰

02‰3.5‰

2‰ εyd

2

3

45

Compressão Tracção

Zona 1 - Tracção com pequena excentricidade (εs1 = 10‰, εs2 ≤ 10‰)

Zona 2 - Tracção e compressão com grande ou média excentricidade (εs1 = 10‰, εc(-) ≤ 3.5‰)

Zona 3 - Tracção e comp. com grande ou média excentricidade (εyd ≤ εs1 ≤ 10‰, εc(-) = 3.5‰)

Zona 4 - Compressão com média ou pequena excentricidade (εs1 ≤ εyd, εc(-) = 3.5‰)

Zona 5 - Compressão com pequena excentricidade (2‰ ≤ εcmáx ≤ 3.5‰)

MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

143


Conclusão:

Zonas 1, 2 e 3: εs > εyd ⇒ rotura dúctil

Zonas 4 e 5: εs < εyd ⇒ rotura frágil

1.3. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES (i) Consideração de um determinado diagrama de rotura, para uma secção de betão

armado com dois níveis de armadura (As1 e As2)

As1

As2 MRd

NRd

(-)

(+)

εcεs2

εs1

Fc

Fs1

Fs2

yc ys2

ys1

Nota: A coordenada y pode ser medida em relação ao centro geométrico da secção ou

em relação ao nível da armadura inferior.

Equações de Equilíbrio

• Equilíbrio axial: Fc + Fs2 − Fs1 = NRd

• Equilíbrio de momentos: Fc × yc + Fs2 × ys2 + Fs1 × ys1 = MRd

⇒ Para um dado diagrama de rotura obtém-se um par de esforço NRd – MRd

(ii) Varrendo a secção com os possíveis diagramas de rotura obtém-se um diagrama

de interacção NRd – MRd

NRd

MRd

(-)


144


(iii) Repetindo o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de

dimensionamento

MRd

(-)NRd

Grandezas adimensionais:

− Esforço normal reduzido ν = NRd

b h fcd

− Momento flector reduzido µ = MRd

b h2 fcd

− Percentagem mecânica de armadura ωTOT = AsTOT b h

fyd fcd

1.4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES 1.4.1. Armadura longitudinal

(i) Quantidades mínimas e máximas de armadura

As quantidades mínimas de armadura em pilares, podem ser quantificadas através de

percentagens mínimas de armadura, que variam consoante o tipo de aço utilizado:

ρmin = 0.8% para A235

ρmin = 0.6% para A400 e A500

Quantidade máxima de armadura:

ρmáx = 8% (incluindo todas as armaduras nas secções de emenda)

Nota: evitar que ρ > 4%, caso contrário não será possível emendar todos os varões na mesma

secção transversal.


145


A percentagem de armadura define-se através da expressão ρ = As

b ⋅ h × 100 .

(ii) Disposição da armadura, diâmetros e espaçamento

1. Mínimo número de varões na secção transversal

1 varão em cada ângulo da secção (saliente ou reentrante) ou

6 varões em secções circulares (ou a tal assimiláveis)

2. Diâmetro mínimo dos varões

12mm para A235

10mm para A400 e A500

3. Espaçamento máximo dos varões

smáx = 30 cm, excepto em faces com largura igual ou inferior a 40cm (basta dispor

varões junto dos cantos).

1.4.2. Armadura transversal

(i) Espaçamento das cintas

smáx = min (12 × φL,menor; bmin; 30cm)

(ii) Diâmetro

Se φL ≥ 25mm, φcinta ≥ 8mm

(iii) Forma da armadura / cintagem mínima

Cada varão longitudinal deve ser abraçado por ramos da armadura transversal,

formando um ângulo em torno do varão, não superior a 135°.

Não é necessário cintar varões longitudinais que se encontrem a menos de 15cm

de varões cintados.

Em pilares circulares não é necessário respeitar a condição do ângulo.


146


Função da armadura transversal

− Cintar o betão;

− Impedir a encurvadura dos varões longitudinais;

− Manter as armaduras longitudinais na sua posição durante a montagem e

betonagem;

− Resistir ao esforço transverso.

Nota: As cintas devem ser mantidas na zona dos nós de ligação com as vigas.


147


EXERCÍCIO 15

Considere a secção rectangular representada, sujeita a flexão composta conforme

indicado. Dimensione e pormenorize a secção.

As/2

As/2

0.30

0.50

Msd

Nsd

Nsd = -1200 kN

Msd = 150 kNm

Materiais: A400

C20/25

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 15

Flexão composta de secções rectangulares (Tabelas)

d1 ≅ 0.05m

h = 0.50m ⇒

d1 h = 0.10 ; A400

Esforço normal reduzido: ν = Nsd

b h fcd = -1200

0.30 × 0.50 × 13.3×103 = -0.60

Momento flector reduzido: µ = Msd

b h2 fcd = 150

0.30 × 0.502 × 13.3×103 = 0.15

ωTOT = 0.20 ⇒ AsTOT = ωTOT b h fcd fyd = 0.20 × 0.30 × 0.50 ×

13.3 348 × 104 = 11.47cm2

Na rotura εc2 εs1

= -3.5 0 a 1 ⇒

rotura pelo betão

armaduras não atingem a cedência

Zona


148


EXERCÍCIO 16

Considere um pilar com secção transversal circular com ∅ = 0.50 m. Dimensione as

armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msd =250 kNm

Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR


d1 = 0.05 ⇒ d1 h = 0.10

ν =

Nsd

π r2 fcd =

-1400 π × 0.252 × 16.7×103 = 0.427

µ = MSd

2π r3 fcd =

250 2 × π × 0.253 × 16.7×103 = 0.152

⇒ ωTOT = 0.30

AsTOT = ωTOT × πr2 × fcd fyd = 0.30 × π × 0.252 ×

16.7 348 × 104 = 28.3cm2


149


1.5. EFEITO FAVORÁVEL DE UM ESFORÇO AXIAL MODERADO DE COMPRESSÃO NA

RESISTÊNCIA À FLEXÃO

Considere-se o seguinte diagrama de interacção ν - µ, bem como os diagramas de

tensão na rotura para as situações A e B ilustradas.

µ

ν

0.4 B

A

As2

As1

b

h

A Fs2,A

As1 fyd

Fc,A

MRd,A

NRd

MRd,B

B

As1 fyd

Fs2,B

Fc,B

MRd,B > MRd,A

∴ A existência de um esforço axial aumenta as resultantes de compressão (Fc e Fs2) e,

consequentemente, o MRd apesar da diminuição do braço de Fc.


150


2. Verificação da segurança dos pilares aos estados limite últimos

2.1. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS ESBELTOS

Nos elementos de betão armado solicitados apenas à flexão, os esforços são, em

geral, determinados na estrutura não deformada (Teoria de 1ª ordem).

Sempre que as deformações tenham um efeito importante nos esforços solicitantes (p.

ex. no caso de pilares esbeltos), as hipóteses lineares da teoria de 1ª ordem não

devem ser aplicadas.

Exemplos:

N

vL

N

L

v

Teoria de 1ª ordem:

M = N × e

Teoria de 2ª ordem:

M = N (e + v) ⇔ M = N × e + N × v

N × e – momento de 1ª ordem

N × v – momento de 2ª ordem

Nota: na teoria de 2ª ordem as condições de equilíbrio devem ser satisfeitas na

estrutura deformada.

Os efeitos de 2ª ordem dependem da esbelteza dos pilares: λ = L0

i

M

N

N eN e N v

1

2

- λ pequeno ⇒ efeitos de 2ª ordem desprezáveis

(Teoria de 1ª ordem)

- λ médio/elevado ⇒ efeitos de 2ª ordem relevantes

(Teoria de 2ª ordem)

Consideram-se os efeitos de 2ª ordem desprezáveis

se: M2ªordem ≤ 0.10 M1ªordem (⇔ N × v ≤ 0.1 N × e)


151


2.2. TIPOS DE ROTURA

21

Ne1

N

M

Ne1

Ne1 Ne2

Ne2

Nu, Mu1 1

22Nu, Mu

2 2NCR, MCR

Nu, Mu33

NCR, MCR33

N

N

e1 e1

N

N

e2

e2

3 N

N

e1

Relação N - M para e2 = 0 (análise de 1ª ordem) Mu/Nu = e1

Relação N - M para e 2 ≠ 0 (elemento pouco esbelto) ⇒ rotura da secção

Relação N - M para e 2 ≠ 0 (elemento muito esbelto) ⇒ rotura por instabilidade

2.3. ESBELTEZA

A esbelteza de um pilar é dada por:

λ = L0 i

onde,

L0 representa o comprimento efectivo da encurvadura (distância entre pontos de

momento nulo ou pontos de inflexão da configuração deformada)

i representa o raio de giração da secção

i =

I A

Nota: Deve ser considerado o momento de inércia da secção segundo o eixo

perpendicular ao plano de encurvadura.

Maior λ ⇒ maior sensibilidade aos efeitos de 2ª ordem.


152


2.4. COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA DE ESTRUTURAS SIMPLES

Estruturas de nós fixos

L0 = L/2L0 = L

L0 = 0.7L

Estruturas de nós móveis

L0 = 2L L0 = L L0 = 2L


153


2.5. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM

Estruturas correntes (edifícios, em geral)

Métodos de dimensionamento a partir dos resultados de uma análise linear de 1ª

ordem, corrigindo a excentricidade para ter em conta os efeitos de 2ª ordem.

(Método das excentricidades adicionais - REBAP, EC2) e

Ne

Nv

N

e+ead

Msd = Nsd (e + ead)

Outras (esbelteza grande)

Métodos de análise não linear de estruturas, tendo em conta as não linearidades

geométricas e as não linearidades físicas dos materiais.

2.5.1. Determinação da excentricidade de 2ª ordem

A excentricidade de 2ª ordem destina-se a ter em conta a deformação do elemento e,

consequentemente, a existência de efeitos de 2ª ordem, podendo ser calculada como

se indica em seguida.

Considere-se a seguinte coluna biarticulada “perfeita”

L

vNN

xPara N = NE, tem-se v ≈ A sen

π x L

(Deformada do tipo sinusoidal)


154


A curvatura é dada por:

1 r = −

d2 v dx2 = A

π2 L2 sen

π x L ⇔

1 r ×

L2 π2 = A sen

π x L

Pelo que, v = 1 r ×

L2 π2 ≈

1 r

L2 10

Deste modo, a flecha na secção crítica é dada por:

vsc = 1 rsc

L2 10

A curvatura na secção crítica pode ser obtida de forma aproximada pela expressão:

1 r ≅ 5

h × 10-3 η

onde h representa a altura na secção no plano de encurvadura.

Este valor foi obtido com base no seguinte modelo:

yd

(-)

(+)

εc=3.5‰

d

1 r =

0.0035 + εyd d =

0.0045 d A235

0.0052 d A400

0.0057 d A500

η – coeficiente de redução que tem em conta a redução da curvatura (dada pela

expressão anterior), quando o esforço axial é elevado (ν > 0.4)

η = 0.4

ν = 0.4 fcd Ac Nsd ≤ 1.0 (Ac – área da secção transversal do pilar)

Nota: se ν (Nsd) for grande, a curvatura é menor (no limite, toda a secção pode estar

comprimida).

Para além dos efeitos de 2ª ordem, é necessário considerar ainda quer os efeitos das

imperfeições geométricas de execução devido à existência de tolerâncias construtivas

(excentricidade acidental), quer o acréscimo de deformação dos pilares ao longo do

tempo, devido ao efeito da fluência (excentricidade de fluência). Apresenta-se em

seguida as expressões propostas para cálculo destas excentricidades.


155


2.5.2. Cálculo das restantes excentricidades adicionais

1. Excentricidade Acidental

A excentricidade acidental destina-se a ter em conta os efeitos das imperfeições

geométricas de execução (tolerâncias construtivas) e pode ser determinada através de

ea = max L0 / 300

0.02m

onde L0 representa o comprimento efectivo de encurvadura.

2. Excentricidade de fluência

A excentricidade de fluência destina-se a ter em conta o acréscimo de deformação do

pilar devido aos efeitos da fluência e determina-se através da expressão,

ec =

Msg

Nsg + ea

exp

ϕc Nsg

NE − Nsg − 1

onde

Nsg, Msg representam os esforços devidos às acções com carácter de permanência

(que provocam fluência), não afectados do coeficiente γf

ea representa a excentricidade acidental

ϕc representa o coeficiente de fluência (em geral, ϕc = 2.5)

NE representa a carga crítica de Euler

NE = 10

EI L0

2 (EI da secção de betão)

A consideração da excentricidade de fluência só é importante para elementos muito

esbeltos (em geral despreza-se). Poderá deixar de ser considerada nos casos em que

se verifique uma das seguintes condições: Msd / Nsd ≥ 2.0 h ou λ ≤ 70.


156


2.6. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ENCURVADURA

1. Verificação do estado limite último de flexão composta na secção crítica (secção

mais esforçada), para os esforços

Nsd’ = Nsd

Msd’ = Msd + Nsd (ea + e2 + ec)

2. Secção crítica

(i) Estruturas de nós fixos

A localização da secção crítica depende do diagrama de Msd (conforme se pode

observar na figura seguinte, em geral a secção crítica localiza-se numa zona

intermédia, e não junto das extremidades).

ead

Nsd

Msd2ª ordem

Msd,a

Msd,b

1ª ordemMsd

TOTALMsd

+ =

Mcálculosd = máx

0.6 Msd,a + 0.4 Msd,b

0.4 Msd,a

(secção crítica)

com |Msd,a| ≥ |Msd,b|

e

Msd' ≥ máx Msd (nós) = Msd,a

(ii) Estruturas de nós móveis

N

ad

1ª ordemMsd Msd

2ª ordem

A secção crítica situa-se no nó em que

Msd é máximo


157


3. Dispensa da verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura

A consideração da excentricidade de 2ª ordem pode ser dispensada, caso se verifique

uma das seguintes condições:

a) (i) Estruturas de nós fixos

λ ≤ 35 se Msd,b = Msd,a vmáx

λ ≤ 50 – 15 Msd,b Msd.a

λ ≤ 65 se Msd,a = − Msd,b vmáx

(ii) Estruturas de nós móveis λ ≤ 35

ou

b)

Msd

Nsd ≥ 3.5 h para λ ≤ 70

Msd Nsd ≥ 3.5 h

λ 70 para λ > 70

, h – altura da secção transversal

(o momento de 1ª ordem é condicionante).


158


EXERCÍCIO

Dimensione o pilar indicado sujeito aos seguintes esforços:

N

H

3.00

Secção transversal

0.30

0.40

Esforços característicos: N = 800 kN; H = 20kN

Materiais: C 25/30; A 400NR

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO

1. Cálculo da esbelteza

λ = L0 i =

2 × 3.0 0.0866 = 69.3

i = I A =

9 × 10-4 0.30 × 0.40 = 0.0866 m; I =

bh3 12 =

0.4 × 0.33 12 = 9×10-4 m4

2. Determinação dos esforços de dimensionamento

Nsd = 800 × 1.5 = 1200 kN; M1ª ordemsd = 20 × 3 × 1.5 = 90.0 kN

2.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem

Numa estrutura de nós móveis para dispensar a verificação da segurança à

encurvadura, é necessário verificar as seguintes condições:

Msd Nsd =

90 1200 = 0.075 ≥/ 3.5 h = 3.5 × 0.3 = 1.05 e λ ≤/ 35

⇒ os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis


159


2.2. Quantificação dos esforços de cálculo

Nsd’ = 1200kN

Msd’ = Msd + Nsd (ea + e2 + ec) = 90 + 1200 × (0.02 + 0.04 + 0) = 162kNm

(i) Cálculo da excentricidade acidental

ea = max L0 / 300 = 6 / 300 = 0.02 m 0.02 m

⇒ ea = 0.02m

(ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem

e2 = 1 r

L02

10 = 11.13×10-3 × (2 × 3.0)2

10 = 0.04 m

1 r =

5 h × 10-3 η =

5 0.30 × 10-3 × 0.668 = 11.13 × 10-3

η = 0.4 × fcd × Ac

Nsd =

0.4 × 16.7×103 × 0.3 × 0.4 1200 = 0.668 ≤ 1.0

(iii) Excentricidade de fluência - Desprezável dado que λ < 70

3. Cálculo da armadura (flexão composta)

ν =

Nsd b h fcd =

-1200 0.3 × 0.4 × 16.7×103 = -0.60

µ = Msd

b h2 fcd = 162

0.4 × 0.32 × 16.7×103 = 0.27 ⇒ ωTOT = 0.62

d1 h =

0.05 0.3 = 0.167≅ 0.15 ; A400

ASTOT = ωTOT × bh × fcd fyd = 0.62 × 0.30 × 0.40 ×

16.7 348 × 104 = 35.7cm2


160


EXERCÍCIO

Dimensione o pilar sujeito aos seguintes esforços:

5.00

N

Secção transversal

0.25

0.25

Esforços característicos: N = 600 kN

Materiais: C 20/25; A 400NR



λ = L0 i =

5 0.0722 = 69.3

i = I A =

3.255 × 10-4 0.252 = 0.0722 m ; I =

b h3 12 =

0.254 12 = 3.255×10-4 m4

2. Esforços de dimensionamento Nsd = 600 × 1.5 = 900 kN

2.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem Numa estrutura de nós fixos para dispensar a verificação da segurança à encurvadura,

é necessário verificar as seguintes condições:

λ ≤ 50 – 15 Msd,b Msd,a = 50 e λ = 69.3 ≤/ 50 ⇒ os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis


161


2.2. Quantificação dos esforços de cálculo

Nsd’ = 900 kN

Msd’ = Msd + Nsd (ea + e2 + ec) = 900 × (0.02 + 0.018) = 34.2kNm

(i) Cálculo da excentricidade acidental

ea = max L0 / 300 = 5 / 300 – 0.017m 0.02m

⇒ ea = 0.02m

(ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem

e2 = 1 r

L02

10 = 7.39 × 10-3 × 52

10 = 0.018m

1 r =

5 h × 10-3 η =

5 0.25 × 10-3 × 0.369 = 7.39×10-3

η = 0.4 fcd Ac

Nsd = 0.4 × 13.3×103 × 0.252

900 = 0.369

(iii) Excentricidade de fluência - Desprezável dado que λ < 70

3. Cálculo da armadura (flexão composta)

d1 h =

0.05 0.25 = 0.20 ; A400 → Tabelas pág. 45

ν =

Nsd b h fcd =

-900 0.252 × 13.3×103 = -1.083

µ = Msd

b h2 fcd = 34.2

0.253 × 13.3×103 = 0.165 ⇒ ωTOT = 0.82

AsTOT = ωTOT × b h × fcd fyd = 0.82 × 0.252 ×

13.3 348 × 104 = 19.6cm2


162


3. Estruturas em Pórtico

3.1. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS

3.1.1. Estruturas contraventadas

Estruturas com elementos verticais de grande rigidez com capacidade resistente para

absorver grande parte das acções horizontais.

Exemplo:

paredesou

núcleos

3.1.2. Estruturas não contraventadas

Estruturas sem elementos de contraventamento

Para efeitos da verificação da segurança em relação ao estado limite último de

encurvadura, o REBAP classifica as estruturas reticuladas em:

(i) Estruturas de nós fixos: estruturas cujos nós sofrem deslocamentos horizontais

desprezáveis

(ii) Estruturas de nós móveis: caso contrário


163


3.2. COMPRIMENTO DE ENCURVADURA

O comprimento de encurvadura é definido pela distância entre os pontos de momento

nulo, da distribuição final de momentos ao longo do pilar, podendo ser determinado

pela expressão,

L0 = ηL

onde,

L representa o comprimento livre do elemento

η é um factor que depende das condições de ligação das extremidades do

elemento

Estruturas de nós fixos (contraventada)

L

L0 ≤ L

Estruturas de nós móveis (não contraventada)

L

L0 ≥ L

Estruturas de nós fixos η = min 0.7 + 0.05 (α1 + α2)

0.85 + 0.05 αmin

1.0

η ≤ 1

Estruturas de nós móveis η = min 1.0 + 0.15 (α1 + α2)

2.0 + 0.3 αmin

η ≥ 1


164


α1 e α2 – parâmetros relativos às extremidades 1 e 2 do pilar, dadas por:

αi = ∑

( )EI / L pilares

∑

( )EI / L vigas

nó i:

viga

pilar Este parâmetro pretende traduzir a maior ou menor dificuldade de rotação do nó:

Maior rotação ⇒ maior deformação ⇒ maiores efeitos de 2ª ordem.

Caso as extremidades do pilar estejam ligadas a elementos de fundação

α = 1 – fundações que confiram encastramento parcial

α = 0 – fundações que confiram encastramento perfeito

α = 10 – fundações cuja ligação ao pilar não assegure transmissão de momentos

(liberdade de rotação).


165


Exemplo:

3.00

3.00

4.00

6.00 5.00

0.3

0.6 0.5

0.3

0.5

0.3 0.30.4

0.30.3

1

2

Classificação da estrutura: Estrutura de nós móveis

α1 = ∑

( )EI / L pilares

∑

( )EI / L vigas =

∑

( )I / L pilares

∑

( )I / L vigas =

0.34 12 ×

1 4 +

0.34 12 ×

1 3

0.3 × 0.53 12 ×

1 6 +

0.3 × 0.43 12 ×

1 5

= 0.468

α2 =

0.34 12 ×

1 3 × 2

0.3 × 0.63 12 ×

1 6 +

0.3 × 0.53 12 ×

1 5

= 0.295

η = min 1 + 0.15 (α1 + α2) = 1 + 0.5 (0.468 + 0.295) = 1.11

2.0 + 0.3 αmin = 2 + 0.3 × 0.295 = 2.09

L0 = 3 × 1.11 = 3.33m


166


3.3. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM EM PÓRTICOS

De acordo com o REBAP, a análise de pórticos tendo em consideração os efeitos de

2ª ordem deve ser efectuada da forma seguinte:

Estruturas de nós fixos

É possível analisar os pilares do pórtico isoladamente

Estruturas de nós móveis

Os pilares podem ser analisados isoladamente, tomando para a esbelteza de cada

pilar a esbelteza média dos pilares do piso em causa.

Problemas que surgem com este tipo de abordagem em pórticos de nós móveis:

− A análise de pilares isolados conduz a excentricidades diferentes, o que não é

realista dado que as vigas e lajes do piso impõem igualdade de deslocamentos

horizontais para os pilares. Assim, deverá considerar-se a mesma excentricidade de 2ª

ordem em todos os pilares. A excentricidade a considerar deverá ser a correspondente

ao pilar mais rígido;

− Os efeitos de 2ª ordem provocam um aumento de esforços nos pilares que, por

equilíbrio, conduz a um aumento de esforços nas vigas adjacentes (a análise de

pilares isolados não tem em conta este efeito).

Formas mais correctas de ter em conta os efeitos da encurvadura

1. Análise da estrutura inclinada (deformada)

θ


167


2. Aplicação de forças horizontais fictícias que conduzam aos valores dos esforços

provocados pelas excentricidades acidentais e aos efeitos de 2ª ordem.

θ

∆H2

∆H1

Exemplos:

(i) Consola

θ

L

e N N∆H

M2ª ordem = N × e

∆H × L = N × e ⇒ ∆H = N × e L

(ii) Pórtico

L

Ne e N

θ

∆H

N∆H L/2

∆H L/2

M2ª ordem = N × e ⇒ ∆H × L 2 = N × e ⇒ ∆H = N × 2e

L


168


EXERCÍCIO

Dimensione os pilares do pórtico representado na figura.

4.00

6.00

0.30.3

0.30.4

0.6

0.3

P1 P2

± 30 kN

500 kN 400 kN35 kN/m

Nota: os valores indicados para as

acções, referem-se aos

seus valores característicos.

Materiais: C20/25; A400NR


1. Classificação da estrutura ⇒ Estrutura de nós móveis

2. Cálculo do comprimento de encurvadura dos pilares

(i) Pilar P1

α1 = ∑

( )EI / L pilares

∑

( )EI / L vigas =

0.3 × 0.43

12 × 1

4.0

0.3 × 0.63

12 × 1

6.0

= 0.444 ; α2 = 1.0 (encastramento parcial)

η = min 1.0 + 0.15 (α1 + α2)

2.0 + 0.3 αmin= min

1.0 + 0.15 (0.444 + 1.0) = 1.217

2.0 + 0.3 × 0.444 = 2.133

⇒ L0 = ηL = 1.217×4.0 = 4.87m

(ii) Pilar P2

α1 = ∑

( )EI / L pilares

∑

( )EI / L vigas =

0.34 12 ×

1 4

0.3 × 0.63 12 ×

1 6

= 0.187 ; α2 = 1.0


169


η = min 1.0 + 0.15 (α1 + α2)

2.0 + 0.3 αmin= min

1.0 + 0.15 (0.87 + 1.0) = 1.178

2.0 + 0.3 × 0.187 = 2.056

⇒ L0 = ηL = 1.178 × 4.0 = 4.71m


(i) Pilar P1

i = I A =

0.0016 0.3 × 0.4 = 0.115 m

I = b h3 12 =

0.3 × 0.43 12 = 0.0016 m4

λ = L0 i =

4.87 0.115 = 42.3

(ii) Pilar P2

i = I A =

0.675 × 10-3 0.32 = 0.087m

I = 0.34 12 = 0.675 × 10-3 m4

λ = L0 i =

4.71 0.087 = 54.1

4. Cálculo dos esforços de dimensionamento

4.1. Esforços de 1ª ordem

Combinação 1

Acções e reacções de cálculo

52.5 kN/m600 kN750 kN

45 kN

923.6 kN 741.4 kN

4.1 kN49.1 kN

81.6 kNm 1.8 kNm

DMF

[kNm]114.9

81.6

18.3

1.8

169.7

(+)

(+)

(-)(-)


170


Combinação 2

Acções e reacções de cálculo

61.3 kNm769.4 kN

47.6 kNm

895.6 kN

35.3 kN9.7 kN

600 kN

45 kN52.5 kN/m

750 kN

(-)

61.3

DMF[kNm]

(+)

(+)

191.9

79.9(-)

(-)

47.6

8.7

4.2. Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem

(i) Pilar P1

λ = 42.3 < / 35

Msd Nsd =

47.6 895.6 = 0.05 ≥/ 3.5 h = 3.5 × 0.4 = 1.4 (Combinação 2 – mais desfavorável)

⇒ é necessário verificar a segurança à encurvadura

(ii) Pilar P2

λ = 54.1 < / 35

Msd Nsd =

18.3 741.4 = 0.02 ≥/ 3.5 h = 3.5 × 0.3 = 1.05 (Combinação 1 – mais desfavorável)

⇒ é necessário verificar a segurança à encurvadura

4.3. Cálculo da excentricidade de 2ª ordem

e2 = 1 r

L02

10 com 1 r =

5 h × 10-3 η e η =

0.4 fcd Ac Nsd

Combinação 1

Pilar L0 [m] h [m] Ac [m2] Nsd [kN] η 1/r [m-1] e2 [m]

P1 4.87 0.4 0.12 923.6 0.69 8.63×10-3 0.020

P2 4.71 0.3 0.09 741.4 0.65 10.83×10-3 0.024


171


Combinação 2

Pilar L0 [m] h [m] Ac [m2] Nsd [kN] η 1/r [m-1] e2 [m]

P1 4.87 0.4 0.12 895.6 0.71 8.88×10-3 0.021

P2 4.71 0.3 0.09 764.9 0.63 10.5×10-3 0.023

Nota: É o pilar mais rígido que condiciona o deslocamento horizontal. Para um

determinado deslocamento horizontal o pilar mais rígido atinge primeiro a cedência (a

curvatura é igual nos dois pilares, logo, as extensões são maiores no pilar mais rígido).

4.4. Cálculo da excentricidade acidental

ea = max L0/300

0.02m ⇒ ea = 0.02 m

4.5. Determinação da força horizontal equivalente

θ

2(e2+ea)∆H

M2ª ordem = N (e2 + ea)

⇒ ∆H = N 2 (e2 + ea)

L ⇔

⇔ ∆H = ∆H1 + ∆H2 = (N1 + N2) 2 (e2 + ea)

L

Combinação 1

∆H = (923.6 + 741.4) × 2 × (0.02 + 0.02)

4.0 = 33.3 kN

Combinação 2

∆H = (895.5 + 769.4) × 2 × (0.021 + 0.02)

4.0 = 34.1 kN

Esforços provocados por uma força unitária

(-)(+)

0.7

1.2 (-)

1.4

(+) (-)

0.7

DMF[kNm]

1 kN


172


4.6. Esforços de dimensionamento

Combinação 1

(i) Pilar P1 (secção crítica – secção de topo)

Nsd = 923.6 kN

Msd' = 114.9 + 33.3 × 1.2 = 154.9 kNm

(ii) Pilar P2 (Secção crítica – secção do topo)

Nsd = 741.4 kN

Msd' = 18.3 + 33.3 × 0.7 = 41.6 kNm

Combinação 2

(i) Pilar P1 (secção crítica – secção da base)

Nsd = 895.6 kN

Msd' = 47.6 + 34.1 × 1.4 = 95.3 kNm

(ii) Pilar P2 (Secção crítica – secção do topo)

Nsd = 769.4 kN

Msd' = 80 + 34.1 × 0.7 = 103.9 kNm

5. Determinação das armaduras longitudinais

(i) Pilar P1 (combinação mais desfavorável: combinação 1)

ν =

923.6 0.3 × 0.4 × 13.3×103 = 0.58

µ = 154.9

0.3 × 0.42 × 13.3×103 = 0.24

d1 h =

0.05 0.40 = 0.125 , A400

⇒ ωTOT = 0.44 para d1/h = 0.10 ⇒ ωTOT = 0.480.52 para d1/h = 0.15

ASTOT = ωTOT b h fcd fyd = 0.48 × 0.3 × 0.4 ×

13.3 348 × 104 = 22.01 cm2 ⇒ Adoptam-se 8φ20


173


(ii) Pilar P2 (combinação mais desfavorável: combinação 2)

ν =

769.4 0.3 × 0.3 × 13.3×103 = 0.66

µ = 103.9

0.33 × 13.3×103 = 0.29

d1 h =

0.05 0.30 = 0.167 ≅ 0.15

⇒ ωTOT = 0.72 ⇒ ASTOT = 24.77cm2

⇒ Adoptam-se 8φ20

6. Determinação das armaduras transversais

6.1. Verificação da segurança ao estado limite último de esforço transverso

(i) Pilar P1

(+)

128.2

(-)

154.9D M'sd[kNm]

(+)70.8

DET[kN]

Msd'base = 81.6 + 33.3 × 1.4 = 128.2 kNm

Vsd = 154.9 + 128.2

4 = 70.8 kN

• Verificação das compressões

σc = Vsd

bw × z × cos θ × sen θ = 70.8

0.3 × 0.9 × 0.35 × cos 26° sen 26° = 1901.5 kN/m2

0.6 fcd = 0.6 × 13.3×103 = 7980kN/m2

• Cálculo da armadura transversal

Asw s =

Vsd z cotg θ fyd

= 70.8

0.9 × 0.35 × cotg 26° × 348×103 × 104 = 3.15 cm2/m

Adoptam-se cintas φ6//0.15


174


(ii) Pilar P2

47.0 (-)

(-)

(+)

84.6

DET[kN]103.3D M'sd

[kNm]

Msd'base = 61.3 + 33.3 × 0.7 = 84.6 kNm

Vsd = 103.3 + 84.6

4 = 47.0 kN

• Verificação das compressões

σc = Vsd

bw × z × cos θ × sen θ = 47.0

0.3 × 0.9 × 0.25 × cos 26° × sen 26° = 1767.2 kN/m2

• Cálculo da armadura transversal

Asw s =

Vsd z cotg θ fyd

= 47.0

0.9 × 0.25 × cotg 26° × 348×103 × 104 = 2.92 cm2/m

Adoptam-se cintas φ6//0.15


175


3.4. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM EM ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS

Conforme se referiu anteriormente, uma estrutura de nós fixos é aquela que possui

elementos verticais de grande rigidez com capacidade resistente para absorver grande

parte das acções horizontais e cujos nós sofrem deslocamentos horizontais

desprezáveis.

Lpilar

Lparede

No que respeita à verificação da segurança dos pilares, os deslocamentos dos nós

podem ser desprezados, o mesmo não acontecendo quando se pretende verificar a

segurança das paredes. As paredes, por se tratarem de elementos com grande

rigidez, terão uma deformada semelhante à de uma consola, e os pequenos

deslocamentos horizontais serão importantes.

3.4.1. Verificação da segurança dos elementos verticais

(i) Pilares

Os pilares de pórticos de nós fixos podem ser analisados como pilares isolados.

Possíveis configurações deformadas e diagramas de momentos flectores

correspondentes

δ Msd

M'sd

δ Msd

M'sd


176


Esforços de dimensionamento

- Nós: Nsd ; Msd

- Secção crítica: Nsd ; M’sd = Mcálculosd + Nsd (e2 + ea)

onde

Mcálculosd = máx

0.6 Msd,a + 0.4 Msd,b

0.4 Msd,acom |Msd,a| ≥ |Msd,b|

Nota: A secção crítica (onde os efeitos de 2ª ordem são mais desfavoráveis)

ocorre entre nós.

(ii) Paredes

Lparede

Comprimento de encurvadura: L0 = 2 Lparede

Nota: Na determinação dos esforços de

dimensionamento, devem ser consideradas as

excentricidades adicionais.


177


4. Flexão Desviada

4.1. ROTURA CONVENCIONAL

εs ≤ 10‰

εc(-) ≤ 3.5‰

Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ εc(-) ≤ 3.5‰

Problema: o momento não está a actuar segundo as direcções principais de inércia.

4.2. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES (i) Consideração de um determinado diagrama de rotura, para uma secção de betão

armado

σc

Fs1Fs2

Fc

My

Mz

(-)

ε

(+)

Através das equações de equilíbrio, para um dado diagrama de rotura obtém-se um

par de esforço MRd,y – MRd,z

(ii) Varrendo a secção com os possíveis diagramas de rotura obtém-se um diagrama

de interacção MRd,y – MRd,z

(iii) Repetindo o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de

dimensionamento

Flexão composta desviada: os processos anteriores são repetidos para vários níveis

de esforço axial.


178


Grandezas adimensionais:

− Esforço normal reduzido: ν = NRd

b h fcd

− Momentos flectores reduzidos: µy = MRd,y

b h2 fcd ; µz = MRd,z

b2 h fcd

− Percentagem mecânica de armadura ωTOT = AsTOT b h

fyd fcd

Nota:

Simplificadamente, é possível dividir o problema nas duas direcções e resolver como

se se tratasse de um problema de flexão composta em cada direcção. Neste caso, é

necessário verificar no final a seguinte condição:

Msd,y

MRd,y

α

+

Msd,z

MRd,z

α

≤ 1.0

onde α é um coeficiente que depende da forma da secção transversal e que toma os

seguintes valores:

• Secções transversais circulares ou elípticas: α = 2

• Secções transversais rectangulares

Nsd / NRd ≤ 0.1 0.7 1.0

α 1.0 1.5 2.0


179


EXERCÍCIO 14

Dimensione e pormenorize a seguinte secção de um pilar para os esforços de cálculo

indicados.

z

0.50

0.30

y

Nsd = -1200 kN

Msd,y = 150 kNm

Msd,z = 100 kNm

Materiais: A400

C20/25


Flexão desviada com esforço axial (Tabelas) Msdz

Msdy

Astot/4

ν = Nsd

b h fcd = -1200

0.30 × 0.50 × 13.3×103 = -0.60

µy = Msdy

b h2 fcd = 150

0.30 × 0.502 × 13.3×103 = 0.15

µz = Msdz

b2 h fcd = 150

0.302 × 0.50 × 13.3×103 = 0.167

Como µz > µy ⇒ µ1 = µz = 0.167 e µ2 = µy = 0.15

ν = -0.6

µ1 = 0.167 µ2 = 0.15

⇒ ωTOT = 0.60

⇒ AsTOT = ωTOT b h fcd fyd = 0.60 × 0.30 × 0.50 ×

13.3 348 × 104 = 34.4cm2


180



181

EXERCÍCIO 19

Considere um pilar com secção transversal circular com ∅ = 0.50 m. Dimensione as

armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msdz = 150 kNm;

Msdy = 200 kNm

Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR


Msd = 1502 + 2002 = 250 kNm ⇒ Flexão composta

d1 = 0.05 ⇒ d1 h = 0.10

ν =

Nsd

π r2 fcd =

-1400 π × 0.252 × 16.7×103 = 0.427

µ = MSd

2π r3 fcd =

250 2 × π × 0.253 × 16.7×103 = 0.152

⇒ ωTOT = 0.30

AsTOT = ωTOT × πr2 × fcd fyd = 0.30 × π × 0.252 ×

16.7 348 × 104 = 28.3cm2

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