Capítulo 1 - Introdução ao Método dos Estados 1 - Projeto Estados...

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    07-Feb-2020
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  • Método dos Estados Limites

    No passado Normas de Dimensionamento Estrutural → tensões admissíveis.

    R F S

    Sn i i. .

    >∑ Normas de Dimensionamento Estrutural Atuais → Estados limites

    φ Rn > ∑ γqi Sni

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    Exemplo 1

    Bloco → Área = 100mm2

    Colapso com 10000N

    σf = P / A = 10000/100 = 100N/mm2 →

    = 100MPa

    Tensões admissíveis G = 2 → σw = σf /2 = 50MPa • CASO A

    A carga estimada é de 10000N; A Companhia Siderúrgica especifica σf = 300MPa; O calculista adota σw = 300/2 = 150MPa; O calculista especifica: A = 10000/150 = 67mm2; Porém, o bloco possui apenas σf = 100MPa.

    Isto implica na ruína com P = 6700N → responsabilidade da Siderúrgica.

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    • CASO B

    O bloco será projetado para resistir a uma carga de 10000N;

    O fabricante especifica σf = 100MPa;

    O calculista especifica: A = 10000/( 100/2 ) = 200mm2;

    Porém, o bloco só resiste a 67MPa = σr;

    Conseqüentemente, Pu = 200 67 = 13400KN;

    Não há falha pois 13400 > 10000KN.

    Todos satisfeitos mas ignorantes da segurança do bloco.

    • CASO C

    O bloco para resistir a uma carga de 10000N;

    O fabricante atesta σf = 100MPa;

    O calculista especifica: A = 10000/( 100/2 ) = 200mm2 → G =2;

    Porém, o bloco só resiste a 67MPa = σr;

    Consequentemente, Pu = 200 67 = 13400KN;

    Contudo, um aumento de sobrecarga ocorre elevando a mesma para 15000 KN.

    Isto leva à ruína → todos insatisfeitos

    Porém σr / σw = 67/100 = 1 / 1,5 > 1/2 (50/100) → adotado

    e Pmáx / Pw = 15000 / 10000 = 1,5 < 2

    Fator de Segurança único → falsa expectativa de segurança de 100%.

    Principais motivações → método onde expectativa de segurança →

    mais uniforme.

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    Estados limites de utilização → deixa de ser adequada para o que se destina: * deformações excessivas; * vibrações; * corrosão; * fissuração; * fadiga (reparável).

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    Estados limites últimos → parte da estrutura, ou toda estrutura, atinge a ruína:

    * plastificação não contida; * ruptura de seções críticas da estrutura; * flambagem (local ou global); * flambagem lateral; * deslizamento ou tombamento; * resistência; * fadiga; * esmagamento do material; * falha nas fundações.

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    Método dos estados limites → natureza não determinística das ações e das resistências

    Figura 1 - Magnitude de S, R

    Método dos Estados Limites → definição → parâmetros/grandezas fundamentais.

    σ2 = ( )R R

    n

    i i

    n

    − = ∑

    1

    2

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    σr = σ r2 (desvio padrão) Vr = σ rR (coeficiente de variação) → admensional (%)

    Função da variável aleatória X e a função de densidade do logaritmo de X:

    X = R - S X = ln R - ln S X = ln R S

    Figura 5a - Probabilidade de ruína (X = R - S)

    Figura 5b - Probabilidade de ruína (x = lnR - lnS)

    ln X = ln R - ln S = ln R/S

    ln ln / ln lnX R S R S= = − ln X R S X= =ln / . lnβ σ

    β, índice de segurança, representa o número de desvios padrões que ln X > 0

    Quanto maior for β, menor será a área hachurada e menor será a probabilidade de ruína.

    Todavia, a adoção de um parâmetro β muito grande leva a estruturas anti-econômicas.

    ln X < 0 ln (R/S) < 0 (R/S) < 1 R < S

    X < 0 R - S < 0 R < S → ruína

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    Distribuição da resistência → amostragem da tensão de escoamento

    Figura 2 - Resultados de laboratório Resistência de uma peça de aço é também afetada pela:

    -variação na geometria -incertezas das hipóteses simplificadoras adotadas no método de cálculo.

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    Resistência da estrutura→ reduzida por um fator adequado seja sempre maior que o

    efeito das ações → majoradas por fatores convenientes

    Rd > Sd

    φ Rn > ∑ γqi Sni

    φ e γ, → probabilidade de ruína adequado → período de recorrência adotado:

     

     

    n - anos → Pa = 1T

    Pn = 1 - T

    T

    n− 

     

    1

    (onde T corresponde ao tempo de recorrência)

    Probabilidades aceitáveis de ruptura Meus projetos ou minhas construções Pr = 0

    Outros projetos Pr = 1 x 10-3 a 1 x 10-5 Riscos aceitáveis para a sociedade

    Riscos aceitáveis por pessoas ousadas 10-3 / ano Riscos aceitáveis por pessoaa cuidadosas 10-4 / ano

    Riscos inevitáveis 5 x 10-5 / ano Riscos aceitáveis nas estruturas (Rüsch, Rackwitz)

    Colapso sem aviso com sérias consequências (Ex. ruína de colunas, ruptura do solo, fratura ,etc.

    Pr = 10-5 a 10-7 / ano

    Ruptura com aviso (mecanismos plásticos ou concreto armado, recalque nas fundações, etc.)

    Pr = 10-4 / ano

    Comportamento insatisf. sem perigo de colapso Pr = 10-2 a 10-3 / ano Probabilidades de eventos aceitáveis na sociedade

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    Figura 3 - Taxa anual de mortes de pessoas por ano

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    1.4 - Ações Ações → classificadas em três classes de acordo com a sua natureza: Permanentes (G): incluem peso próprio da estrutura e peso de todos os elementos

    componentes da construção.

    Variáveis (Q): sobrecargas decorrentes do uso e ocupação como equipamentos, divisórias, móveis, sobrecargas em coberturas, pressão hidrostática, empuxo de terra, vento e variação de temperatura.

    Excepcionais (E):

    ações de grande intensidade e baixa probabilidade de ocorrência como explosões, choques de veículos e efeitos sísmicos.

    Variação: carga permanente (G), variável tipo sobrecarga (Q) e variável tipo vento (W).

    Figura 4 - Ações

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    Variações das ações e resistências podem ser expressas por:

    Vs2 = Ve2 + Vt2 * Ve é o fator de incerteza no cálculo das cargas;

    * Vt é a variância da carga nominal total.

    Vr2 = Vm2 + Vg2 + Vp2 * Vm é a incerteza dos materiais (p. ex. resistência real de uma solda);

    * Vg relaciona a geometria (p. ex. largura real da perna de uma solda → ver figura 6);

    * Vp é o fator profissional (p. ex. precisão na determinação dos efeitos das forças na

    solda relativo ao uso de uma determinada metodologia de cálculo).

    Figura 6 - Exemplo de uma solda

    Para relacionar o parâmetro β com γ, e φ, tem-se que:

    (σln X)2 = Vr2 + Vs2 ln ( )R S V Vr s/ = +β 2 2 1

    2

    ( )R S e V Vr s/ = +β 2 2

    ( )R S e V Vr s= +. β 2 2

    ( )φ γ β

    = ∑ − + R

    R S

    S ei i

    V VR S 2 2

    * O parâmetro φ depende doparâmetro γ e vice-versa;

    * Quando o parâmetro φ decersce, o parâmetro γ também decresce ;

    * O parâmetro φ é proporcional à razão R R/ ;

    * Quando o parâmetro φ decresce, a variância das resistências cresce ;

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    * O parâmetro φ é influenciado pela razão S S/ e pela variância das ações, Vs ;

    Determinar um valor adequado para β e através dele quantificar os coeficientes

    de ponderação das ações e resistências γ e φ,

    Figura 7 - Relação de β com as probabilidades de ocorrência

    * Tabela 2 - Valores de β e Pf pela Norma Canadense (CAN S16-89): Concreto Armado

    Flexão β = 4,2 Pf = 1,3 x 10-5 Compressão β = 5,22 Pf = 2 x 10-7

    Cisalhamento β = 3,64 Pf = 1,3 x 10-4 Aço Estrutural

    Escoamento β = 3,86 Pf = 5,8 x 10-5 Compressão β = 4,69 Pf = 1,4 x 10-6

    Figura 8 - Comparação dos valores de β

    β P (X ≤ A) 1,0 0,1587 1,28 0,1 1,64 0,05 2,32 0,01 3,0 1,35 x 10-3 3,5 1,1 x 10-4 4,0 3,2 x 10-5 4,5 -

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    Exemplo 2 - Dimensionamento de um chumbador de uma caixa d’água.

    As cargas atuantes são:

    * P = 800KN (peso próprio);

    * W = 400KN (vento).

    A tração no chumbador pode ser avaliada através de:

    T = ( )

    4

    80025,4400 − = 50KN

    Usando-se G = 2 prevê-se o colapso em 100KN espera-se majorar as cargas em 100%.

    Todavia, se P’= 0,9P e W’= 1,1W pode-se recalcular o valor da tração no chumbador:

    T’= ( )

    4

    80029,05,44001,1 − = 135KN o que leva à ruína do chumbador.

    Com o uso de uma combinação de carga que minore a carga permanente