Método dos Estados Limites
No passado Normas de Dimensionamento Estrutural → tensões admissíveis.
RF S
Sni
i. .>∑
Normas de Dimensionamento Estrutural Atuais → Estados limites
φ Rn > ∑ γqi Sni
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Exemplo 1
Bloco → Área = 100mm2
Colapso com 10000N
σf = P / A = 10000/100 = 100N/mm2 →
= 100MPa
Tensões admissíveis G = 2 → σw = σf /2 = 50MPa • CASO A
A carga estimada é de 10000N; A Companhia Siderúrgica especifica σf = 300MPa; O calculista adota σw = 300/2 = 150MPa; O calculista especifica: A = 10000/150 = 67mm2; Porém, o bloco possui apenas σf = 100MPa.
Isto implica na ruína com P = 6700N → responsabilidade da Siderúrgica.
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• CASO B
O bloco será projetado para resistir a uma carga de 10000N;
O fabricante especifica σf = 100MPa;
O calculista especifica: A = 10000/( 100/2 ) = 200mm2;
Porém, o bloco só resiste a 67MPa = σr;
Conseqüentemente, Pu = 200 67 = 13400KN;
Não há falha pois 13400 > 10000KN.
Todos satisfeitos mas ignorantes da segurança do bloco.
• CASO C
O bloco para resistir a uma carga de 10000N;
O fabricante atesta σf = 100MPa;
O calculista especifica: A = 10000/( 100/2 ) = 200mm2 → G =2;
Porém, o bloco só resiste a 67MPa = σr;
Consequentemente, Pu = 200 67 = 13400KN;
Contudo, um aumento de sobrecarga ocorre elevando a mesma para 15000 KN.
Isto leva à ruína → todos insatisfeitos
Porém σr / σw = 67/100 = 1 / 1,5 > 1/2 (50/100) → adotado
e Pmáx / Pw = 15000 / 10000 = 1,5 < 2
Fator de Segurança único → falsa expectativa de segurança de 100%.
Principais motivações → método onde expectativa de segurança →
mais uniforme.
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Estados limites de utilização → deixa de ser adequada para o que se destina: * deformações excessivas; * vibrações; * corrosão; * fissuração; * fadiga (reparável).
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Estados limites últimos → parte da estrutura, ou toda estrutura, atinge a ruína:
* plastificação não contida; * ruptura de seções críticas da estrutura; * flambagem (local ou global); * flambagem lateral; * deslizamento ou tombamento; * resistência; * fadiga; * esmagamento do material; * falha nas fundações.
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Método dos estados limites → natureza não determinística das ações e das resistências
Figura 1 - Magnitude de S, R
Método dos Estados Limites → definição → parâmetros/grandezas fundamentais.
σ2 =
( )R R
n
ii
n
−=∑
1
2
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σr = σ r2 (desvio padrão)
Vr = σ r
R (coeficiente de variação) → admensional (%)
Função da variável aleatória X e a função de densidade do logaritmo de X:
X = R - S X = ln R - ln S X = ln RS
Figura 5a - Probabilidade de ruína (X = R - S)
Figura 5b - Probabilidade de ruína (x = lnR - lnS)
ln X = ln R - ln S = ln R/S
ln ln / ln lnX R S R S= = − ln X R S X= =ln / . lnβ σ
β, índice de segurança, representa o número de desvios padrões que ln X > 0
Quanto maior for β, menor será a área hachurada e menor será a probabilidade de ruína.
Todavia, a adoção de um parâmetro β muito grande leva a estruturas anti-econômicas.
ln X < 0 ln (R/S) < 0 (R/S) < 1 R < S
X < 0 R - S < 0 R < S → ruína
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Distribuição da resistência → amostragem da tensão de escoamento
Figura 2 - Resultados de laboratório Resistência de uma peça de aço é também afetada pela:
-variação na geometria -incertezas das hipóteses simplificadoras adotadas no método de cálculo.
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Resistência da estrutura→ reduzida por um fator adequado seja sempre maior que o
efeito das ações → majoradas por fatores convenientes
Rd > Sd
φ Rn > ∑ γqi Sni
φ e γ, → probabilidade de ruína adequado → período de recorrência adotado:
n - anos → Pa = 1
T
Pn = 1 - T
T
n−
1
(onde T corresponde ao tempo de recorrência)
Probabilidades aceitáveis de ruptura Meus projetos ou minhas construções Pr = 0
Outros projetos Pr = 1 x 10-3 a 1 x 10-5 Riscos aceitáveis para a sociedade
Riscos aceitáveis por pessoas ousadas 10-3 / ano Riscos aceitáveis por pessoaa cuidadosas 10-4 / ano
Riscos inevitáveis 5 x 10-5 / ano Riscos aceitáveis nas estruturas (Rüsch, Rackwitz)
Colapso sem aviso com sérias consequências (Ex. ruína de colunas, ruptura do solo, fratura ,etc.
Pr = 10-5 a 10-7 / ano
Ruptura com aviso (mecanismos plásticos ou concreto armado, recalque nas fundações, etc.)
Pr = 10-4 / ano
Comportamento insatisf. sem perigo de colapso Pr = 10-2 a 10-3 / ano Probabilidades de eventos aceitáveis na sociedade
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Figura 3 - Taxa anual de mortes de pessoas por ano
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1.4 - Ações Ações → classificadas em três classes de acordo com a sua natureza: Permanentes (G): incluem peso próprio da estrutura e peso de todos os elementos
componentes da construção.
Variáveis (Q): sobrecargas decorrentes do uso e ocupação como equipamentos, divisórias, móveis, sobrecargas em coberturas, pressão hidrostática, empuxo de terra, vento e variação de temperatura.
Excepcionais (E):
ações de grande intensidade e baixa probabilidade de ocorrência como explosões, choques de veículos e efeitos sísmicos.
Variação: carga permanente (G), variável tipo sobrecarga (Q) e variável tipo vento (W).
Figura 4 - Ações
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Variações das ações e resistências podem ser expressas por:
Vs2 = Ve
2 + Vt2
* Ve é o fator de incerteza no cálculo das cargas;
* Vt é a variância da carga nominal total.
Vr2 = Vm
2 + Vg2 + Vp
2
* Vm é a incerteza dos materiais (p. ex. resistência real de uma solda);
* Vg relaciona a geometria (p. ex. largura real da perna de uma solda → ver figura 6);
* Vp é o fator profissional (p. ex. precisão na determinação dos efeitos das forças na
solda relativo ao uso de uma determinada metodologia de cálculo).
Figura 6 - Exemplo de uma solda
Para relacionar o parâmetro β com γ, e φ, tem-se que:
(σln X)2 = Vr2 + Vs
2 ln ( )R S V Vr s/ = +β 2 21
2
( )R S e V Vr s/ =+β 2 2
( )R S e V Vr s=+. β 2 2
( )φγ β
=∑ − +
R
RS
Sei i V VR S
2 2
* O parâmetro φ depende doparâmetro γ e vice-versa;
* Quando o parâmetro φ decersce, o parâmetro γ também decresce ;
* O parâmetro φ é proporcional à razão R R/ ;
* Quando o parâmetro φ decresce, a variância das resistências cresce ;
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* O parâmetro φ é influenciado pela razão S S/ e pela variância das ações, Vs ;
Determinar um valor adequado para β e através dele quantificar os coeficientes
de ponderação das ações e resistências γ e φ,
Figura 7 - Relação de β com as probabilidades de ocorrência
* Tabela 2 - Valores de β e Pf pela Norma Canadense (CAN S16-89): Concreto Armado
Flexão β = 4,2 Pf = 1,3 x 10-5 Compressão β = 5,22 Pf = 2 x 10-7
Cisalhamento β = 3,64 Pf = 1,3 x 10-4 Aço Estrutural
Escoamento β = 3,86 Pf = 5,8 x 10-5 Compressão β = 4,69 Pf = 1,4 x 10-6
Figura 8 - Comparação dos valores de β
β P (X ≤ A) 1,0 0,1587 1,28 0,1 1,64 0,05 2,32 0,01 3,0 1,35 x 10-3 3,5 1,1 x 10-4 4,0 3,2 x 10-5 4,5 -
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Exemplo 2 - Dimensionamento de um chumbador de uma caixa d’água.
As cargas atuantes são:
* P = 800KN (peso próprio);
* W = 400KN (vento).
A tração no chumbador pode ser avaliada através de:
T = ( )
4
80025,4400 − = 50KN
Usando-se G = 2 prevê-se o colapso em 100KN espera-se majorar as cargas em 100%.
Todavia, se P’= 0,9P e W’= 1,1W pode-se recalcular o valor da tração no chumbador:
T’= ( )
4
80029,05,44001,1 − = 135KN o que leva à ruína do chumbador.
Com o uso de uma combinação de carga que minore a carga permanente quando esta
estiver em sentido reverso ao das outras cargas atuantes na estrutura, ou seja:
∑ γi Si → γ = 0,85 para o caso de solicitação reversa.
32 Exemplo 3
Seja a viga coluna ao lado: Esta viga coluna está submetida a: Força normal: P e
Momento fletor: M ≅
ql
PPe
2
8
1− (Pe = carga de Euler)
A tensão normal máxima pode ser avaliada por:σ = NA
MS
+
Quando se dimensiona a seção para que σ = Fy
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tensão de escoamento).
Relação PPe
, um acréscimo bem inferior a 80 % nas ações, pode esgotar esta segurança.
Admita-se, por exemplo, que PPe
= 0,5 e que as ações sofram um acréscimo de 40 %.
N = P N’= 1,4 P
M = ql
ql2
28
1 0 52
8−=
, M’=
1 48
1 1 4 0 54 7
8
2
2,
, ,,
ql
xql
−=
se o momento fletor influir muito na tensão normal, ultrapassa limite de escoamento.
Para uma variação de 40%, o momento fletor foi amplificado em 235%.
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PROPRIEDADES DAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
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