IntroduccinLas Ecuaciones Diferenciales Ordinarias EDO son aquellas ecuaciones que responden a la siguiente forma

(t,x(t),x(t),x(t),,x(n)(t))=0La anterior es una ecuacin diferencial de orden n. Cuando en la expresin intervienen sobre la variable independiente funciones no lineales, como el seno o la funcin exponencial, se dice que es una ecuacin diferencial ordinaria no lineal. De lo contrario se la llama lineal. El objetivo cuando se nos presenta una ecuacin diferencial de este tipo es obtener la solucin como una expresin de x(t). Los mtodos que se presentan aqu son utilizados para resolver los llamados Initial Value Problem (IVP), donde adems de la ecuacin diferencial tenemos valores iniciales desde los cuales podemos obtener una aproximacin de la solucin de la EDO. Muchas veces es conveniente expresar la ecuacin anterior de la siguiente manera (ya con los valores iniciales)

Ejemplos Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden lineal

Ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden no lineal

EDO de orden uno para IVP

Reduccin a un sistema ecuaciones diferenciales primer orden

de de

Toda EDO de orden n puede reducirse a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Para ello se debe asignar una nueva variable a cada una de las derivadas presentes en la expresin.

derivando obtenemos el siguiente sistema

Los mtodos explicados a continuacin se basan en EDO de orden 1, para extenderlos es til reescribir el problema de IVP matricialmente.

siendo

w

el vector columna de la derivada de todos los

wi , w0

el

vector columna de las condiciones iniciales y f(t,w) el vector columna de lo que aparece a la derecha del sistema

Mtodo de Taylor

Este mtodo utiliza la expansin de Taylor alrededor de un punto y puede alcanzar cualquier orden de error que se desee. La expansin de Taylor en un punto es:

Taylor de orden 2Truncando la expansin de Taylor en el segundo orden se obtiene:

con

f(t,x(t)), pero como f es una funcin de varias variables, cuando aparece x(t) hay que remplazarlo por la derivada total f(t,x(t))una ODE de orden 1, ahora hay que remplazar con

[t,t+h].

De la misma manera que hicimos con Euler para

x(t)

Discretizando podemos obtener la sucesin:

Mtodo de EulerEn matemtica y computacin, el mtodo de Euler, llamado as en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integracin numrica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado. El mtodo de Euler es el ms simple de los Mtodos numricos resolver un problema del siguiente tipo:

Interpretacin

Imagnese tratando de calcular una curva de desconocidos cuando se tiene su punto de partida y la ecuacin diferencial que satisface la curva. Usted puede pensar en la ecuacin diferencial como una frmula que permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conoce. La idea es que si se conoce el punto de partida de la curva y la pendiente de la curva en ese punto, entonces usted sabe que la recta tangente. El mtodo de Euler que se mueve en un pequeo paso en esa lnea al segundo punto. A partir de ah se vuelve a calcular una nueva pista sobre la base de que el punto actual y se forma una lnea tangente nuevo. Descendiendo por la recta tangente nueva que crea el punto siguiente y as sucesivamente. Despus de varios pasos del mtodo de Euler se ha creado una curva poligonal.

ProcedimientoConsiste en multiplicar los intervalos que va de subintervalos de ancho ; osea: a en

de manera que se obtiene un conjunto discreto de del intervalo de inters estos puntos se cumple que:

puntos:

. Para cualquiera de

.

La condicin inicial , representa el punto por donde pasa la curva solucin de la ecuacin de el planteamiento inicial, la cual se denotar como .

Ya teniendo el punto se puede evaluar la primera derivada de en ese punto; por lo tanto:

Algoritmo

Grafica

Grafica A. Con esta informacin se traza una recta, aquella que pasa por pendiente . Esta recta aproxima y de .

en una vecinidad de

Tmese la recta como reemplazo de recta) el valor de y correspondiente a segun la Grfica A:

y localcese en ella (la . Entonces, podemos deducir

Se resuelve para

:

Es evidente que la ordenada

calculada de esta manera no es igual a sirve

, pues existe un pequeo error. Sin embargo, el valor para que se aproxime procedimiento anterior a aproximaciones siguiente: en el punto fin de generar la

y repetir el sucesin de

Ejemplo

Calculamos el valor de

tomando en cuenta que el

valor de

divisiones es de ; por lo tanto quedara as:

Plantear cuales son valores inciales de .

y .

Teniendo dichos valores podemos comenzar con el mtodo:

Por lo que el resultado obtenido es: ; posteriormente procederemos a encontrar el valor relativo entre el valor exacto de la ecuacin que es Finalmente se calcula el Error relativo:

Anlisis de error para el Mtodo de Euler.

Grafica B. La solucin de las Ecuaciones diferenciales por medio de mtodos nmericos involucra varios tipos de errores:

Truncamiento: Este se debe a que como la aproximacin de una curva mediante una lnea recta no es exacta; se comete un error propio del mtodo. Local: Aplicacin del mtodo en cuestin sobre un paso sencillo. Propagado: Aproximaciones producidas durante los pasos previos. Redondeo: Resultado del nmero lmite de cifras significativas que puede retener una computadora.

La suma de los dos es el error de truncamiento global.

Como se muestra en la Grafica B, bsicamente el mtodo se encarga de aproximar la curva en recta. por medio de una serie de segmentos

Debido a que la aproximacin de una curva por medio de una lnea recta no es exacta, se comete un error derivado del mtodo. A este error se le conoce como error de truncamiento. Este error se puede disminuir reduciendo el valor de , pero se obtendr un mayor nmero de clculos y, por consiguiente, un error de redondeo mucho ms alto.

Mtodo de Runge-KuttaEl mtodo de Runge-Kutta es un mtodo genrico de resolucin numrica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de mtodos fue inicialmente desarrollado alrededor del ao 1900 por los matemticos C. Runge y M. W. Kutta.

ConceptoLos mtodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de mtodos iterativos (implcitos y explcitos) para la aproximacin de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial. Sea

una ecuacin diferencial ordinaria, con

donde

es un conjunto abierto, junto con la condicin de que el valor inicial de sea

Entonces el mtodo RK (de orden s) tiene la siguiente expresin, en su forma ms general:

,

donde h es el paso por iteracin, o lo que es lo mismo, el incremento tn entre los sucesivos puntos tn y tn + 1. Los coeficientes ki son trminos de aproximacin intermedios, evaluados en de manera local

con aij,bi,ci coeficientes propios del esquema numrico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explcitos o implcitos dependiendo de las constantes aij del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, aij = 0 para j = i,...,s, los esquemas son explcitos.

EjemploEsquema Runge-Kutta de dos etapas, una en t = tn y otra en t = tn + tn. (t,y(t)) en la primera etapa es:

y para estimar (t,y) en t = tn + tn usamos un esquema Euler

Con

estos

valores

de

introducidos

en

la

ecuacin

nos queda la expresin:

Los coeficientes propios de este esquema son: b1 = b2 = 1 / 2;a21 = 1;c2 = 1.Variantes

Existen variantes del mtodo de Runge-Kutta clsico, tambin llamado Runge-Kutta explcito, tales como la versin implcita del procedimiento o las parejas de mtodos Runge-Kutta (o mtodos Runge-Kutta-Fehlberg). Este ltimo consiste en ir aproximando la solucin de la ecuacin mediante dos algoritmos Runge-Kutta de rdenes diferentes, para as mantener el error acotado y hacer una buena eleccin de paso.

Mtodos de Runge-KuttaLos Runge-Kutta no es slo un mtodo sino una importante familia de mtodos iterativos tanto implcitos como explcitos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.Os), estas tcnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemticos alemanes Carl David Tolm Runge y Martin Wilhelm Kutta.

Mtodos de Runge-Kutta de cuarto ordenUn miembro de la familia de los mtodos Runge-Kutta es usado tan comnmente que a menudo es referenciado como RK4 o como el mtodo Runge-Kutta. Definamos un problema de valor inicial como:

Entonces el mtodo RK4 para este problema est dado por la siguiente ecuacin:

Donde

As, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) mas el producto del tamao del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes: k1 es la pendiente al principio del intervalo; k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el punto Euler. usando el mtodo de

k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el valor de y k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3 Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Esta forma del mtodo de Runge-Kutta, es un mtodo de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de O(h5), mientras que el error total acumulado tiene el orden O(h4).

ALGORITMO

EJEMPLO DE APLICACIN DE LOS TRES METODOS METODO DE EULER

Utilizando el mtodo de Euler), podemos obtener la siguiente sucesin Para h=0.05 se genera la siguiente tabla de valores:

i1 2 3 4

x1i6

x2i0 -0.013 -0.024 -0.036 -0.099

0.524 0.523 0.522 10 0.499 aproximacin de la funcin .

Entonces, observando los valores que da la columna de x1i estamos obteniendo una

METODO DE TAYLOR

Partiendo del ejemplo de euler tenemos que calcular ft y fx

Reemplazando en la ecuacin Taylor obtenemos:

Para un h=0.05 se genera la siguiente tabla de valores:

i1 2 3 4

x 1i x 2i6

0.523 0.522 0.519 10 0.498METODO DE RUTE KUTTA

0 -0.012 -0.023 -0.044 -0.095

Partiendo del ejemplo de euler tenemos que ver como adaptar el sistema de ecuaciones al algoritmo La variable k1 se convierte en el vector

Lo que produce al algoritmo en octavex1 = pi / 6; x2 = 0; h = 0.05; x = 0; for i = 1:10 k11 = h * k12 = h * k21 = h * k22 = h * x1 = x1 +

x2; (-0.5 (x2 + (-0.5 0.5 *

*sin(x1) - x2 ); k12); * sin(x1 + k11) - (x2 + k12) ); (k11 + k21);

end

x2 = x2 + 0.5 * (k12 + k22); printf("Iteracion %d, x1 = %f, x2 = %f\n",i, x1, x2);

Para h=0.05 se genera la siguiente tabla de valores:

i1 2 3 4

x1i x2i6

0.523 0.522 0.521 10 0.497

0 -0.012 -0.024 -0.035 -0.097

La solucin de una ecuacin diferencial es una ecuacin que no contiene derivadas o diferenciales y que adems debe satisfacer a la ecuacin. La solucin de una ecuacin diferencial puede ser general o particular. Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las aplicaciones, ya que muchas leyes y relaciones fsicas pueden idealizarse matemticamente en la forma de estas ecuaciones. En particular, el estudio de problemas de equilibrio de sistemas continuos se encuentra dentro de este contexto. stas son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniera para el modelado de fenmenos fsicos. Su uso es comn tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (fsica, qumica, biologa) o matemticas, como en economa. Los mtodos de Euler mejorado son de ordenes 1 y 2, respectivamente, y solo requieren evaluar a la funcin f(x; y). En general, los mtodos de Taylor consiguen rdenes altos para el error con la correspondiente dificultad que supone tener que derivar repetidamente la funcin. El mtodo de Taylor es uno de los algoritmos ms antiguos para aproximar la solucin de un problema de valor inicialen una ecuacin diferencial ordinaria. BIBLIOGRAFIA

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor http://tarwi.lamolina.edu.pe/~duenas/claseSN_2011I_taylor.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Frmula_de_Euler http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Ecuaci.C3.B3n _diferencial_de_Eul er_o_de_Cauchy http://www.uaem.mx/posgrado/mcruz/cursos/mn/euler.pdf http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/resource/view.php?inpopup=true&id=24537 http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Runge-Kutta http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler http://mna.wikidot.com/ode#toc12 http://www.fglongatt.org.ve/Archivos/Archivos/SP_II/ComparaMeto.pdf