Analisis de Fourier

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Lecci´ on 4 AN ´ ALISIS DE FOURIER La serie de Fourier de una funci´ on El planteamiento central de esta lecci´ on es el siguiente. Dada una funci´ on peri´ odica f (t), por ejemplo de per´ ıodo 2π, queremos escribirla como una combinaci´ on en la que intervengan ´ unicamente senos y cosenos, que son las funciones peri´ odicas de per´ ıodo 2π as simples y conocidas: f (t) ¿=? n=0 [a n cos(nt)+ b n sen(nt)] . Una serie de este tipo recibe el nombre de serie trigonom´ etrica o serie de Fourier. El problema de la representaci´ on de una funci´ on mediante una serie trigonom´ etrica surge, como veremos en la siguiente lecci´ on, de la resoluci´ on de ecuaciones en derivadas parciales. En torno a 1750, J. d’Alembert, D. Bernoulli (1700–1782) y L. Euler estudiaron la ecuaci´ on de ondas que gobierna el problema de la cuerda vibrante, un problema planteado y estudiado por B. Taylor (1685–1731) que hab´ ıa obtenido soluciones en forma de funciones sinusoidales. D’Alembert dio una soluci´ on muy general y Euler prob´ o que si en el instante inicial la forma de la cuerda es una combinaci´ on finita de senos, entonces ocurrir´ a lo mismo en cualquier instante posterior, dando mucho m´ as tarde, en 1777, las f´ ormulas que permiten calcular los coeficientes de la combinaci´ on. En 1753, D. Bernoulli utiliz´ o esta representaci´ on para resolver el problema de la cuerda vibrante para una posici´ on inicial cualquiera, pero su soluci´ on suscit´ o mucha controversia. Fue J.B. Fourier (1768–1830) quien, al analizar en una famosa memoria presentada en 1807 la ecuaci´ on que gobierna la transmisi´ on del calor en una barra, retom´ o las ideas de Euler y Bernoulli y obtuvo resultados muy ajustados a los experimentos, colocando el estudio de las series trigonom´ etricas —que hoy llevan su nombre— en el centro del escenario matem´ atico del S. XIX. La teor´ ıa de las series de Fourier tuvo a lo largo del siglo pasado profundas implicaciones para el an´ alisis matem´ atico y es hoy en d´ ıa una herramienta fundamental de la ingenier´ ıa de telecomunicaci´ on. En la teor´ ıa de la se˜ nal y la comunicaci´ on, cuando t es la variable temporal se dice que f (t) es una se˜ nal peri´ odica en tiempo continuo y cuando esta representaci´ on en serie de funciones trigonom´ etricas sea correcta, decimos que hemos descompuesto la se˜ nal en arm´ onicos o modos de vibraci´ on. En esta lecci´ on estudiaremos bajo qu´ e condiciones puede hacerse esta representaci´ on, c´ omo calcular los coeficientes, los ejemplos m´ as importantes, algunas propiedades y la forma com- pleja de las series de Fourier. Finalmente, para funciones —se˜ nales— no peri´ odicas, se intro- duce la transformada de Fourier que, aunque es muy similar y comparte muchas propiedades con la transformada de Laplace, se emplea en contextos muy diferentes. Funciones peri´ odicas. Recordemos que una funci´ on f : R R es peri´ odica de per´ ıodo 54

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Muy bueno

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Leccion 4

ANALISIS DE FOURIER

La serie de Fourier de una funcion

El planteamiento central de esta leccion es el siguiente. Dada una funcion periodica f(t),por ejemplo de perıodo 2π, queremos escribirla como una combinacion en la que intervenganunicamente senos y cosenos, que son las funciones periodicas de perıodo 2π mas simples yconocidas:

f(t) ¿=?∞∑

n=0

[an cos(nt) + bn sen(nt)] .

Una serie de este tipo recibe el nombre de serie trigonometrica o serie de Fourier.

El problema de la representacion de una funcion mediante una serie trigonometrica surge,como veremos en la siguiente leccion, de la resolucion de ecuaciones en derivadas parciales.En torno a 1750, J. d’Alembert, D. Bernoulli (1700–1782) y L. Euler estudiaron la ecuacionde ondas que gobierna el problema de la cuerda vibrante, un problema planteado y estudiadopor B. Taylor (1685–1731) que habıa obtenido soluciones en forma de funciones sinusoidales.D’Alembert dio una solucion muy general y Euler probo que si en el instante inicial la formade la cuerda es una combinacion finita de senos, entonces ocurrira lo mismo en cualquierinstante posterior, dando mucho mas tarde, en 1777, las formulas que permiten calcular loscoeficientes de la combinacion. En 1753, D. Bernoulli utilizo esta representacion para resolverel problema de la cuerda vibrante para una posicion inicial cualquiera, pero su solucionsuscito mucha controversia. Fue J.B. Fourier (1768–1830) quien, al analizar en una famosamemoria presentada en 1807 la ecuacion que gobierna la transmision del calor en una barra,retomo las ideas de Euler y Bernoulli y obtuvo resultados muy ajustados a los experimentos,colocando el estudio de las series trigonometricas —que hoy llevan su nombre— en el centrodel escenario matematico del S. XIX. La teorıa de las series de Fourier tuvo a lo largo del siglopasado profundas implicaciones para el analisis matematico y es hoy en dıa una herramientafundamental de la ingenierıa de telecomunicacion.

En la teorıa de la senal y la comunicacion, cuando t es la variable temporal se dice que f(t)es una senal periodica en tiempo continuo y cuando esta representacion en serie de funcionestrigonometricas sea correcta, decimos que hemos descompuesto la senal en armonicos o modosde vibracion.

En esta leccion estudiaremos bajo que condiciones puede hacerse esta representacion, comocalcular los coeficientes, los ejemplos mas importantes, algunas propiedades y la forma com-pleja de las series de Fourier. Finalmente, para funciones —senales— no periodicas, se intro-duce la transformada de Fourier que, aunque es muy similar y comparte muchas propiedadescon la transformada de Laplace, se emplea en contextos muy diferentes.

Funciones periodicas. Recordemos que una funcion f : R → R es periodica de perıodo

54

Ampliacion de Matematicas (Ingenierıa de Telecomunicacion) 55

T 6= 0 (o T -periodica) cuando existe T > 0 tal que

f(t + T ) = f(t) para cualquier t ∈ R.

En ese caso se tiene automaticamente que f(t + nT ) = f(t) para cualesquiera t ∈ R y n ∈ Z.Esto significa que sus valores se repiten a intervalos regulares y que su grafica puede dividirseen segmentos verticales de anchura T que son identicos. Es obvio que si T es un perıodode f(t), entonces tambien lo son −T,±2T,±3T, . . . Salvo las funciones constantes, todas lasfunciones periodicas de interes en las aplicaciones, en particular las funciones continuas noconstantes, tienen lo que se conoce como un perıodo fundamental o mınimo; o sea, un perıodoT > 0 tal que f(t) no es τ -periodica para ningun valor 0 < τ < T .

Los ejemplos tıpicos de funciones periodicas son las funciones trigonometricas sen(t) ycos(t), que son periodicas con perıodo mınimo 2π. Las funciones sen(2t) y cos(2t) tambientienen perıodo 2π pero su perıodo mınimo es π. Mas generalmente, dados ω > 0, φ y n ∈ N,

las funciones sen(nωt + φ) y cos(nωt + φ) son periodicas de perıodo mınimo T =2π

nω, porque

sen(nω(t + T ) + φ

)= sen(nωt + φ + 2π) = sen(nωt + φ)

e igual con el coseno. Para medir la velocidad de repeticion de una funcion con perıodomınimo T , se utiliza la frecuencia, a veces llamada frecuencia angular, definida como

frecuencia =2π

perıodo=

T,

que se mide en radianes por segundo. En algunos textos se reserva la palabra frecuencia parala inversa del perıodo, 1/T que se mide en ciclos por segundo o hertzios.

Polinomios trigonometricos. Un polinomio trigonometrico con perıodo T y frecuenciaω = 2π/T es una funcion de la forma

f(t) =12a0 +

n0∑n=1

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)

](el factor 1

2 del termino independiente es un convenio cuya justificacion daremos mas ade-lante). En otras palabras, un polinomio trigonometrico es una combinacion lineal de senosy cosenos que tienen un perıodo comun T . Los coeficientes an y bn de esta combinacion sellaman coeficientes de Fourier del polinomio. El ındice n0 se llama grado del polinomio.

La razon del termino “polinomio” es que las funciones sen(nωt) y cos(nωt) se puedenescribir como una combinacion de productos de potencias de sen(ωt) y cos(ωt), como en lasconocidas expresiones

sen(2ωt) = 2 sen(ωt) cos(ωt) y cos(2ωt) =(cos(ωt)

)2 −(sen(ωt)

)2.

Y, viceversa, toda combinacion de productos de potencias de sen(ωt) y cos(ωt) es un polinomiotrigonometrico.

La existencia de un perıodo comun de las funciones involucradas es importante. La funcionf(t) = cos(t) + cos(πt) no es un polinomio trigonometrico porque ni siquiera es periodica.

56 4. Analisis de Fourier

Sea f(t) =12a0 +

n0∑n=1

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)

]un polinomio trigonometrico. Tomando

α0 = 12a0 y, para cada n = 1, 2, . . . ,

αn =√

a2n + b2

n y φn = arc tg(−bn/an) ∈ (−π, π],

se tienean cos(nωt) + bn sen(nωt) = αn cos(nωt + φn),

ası que podemos escribir el polinomio anterior como una suma de funciones coseno

f(t) = α0 + α1 cos(ωt + φ1) + α2 cos(2ωt + φ2) + · · ·+ αn0 cos(n0ωt + φn0)

donde el termino α1 cos(ωt+φ1) se llama primer armonico o modo fundamental de vibracion.Los coeficientes αn de los armonicos se llaman amplitudes y los angulos φn se llaman angulosde fase. En algunas ocasiones puede ser preferible usar funciones seno; ahora bien, puestoque se verifica cos(nωt + φn) = sen(nωt + φn + π/2), las amplitudes son iguales y los angulosde fase entre la expresion con el seno y la expresion con el coseno difieren en π/2.

La expresion de un polinomio trigonometrico en terminos de las amplitudes y las fasesde sus armonicos es muy intuitiva; nos dice que la funcion resultante consiste en superponervibraciones cos(nωt + φn) cuyas frecuencias son multiplos enteros de la frecuencia del modofundamental, de mayor o menor amplitud y que van en fase (si φn = 0), adelantadas (cuandoφn > 0, lo que corresponde a deslizar la grafica hacia la izquierda) o retrasadas (cuandoφn < 0, lo que corresponde a deslizar la grafica hacia la derecha) con respecto al armonicopuro de la misma frecuencia cos(nωt).

Serie de Fourier. Sea ahora f(t) una funcion periodica de perıodo T . La pregunta que seplantea es saber si podemos obtener f como una combinacion —necesariamente infinita salvoque f sea un polinomio trigonometrico— de armonicos de frecuencia ω = 2π/T :

f(t) ¿ = ?12a0 + a1 cos(ωt) + b1 sen(ωt) + a2 cos(2ωt) + b2 sen(2ωt) + · · ·

Este problema se desdobla en dos: En primer lugar, determinar los coeficientes a0, a1, b1, . . .adecuados y, posteriormente, establecer si la serie converge a la propia funcion f(t).

Con respecto al primer problema, razonamos como sigue. Si es cierto que se da la igualdady la convergencia de la serie permite la integracion termino a termino, entonces el coeficiente

a0 de la expresion f(t) =12a0 +

∞∑n=1

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)

]es relativamente facil de

calcular: si integramos sobre un perıodo, obtenemos∫ T

0

f(t) dt =T

2a0 +

∞∑n=1

[an

∫ T

0

cos(nωt) dt + bn

∫ T

0

sen(nωt) dt

]=

T

2a0,

donde hemos usado que para cada n = 1, 2, . . . se tiene∫ T

0

cos(nωt) dt =∫ T

0

sen(nωt) dt = 0.

Ampliacion de Matematicas (Ingenierıa de Telecomunicacion) 57

Para calcular los demas coeficientes, Euler habıa observado que dados un perıodo T y lafrecuencia correspondiente ω = 2π/T , entonces para cada m,n = 1, 2, . . . se tiene

∫ T

0

cos(nωt) cos(mωt) dt =∫ T

0

sen(nωt) sen(mωt) dt =

{ 0 si m 6= n,

T

2si m = n,

y tambien ∫ T

0

cos(nωt) sen(mωt) dt = 0.

Ası que, multiplicando la expresion f(t) =12a0+

∞∑n=1

[an cos(nωt)+bn sen(nωt)

]por cos(mωt)

(para m = 1, 2, . . . ) e integrando sobre un perıodo, obtenemos

∫ T

0

f(t) cos(mωt) dt

= a0

∫ T

0

cos(mωt) dt +∞∑

n=1

[an

∫ T

0

cos(nωt) cos(mωt) dt + bn

∫ T

0

sen(nωt) cos(mωt) dt

]

=T

2am.

Analogamente, multiplicando la expresion f(t) =12a0 +

∞∑n=1

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)

]por

sen(mωt) (para m = 1, 2, . . . ) e integrando sobre un perıodo, obtenemos

∫ T

0

f(t) sen(mωt) dt

= a0

∫ T

0

sen(mωt) dt +∞∑

n=1

[an

∫ T

0

cos(nωt) sen(mωt) dt + bn

∫ T

0

sen(nωt) sen(mωt) dt

]

=T

2bm.

Puesto que cos(0ωt) = 1, vemos que el valor de a0 se puede obtener admitiendo m = 0 enla expresion de am; esto explica por que el termino constante de la serie se suele escribir 1

2a0.En resumen, los coeficientes buscados son

am =2T

∫ T

0

f(t) cos(mωt) dt para m = 0, 1, 2 . . . , y

bm =2T

∫ T

0

f(t) sen(mωt) dt para m = 1, 2, . . .

Estas expresiones nos dicen como calcular los coeficientes adecuados.

58 4. Analisis de Fourier

Definiciones. Sea f : R → R una funcion continua a trozos y periodica de perıodo T y seaω = 2π/T . Los coeficientes de Fourier de f son los numeros definidos por

an =2T

∫ T

0

f(t) cos(nωt) dt para n = 0, 1, 2 . . . , y

bn =2T

∫ T

0

f(t) sen(nωt) dt para n = 1, 2, . . .

Puesto que la funcion tiene perıodo T , las integrales anteriores pueden hacerse sobre cualquierintervalo de longitud T , por ejemplo [−T/2, T/2].

La serie12a0+

∞∑n=1

[an cos(nωt)+bn sen(nωt)

], donde los an y los bn son los correspondientes

coeficientes de Fourier de una funcion f , se llama desarrollo en serie de Fourier, o simplementeserie de Fourier, de f . Para indicar que una serie trigonometrica es la serie de Fourier deuna funcion dada se suele escribir

f(t) ∼ 12a0 +

∞∑n=1

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)

].

Como antes, tomando α0 = 12a0 y

αn =√

a2n + b2

n y φn = arc tg(−bn/an) ∈ (−π, π] para n = 1, 2, . . . ,

se tienean cos(nωt) + bn sen(nωt) = αn cos(nωt + φn),

ası que podemos escribir la serie de Fourier de f como una superposicion de armonicos enterminos de las amplitudes y las fases de la siguiente manera:

f(t) ∼ α0 +∞∑

n=1

αn cos(nωt + φn).

Si T es el perıodo mınimo de f , entonces el termino α1 cos(ωt+φ1) se llama primer armonicoo modo fundamental de vibracion. Los terminos an cos(nωt) + bn sen(nωt) = αn cos(ωt + φn)restantes se llaman componentes armonicos de f . Los coeficientes αn de los componentesarmonicos se llaman amplitudes y los angulos φn se llaman angulos de fase.

Los coeficientes de Fourier o, alternativamente, las amplitudes y las fases son parametrosmuy importantes a la hora de estudiar una senal. Aparte de la representacion habitual deuna senal como una curva situando el tiempo en el eje de abscisas, en la practica tambiense utilizan el espectro discreto de amplitudes, que es la representacion de las amplitudescuando situamos las frecuencias en el eje de abscisas, y el espectro discreto de fases, quees la representacion de las fases cuando situamos las frecuencias en el eje de abscisas. Eladjetivo discreto alude al hecho de que las frecuencias no varıan de forma continua, sinocomo multiplos de la frecuencia fundamental ω, o sea, 0, ω, 2ω, 3ω, . . . , lo que se conoce comoel dominio discreto de frecuencias de f .

Naturalmente, aun esta pendiente el problema es saber si el desarrollo en serie de Fourierde una funcion dada converge y, en ese caso, si su lımite es la funcion. Abordaremos eseproblema en la siguiente seccion; ahora vamos a estudiar algunos ejemplos que nos indiquenque podemos esperar.

Ampliacion de Matematicas (Ingenierıa de Telecomunicacion) 59

Ejemplos. (1) La serie de Fourier de un polinomio trigonometrico es el propio polinomio.

(2) La serie de Fourier de la funcion de onda rectangular de perıodo T definida en[−T/2, T/2] por

f(t) ={ −1 si −T/2 < t < 0,

1 si 0 < t < T/2,

y extendida periodicamente a R es

f(t) ∼ 4π

[sen(ωt) +

13

sen(3ωt) +15

sen(5ωt) + · · ·]

,

siendo ω = 2π/T . Vemos que no esta claro a priori que la serie vaya a ser convergente.

(3) La serie de Fourier de la funcion dada por f(t) = (π − t)(π + t) para −π ≤ t ≤ π yextendida periodicamente a R es

f(t) ∼ 2π2

3+ 4

[cos(t)− 1

4cos(2t) +

19

cos(3t)− 116

cos(4t) + · · ·]

.

En este caso sı esta claro que la serie converge absolutamente para cada valor de t.

(4) La serie de Fourier de la funcion de onda dentada definida por f(t) = t/T para0 < t < T y extendida periodicamente a R es

f(t) ∼ 1/2− 1π

[sen(ωt) +

12

sen(2ωt) +13

sen(3ωt) + · · ·]

con ω = 2π/T .

(5) La serie de Fourier de la funcion de onda dentada definida por f(t) = t/T para−T/2 < t < T/2 y extendida periodicamente a R es

f(t) ∼ 1π

[sen(ωt)− 1

2sen(2ωt) +

13

sen(3ωt)− 14

sen(4ωt) + · · ·]

con ω = 2π/T .

(6) La serie de Fourier de un tren de pulsos rectangulares dado como la extension periodicade la funcion definida en [−T/2, T/2] por

f(t) ={

1 si 0 ≤ |t| < d/2,0 si d/2 ≤ |t| < T/2.

es

f(t) ∼ ωd

2π+

[sen(ωd/2) cos(t) +

sen(2ωd/2)2

cos(2t) +sen(3ωd/2)

3cos(3t) + · · ·

].

con ω = 2π/T .

60 4. Analisis de Fourier

Series de Fourier de funciones pares e impares. Sea f : [−L,L] → R una funcion. Sedice que f es una funcion par cuando f(−t) = f(t) para cada t ∈ [−L,L]; esto significa quesu grafica es simetrica respecto del eje de ordenadas. Si f es par e integrable, entonces∫ L

−L

f(t) dt = 2∫ L

0

f(t) dt.

Las constantes, los cosenos o las funciones f(t) = tpar son ejemplos de funciones pares.

Se dice que una funcion f : [−L,L] → R es una funcion impar cuando f(−t) = −f(t) paracada t ∈ [−L,L]; esto significa que su grafica es simetrica respecto del origen de coordenadas.Si f es impar e integrable, entonces ∫ L

−L

f(t) dt = 0.

Los senos o las funciones f(t) = timpar son ejemplos de funciones impares.

La suma y el producto de funciones pares o impares sigue la misma regla que los signos(con “par” en el papel de “positivo” e “impar” en el de “negativo”). Otra propiedad util esque la derivada de una funcion par es impar y viceversa.

Teorema. Sea f(t) una funcion continua a trozos y periodica de perıodo T .

(1) Si f es una funcion par, entonces su desarrollo en serie de Fourier solo tiene funcionescoseno, lo que se conoce como una serie de Fourier en cosenos,

f(t) ∼ 12a0 +

∞∑n=1

an cos(nωt)

siendo ω = 2π/T y

an =4T

∫ T/2

0

f(t) cos(nωt) dt (n = 0, 1, 2, . . . ).

(Esto lo vemos en los Ejemplos 3 y 6 anteriores.)

(2) Si f es una funcion impar, entonces su desarrollo en serie de Fourier solo tiene funcionesseno, lo que se conoce como una serie de Fourier en senos,

f(t) ∼∞∑

n=1

bn sen(nωt)

siendo ω = 2π/T y

bn =4T

∫ T/2

0

f(t) sen(nωt) dt (n = 1, 2, . . . ).

(Esto lo vemos en los Ejemplos 2 y 5 anteriores.)

Veremos en la Leccion 5 que en ocasiones necesitaremos expresar una funcion como unaserie de Fourier de senos o como una serie de Fourier de cosenos en un intervalo dado. Estose hace definiendo la funcion de manera adecuada fuera de dicho intervalo para que sea paro impar.

Ampliacion de Matematicas (Ingenierıa de Telecomunicacion) 61

Desarrollos de medio intervalo. Sea f : [0, L] → R una funcion continua a trozos. SeaT = 2L, entonces la extension T -periodica y par de f es la funcion definida en el intervalo[−L,L] = [−T/2, T/2] por

fpar(t) ={

f(−t) si −L ≤ t ≤ 0,f(t) si 0 ≤ t ≤ L,

.

y extendida periodicamente a toda la recta real R. Obviamente, fpar es una funcion par, asıque su desarrollo en serie de Fourier es una serie de cosenos que se conoce, en este contexto,como el desarrollo de f en serie de cosenos en medio intervalo [0, L] y viene dado por

f(t) ∼ 12a0 +

∞∑n=1

an cos(nωt) en [0, L],

siendo ω = π/L y

an =2L

∫ L

0

f(t) cos(nωt) dt (n = 0, 1, 2, . . . ).

La extension T -periodica e impar de f es la funcion definida en [−L,L] = [−T/2, T/2] por

fimpar(t) ={ −f(−t) si −L ≤ t ≤ 0,

f(t) si 0 ≤ t ≤ L,.

y extendida periodicamente a toda la recta real R. Obviamente, fimpar es una funcion impar,ası que su desarrollo en serie de Fourier es una serie de senos que se conoce, en este contexto,como el desarrollo de f en serie de senos en medio intervalo [0, L] y viene dado por

f(t) ∼∞∑

n=1

bn sen(nωt) en [0, L],

siendo ω = π/L y

bn =2L

∫ L

0

f(t) sen(nωt) dt (n = 1, 2, . . . ).

Ejemplo. Sea f(t) = t para t ∈ [0, π]. Entonces, su extension par y 2π-periodica es lafuncion dada por fpar(t) = |t| para t ∈ [−π, π] y extendida periodicamente a toda la rectareal; el desarrollo de f en serie de cosenos en [0, π] es

f(t) ∼ π

2− 4

π

[cos(t) +

cos(3t)3

2

+cos(5t)

5

2

+ · · ·

].

Para la misma funcion f , su extension impar y 2π-periodica viene dada por fimpar(t) = tpara t ∈ [−π, π] y extendida periodicamente a toda la recta real; el desarrollo de f en seriede senos en [0, π] es

f(t) ∼ 2[sen(t)− sen(2t)

2+

sen(3t)3

− sen(4t)4

+ · · ·]

.

62 4. Analisis de Fourier

Convergencia de las series de Fourier

Sea f : R → R una funcion continua a trozos y periodica de perıodo T y sea

f(t) ∼ 12a0 +

∞∑n=1

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)

],

con ω = 2π/T , su serie de Fourier. Hemos comentado que la afirmacion de que se da laigualdad entre f y su serie de Fourier suscito mucha controversia a lo largo de la segunda mitaddel S. XVIII y comienzos del S. XIX. Esta controversia fue zanjada por P.G.L. Dirichlet (1805–1859): en 1829 dio la primera demostracion satisfactoria de que cierta clase de funciones, queincluye practicamente todas las de interes en las aplicaciones, son realmente iguales a lassumas de sus series de Fourier.

Condiciones de Dirichlet. Sea f : R → R una funcion periodica de perıodo T . Se diceque f satisface las condiciones de Dirichlet si en cada perıodo la funcion f : [0, T ] → R escontinua salvo un numero finito de discontinuidades de salto y solo tiene una cantidad finitade maximos y mınimos locales estrictos. Puede probarse, en particular, que si una funcionperiodica es tal que ella y su derivada estan definidas y son continuas salvo un numero finito dediscontinuidades de salto, entonces dicha funcion verifica las condiciones de Dirichlet. Comohemos dicho, practicamente todas las funciones —senales— de interes en las aplicaciones lasverifican.

Teorema de convergencia de Dirichlet. Sea f : R → R una funcion periodica de perıodoT que satisface las condiciones de Dirichlet y sea

f(t) ∼ 12a0 +

∞∑n=1

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)

],

con ω = 2π/T , su serie de Fourier.

(1) Si f es continua en un punto t, entonces la serie de Fourier converge en ese punto af(t), o sea,

12a0 +

∞∑n=1

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)

]= f(t).

(2) Si f tiene una discontinuad de salto en un punto t, entonces la serie de Fourier convergeen ese punto al punto medio del salto, o sea,

12a0 +

∞∑n=1

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)

]=

f(t−) + f(t+)2

,

donde, como es habitual, f(t−) = limτ→0,τ>0

f(t− τ) indica el lımite de f en t por la izquierda

y f(t+) = limτ→0,τ>0

f(t + τ) indica el lımite de f en t por la derecha.

El teorema nos dice, en particular, que si f satisface las condiciones de Dirichlet y redefi-nimos el valor de f en cada punto de discontinuidad como el punto medio del salto, o sea,

poniendo f(t) =f(t−) + f(t+)

2, entonces la suma de la serie de Fourier coincide con f(t) en

cada t ∈ R. Por eso, en lo que sigue, y salvo que se diga lo contrario, supondremos que estose cumple.

Ampliacion de Matematicas (Ingenierıa de Telecomunicacion) 63

Ejemplo. Hemos visto que la serie de Fourier de la funcion dada por f(t) = (π − t)(π + t)para −π ≤ t ≤ π y extendida periodicamente a R es

f(t) ∼ 2π2

3+ 4

[cos(t)− 1

4cos(2t) +

19

cos(3t)− 116

cos(4t) + · · ·]

.

Como f verifica las condiciones de Dirichlet, tenemos de hecho que

f(t) =2π2

3+ 4

[cos(t)− 1

4cos(2t) +

19

cos(3t)− 116

cos(4t) + · · ·]

para todo t ∈ [−π, π]. Si usamos el teorema de Dirichlet en t = π obtenemos

0 =2π2

3+ 4

[−1− 1

4− 1

9− 1

16− · · ·

]de donde se deduce que

1 +14

+19

+116

+ · · · = π2

6,

resultado obtenido por primera vez por Euler en 1736 (usando otro metodo).

El fenomeno de Gibbs. El teorema de Dirichlet nos dice que, en los puntos de discon-tinuidad, la grafica de la suma de la serie de Fourier pasa por el punto medio del salto. Sise dibujan las sumas parciales se ve que en las cercanıas de los puntos de discontinuidadse reduce la velocidad de convergencia de la serie y que la grafica de la suma parcial oscilaalrededor de la grafica de la funcion. Cuando se aumenta el numero de terminos, las oscila-ciones se condensan a ambos lados del punto pero su amplitud no parece decrecer. Esto seconoce como el fenomeno de Gibbs, en honor de J.W. Gibbs (1839–1903) que lo analizo en1899 probando que la amplitud de la oscilacion a cada lado de la grafica de la funcion tiende

a ser12π

∫ π

0

sen(t)t

dt− 1 ≈ 0.0895 veces el tamano del salto, o sea, aproximadamente el 9%

del tamano del salto.

Vamos a ver ahora algunas propiedades de los desarrollos en serie de Fourier.

Derivacion de las series de Fourier. Si f es una funcion continua y periodica de perıodoT y su derivada f ′ verifica las condiciones de Dirichlet, entonces, la serie de Fourier de fpuede derivarse termino a termino de manera que si

f(t) =12a0 +

∞∑n=1

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)

],

64 4. Analisis de Fourier

entonces

f ′(t) =∞∑

n=1

[nbnω cos(nωt)− nanω sen(nωt)

]para cada t ∈ R.

Integracion de las series de Fourier. Si f es una funcion periodica de perıodo T queverifica las condiciones de Dirichlet, entonces, la serie de Fourier de f puede integrarse terminoa termino de manera que si

f(t) =12a0 +

∞∑n=1

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)

]y t0, t ∈ [−T/2, T/2], entonces∫ t

t0

f(τ) dτ =12a0(t− t0) +

∞∑n=1

[bn

(cos(nωt0)− cos(nωt)

)nω

+an

(sen(nωt)− sen(nωt0)

)nω

].

Aquı hay que tener cuidado: el termino12a0t hace que el miembro de la derecha no sea una

serie de Fourier. Lo que el teorema proporciona es el desarrollo en serie de Fourier de la

funcion g definida en [−T/2, T/2] por g(t) =∫ t

t0

f(τ) dτ − 12a0t y extendida periodicamente.

Igualdad de Parseval. Sea f una funcion periodica de perıodo T que verifica las condicionesde Dirichlet y sea

f(t) =12a0 +

∞∑n=1

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)

]su serie de Fourier. Entonces

1T

∫ T

0

[f(t)

]2dt =

14a20 +

12

∞∑n=1

[a2

n + b2n

].

En particular, la serie de los cuadrados de los coeficientes de Fourier es convergente.

Cuando f(t) es una senal periodica de perıodo fundamental T , esta igualdad puede inter-

pretarse de la siguiente manera. La integral P =1T

∫ T

0

[f(t)

]2dt se llama media cuadratica o

potencia media de f . Por ejemplo, si f(t) representa el voltaje que se aplica a una resistenciade 1 ohmio, entonces la potencia media de f coincide con la potencia electrica media (energıapor unidad de tiempo medida en watios) disipada por la resistencia en cada perıodo. Ahorabien, la potencia media de cada uno de los armonicos presentes en la senal es

P0 =1T

∫ T

0

[a0/2

]2dt =

14a20,

Pn =1T

∫ T

0

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)

]2dt =

12a2

n +12b2n (n = 1, 2, . . . ),

luego la igualdad de Parseval nos dice que la potencia media de la senal es la suma de laspotencias medias de sus componentes armonicos, P =

∑∞n=0 Pn.

Ampliacion de Matematicas (Ingenierıa de Telecomunicacion) 65

Teorema de la mejor aproximacion y convergencia en media cuadratica. Sea f unafuncion periodica de perıodo T que verifica las condiciones de Dirichlet, sea

f(t) =12a0 +

∞∑n=1

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)

]su serie de Fourier y sea

fm(t) =12a0 +

m∑n=1

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)

]el polinomio trigonometrico obtenido como la suma m-esima de dicha serie. Entonces fm es,de todos los polinomios trigonometricos de grado m y perıodo T , el que mejor se aproximaa f en media cuadratica; es decir, si gm es un polinomio trigonometrico de grado m distintode fm, entonces

1T

∫ T

0

[f(t)− fm(t)

]2dt <

1T

∫ T

0

[f(t)− gm(t)

]2dt

y, ademas,

limm→∞

1T

∫ T

0

[f(t)− fm(t)

]2dt = 0.

Forma compleja de las series de Fourier

Hemos visto dos formas de expresar la serie de Fourier de una funcion periodica de perıodoT : en terminos de senos y cosenos

f(t) ∼ 12a0 +

∞∑n=1

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)

].

o en terminos de amplitudes y fases

f(t) ∼ α0 +∞∑

n=1

αn cos(nωt + φn),

donde ω = 2π/T y los coeficientes de estas expresiones estan relacionados de la siguientemanera: α0 = 1

2a0 y, para n = 1, 2, . . . ,

αn =√

a2n + b2

n y φn = arc tg(−bn/an) ∈ (−π, π]

o bienan = αn cos(φn) y bn = −αn sen(φn).

En muchas aplicaciones, en particular en teorıa de la senal y de las comunicaciones, esmas util una tercera forma de expresion, llamada forma compleja de la serie de Fourier,

66 4. Analisis de Fourier

que consiste en usar exponenciales complejas ejnωt en vez de cos(nωt) y sen(nωt). Paraconstruirla, sustituimos las expresiones

cos(nωt) =ejnωt + e−jnωt

2y sen(nωt) =

ejnωt − e−jnωt

2j

en la serie 12a0 +

∑∞n=1

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)

], obteniendo

f(t) ∼ 12a0 +

12

∞∑n=1

[(an − jbn)ejnωt + (an + jbn)e−jnωt

].

Escribiendo

c0 = c0e0 =

12a0, cn =

12(an − jbn) y c−n = cn =

12(an + jbn),

separando los terminos con ındice negativo de los que tienen ındice positivo y reordenando,la serie de Fourier queda

f(t) ∼∞∑

n=−∞cnejnωt,

que se llama forma compleja de la serie de Fourier de f . Los numeros cn se llaman coeficientesde Fourier de la forma compleja y pueden calcularse de forma directa:

cn =1T

∫ T/2

−T/2

f(t)e−jnωt dt para n = 0,±1,±2, . . .

Si lo que tenemos son los coeficientes cn de la forma compleja, entonces los coeficientes deFourier an y bn, las amplitudes y las fases vienen dados por

an = 2Re(cn), bn = −2 Im(cn), αn = 2 |cn| y φn = arg(cn) ∈ (−π, π].

Vemos, entonces, que una funcion periodica es par cuando sus coeficientes de Fourier com-plejos son reales y que es impar cuando sus coeficientes de Fourier complejos son imaginariospuros.

Cuando f(t) es una senal periodica de perıodo fundamental T , las componentes de laforma compleja se dan en las frecuencias 0,±ω,±2ω, . . . Sin embargo, no es posible rea-lizar fısicamente senales de frecuencia negativa, estas se han introducido por comodidad.Para obtener una senal real a partir de cada componente cnejnωt debemos combinarla conc−ne−jnωt para obtener, teniendo en cuenta que cn y c−n son conjugados,

cnejnωt + c−ne−jnωt = |cn| ejφnejnωt + |cn| e−jφne−jnωt = 2 |cn| cos(nωt + φn).

En el caso complejo, la representacion de los modulos |cn| cuando situamos las frecuenciaspositivas y negativas en el eje de abscisas se llama espectro complejo de amplitudes y essimetrico con respecto al eje de ordenadas. Las amplitudes αn = 2 |cn| = |cn| + |c−n| seobtienen sumando los valores correspondientes a las frecuencias nω y −nω.

Ampliacion de Matematicas (Ingenierıa de Telecomunicacion) 67

Ejemplo. Los coeficientes de Fourier complejos de un tren de pulsos rectangulares dadocomo la extension periodica de la funcion definida en [−T/2, T/2] por

f(t) ={

k si 0 ≤ |t| < d/2,0 si d/2 ≤ |t| < T/2.

son

cn =k

T

∫ d/2

−d/2

e−jnωt dt =kd

T

sen(nωd/2)nωd/2

.

Los valores de cn son reales, lo que corresponde al hecho de que la funcion es par, ası que suespectro de fases es φn = 0 para cada n. La funcion

sa(t) :=

1 si t = 0,sen(t)

tsi t 6= 0,

se llama funcion de muestreo (‘sa’ viene de la palabra inglesa sampling) y es muy importanteen la teorıa de la senal precisamente porque los coeficientes de Fourier complejos del tren depulsos rectangulares de nuestro ejemplo se pueden expresar como

cn =kd

Tsa(nωd/2).

A veces, en vez de la funcion de muestreo se trabaja con una funcion relacionada, llamadaseno cardinal que se define como

sinc(t) := sa(πt) :=

1 si t = 0,sen(πt)

πtsi t 6= 0.

Observacion. La forma compleja se puede definir para funciones periodicas f(t) que tomanvalores complejos y las formulas y los resultados que se obtienen son totalmente analogos. Lounico que hay que tener en cuenta es, simplemente, que a la hora de integrar se integran porseparado las partes real e imaginaria. En lo que sigue, usaremos a veces este hecho sin hacermencion explıcita.

Propiedades de la forma compleja de las series de Fourier. Las propiedades dederivacion e integracion vistas en la seccion anterior se trasladan al caso complejo sin dificultadalguna. Es mas, hay algunas propiedades que se entienden mucho mas claramente en elcontexto complejo y que son utiles a la hora de obtener nuevos desarrollos de Fourier apartir de otros conocidos. En lo que queda de seccion, supondremos que f y g son funcionesperiodicas de perıodo T (reales o complejas) que verifican las condiciones de Dirichlet y cuyosdesarrollos en serie de Fourier compleja son, respectivamente,

f(t) =∞∑

n=−∞cnejnωt y g(t) =

∞∑n=−∞

dnejnωt,

siendo ω = 2π/T .

68 4. Analisis de Fourier

Linealidad. Si p y q son numeros complejos, entonces serie de Fourier de pf(t) + qg(t) es

pf(t) + qg(t) =∞∑

n=−∞(pcn + qdn)ejnωt.

Traslacion en el tiempo. Si t0 es un numero real, entonces la serie de Fourier de la funciontrasladada f(t− t0) es

f(t− t0) =∞∑

n=−∞cne−jnωt0ejnωt =

∞∑n=−∞

cnejnω(t−t0).

En particular, f(t) y f(t− t0) tienen el mismo espectro de amplitudes pero distintas fases.

Escalado en el tiempo. Si p es un numero real, entonces la funcion f(pt) es periodica deperıodo T/p y frecuencia pω. Su serie de Fourier es

f(pt) =∞∑

n=−∞cnejn(pω)t.

O sea, f(t) y f(pt) tienen las mismas amplitudes y fases pero correspondientes a frecuenciasdistintas.

Convolucion. Los coeficientes complejos de Fourier de f(t)g(t) =∑∞

n=−∞ hnejnωt son

hn =∞∑

k=−∞

ckdn−k =∞∑

k=−∞

ckdn−k

Multiplicacion. Se verifica que

1T

∫ T

0

f(t)g(t) dt =∞∑

n=−∞cndn.

Forma compleja de la igualdad de Parseval. Se verifica que

1T

∫ T

0

∣∣f(t)∣∣2 dt =

∞∑n=−∞

|cn|2

En particular, la serie de los cuadrados de los coeficientes complejos de Fourier es convergente.

Cuando f(t) es una senal periodica de perıodo fundamental T , esta igualdad nos diceque la potencia media de la senal es P =

∑∞n=−∞ |cn|2. Por eso, la representacion de los

valores |cn|2 cuando situamos las frecuencias en el eje de abscisas se llama espectro discretode potencias.

Ampliacion de Matematicas (Ingenierıa de Telecomunicacion) 69

La transformacion de Fourier

La representacion integral de Fourier. Hemos visto que la forma compleja de la seriede Fourier de una funcion f periodica de perıodo T que verifica las condiciones de Dirichletes

f(t) =∞∑

n=−∞cnejnωt,

donde ω = 2π/T y los coeficientes de Fourier vienen dados por

cn =1T

∫ T/2

−T/2

f(t)e−jnωt dt para n = 0,±1,±2, . . .

Si nuestra senal no es periodica, no podemos esperar que sea posible representarla medianteuna serie de Fourier. Una de las contribuciones decisivas de Fourier fue tratar una funcionno periodica como si fuera una funcion con perıodo infinito, lo que le llevo a la posibilidadde representarla no como una serie cuyos terminos corresponden a multiplos de la frecuenciafundamental 0, ω, 2ω, 3ω, . . . , sino como una integral cuya variable de integracion es unafrecuencia que se mueve de manera continua. Veamos cual fue su razonamiento.

Partiendo de una funcion periodica y combinando las expresiones anteriores, obtenemos

f(t) =∞∑

n=−∞cnejnωt =

∞∑n=−∞

[1T

∫ T/2

−T/2

f(t)e−jnωτ dτ

]ejnωt.

Sean ωn = nω las frecuencias presentes y llamemos ∆ωn = ωn − ωn−1 = ω = 2π/T a ladiferencia entre dos frecuencias consecutivas. Entonces podemos escribir

f(t) =∞∑

n=−∞

[12π

∫ T/2

−T/2

f(τ)e−jωnτ dτ

]ejωnt∆ωn.

Ahora, para cada ω ∈ R definimos

FT (ω) =∫ T/2

−T/2

f(τ)e−jωτ dτ,

con lo que la igualdad previa puede escribirse como

f(t) =12π

∞∑n=−∞

FT (ωn)ejωnt∆ωn.

Si T es muy grande, podemos interpretar esta suma como una suma de Riemann de la integralimpropia

12π

∫ ∞

−∞FT (ω)ejωt dω ≈ 1

∞∑n=−∞

FT (ωn)ejωnt∆ωn = f(t).

70 4. Analisis de Fourier

En consecuencia, si hacemos T →∞ y consideramos la funcion F dada por

F (ω) = limT→∞

FT (ω) =∫ ∞

−∞f(τ)e−jωτ dτ,

entonces cabe esperar que se verifique la igualdad

f(t) =12π

∫ ∞

−∞F (ω)ejωt dω,

que se llama representacion integral de Fourier de la funcion f .

Este razonamiento no siempre es correcto ya que el paso al lımite con T → ∞ puede nofuncionar como se espera. Esto ocurre, por ejemplo, con la funcion constante f(t) = 1, parala que la integral que define F (ω) no es convergente. Sin embargo, como en el caso de lasseries de Fourier, existe una clase amplia de funciones para las que dicha representacion sı esvalida. Esta clase incluye todas las senales de interes en las aplicaciones ya que en la practicalas senales tienen una duracion finita.

Condiciones de Dirichlet para la integral de Fourier. Se dice que una senal real ocompleja f(t), definida para cada t ∈ R, satisface las condiciones de Dirichlet para la integralde Fourier si f(t) es absolutamente integrable en R, o sea,∫ ∞

−∞|f(t)| dt < ∞,

y, ademas, en cada subintervalo finito se verifica que f(t) es continua salvo un numero finitode discontinuidades de salto y que sus partes real e imaginaria solo tienen una cantidad finitade maximos y mınimos locales estrictos.

Teorema de convergencia de la integral de Fourier. Si f satisface las condiciones deDirichlet para la integral de Fourier, entonces para cada ω ∈ R se tiene que la integral

F (ω) =∫ ∞

−∞f(t)e−jωt dt

es convergente. Ademas, asumiendo que en las discontinuidades de salto de la funcion f se

tiene que f(t) =f(t−) + f(t+)

2, tambien se verifica la igualdad

f(t) =12π

∫ ∞

−∞F (ω)ejωt dω

que se llama representacion integral de Fourier de la funcion f .

Definiciones. Sea f una funcion que satisface las condiciones de Dirichlet para la integralde Fourier. Entonces la funcion F (ω) definida para cada ω ∈ R por

F (ω) =∫ ∞

−∞f(t)e−jωt dt

Ampliacion de Matematicas (Ingenierıa de Telecomunicacion) 71

se llama transformada de Fourier de f y proporciona la representacion en el dominio continuode frecuencias de la funcion f . Como ocurre con la transformada de Laplace, una notacionmuy habitual para la transformada de Fourier es F{f}.

Cuando tengamos una funcion en el dominio de la frecuencia F (ω) y calculemos la funcionf(t) en el dominio del tiempo cuya transformada de Fourier es la funcion F dada, diremosque f es la transformada de Fourier inversa o, coloquialmente, la anti-transformada de F ;es decir,

f(t) = F−1{F}(t) =12π

∫ ∞

−∞F (ω)ejωt dω.

Puesto que el valor de F (ω) para cada variable real ω es un numero complejo, suelerepresentarse usando una grafica para su modulo |F (ω)| y otra para su argumento principalarg(F (ω)) ∈ (−π, π] que se conocen, respectivamente, como espectro de amplitudes y espectrode fases de f .

Ejemplos. (1) La transformada de Fourier de la funcion exponencial unilateral

f(t) = h0(t)e−αt ={

0 si t < 0,e−αt si t > 0,

con Re(α) > 0, es

F (ω) =1

α + jω.

(2) La transformada de Fourier del pulso rectangular

f(t) ={

1 si |t| < d/2,0 si d/2 < |t|

es

F (ω) = d sa(ωd/2) = d sinc(ωd/2π) = 2sen(ωd/2)

ω.

Propiedades de la transformacion de Fourier

Es obvio que formalmente hay una relacion estrecha entre la transformacion de Fourier ytanto la transformacion de Laplace como las series de Fourier. No es de extranar, entonces,que muchas de las propiedades de la transformacion de Laplace y de las series de Fourier quehemos visto sean validas para la transformacion de Fourier. En lo que sigue supondremos quelas funciones que aparecen verifican las condiciones de Dirichlet para la integral de Fourier.

Linealidad. Si a y b son numeros complejos entonces la transformada de Fourier de la sumaaf(t) + bg(t) es aF (ω) + bG(ω). O sea,

F{af + bg} = aF{f}+ bF{g}.

72 4. Analisis de Fourier

Escalado en el dominio del tiempo. La transformada de Fourier de f(at) viene dada porF (ω/a)|a|

; es decir

F{f(at)} =1|a|F{f}

(ω/a

).

Desplazamiento, o traslacion, en el dominio de la frecuencia. Si ω0 es un numeroreal entonces la transformada de Fourier de ejω0tf(t) es F (ω − ω0). O sea,

F{ejω0tf(t)} = F{f}(ω − ω0).

Desplazamiento, o traslacion, en el dominio del tiempo. Si t0 es un numero realentonces la transformada de Fourier de la funcion trasladada f(t − t0) es e−jωt0F (ω). Enotras palabras,

F{f(t− t0)} = e−jωt0F{f}.

Inversion en el dominio del tiempo. La transformada de Fourier de la funcion f(−t) esF (−ω).

Derivacion en el tiempo. La transformada de Fourier de la derivada f ′(t) de una funcionderivable f(t) es (jω)F (ω). Es decir,

F{f ′} = (jω)F{f}.Aplicando esto a f ′ tenemos, como consecuencia, la transformada de la derivada segunda

F{f ′′} = −ω2F{f}.Mas generalmente,

F{f (n)} = (jω)nF{f}, para n = 1, 2, . . .

Propiedad de simetrıa o de dualidad. La transformada de Fourier de F (t) es 2πf(−ω).

Derivacion en la frecuencia. La transformada de Fourier es derivable y se tiene que la

transformada inversa ded

dωF (ω) es −jtf(t). Mas generalmente,

F{

dn

dωnF (ω)

}= (−jt)nf(t), para n = 1, 2, . . .

Producto de convolucion en el tiempo. Dadas dos funciones f y g en el dominio deltiempo, su producto de convolucion es la funcion (f ∗ g) definida para t ∈ R por

(f ∗ g)(t) =∫ ∞

−∞f(τ)g(t− τ) dτ.

(Es claro que si las funciones f y g son causales, entonces esta definicion coincide con la dadaen la leccion anterior.) Este producto de convolucion tambien es conmutativo, asociativo ydistributivo y, como en el caso de la transformada de Laplace, su propiedad mas importantees que su transformada de Fourier es el producto de las transformadas de Fourier de losfactores:

F{f ∗ g} = F (ω)G(ω).

Ampliacion de Matematicas (Ingenierıa de Telecomunicacion) 73

Producto de convolucion en la frecuencia (o multiplicacion en el tiempo). Dadasdos transformadas de Fourier F y G, su producto de convolucion en el dominio de la frecuenciaes la funcion (F ∗G)(ω) definida para ω ∈ R por

(F ∗G)(ω) =∫ ∞

−∞F (τ)G(ω − τ) dτ.

Entonces

F{f(t)g(t)} =12π

F (ω) ∗G(ω).

Teorema de Parseval. La energıa total asociada con una funcion f : R → R se define como∫ ∞

−∞|f(t)|2 dt.

Si una funcion tiene energıa total finita, entonces su transformada de Fourier tambien y, dehecho, se tiene ∫ ∞

−∞|f(t)|2 dt =

12π

∫ ∞

−∞|F (ω)|2 dω.

Transformadas de Fourier generalizadas. Hemos visto que, interpretandola de maneraadecuada, la funcion de impulso o funcion delta de Dirac permite modelar mediante la trans-formacion de Laplace algunas situaciones de interes en la practica. Ocurre lo mismo con latransformacion de Fourier. Usando las propiedades de la funcion delta tenemos que

F{δt0(t)} =∫ ∞

−∞δt0(t)e

−jωt dt = e−jωt0

y, en particular,F{δ0(t)} = 1.

Usando la propiedad de dualidad nos quedarıa, entonces,

F{1} = 2πδ0(ω) y F{ejω0t} = 2πδω0(ω)

transformadas que, como se puede comprobar, funcionan bien en la representacion integralde Fourier; es decir,

F−1{2πδω0(ω)} =12π

∫ ∞

−∞2πδω0(ω)ejωt dω = ejω0t.

Se dice entonces que la funcion ejω0t admite una transformada de Fourier generalizada quees F{ejω0t} = 2πδω0(ω) y, en particular, que la transformada de Fourier generalizada de lafuncion constante 1 es 2πδ0(ω).

74 4. Analisis de Fourier

Transformada de Fourier generalizada de una funcion periodica. Si tenemos unafuncion periodica f(t) de perıodo T0 y frecuencia ω0 que verifica las condiciones de Dirichlet,entonces su desarrollo en serie de Fourier es

f(t) =∞∑

n=−∞cnejnω0t.

Por tanto, su transformada de Fourier generalizada es un tren de impulsos

F (ω) = 2π∞∑

n=−∞cnδ0(ω − nω0)

que ocurren en los valores de su espectro discreto de frecuencias 0,±ω0,±2ω0, . . .

Otra forma de expresar el desarrollo en serie de Fourier de una funcion periodica f(t) esla siguiente: Sea g(t) un perıodo de f(t), es decir, si denotamos por I un intervalo cualquierade longitud T , entonces

g(t) ={

f(t) si t ∈ I,0 en otro caso.

En ese caso, podemos expresar f como

f(t) =∞∑

n=−∞g(t− nT0).

Es mas, si G(ω) es la transformada de Fourier de g, entonces

cn =1T

∫I

f(t)e−jnω0t dt =1T

∫I

g(t)e−jnω0t dt

=1T

∫ ∞

−∞g(t)e−jnω0t dt =

1T

G(nω0),

lo que nos permite escribir

f(t) =1T

∞∑n=−∞

G(nω0)ejnω0t

que se conoce como suma de Poisson.

Ejercicios

Ejercicio 1. ¿Que relacion deben mantener dos frecuencias positivas ω1 y ω2 para que lafuncion f(t) = sen(ω1t) + sen(ω2t) sea un polinomio trigonometrico? Cuando eso ocurra,¿cual sera su perıodo?

Ejercicio 2. Determina el desarrollo en serie de Fourier de las siguientes funciones, que estandefinidas como se indica en el intervalo [−π, π] y se extienden periodicamente a toda la rectareal.

(1) f(t) = t cos(t) (2) f(t) = t2

(3) f(t) = |sen(t)| (4) f(t) = et.

Ampliacion de Matematicas (Ingenierıa de Telecomunicacion) 75

Ejercicio 3. Desarrolla en serie de Fourier en el intervalo [−π, π] la funcion

f(t) ={

0 si −π < t < 0,π si 0 < t < π.

A partir de este desarrollo, deduce el de

g(t) ={ −1 si −π < t < 0,

1 si 0 < t < π.

Dibuja las funciones a las que tienden las series obtenidas en el intervalo [−5π, 5π].

Ejercicio 4. Halla los siguientes desarrollos en serie de Fourier de la funcion f(t) = t2.(1) En el intervalo [0, 2π].(2) En el intervalo [−π, π].(3) En serie de senos en el intervalo [0, π].(4) En serie de cosenos en el intervalo [0, π].(5) La serie compleja en [−π, π].

Ejercicio 5. Desarrolla en serie de Fourier en el intervalo [−π, π] la funcion

f(t) ={

0 si −π < t < 0,sen(t) si 0 < t < π.

Dibuja la funcion a la que tiende las serie obtenida en el intervalo [−6π, 8π].

Ejercicio 6. Desarrolla en serie de Fourier en el intervalo [−π, π] la funcion

f(t) ={

0 si −π < t < 0,t si 0 < t < π.

Dibuja la funcion a la que tiende las serie obtenida en el intervalo [−5π, 5π] y aplica el teoremade Dirichlet para deducir las siguientes igualdades:

∞∑n=1

1(2n− 1)2

= 1 +132

+152

+172

+ · · · = π2

8∞∑

n=1

1n2

= 1 +122

+132

+142

+ · · · = π2

6

Ejercicio 7. Halla los desarrollos en serie de Fourier de la funcion f(t) = 1− cos2(t) que sepiden a continuacion:

(1) En el intervalo [0, 2π].(2) En el intervalo [−π, π].(3) En serie de senos en el intervalo [0, π].(4) En serie de cosenos en el intervalo [0, π].(5) La serie compleja en [−π, π].

Dibuja las correspondientes sumas obtenidas en [−4π, 4π].

76 4. Analisis de Fourier

Ejercicio 8. Una senal con perıodo T consiste en un pulso de altura a y duracion τ < T queluego decae a 0. Determina sus desarrollos en series de Fourier real y compleja en el intervalo[0, T ] suponiendo que situamos el origen de tiempos precisamente cuando se produce uno delos saltos desde 0 hasta a.

Ejercicio 9. ¿Cual es el desarrollo en serie de Fourier de senos de la funcion f(t) = 1 en elintervalo [0, 1]?

Ejercicio 10. Determina el desarrollo en serie de Fourier de senos de la funcion f(t) = et

en el intervalo [0, 2].

Ejercicio 11. Desarrolla en sendas series de Fourier de senos y de cosenos en el intervalo[0, 1] la funcion f(t) = t.

Ejercicio 12. Halla los siguientes desarrollos en serie de Fourier de la funcion f(t) = |t|.(1) En el intervalo [0, 2] (en senos y cosenos).(2) En el intervalo [−1, 1].(3) En serie de senos en el intervalo [0, 1].(4) En serie de cosenos en el intervalo [0, 1].

Ejercicio 13. Determina la transformada de Fourier de cada una de las siguientes funciones(a representa un numero real positivo).

(1) f(t) = e−a|t|

(2) f(t) = |t| e−a|t|

(3) f(t) = e−a|t|tn para n = 1, 2, . . .(4) f(t) = e−a|t| sen(bt).(5) f(t) = e−a|t| cos(bt).

Ejercicio 14. Determina la transformada de Fourier de cada una de las siguientes funciones(a representa un numero con parte real positiva y h0 es la funcion de salto de Heaviside).

(1) f(t) = te−ath0(t)(2) f(t) = tne−ath0(t) para n = 1, 2, . . .(3) f(t) = e−at sen(ω0t)h0(t).(4) f(t) = e−at cos(ω0t)h0(t).

Ejercicio 15. Calcula la transformada de Fourier de las siguientes funciones(1) El pulso definido por

f(t) =

k si −2 < t < 0,

−k si 0 < t < 2,0 en otro caso.

(2) La funcion triangular

f(t) ={

1− |t| /T si |t| < T ,0 si |t| > T .

(3) El pulso sinusoidal f(t) = sen(πt/T ) si 0 < t < T y f(t) = 0 en otro caso.

Ampliacion de Matematicas (Ingenierıa de Telecomunicacion) 77

Ejercicio 16. Calcula la transformada de Fourier de las siguientes funciones (cosenos vistosa traves de ventanas, “windowed cosines” en ingles). f(t) = cos(ω0t)

[h0(t + d) − h0(t − d)

]y f(t) = cos(ω0t)

[h0(t)− h0(t− 2d)

], donde d y ω0 son numeros reales positivos.

Ejercicio 17. Usando la propiedad de dualidad, calcula las transformadas de Fourier de lafuncion de muestreo sa(t) y de la funcion seno cardinal sinc(t).

Ejercicio 18. Usa la representacion integral de Fourier para hallar la transformada inversade la funcion

F (ω) =

2 si 0 ≤ ω ≤ 2,

−2 si −2 ≤ ω < 0,0 en otro caso.

Comprueba el resultado usando la propiedad de dualidad.

Ejercicio 19. Usa la representacion integral de Fourier para hallar la funcion cuyo espectrode amplitudes es 2

[h0(ω + 3)− h0(ω − 3)

]y cuyo espectro de fases es π − 3

2ω.

Ejercicio 20. Usando las propiedades de la transformada de Fourier, halla, en terminos dela transformada F (ω) de una cierta funcion f(t), la transformada de Fourier de las siguientesfunciones.

(1) f1(t) = f(t− 1) + f(−t− 1).(2) f2(t) = f(3t− 6).(3) f3(t) = f ′′(t− 1).

Ejercicio 21. Sabiendo que F{e−|t|} =2

1 + ω2, halla F{te−|t|} y aplica la propiedad de

dualidad para calcular F{4t/(1 + t2)2}.

Ejercicio 22. Prueba las siguientes afirmaciones.(1) Si f es par y real, entonces F{f(t)} es par y real.(2) Si f es impar y real, entonces F{f(t)} es impar e imaginaria pura.

Ejercicio 23. Halla f(t) sabiendo que la transformada de Fourier de g(t) = f(t) cos(t) es

F{g(t)}(ω) ={

1 si |ω| ≤ 2,0 en otro caso.

Ejercicio 24. Halla las transformadas de Fourier generalizadas de las funciones sen(ωt),cos(ωt) y ej(ωt+φ).

Ejercicios y cuestiones de examenes de cursos anteriores.

Ejercicio 25. Halla la forma compleja de la serie de Fourier de la onda triangular definidaen el intervalo [−1, 1] por

tri(t) = 1− |t|

y extendida 2-periodicamente.

78 4. Analisis de Fourier

Ejercicio 26. (1) Sea f(t) la funcion definida por f(t) = t para 0 ≤ t < 1 y extendidaperiodicamente a toda la recta real. Calcula la forma compleja de la serie de Fourier de f ydibuja la funcion a la que converge dicha serie en el intervalo [−2, 2].

(2) Aplica la forma compleja de la igualdad de Parseval para deducir el valor de∞∑

n=1

n−2.

Ejercicio 27. Enuncia y demuestra la igualdad de Parseval para las series de Fourier reales.

Ejercicio 28. Enuncia y demuestra la propiedad de traslacion en el tiempo para la trans-formacion de Fourier.

Ejercicio 29. Enuncia y demuestra la propiedad de convolucion en el tiempo para la trans-formacion de Fourier.

Ejercicio 30. (1) Enuncia las condiciones de Dirichlet para la transformacion de Fourier yel correspondiente Teorema de Convergencia.

(2) Utiliza el teorema mencionado en el apartado anterior para calcular la funcion continuacuya transformada de Fourier es la funcion F (ω) = e−|ω| para ω ∈ R.

Ejercicio 31. Sea f el pulso rectangular dado por f(t) = 1 si |t| < 1 y f(t) = 0 si |t| ≥ 1.

Calcula su transformada de Fourier y usala para deducir el valor de∫ ∞

−∞

sen(x)x

dx.

Ejercicio 32. La transformada de Fourier de una funcion f(t) es F (ω) =jω

cosh(ω). Calcula

la transformada de Fourier de la funcion g(t) = f ′(2t − 1) enunciando las propiedades queutilices.

Ejercicio 33. Aplica la transformacion de Fourier al problema de valor inicial

y′ + 2ty = 0 con y(0) = 1

para hallar la transformada de Fourier de la funcion f(t) = e−t2 .

Bibliografıa

Para desarrollar esta leccion pueden consultarse los siguientes textos, en especial el deJames (que incluye algunas aplicaciones a la ingenierıa).

[517.9/3-EDW] C.H. Edwards y D.E. Penney, Ecuaciones diferenciales elementales, Cap. 8.

[517.9/2-SIM] G. F. Simmons, Ecuaciones diferenciales, Cap. 6.

[51:62/ADV] G. James, Advanced Modern Engineering Mathematics, Cap. 4 (secciones 4.1 a4.6) y Cap. 5 (secciones 5.1 a 5.5).