Raíz de una función

Si busca la raíz enésima de un número, vea Función raíz.

ƒ(x)=cosx en el intervalo [-2π,2π], las intersecciones con el eje x (las raíces) están

indicadas en rojo: -3π/2, -π/2, π/2, 3π/2.

En matemática, se conoce como raíz (o cero) de una función (definida sobre un cierto cuerpo

algebraico) f(x) a todo elemento x perteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla:

.

Por ejemplo, dada la función:

Planteando y resolviendo la ecuación:

Se tiene que 2 y 4 son raíces (ver ecuación de segundo grado) ya que f(2) = 0 y f(4) = 0.

Buscando raíces

Dado el caso de que tanto el dominio como la imagen de la función sean los números

reales (denominadas funciones reales) entonces los puntos en los que el gráfico corta al

eje de las abscisas es una interpretación gráfica de las raíces de dicha función.

El teorema fundamental del álgebra determina que todo polinomio en una

variable compleja y de grado n tiene n raíces (contando sus multiplicidades). Aun así, Las

raíces de los polinomios reales no son necesariamente reales; algunas de ellas, o incluso

todas, pueden ser complejas.

Una función trascendente como por ejemplo posee una infinidad de raíces,

concretamente cualquier es raíz de esa función. En cambio la

función no se anula nunca sobre los números complejos.

El número de raíces de una función holomorfa o una función analítica es un conjunto

numerable sin puntos de acumulación.

Uno de los problemas no resueltos más interesantes de la matemática moderna es

encontrar las raíces de la función zeta de Riemann.

Raíces simple y múltiple

Dada una función f que tiene una raíz r entonces se puede escribir dicha función como:

Entonces se dice que:

La raíz es simple si

La raíz es múltiple si , en este último caso la raíz se dice de orden n,

siendo , cuando se puede escribir:

Con la definición anterior, pueden existir ceros múltiples de orden no finito. Por ejemplo la

función definda como:

Tiene un cero múltiple en x=0, ya que:

Como n puede tomarse tan grande como se quiera en la expresión anterior, se sigue que esa

función no tiene un cero de orden finito.

Métodos para buscar raíces

Método de Newton-Raphson

Método de la secante

Método de bisección del intervalo

Regula falsi

Teoremas sobre raíces

Dada una función real o compleja el número de raíces es siempre numerable, pudiendo ser

cero, número finito o un número infinito numerable.

El teorema fundamental del álgebra afirma que cualquier polinomio de

grado n sobre tiene a lo sumo n raíces diferentes, y si se cuenta la multiplicidad de cada

raíz entonces puede afirmarse que existen exactamente n raíces.

La función dada por no tienen ninguna raíz ya que no se

anula nunca.

Las funciones reales y tienen un número infinito numerable de raíces.

Método del punto fijo

Los dos puntos fijos, marcados en rojo, de la función

El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no

necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la

forma , siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.

Descripción del Método

El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva,

requiere volver a escribir la ecuación en la forma .

Llamemos a la raíz de . Supongamos que existe y es conocida la función tal que:

del dominio.

Entonces:

Tenemos, pues, a como punto fijo de .

Procedimiento

El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de , que es mejorada por

iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que converja, la derivada debe ser

menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones).

La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en de una iteración a la

siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad €.

Algoritmo para iteración de punto fijo

1. Se ubica la ráiz de analizando la gráfica.

2. Se obtiene un despeje de la función.

3. Obtenemos de su derivada .

4. Resolviendo la desigualdad -1 ≤ ≤ 1 obtenemos el rango de valores en los cuales esta el

punto fijo llamado R.

5. Con R buscamos la raíz en , es decir haciendo iteración de las operaciones.

Ejemplo 1

Sea una función, encuentre la raíz.

Ubicamos la ráiz analizando la gráfica.

Obtenemos :

Después obtenemos la derivada de la función:

Entonces resolvemos las desigualdades:

La solución es:

La solución es:

O visto de otra manera, vemos que en la grafica de la derivada existen valores entre -1 y 1:

Ya que se tienen los valores del rango R, encontramos la raíz haciendo la iteración de las

operaciones:

En la tabla se puede ver el valor que en este caso se uso de R, la iteración consiste en usar ese

valor en para obtener los siguientes valores haciendo la misma operación usando el

valor anterior.

Después de un número considerable de iteraciones obtenemos la raíz en .

Método de Newton

En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-

Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar

aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para

encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

Contenido

[ocultar]

1 Historia

2 Descripción del método

3 Obtención del Algoritmo

4 Convergencia del Método

5 Estimación del Error

6 Teorema de Convergencia Local del Método de Newton

7 Ejemplo

8 Código en C

9 Codigo en Matlab

10 Referencias

11 Enlaces externos

[editar]Historia

El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De analysi per aequationes número

terminorum infinitas (escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis

fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671, traducido y publicado como Método de las

fluxiones en1736 por John Colson). Sin embargo, su descripción difiere en forma sustancial de la

descripción moderna presentada más arriba: Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no

consideraba las aproximaciones sucesivas xn, sino que calculaba una secuencia de polinomios

para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente

algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo.

Isaac Newton probablemente derivó su método de forma similar aunque menos precisa del método

de François Viète. La esencia del método de Viète puede encontrarse en el trabajo

del matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi.

El método de Newton-Raphson es llamado así por la razón de que el matemático inglés Joseph

Raphson (contemporáneo de Newton) se hizo miembro de la Royal Society en 1691 por su libro

"Aequationum Universalis", análisis que publicó en 1690 y el cual contenía este método para

aproximar raíces. Mientras que Newton en su libro Método de las fluxiones describe el mismo

método escrito en 1671, pero publicado hasta 1736, lo que significa que Raphson había publicado

este resultado casi 50 años antes, aunque no fue tan popular como los trabajos de Newton y se le

reconoció posteriormente.

[editar]Descripción del método

La función ƒ es mostrada en azul y la línea tangente en rojo. Vemos que xn+1 es una mejor

aproximación que xn para la raíz x de la función f.

El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global

no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo

suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor

razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa

cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta

presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las

probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto

cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la

recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el

método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas

iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente. f'(x)= 0 Sea f : [a, b] -> R función

derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para

cada número natural n

Donde f ' denota la derivada de f.

Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable

con forma analítica o implícita cognoscible. Existen variantes del método aplicables a sistemas

discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden

el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.

[editar]Obtención del Algoritmo

Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de

Newton-Raphson.

La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. En efecto, atendiendo al

desarrollo geométrico del método de la secante, podría pensarse en que si los puntos de

iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal), entonces la secante se

sustituye por la tangente a la curva en el punto. Así pues, si por un punto de iteración trazamos

la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo punto de iteración

se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje

X). Esto es equivalente a linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que

contiene al punto ( , ( )) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el

punto, . La nueva aproximación a la raíz, , se logra la intersección de la función

lineal con el eje X de abscisas. Matemáticamente:

Ilustración de una iteración del método de Newton (la función f se demuestra en azul y

la línea de la tangente está en rojo). Vemos que es una aproximación mejor

que para la raíz de la función .

En la ilustración adjunta del método de Newton se puede ver que es una mejor

aproximación que para el cero (x) de la función f.

Una forma alternativa de obtener el algoritmo es desarrollando la función f (x) en serie de

Taylor, para un entorno del punto :

Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado 2, y evaluamos en :

Si además se acepta que tiende a la raíz, se ha de cumplir

que , luego, sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos el

algoritmo.

Finalmente, hay que indicar que el método de Newton-Raphson puede

interpretarse como un método de iteración de punto fijo. Así, dada la

ecuación , se puede considerar el siguiente método de iteración de

punto fijo:

Se escoge h (x) de manera que g'(r)=0 (r es la raíz buscada). Dado que g'(r)

es:

Entonces:

Como h (x) no tiene que ser única, se escoge de la forma más

sencilla:

Por tanto, imponiendo subíndices:

Expresión que coincide con la del algoritmo de Newton-Raphson

Convergencia del Método

El orden de convergencia de este método es, por lo menos, cuadrático. Sin embargo, si la raíz

buscada es de multiplicidad algebraica mayor a uno (i.e, una raíz doble, triple, ...), el método de

Newton-Raphson pierde su convergencia cuadrática y pasa a ser lineal de constante asintótica de

convergencia 1-1/m, con m la multiplicidad de la raíz.

Existen numerosas formas de evitar este problema, como pudieran ser los métodos de aceleración

de la convergencia tipo Δ² de Aitken o el método de Steffensen. Derivados de Newton-Raphson

destacan el método de Ralston-Rabinowitz, que restaura la convergencia cuadrática sin más que

modificar el algoritmo a:

Evidentemente, este método exige conocer de antemano la multiplicidad de la raíz, lo cual no

siempre es posible. Por ello también se puede modificar el algoritmo tomando una función auxiliar

g(x) = f(x)/f'(x), resultando:

Su principal desventaja en este caso sería lo costoso que pudiera ser hallar g(x) y g'(x) si f(x) no es

fácilmente derivable.

Por otro lado, la convergencia del método se demuestra cuadrática para el caso más habitual en

base a tratar el método como uno de punto fijo: si g'(r)=0, y g' '(r) es distinto de 0, entonces la

convergencia es cuadrática. Sin embargo, está sujeto a las particularidades de estos métodos.

Nótese de todas formas que el método de Newton-Raphson es un método abierto: la convergencia

no está garantizada por un teorema de convergencia global como podría estarlo en los métodos

de falsa posición o de bisección. Así, es necesario partir de una aproximación inicial próxima a la

raíz buscada para que el método converja y cumpla el teorema de convergencia local.

Estimación del Error

Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson tiene convergencia cuadrática: si es

raíz, entonces:

para una cierta constante . Esto significa que si en algún momento el error es menor o igual a

0,1, a cada nueva iteración doblamos (aproximadamente) el número de decimales exactos. En la

práctica puede servir para hacer una estimación aproximada del error:

Error relativo entre dos aproximaciones

sucesivas:

Con lo cual se toma el error relativo como si la última aproximación fuera el valor exacto. Se

detiene el proceso iterativo cuando este error relativo es aproximadamente menor que una

cantidad fijada previamente.

Teorema de Convergencia Local del Método de Newton

Sea . Si , y , entonces existe un r>0 tal que

si , entonces la sucesión xn con verifica que:

para todo n y xn tiende a p cuando n tiende a infinito.

Si además , entonces la convergencia es cuadrática.

Ejemplo

Consideremos el problema de encontrar un número positivo x tal que cos(x) = x3. Podríamos tratar

de encontrar el cero de f(x) = cos(x) - x3.

Sabemos que f '(x) = -sin(x) - 3x2. Ya que cos(x) ≤ 1 para todo x y x

3 > 1 para x>1, deducimos que

nuestro cero está entre 0 y 1. Comenzaremos probando con el valor inicial x0 = 0,5

Los dígitos correctos están subrayados. En particular, x6 es correcto para el número de decimales

pedidos. Podemos ver que el número de dígitos correctos después de la coma se incrementa

desde 2 (para x3) a 5 y 10, ilustando la convergencia cuadrática.

En pseudocódigo, esto es:

function newtonIterationFunction(x) {

return x - (cos(x) x^3) / (-sin(x) - 3*x^2)

}

var x := 0,5

for i from 0 to 99 {

print "Iteraciones: " + i

print "Valor aproximado: " + x

xold := x

x := newtonIterationFunction(x)

if x = xold {

print "Solución encontrada!"

break

}

}

Código en C

Programa escrito en C correspondiente al ejemplo f(x) = cos(x) - x3.

#include <stdio.h>

#include <math.h>

double FuncionIteracion(double x);

int main() {

int i;

double x, xvieja;

xvieja = 0.5; // valor inicial

printf("Iteracion valor\n");

for(i=0; i<8; i++){

x = FuncionIteracion(xvieja);

xvieja = x;

printf("%5.0d %20.12f\n", i+1, x);

}

return 0;

}

double FuncionIteracion(double x)

{

double valorFuncion, funcionOriginal, funcionDerivada;

funcionOriginal = cos(x) - pow(x, 3);

funcionDerivada = -sin(x) - 3*pow(x, 2);

valorFuncion = x - funcionOriginal / funcionDerivada;

return valorFuncion;

}

Para compilar en GNU/Linux con compilador de GNU, se escribe en una terminal:

$ gcc programa.c -lm -o programa

donde la opción -lm le indica al compilador que utilice la biblioteca de matemáticas.

Codigo en Matlab

Programa escrito en Matlab para hallar las raíces usando el método de NEWTON-RAPHSON

% Al escribir la función, usar x como variable.

x0=input('Ingrese el valor inicial: ');

tol=input('Ingrese el porcentaje de error: ');

f=input('Ingrese la función: ');

i=1;

fx(i)=x0;

syms x;

f1=subs(f,x,fx(i));

z=diff(f);

d=subs(z,x,fx(i));

ea(1)=100;

while abs(ea(i))>=tol;

fx(i+1)=fx(i)-f1/d; f1=subs(f,x,fx(i+1)); d=subs(z,x,fx(i+1));

ea(i+1)=abs((fx(i+1)-fx(i))/fx(i+1)*100);

i=i+1;

end

fprintf('i fx(i) Error aprox (i) \n');

for j=1:i;

fprintf('%2d \t %11.7f \t %7.3f \n',j-1,fx(j),ea(j));

end

El programa siguiente hace el cálculo para una superficie.

syms x1

syms x2

syms x3

V=['sin(x1)+2^x2+log(x3)-7';'3*x1+2*x2-x3^3+1 ';'x1+x2+x3-5 '];

%se calcula el jacobiano:

DV(1,:)=[diff(V(1,:),x1), diff(V(1,:),x2),diff(V(1,:),x3)];

DV(2,:)=[diff(V(2,:),x1), diff(V(2,:),x2),diff(V(2,:),x3)];

DV(3,:)=[diff(V(3,:),x1), diff(V(3,:),x2),diff(V(3,:),x3)];

%se da el valor de partida:

x1=0;

x2=4;

x3=2;

x_1o=[x1;x2;x3];

%se calcula H en ese punto

Vo(1,:)=eval(V(1,:));

Vo(2,:)=eval(V(2,:));

Vo(3,:)=eval(V(3,:));

%Se calcula el Hessiano en ese punto

DV1=eval(DV);

%se calcula la Inversa del Hessiano en ese punto

DV_1=DV1^-1;

%se calcula el siguiente valor de iteración

x_1=[x1;x2;x3]-DV_1*Vo;

%cantidad de iteraciones maxima:

n=50;

%se define a = n, si se cumple condicion de error antes, cambia

a=n;

for i=1:n

%error relativo entre aproximaciones sucecivas

er=norm(x_1-x_1o)/norm(x_1);

if er<.0001

a=i;

'break;' end

x1=x_1(1);

x2=x_1(2);

x3=x_1(3);

x_1o=[x1;x2;x3];

Vo(1,:)=eval(V(1,:));

Vo(2,:)=eval(V(2,:));

Vo(3,:)=eval(V(3,:));

DV1=eval(DV);

DV_1=DV1^-1;

x_1=[x1;x2;x3]DV_1*Vo;

end

a

x_1

La interpolación y la aproximación de funciones se aplican en la informática en diversos campos:

Tratamientos de imágenes mediante una animación interpolada:

La animación se crea mediante el cambio del contenido de imágenes sucesivas. Puede hacer que

un objeto se desplace, aumente o disminuya de tamaño, gire, cambie de color, aparezca o

desaparezca, o cambie de forma. Los cambios pueden ocurrir por separado o combinados entre sí.

Interpolación de movimiento, se definen propiedades como la posición, el tamaño y la rotación

de una instancia, un grupo o un bloque de tipos en un punto en el tiempo, y estas propiedades

se cambian en otro punto.

Interpolación de forma: se dibuja una forma en un punto del tiempo y se cambia o se dibuja una

nueva en otro punto. Al interpolar formas se crea un efecto similar al de transformación y las

formas parecen cambiar en el transcurso del tiempo.

La animación interpolada es una forma eficaz de crear movimiento y cambios a lo largo del tiempo

y de reducir al mínimo el tamaño del archivo. Alcontrario de la animación imagen a imagen, sólo

necesita almacenar los valores de los cambios de la imagen, no la imagen completa.

Mediciones de temperaturas y precipitaciones

Los datos iniciales utilizados en este trabajo son las medias mensuales de temperatura (máxima,

mínima y media) y precipitaciones. Para realizar la interpolación de los valores de las estaciones

hacia una rejilla de 15 minutos latitud/longitud (Figura 1), se utilizó un Sistema de Visualización

y Análisisen Rejilla (GrADS), un software desarrollado por el Centro para Estudios del

sistema Tierra-Océano-Atmósfera de la Universidad de Maryland de losEstados Unidos. El

esquema de interpolación incorporado en GrADS es el método de Cressman, el cual ha sido

ampliamente utilizado en aplicaciones de la meteorología.

La disminución del número de estaciones reduce la calidad de las interpolaciones y esta variación

en el número de puntos puede introducir movimientos irreales en las series temporales de los

campos generados, con independencia del método de interpolación que se utilice; así los campos

interpolados con menos estaciones no serán capaces de captar todas las características

espaciales del fenómeno. Este inconveniente hizo necesario que se utilizara una estrategia para

garantizar que los campos de temperatura y precipitación interpolados, pudieran representar las

características espaciales y temporales de ambas variables durante todo el período considerado.

De esta forma las series de tiempo en rejilla se estimaron utilizando el método propuesto por

Willmott y Robeson (1995). Este método, denominado por esos autores como Interpolación

Climatológicamente Asistida (ICA), parte de la idea de realizar la interpolación, separando las

componentes espaciales y temporales.

Tratamiento de imágenes:

La interpolación es el método por el que se calculan más puntos de muestra, de acuerdo con

un algoritmo del software de imágenes -programa de escaneado, para compensar las limitaciones

de la resolución óptica. Por lo tanto, si la resolución óptica es de 1000 dpi, la interpolación sólo se

utilizará si resoluciones mayores de 1000 dpi se requieren. Esto es especialmente útil al escalar

imágenes para erradicar trazos que no se quieren y que parecen como efectos de eslabones en los

contornos de la imagen.

Por ejemplo, para escanear a 600 dpi una fotografía y doblar el tamaño de salida de la imagen sin

perder detalles, la imagen tiene que contener el mismo nivel de detalles que la fotografía original.

Si la imagen se aumenta sin interpolación, el espacio entre los puntos o las líneas será doblado.

Esto significa que el mismo números de puntos se tendrán que situar en un área dos veces mayor

dando a la imagen una calidad granulada inconsistente. Con la interpolación, la densidad de la

imagen se preservara introduciendo el número de puntos que se requieran en el espacio abierto,

dando así a la imagen resultante una mejor calidad. La interpolación se realiza durante

los procesos tanto de reducción como de aumento.

Reconstrucción de una señal a partir de sus muestras usando interpolación:

La interpolación es un proceso de empleo común en la reconstrucción aproximada o exacta de una

señal a partir de sus muestras. Para una señal de banda limitada, si los instantes

de muestreo están bastante cerca, entonces la señal puede reconstruirse exactamente, es decir,

mediante el empleo de un filtro se puede efectuar la interpolación exacta entre los puntos de

muestreo. La interpretación de la reconstrucción de una señal como un proceso de interpolación se

hace evidente cuando se considera el efecto en el dominio del tiempo del filtro.

La utilización de la interpolación como una técnica tiene un amplio espectro de utilización tanto es

así que es reformulada en cada campo que aplica. La interpolación también es usada en:

Topografías, tecnologías de comunicación, genética, biotecnologías, reconstrucción tridimensional

de imágenes medicas, etc.

Contenido:

Este manual cumple con el objetivo de enseñar la instalación y utilización del lenguaje PDL - Perl

data Language - en su versión 2.3.4, utilizando la interpretación de PERL con el paquete ActivePerl

versión 5.8.0.805.

Partiendo desde una base teórica se intenta familiarizar a el usuario con los conceptos

fundamentales para su desarrollo. Se hace referencia de como utilizar los comandos para

solucionar un determinado problema, además se incluyen ejemplo de su resolución, así como

también de la puesta en marcha de los mismos.

Requerimientos Mínimos

Sistema

operativo

Microprocesa-dor Navegador Memoria RAM Adaptador de vídeo

Windows 9x /

NT / 2000.

IBM PC

Intel Pentium 100Mhz

y compatibles o

mayores.

Internet Explorer

de Windows,

versión= 5.5+

16 Mb de RAM Adaptador SVGA

con 1 Mb de RAM.

Linux / Unix Arquitectura

x86

+

libc-2.1.x

Konqueror 2.2.21 o

compatible con

el motor Mozilla/5.0

12 Mb de RAM

Adaptador SVGA

con 1 Mb de RAM.

Nota:

Los siguientes componentes mencionados deben estar presentes en el equipo:

* Perl versión 5.6.1

* Perl ISAPI: Compatible con

servidores Web IIS 4.0+ o

PWS 4.0+

* PerlScript: ActiveX scripting host

como IE 4.0+, o Windows

Scripting Host

* Windows 95: DCOM para Windows 95

* Windows NT: Service Pack 5+ y Windows Installer

1.1+

* Espacio disponible en disco: aproximadamente 55 Mb para la instalación típica.

En todas las versiones Windows debe estar presente Windows Installer 2.0+

2. Lenguaje utilizado

Conocimientos Básicos

PDL es un lenguaje de programación orientado tratamiento numérico de datos. Sus siglas

significan Perl Data Language, y como su nombre indica está basado en el lenguaje de

programación Perl, esto quiere decir que es un modulo del programa, por lo tanto es necesario

tenerlo ya instalado a la hora de colocar PDL. Perl es gratuito y además es Software Libre, esto

quiere decir que el código fuente está disponible para que cualquiera lo pueda ver o modificar.

Perl es la abreviación de Practical Extraction and Report Language. Es lo que se conoce como un

lenguaje script, es decir, uno en el que no hace falta compilar el programa escrito.

El fuerte de PDL es la posibilidad de manipular matrices n-dimensionales y además

de poder resolver cálculos numéricos matriciales de una forma rápida.

Una de las características centrales de PDL es poder relacionarse fácilmente con el sistemas.

Tal como hemos mencionado, PDL es un lenguaje de cálculo numérico basado en Perl Está

disponible en múltiples plataformas y sistemas operativos. De hecho funciona en diferentes

versiones de Unix, Linux y todo tipo de Windows. Un programa que se escriba teniendo en cuenta

la compatibilidad puede ser escrito en una plataforma y ejecutado en otra.

Se pueden conseguir el modulo para cálculo numérico de PDL y otros a través de el CPAN -

Comprehensive Perl Archive Network.

El proyecto PerlDL apunta a convertir Perl en un eficiente lenguaje numérico para computadoras.

El modulo PDL le da al Perl

estándar la habilidad de manipular rápidamente y guardar compactamente matrices de N-

dimensiones. Uno puede escribir expresiones simples en PERL y manipular cadenas numéricas

enteras todo de una sola vez.

PDL convierte a PERL en un lenguaje numérico gratuito similar al paquete comercial MATLAB.

Con el paquete es provisto un SHELL llamado PERLDL el cual se usa en la líneas de comando y

un modulo llamado PDL para el uso en los SCRIPT de PERL.

La distribución PDL para PERL es gratuita y proporciona una amplia funcionalidad numérica con

soporte para visualización de dos y tres dimensiones, así también como una gran variedad de

rutinas de entrada/salida. El objetivo de PDL es permitir una interactividad con una gran variedad

de paquetes numéricos, gráficos y de sistemas de visualización.

A continuación se proporcionará una breve reseña sobre el manejo de operadores relacionales y

lógicos, así como también de las funciones que competen al lenguaje.

Operador Descripción

> < >= <= == != ! Operadores relaciones y lógicos actúan elemento a elemento

Ejemplo

$a = pdl([0,1,2,3,4]) p $a > 2 [0 0 0 1 1]

y= x**2; Operador de exponenciación ( ^ )

sin, log, abs, atan2, sqrt, cos, exp Funciones matemáticas también actúan elemento a elemento

# Toma a la línea como un comentario, no se ejecuta.

Funciones Descripción

print ""; p ""; Muestra un mensaje en pantalla.

x = nº Asigna un valor a la variable, no se debe poner

punto y coma al final.

$a=pdl([ [1,2,3], [9,8,7] ]) Crea una matriz bidimensional con valores: 1 2 3

9 8 7

$a=sequence(9) Crea un vector con una secuencia de valores (del

0 al 9)

$a=zeroes(2,4); Crea una matriz 2 x 4 rellena de ceros

$x=xvals(3,2) ; Crea una matriz 3 x 2 y incrementa en uno los

valores de las columnas partiendo desde 0

$y=yvals(3,2); Crea una matriz 3 x 2 y incrementa en uno los

valores de las filas partiendo desde 0

$a=zeroes(3,2); $x=$a->xlinvals(0.5,1.5);

$x=xlinvals($a,0.5,1.5)

Crea una matriz de 3 x 2 y la incrementa

partiendo desde 0,5 hasta 1,5

$y=$a->ylinvals(0.3,1.3); lo mismo pero para las columnas

$y=zeroes(2,3) ->ylinvals(0.3,1.3); Concatena funciones, primero crea con ceros y

después incrementa

$gaus=exp( -($x**2)/0.05 - ($y**2)/0.02 ); Calcula los valores de una función gaussiana

$r=random(2,3) Crea una matriz de 2 x 3 con valores al azar entre

0 y 1

$b=$a->copy Cuando asignamos un contenido a una variable

de PDL con el símbolo igual, = , no siempre se

crea una copia nueva de los datos, sino que a

menudo utiliza la mismas posiciones

de memoria que la variable original, para

realmente crear una copia nueva e independiente

hay que usar el comando copy

Line3d(x,y) Dibuja una línea o un conjunto de líneas

points3d Dibuja un vector como un conjunto de puntos.

mesh3d

imag3d Muestra una imagen.

Instalación en Linux / Unix

Puedes utilizar el modulo CPAN de Andreas König para que automáticamente ejecute los procesos

de descompresión y instalación.

Instalación de archivos comprimidos

tar.gz

A)- Descompresión

Descomprimir el archivo con gzip -d moduloPDL.tar.gz

Puedes obtener el descompresor gzip de ftp://prep.ai.mit.edu/pub/gnu.

O puedes combinar este paso con el siguiente para guardar en disco

gzip -dc moduloPDL.tar.gz | tar -xof

B)- DESEMPAQUETANDO

Desempaquetar el resultado con tar -xof moduloPDL.tar

C)- COMPILANDO

Entrar en el directorio nuevo y escribir:

perl Makefile.Plmake

make test

D)- INSTALANDO

Sin salir del directorio, escribimos:

make install

Asegurese de tener los permisos apropiados para instalar en el directorio de la librería de PERL.

Después necesitara ser el root.

Esto es todo lo que necesitas hacer con las conexiones dinámicas.

Muchos sistemas Unix tienen conexiones dinámicas, si usted no las tiene o si por cualquier razón

tiene conexiones estáticas en PERL, y el modulo requiere ser compilado, usted necesitara una

versión binaria que incluya el modulo. De nuevo usted necesitara ser el root

Instalando los paquetes RPM

Instalación del paquete Perl

rpm --install -nodeps ActivePerl-5.8.0.805-i686-linux.rpm

Instalación del paquete MESA

rpm --install -nodeps Mesa-3.4-13.i386.rpm

Instalación dl paquete PGPLOT

rpm --install -nodeps pgplot-5.2.0-2.i386.rpm

Instalación del paquete OPENGL

rpm --install -nodeps oss-opengl-glu-20000925-1.i386.rpm

Instalación del paquete PDL

rpm --install -nodeps pdl-2.2.3-1.i386.rpm

Compilación / instalación de PDL

Utilizar los pasos de compilación e instalación anteriormente ya descriptos (sección 1.2 Instalación

de archivos comprimidos tar.gz)

Instalación en Windows

1. Descomprimir el archivo

2. Usar el manejador de paquetes para instalar PDL:

ppm install --localización=. PDL

Los documentación de PDL en HTML son instalados en el directorio html. Casi siempre debido a

un defecto del la versión actual del manejador de paquetes (ppm), no son reflejados en el índice de

la documentación de perl. Por favor copia en el directorio html/lib/pdl los archivos. Las referencias

cruzadas en el los archivos html son actualmente borradas. El script de post instalación es

necesario par corregir esto en el futuro.

Ante cualquier consulta dirigirse a:

pdl-porters[arroba]jach.hawaii.edu

Interpolación de funciones

Los valores de las funciones polinomiales se pueden determinar efectuando un numero finito de

sumas y multiplicaciones. Sin embargo, existen otras funciones, tales como la logarítmica, la

exponencial y las funciones trigonométricas , que no se pueden evaluar tan fácilmente. En esta

sección demostraremos que muchas funciones se pueden calcular en forma aproximada por

polinomios y que puede usarse el polinomio en vez de la función original, para los cálculos, cuando

la diferencia entre los valores de la función y la aproximación polinomial es suficiente pequeña.

Interpolación

3. Polinomio de interpolación de diferencias divididas de Newton

Interpolación lineal:

Enunciado Teórico:

Teniendo dos puntos como datos X0 ^ X1 la interpolación lineal consiste en conectarlos con un

polinomio de primer orden (una recta)

f1 (x) = f(x0) + f(x1) - f(x0) * (x - x0)

x1 - x0

f1 (x) = b0 + b1 (x - x0)

Antes de explicar la interpretación geométrica, comenzaremos resolviendo un ejemplo:

Ejemplo1:

Se quiere aproximar f(x) = sen x en el intervalo [0,∏], con:

X 0 0.7 1.5 2.3

Y 0 0.64 0.99 0.74

Calcule sen 1 con cada una de las curvas encontradas y compare con el valor verdadero.

Interpretación geométrica

Figura 1: Interpretación grafica del resultado de la función a evaluar.

Figura 2: Interpretación grafica de la interpolación lineal de Newton

.

Figura 3: Interpretación grafica de la función a evaluar ( f(x)=sen x ).

Polinomios de Legendre

En matemáticas, exactamente en ecuaciones diferenciales ordinarias, las funciones de Legendre son las

soluciones de las ecuaciones diferenciales de Legendre:

llamadas así, en honor del matemático francés Adrien-Marie Legendre. Estas ecuaciones se

encuentran frecuentemente en Física. En particular, aparecen cuando se resuelve la ecuación de

Laplace (un tipo de ecuación en derivadas parciales) en coordenadas esféricas mediante el método

de separación de variables.

La ecuación diferencial de Legendre puede resolverse usando el método de serie de potencias. En

general la serie de potencias obtenida converge cuando |x| < 1 y en el caso particular de que n sea

un entero no negativo (0, 1, 2,...) las soluciones forman una familia de polinomios

ortogonales llamados Polinomios de Legendre.

Cada polinomio de Legendre Pn(x) es un polinomio de grado n. Éste puede ser expresado usando

la Fórmula de Rodrigues:

Una Expresión explícita

Desarrollando la fórmula de Rodrigues se obtiene la siguiente expresión para los Polinomios de

Legendre

esta expresión es útil en caso de por ejemplo de querer elaborar un programa que grafique

los polinomios de Legendre, de ésta expresión es relativamente fácil obtener una para los

polinomios asociados de Legendre, que aparecen en la resolución de problemas como,

por ejemplo, el átomo de hidrógeno.

La propiedad de ortogonalidad

Una importante propiedad de los polinomios de Legendre es que éstos

son ortogonales con respecto al producto escalar definido en L2 en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1:

(donde δmn denota la delta de Kronecker, igual a 1 si m = n y 0 para otros casos). De

hecho, una derivación alternativa de los polinomios de Legendre es llevando a

cabo procesos de Gram-Schmidt en los polinomiales {1, x, x2,...} con respecto a un

producto interno. La razón de esta propiedad de ortogonalidad es que la ecuación

diferencial de Legendre puede ser vista como un problema de Sturm-Lioville

donde los valores propios λ corresponden a n(n+1).

[editar]Ejemplos de polinomios de Legendre

Unos pocos primeros polinomios de Legendre:

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

Los gráficos de estos polinomios (menores a n=5) se grafican abajo:

Aplicaciones de los Polinomios de Legendre en

Física

Los polinomios de Legendre, igual que los de Hermite y Laguerre, son útiles en

ramas de la Física. Y en el Cálculo numérico ya que permiten el cómputo de

integrales definidas sin necesidad de usar fórmulas analíticas, tan sólo fijando

como intervalo de integración [ -1 ; +1] (con el correspondiente cambio de

variable). Esto es especialmente interesante en programas de cómputo que tratan

de resolver una integral definida.

Los polinomios de Legendre son útiles en el desarrollo por serie, de funciones

como

donde y son las longitudes de los vectores y respectivamente

y es el ángulo entre los dos vectores. La expansión mantiene .

Esta expresión esta usada, por ejemplo, para obtener el potencial de

una carga puntual, que se siente en un punto mientras la carga esta

localizada en el punto . La expansión usando polinomios de Legendre

puede ser útil para integrar esta expresión sobre una carga continua

distribuida.

Los polinomios de Legendre aparecen en la solución de una Ecuación de

Laplace de un potencial, , en una región del espacio de carga

libre, usando el método de separación de variables, donde las condiciones

límite tienen simetría axial (no depende del ángulo azimuthal). Donde es

el eje de simetría y es el ángulo entre la posición del observador y el eje

, la solución del potencial podría ser

y están determinados de acuerdo con las condiciones límite de

cada problema.1

Polinomios de Legendre en el desarrollo multipolar

Figure 2

Los polinomios de Legendre son también útiles en la expansión de funciones de la forma (esto es similar

al caso anterior, escrito un poco diferente):

que aparece naturalmente en el desarrollo multipolar. La parte izquierda de la ecuación es la función

generadora de los polinomios de Legendre.

Como en el ejemplo, del potencial eléctrico (en coordenadas esféricas) debido a una carga

puntual localizada en el eje z en (Fig. 2) varia como

Si el radio r del punto de observación P es más grande que a, el potencial puede expanderse en

polinomios de Legendre

donde se define y . Esta expansión es usada para mejorar la expansión

multipolo normal.

Por el contrario, si el radio r del punto de observación P es más pequeño que a, el potencial puede aún

ser expandido en los polinomios de Legendre como por encima, pero con a y r cambiados.

Propiedades adicionales de los polinomios de Legendre

Los polinomios de Legendre son simétricos o antisimetricos, tal que

Desde que la ecuación diferencial y la propiedad ortogonal son escalarmente independientes, los

polinomios de Legendre definidos son estandarizados (a veces llamados normalizados, pero nótese que

la real norma no es la unidad) por ser escalar tal que

La derivada en un punto final esta dado por

Los polinomios de Legendre pueden construirse usando las tres relaciones de recurrencia

y

Útil para la integración de polinomios de Legendre es

Traslación de los polinomios de Legendre

La traslación de los polinomios de Legendre están definidos como un intervalo unitario

ortogonal [0,1]

Una expresión explicita para estos polinomios viene dado por

La analogía a la Fórmula de Rodrigues para la traslación de los polinomios es:

La primera traslación de los polinomios de Legendre es:

0 1

2

3

Polinomios de Legendre de orden fraccional

Los polinomios de Legendre de orden fraccional existen y siguen a la inserción de la derivada

fraccional como definición al Cálculo fraccional y a los factoriales no enteros (definidos por una función

gamma) en una Fórmula de Rodrígues. Los exponentes, seguramente, tienen de exponentes

fraccionarios que representan raíces.

Polinomio de Newton

Definición

Dados n+1 escalares distintos y n+1 escalares (iguales ó

distintos) se define el polinomio interpolador en la forma:

Siendo las coordenadas del polinomio y la expresión anterior del polinomio

interpolador la conocida como diferencias divididas.

Teniendo en cuenta que existe una función p tal que y haciendo

sucesivamente:

Se llega a:

Con los siguientes polinomios:

Las satisface la relación de recurrencia:

Y finalmente se obtiene el vector en , con lo que se puede

escribir el polinomio interpolador de Newton en función de la nueva base , de la forma que sigue:

Grado (polinomio)

En álgebra grado de un polinomio es el grado máximo de los exponentes de los monomios que lo

componen. Grado tiene básicamente el mismo significado cuando se refiere a un polinomio o a

una ecuación algebraica.

Grado de un polinomio

Dado un polinomio en una cierta variable , su grado es el máximo de los exponentes de en los

distintos monomios del polinomio. Se suele denotar como , y se puede omitir la variable si

no hay posibilidad de confusión. Ejemplo:

"La misma definición se aplica en este caso pero solo cumpliendo las siguientes condiciones: el grado

de un polinomio es el máximo de los grados de sus monomios.

Ejemplo:

Las definiciones anteriores no se aplican directamente a polinomios en los que no aparecen

explícitamente la variable. Si un polinomio es simplemente una constante numérica su grado se define

como 0 (o para el polinomio nulo):

Esta última definición se hace así para mantener la coherencia en las siguientes propiedades del grado:

Grado absoluto y relativo

El grado absoluto y el grado relativo son operaciones matemáticas realizadas sobre un término de un

polinomio.

Ambas devuelven un número natural.

Grado absoluto

Se obtiene con la suma de los exponentes de todas los ejemplos . Ejemplo: Dado el término:

Grado absoluto(

Ejemplos

Ecuaciones con una sola incógnita

Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del

signo "=") son polinomios. Por ejemplo: es una ecuación

algebraica que lleva (la ). El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los

que está elevada la incógnita.

Ecuaciones con varias incógnitas

Cuando tenemos una ecuación algebraica con varias incógnitas, se estudia el grado de distinta

manera. Un monomio es un producto de incógnitas, multiplicadas a su vez por números. Por

ejemplo, es un monomio, porque sería la multiplicación de las incógnitas e , y a su vez

está multiplicado todo por 1 (que no se pone porque multiplicar por 1 es como no hacer nada). Otro

ejemplo de monomio sería . Aquí las incógnitas son , , , se multiplican así:

la se multiplica tres veces a sí misma (porque ), la se multiplica dos veces a

sí misma, la se multiplica seis veces a sí misma, y los tres resultados se multiplican entre sí.

Finalmente se multiplica todo por el número .

Para calcular el grado de una ecuación con varias incógnitas, antes hemos de calcular los grados

de cada uno de los monomios que aparecen en la ecuación. El grado de un monomio se calcula

sumando los exponentes de las incógnitas que aparecen en el monomio. Por ejemplo, el grado del

monomio es 2, porque es la suma del exponente de (que es 1, porque ) y del

exponente de (que también es 1). El grado del monomio es 11, que es la suma de 3

(exponente de ), 2 (exponente de ) y 6 (exponente de ). Nótese que el grado del

monomio sería 2, o sea, sería el exponente de la incógnita, y que siempre podemos

considerar que en un monomio aparecen todas las incógnitas que hay en la ecuación, con sólo

considerar que están elevadas al exponente 0. Por ejemplo, en la

ecuación los monomios son (aparecen las dos incógnitas de la ecuación,

y su grado es 2), (aparece sólo la incógnita , pero podemos considerar que aparece

también con exponente 0, puesto que ) y (no aparecen ni ni , pero podemos

considerar que aparecen como ). Así, podemos ver la ecuación

como . Esto no cambia el grado de ninguno de los monomios. El

monomio 4 tiene entonces grado 0.

Ahora estamos en condiciones de calcular el grado de una ecuación de varias incógnitas. Este es el

mayor de los grados de todos los monomios que aparecen en la ecuación. Por ejemplo, en la

ecuación el grado es 3, que el el grado más grande entre los grados de todos

los monomios de la ecuación (que son 2, 3 y 0).

Sistema de ecuaciones

En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con

varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar los valores de las

incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente

elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación

diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una

solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del

sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras

palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son

demasiadas, con subíndices.

Sistema general

La forma genérica de un sistema de ecuaciones algebraicas y incógnitas es la siguiente:

(1)

donde son funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio

euclídeo , será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión con los valores de dicha

solución, verifique la ecuación.

Representación gráfica

Los sistemas de 2 o 3 incógnitas reales admiten representaciones gráficas cuando las funciones en

(1) son continuas a tramos. En cada ecuación se representa como una curva o una superficie curva. La

existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de la existencia de intersecciones

comunes a dichas curvas o superficies curvas.

Clasificación de los sistemas

Un sistema de ecuaciones sobre puede clasificarse de acuerdo con el número de soluciones o

cardinal del conjunto de soluciones , de acuerdo con este criterio un sistema puede ser:

Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución, .

Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en:

Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones que

forman una variedad continua, .

Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un

conjunto infinito de soluciones aisladas sin puntos de acumulación, .

Sistema lineal general

Artículo principal: Sistema de ecuaciones lineales.

Se llama sistema lineal si las ecuaciones que conforman el sistema son funciones afines. A diferencia

del caso general, la solución de los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando los

coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos. También existen medios generales de

resolución cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese

caso puede ser un poco más complicada.

Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la llamada forma

matricial. Esta forma permite representar el sistema usando tres matrices, de la siguiente forma:

(2)

La primera es la matriz de coeficientes, donde el término representa al coeficiente que acompaña a

la j-ésima incógnita de la ecuación i-ésima. La segunda es la matriz de incógnitas, donde cada término

se corresponde con una de las incógnitas. La tercera matriz es la de términos independientes, donde

el cada representa al término independiente de la ecuación i-ésima.

Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como el método de

Gauss, en el que, partiendo de la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la que se le ha acoplado la

matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones lineales sobre las ecuaciones, se

pretende llegar a una matriz de este tipo:

Una vez que la matriz se ha triangulado, el valor de cada término se corresponderá con el de la

incógnita . Si queda alguna fila del tipo , con , el sistema no tendrá

solución.

Ejemplos:

Un sistema lineal incompatible es , ya que

usando el método reducción y sumando miembro a miembro se obtiene la contradicción 0 = 39.

Un ejemplo de sistema lineal compatible indeterminado es ya

que claramente la segunda ecuación es linealmente dependiente de la primera, habiéndo sido

multiplicados todos los términos por 2.

Un ejemplo de sistema lineal compatible determinado

es cuya solución única es y .

Existencia de soluciones

El teorema de la función inversa proporciona condiciones suficientes de existencia de solución, de un

sistema como (1) con . Si sucede que la función vectorial:

es diferenciable con continuidad, es decir, es de clase y su jacobiano no se anula en ningún

punto entonces existe una única solución del sistema (1). En ese caso existirá una función inversa, y se

podrá escribir la solución buscada simplemente como:

Sin embargo, la condición de diferenciabilidad anterior aún siendo condición suficiente, no es una

condición necesaria, por lo que existen sistemas de ecuaciones en que las funciones no son

diferenciables y sin embargo, existen soluciones. Más aún, en casos en que existe más de una solución,

si la función es diferenciable entonces el jacobiano se anula en algún punto, pero eso no impide que

existan varias soluciones.

En casos de un menor número de ecuaciones que de incógnitas, cuando , entonces el sistema

es compatible indeterminado o carece de soluciones. En esos casos, el teorema de la función

implícita proporciona condiciones suficientes, aunque no necesarias, para la existencia de soluciones de

un modo similar a como el teorema de la función inversa las proporciona en el caso .

Número de soluciones

En un sistema de ecuaciones lineales compatible y determinado la solución es siempre única. En el

caso de ecuaciones polinómicas la respuesta es más complicada, aunque puede probarse que

dos curvas polinómicas en el plano de grados n y m funcionalmente independientes tienen como

mucho nm soluciones diferentes. Ese resultado se desprende del siguiente teorema de Bézout:

Dos curvas del plano proyectivo complejo , de grados n y m sin componentes comunes se

cortan exactamente en mn puntos contados con multiplicidad.

Métodos de resolución

Si bien para los sistemas de ecuaciones lineales existen multitud de técnicas del álgebra lineal, para

los sistemas de ecuaciones no-lineales el problema es técnicamente bastante más difícil.

Métodos analíticos

Los métodos analíticos se restringen casi exclusivamente a sistemas de ecuaciones lineales. Ni

siquiera se conoce una solución analítica para el sistema de ecuaciones de segundo grado general:

Métodos numéricos

Las aplicaciones técnicas generalmente recurren a algoritmos numéricos que permiten calcular

aproximaciones numéricas a las soluciones de un sistema de ecuaciones.

Uno de los métodos numéricos que puede generalizarse a sistemas no-lineales es el método de

Newton-Raphson. En el caso multidimensional la resolución numérica del sistema

de n ecuaciones puede hacerse a partir del conocimiento de una solución

aproximada , siempre y cuando la aplicación anterior sea diferenciable,

mediante el esquema iterativo:

O más explícitamente:

Lamentablemente la convergencia del esquema iterativo anterior no está garantizada y en casos de

soluciones múltiples la convergencia puede darse hacia la solución no deseada.

Métodos gráficos

Los métodos gráficos son didácticos e ilustrativos, aunque en general carecen de interés práctico

en las aplicaciones técnicas de importancia. Además están restringidos generalmente a sistemas de

dos o tres ecuaciones reales.

Dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas de valor real, suelen aparecer como uno de los

cinco tipos diferentes mencionados a continuación. Tienen una relación con el número de

soluciones:

1. Aquellos sistemas de ecuaciones que representan gráficamente rectas y curvas que se

intersecan entre sí. Este tipo de sistema de ecuación es considerado como el normal.

Suele tener un número de soluciones finito cada uno formado por las coordenadas de los

punto de intersección.

2. Sistemas que tienen simplificaciones falsas. Por ejemplo: 1 = 0. Gráficamente se

representan como un conjunto de líneas que nunca se intersecan entre sí, como líneas

paralelas.

3. Sistemas de ecuaciones en las que ambos simplificar a una identidad (por ejemplo, x = 2x

- y o y - x = 0). Cualquier asignación de valores a las variables desconocidas satisface las

ecuaciones. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones, que gráficamente, se

representa como todos los puntos del plano que representa la solución.

4. Sistemas en los que las dos ecuaciones representan el mismo conjunto de puntos: son

matemáticamente equivalentes (una ecuación general puede ser transformada en otra a

través de la manipulación algebraica). Estos sistemas representan completamente la

superposición de líneas o curvas, etc Una de las dos ecuaciones es redundante y puede

ser desechada. Cada punto de la serie de puntos corresponde a una solución.

Generalmente, esto significa que hay un número infinito de soluciones.

5. Sistemas en los que una (y sólo una) de las dos ecuaciones se simplifica a una identidad.

Por lo tanto, es redundante y puede ser descartada, según el tipo anterior. Cada punto de

la serie de puntos representados por los demás es una solución de la ecuación de los que

hay a continuación, por lo general un número infinito.

La ecuación x2 + y

2 = 0 puede ser pensada como la ecuación de un círculo cuyo radio se ha

reducido a cero, por lo que representa un único punto: (x = 0, y = 0), a diferencia de una normal de

un círculo que contiene infinito número de puntos. Este y otros casos similares muestran la razón

por la cual los dos últimos tipos anteriormente descritos necesitan la calificación de "normalmente".

Un ejemplo de un sistema de ecuaciones del primer tipo descrito anteriormente, con un número

infinito de soluciones viene dada por x = | x |, y = | y | (donde la notación | • | indica el valor absoluto

de la función), cuyas soluciones de forma un cuadrante de la x - y plano. Otro ejemplo es x = | y |, y

= | x |, cuya solución representa un rayo.

Aproximaciones integrales

Existen funciones cuyas primitivas no se pueden expresar en términos de funciones elementales,

por ejemplo sen x2 y (1+ x4) 1/2 . Las integrales definidas con integrandos de este tipo se deben

calcular con métodos de aproximación como las sumas de Riemann. Las sumas de Riemann tienen

el inconveniente de converger lentamente, de manera que en algunos casos es necesario tener

métodos de aproximación que converjan más rápido. Uno de estos métodos es la regla de los

trapecios (o regla trapezoidal).

Diferencia finita

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita

se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se

emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias

finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la

resolución de ecuaciones diferenciales.

Diferencias anterior, posterior y central

Diferencias finitas.

Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.

Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma

Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el limite h → 0.

Una diferencia regresiva, atrasada o anterior es de la forma

Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. Viene dada por

Relación con las derivadas

La derivación de la función f en un punto x está definida por el límite

Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la derecha se convierte

en

Por lo tanto, la diferencia anterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño. El error de

esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor. Asumiendo que f es continuamente

diferenciable, el error es

La misma fórmula es válida en la diferencia posterior:

Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error es proporcional al

cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable).

Cálculo de diferencias finitas

La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la

función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder con su derivada , es

decir,

Formalmente, invirtiendo la exponencial,

Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando

se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con

seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para

obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la

serie llevan a:

El error de la aproximación es del orden de h2.

Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son

Derivadas de órdenes mayores

De forma análoga se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas para derivadas de orden

mayor y operadores diferenciales. Por ejemplo usando la fórmula de la diferencia central mostrada

anteriormente con un espaciado de para y y aplicando la

fórmula de diferencia central a la derivada de en x, obtenemos la aproximación de la diferencia

central de la segunda derivada de f:

Métodos de diferencias finitas

Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes diferenciales a medida

que h se acerca a cero. Así que se pueden usar diferencias finitas para aproximar derivadas. Esta

técnica se emplea a menudo en análisis numérico, especialmente en ecuaciones diferenciales

numéricas ordinarias, ecuaciones en diferencias y ecuación en derivadas parciales. Los métodos

resultantes reciben el nombre de métodos de diferencias finitas.

Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos de la computación y

áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o mecánica de fluidos.

Programas relacionados

MAlAT

WINPLOT