Analisis Riil

Rezki Setiawan Bachrun

H 111 11 256

Universitas Hasanuddin

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 1 / 33

Kontinu Definisi Kontinu Biasa

Definisi (Kontinu)

Misalkan A R; f : A R; dan u A. Fungsi f dikatakan kontinu pada titiku, jika

> 0 (u, ) > 0 3 x A memenuhi 0 < |x u| < mengakibatkan |f (x) f (u)| <

Interpretasi Geometrinya :

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 2 / 33

Kontinu Definisi Kontinu Seragam

Definisi (Kontinu Seragam)

Misalkan A R; f : A R; dan u A. Fungsi f dikatakan kontinu seragampada titik u, jika

> 0 () > 0 3 x A memenuhi 0 < |x u| < mengakibatkan |f (x) f (u)| <

Definisi (Fungsi Lipschitz)

Misalkan A R dan f : A R. Jika K > 0 3 |f (x) f (u)| K |x u|

x , u A, maka f dikatakan fungsi lipschitz pada A.

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 3 / 33

Turunan Definisi Turunan

Definisi (Turunan)

Misalkan I R; f : I R; dan c I . Bilangan riil L dikatakan turunan dari fdi titik c , jika:

> 0 () > 0 3 x I memenuhi 0 < |x c | < mengakibatkan

f (x) f (c)x c L <

dimana

L = limxc

f (x) f (c)x c

Jadi, dalam hal ini f mempunyai turunan di titik c dan f (c) = L dan f dikatakanturunan di interval I jika f terdiff. di setiap titik x I .

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 4 / 33

Turunan Definisi Turunan

Contoh (Turunan)

Tentukan turunan dari f (x) = x2; x R Definisi turunan

Misalkan I R; f : I R; dan c I . Bilangan riil Ldikatakan turunan dari f di titik c , jika:

L = f (c) = limxc

f (x) f (c)x c = limxc

x2 c2x c

= limxc

(x + c)(x c)(x c)

= limxc(x + c)

= c + c

= 2c

maka f (x) = 2x .

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 5 / 33

Turunan Definisi Turunan

Review (Kekontinuan di Matdas)

Fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika:

1 f (c) ada

2 limxc ada

3 limxc f (x) = f (c)

Teorema (Hub. Kekontinuan dan Keterdiff. suatu fungsi)

Misalkan f : I R dimana I RJika f terdiff. di titik c I maka f kontinu di titik c .Bukti:Diketahui f terdiff. di titik c , artinya

f (c) = limxc

f (x) f (c)x c

Adt. f kontinudi titik c , artinya

limxc f (x) = f (c)

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 6 / 33

Turunan Definisi Turunan

(Lanjutan)

Penyelesaian:

4y = m 4x

f (x) f (c) = f (x) f (c)x c (x c)

limxc[f (x) f (c)] = limxc

[f (x) f (c)

x c (x c)]

limxc f (x) limxc f (c) = limxc

f (x) f (c)x c limxc(x c)

limxc[f (x)] f (c) = f

(c) 0limxc[f (x)] f (c) = 0

limxc f (x) = f (c)

Jadi, f (x) kontinu di titik c

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 7 / 33

Turunan Definisi Turunan

Contoh (Fungsi Kontinu yang tidak terdiff.)

Diberikan f (x) = |x |; x RTunjukkan bahwa f (x) kontinu dan terdiff di titik x = 0! Diketahui f (x) = |x |; x R

Adt. Fungsi f kontinu di titik x = 0 dan f terdiff. di titik x = 0Penyelesaian:

1 Kontinu

f (0) = |0| = 0limx0

|x | = |0| = 0limx0

|x | = f (0) = 0 2 Terdifferensialkan

f (0) = limx0

f (x) f (0)x 0

= limx0|x | |0|x 0

= limx0|x |x

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 8 / 33

Turunan Definisi Turunan

(Lanjutan)

dimanalim

x0+x

x= 1

limx0

xx

= 1

Karena limx0+

|x |x6= lim

x0|x |x

maka

limx0|x |x

tidak ada.

sehingga turunan f di titik x = 0 (dapat ditulis f (0)) juga tidak ada.

(Sejarah)

Oleh Karl Weierstrass, menemukan suatu fungsi yang kontinu di setiap titik tapiturunannya disetiap titik tidak ada. Salah satu fungsinya yaitu:

f (x) =n=0

[(1

2n

)cos(3nx)

]Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 9 / 33

Turunan Turunan Sepihak

Definisi (Turunan Kanan)

Misalkan I R adalah interval; f : I R dimana I (x0,) 6= makaturunan kanan dari f pada x0 (dilambangkan f +(x0)), yaitu:

f +(x0) = limxx+0

f (x) f (x0)x x0

Definisi (Turunan Kiri)

Misalkan I R adalah interval; f : I R dimana I (, x0) 6= makaturunan kiri dari f pada x0 (dilambangkan f (x0)), yaitu:

f (x0) = limxx0

f (x) f (x0)x x0

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 10 / 33

Turunan Sifat-sifat Turunan

Teorema (Sifat-sifat Turunan)

Misalkan I R; f : I R dan g : I R dimana f , g terdiff. di c , maka:(i) Jika a R maka af terdiff. di c , dan

(a f )(c) = a f (c)

(ii) Fungsi f + g terdiff. di c , dan

(f + g)(c) = f (c) + g (c)

(iii) Fungsi fg terdiff di c , dan

(fg)(c) = f (c)g(c) + f (c)g (c)

(iv) Fungsi f /g terdiff. di c untuk g 6= 0, dan(f

g

)(c) =

f (c)g(c) f (c)g(c)[g(c)]2

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 11 / 33

Turunan Teorema Caratheodory

Teorema (Caratheodory)

Misalkan f terdefinisi pada interval I dan c I . Fungsi f terdiff. di c terdapatfungsi yang kontinu di c dan memenuhi:

f (x) f (c) = (x)(x c)

Dalam hal ini (c) = f (c).Bukti: Diketahui f terdefinisi di I , i.e f (c) ada c I

f terdiff. di c , i.e

f (c) = limxc

f (x) f (c)x c

Adt. yang kontinu di c yang memenuhi f (x) f (c) = (x)(x c)Penyelesaian:

1. Jika f terdiff. di c , dapa didefinisikan fungsi:

(x) =

f (x) f (c)

x c untuk x 6= cf (c) untuk x = c

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 12 / 33

Turunan Teorema Caratheodory

(Lanjutan)

2. Adt. (x) kontinu di titik c .Kedua ruas untuk persamaan x 6= c dilimitkan dengan x c

limxc (x) = limxc

f (x) f (c)x c

= f (c)= (c)

maka, (x) kontinu di titik c .

3. Adt. (x) memenuhi f (x) f (c) = (x)(x c)Untuk x = c maka

f (x) f (c) = (x)(x c)f (c) f (c) = (c)(c c)

0 = 0

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 13 / 33

Turunan Teorema Caratheodory

(Lanjutan)

Untuk x 6= c maka

(x) =f (x) f (c)

(x c)f (x) f (c) = (x)(x c)

maka, yang kontinu di titik c dan memenuhi f (x) f (c) = (x)(x c) Diketahui f terdefinisi di I i.e f (c) ada c I

yang kontinu di titik c dan memenuhi f (x) f (c) = (x)(x c)Adt. f terdiff. di titik c , i.e

f (c) = limxc

f (x) f (c)x c

Penyelesaian: yang kontinu di titik c dan memenuhi

f (x) f (c) = (x)(x c)

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 14 / 33

Turunan Teorema Caratheodory

(Lanjutan)

(x) =f (x) f (c)

(x c)Limitkan kedua ruas sehingga diperoleh:

limxc (x) = limxc

f (x) f (c)(x c)

(c) = f (c)

Oleh karena itu, f terdiff. di titik c dimana f (c) = (c).

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 15 / 33

Turunan Aturan Rantai

Definisi (Aturan Rantai)

Misalkan I , J adalah interval dalam R;g : I R;f : J R; dimana f (J) I dan c J

Jika f terdiff. di c dan g terdiff di f (c) maka fungsi komposisi g f juga terdiff.di c dan

(g f )(c) = g (f (c))f (c)Bukti:Diketahui f terdiff. di c

g terdiff. di f (c)Adt. (g f ) terdiff. di c dan (g f )(c) = g (f (c))f (c)Penyelesaian:

f terdiff. di c artinya yang kontinu di c dan memenuhi

f (x) f (c) = (x)(x c) (2.1)

x J; f (c) = (c).

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 16 / 33

Turunan Aturan Rantai

(Lanjutan)

g terdiff. di d artinya yang kontinu di d dan memenuhi

g(y) g(d) = (y)(y d) (2.2)

y I ; g (d) = (d). x J dapat disubstitusi y = f (x) dan d = f (c), sehingga Pers. (2.2) dapatditulis:

g(f (x)) g(f (c)) = (f (x))(f (x) f (c))= (f (x))((x)(x c))= (f (x))(x)(x c)

(g f )(x) (g f )(c) = ( f )(x)(x c)Karena f (c) ada maka f kontinu di titik cDari Pers. (2.1) kontinu di cDari Pers. (2.2) kontinu di d = f (c)maka ( f ) kontinu di c .Jadi, ( f ) yang kontinu di c dan memenuhi

(g f )(x) (g f )(c) = ( f )(x)(x c)Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 17 / 33

Turunan Aturan Rantai

(Lanjutan)

Menurut Teorema Caratheodory diperoleh: ( f ) yang kontinu di c dan memenuhi

(g f )(x) (g f )(c) = ( f )(x)(x c)

Jadi, (g f ) terdiff. di c . Substitusi (x) = g (x) dan (x) = f (x) pada persamaan diatas, diperoleh:

( f )(x) = (g f )f (x)= g f )(x)f (x)= g (f (x))f (x)

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 18 / 33

Turunan Teorema Rolles

Review (Ekstrim Relatif)

Misalkan f : I R maka1.a. Dikatakan mempunyai maks. relatif di x = c jika

V(c) 3 f (x) f (c) x V(c) I

b. Dikatakan mempunyai min. relatif di x = c jika

V(c) 3 f (x) f (c) x V(c) I

2. f dikatakan mempunyai ekstrim relatif di c . Jika f (c) adalah max./min.relatif.

Teorema (Rolles)

Misalkan f : [a, b] R, kontinu di I = [a, b].Jika f terdiff. pada setiap x (a, b) dan f (a) = f (b) = 0 maka

paling sedikit satu titik c (a, b) 3 f (c) = 0

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 19 / 33

Turunan Teorema Rolles

(Lanjutan Teorema Rolles)

Interpretasi Geometri:

Catatan:Gradien garis yang melalui titik (c , f (c)) adalah 0.

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 20 / 33

Turunan Teorema Nilai Rata-rata

Teorema (Nilai Rata-rata)

Misalkan f kontinu di I = [a, b] dan f terdiff. di interval buka (a, b) maka,

paling sedikit satu titik c (a, b) 3 f (b) f (a) = f (c)(b a)Bukti:Didefinisikan suatu fungsi yang diperoleh dari selisih antara grafik f dan garis yangmenghubungkan titik (a, f (a)) dan (b, f (b)), yaitu:

(x) = f (x) f (a) f (b) f (a)b a (x a)

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 21 / 33

Turunan Teorema Nilai Rata-rata

(Lanjutan)

(x) : kontinu pada [a, b] (Karena selisih dua fungsi yang kontinu adalah kontinu)(x) : terdiff. pada (a, b) dan (a) = (b) = 0maka, menurut Teorema Rolles :

paling sedikit satu titik c (a, b) 3 (c) = 0sehingga:

(c) = 0 = lim

xc(x) (c)

x c

= limxc

[(f (x) f (a) f (b) f (a)

b a (x a))(f (c) f (a) f (b) f (a)

b a (c a))]

x c

= limxc

[f (x) f (c) f (b) f (a)

b a (x a c + a)]

x c

= limxc

[f (x) f (c)

x c] lim

xc

[f (b) f (a)

b a]

0 = f (c) f (b) f (a)b a

f (b) f (a) = f (c)(b a)

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 22 / 33

Turunan Teorema Uji Turunan Pertama

Teorema (Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim)

Misalkan f kontinu pada I = [a, b]c titik interior di If terdiff. di (a, c) dan (c , b)

maka,

1 Jika V(c) I 3 f (x) 0 untuk c < x < c dan f (x) 0 untukc < x < c + maka f mempunyai max. relatif di c , i.e

f (x) f (c)2 Jika V(c) I 3 f (x) 0 untuk c < x < c dan f (x) 0 untuk

c < x < c + maka f mempunyai min. relatif di c .

f (x) f (c)

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 23 / 33

Turunan Teorema LHospital I

Teorema (Aturan LHospital I)

Misalkan a dan f , g terdiff. pada (a, b) 3 g (x) 6= 0 x (a, b) danmisalkan lim

xa+f (x) = 0 = lim

xa+g(x).

1 Jika limxa+

f (x)g (x)

= L ; L R maka

limxa+

f (x)

g(x)= L

2 Jika limxa+

f (x)g (x)

= L ; L {,} maka

limxa+

f (x)

g(x)= L

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 24 / 33

Turunan Teorema Taylor

Teorema (Taylor)

Misalkan n N; I = [a, b]; f : I R 3 f , f , , f (n) kontinu pada I dan f (n+1)ada pada (a, b). Jika x0 I maka x I c (x0, x) 3 x0 < c < x , maka,

f (x) =f (x0) +f(x0)

1!(x x0) + f

(x0)

2!(x x0)2 + + f

(n)(x0)

n!(x x0)n

+f (n+1)(c)

(n + 1)!(x x0)(n+1)

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 25 / 33

Integral Integral Riemann

Partisi dan Label PartisiMisalkan I = [a, b].Partisi dari I adalah himpunan terurut dan berhingga

P = (x0, x1, , xn1, xn)

dimana a = x0 < x1 < < xn1 < xn = b.Notasi dari partisi, yaitu:

P = {(xi1, xi )|i = 1, 2, , n}

Norm dari partisi, yaitu:

P = max{(xi xi1)|i = 1, , , n}

Titik-titik pada P merupakan titik yang membagi I ke dalam beberapasubinterval yang saling bebas, yaitu:

I1 = [x0, x1]; I2 = [x1, x2]; ; In = [xn1, xn]Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 26 / 33

Integral Integral Riemann

Jika ti adalah sebarang titik pada [xi1, xi ] maka ti disebut label partisi dari[xi1, xi ].Himpunan pasangan berurut dari subinterval dan label partisi yaitu:

P = {([xi1, xi ], ti )|i = 1, 2, , n} disebut label partisi dari intrval I = [a, b]Jika P adalah label partisi didefinisikan jumlahan Riemann darif : [a, b] R sebagai berikut:

S(f ; P) =n

i=1

[f (ti )(xi xi1)]

Interpretasi geometri

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 27 / 33

Integral Definisi Integral Riemann

Definisi (Integral Riemann)

Misalkan f : [a, b] Rf terintegralkan Riemann pada [a, b]

Jika L R 3 > 0 () > 0 3 P adalah sebarang label partisi pada [a, b]dengan P < () maka

|S(f ; P) L| <

Teorema (Ketunggalan Integral Riemann)

Jika f R[a, b] makaba

f tunggal.

Bukti:Diketahui f terintegralkan Riemann, f R[a, b]Adt. Nilai integralnya tunggal, |L1 L2| = 0Penyelesaian:Karena f terintegralkan Riemann

Misalkan L1 =ba

f dan L2 =ba

f

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 28 / 33

Integral Definisi Integral Riemann

(Lanjutan)

Ambil > 0 sebarang

Pilih 1 > 0 3 P label partisi pada [a, b] dengan P < 1 maka

|S(f ; P) L1| < 2

Pilih 2 > 0 3 P label partisi pada [a, b] dengan P < 2 maka

|S(f ; P) L2| < 2

Pilih = min{1, 2}, sehingga d 1 dan d 2maka P adalah label partisi pada [a, b] dengan P < berlaku:

|L1 L2| = |L1 L2 S(f ; P) + S(f ; P)|= |L1 S(f ; P) + S(f ; P) L2| |L1 S(f ; P)|+ |L2 S(f ; P)| 0 () > 0 3 P adalah sebarang label partisi pada [a, b]dengan P < () maka

|S(f ; P) L| <

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 30 / 33

Integral Definisi Integral Riemann

Contoh (Lanjutan)

Penyelesaian:

L = ba

f (x) dx =

ba

k dx = k(b a) (3.1)

S(f ; P) =n

i=1

[f (ti )(xi xi1)]

=n

i=1

[k(xi xi1)]

= k[(x1 x0) + (x2 x1) + + (xn xn1)]= k(xn x0)= k(b a)

(3.2)

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 31 / 33

Integral Definisi Integral Riemann

(Lanjutan)

L R 3 > 0 () > 0 3 P adalah sebarang label partisi pada [a, b]dengan P < () maka dari Pers. (3.1) dan (3.2) diperoleh:

|S(f ; P) L| = |k(b a) k(b a)|= 0

<

Maka, f (x) = k terintegralkan Riemann pada [a, b].

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 32 / 33

Integral Sifat-sifat Integral Riemann

Teorema (Sifat-sifat Integral Riemann)

Misalkan f , g R[a, b]. Maka:1 Jika k R, fungsi kf R[a, b] dan

ba

kf = k

ba

f

2 Fungsi f + g R[a, b] danb

a

[f + g ] =

ba

f +

ba

g

3 Jika f (x) g(x); x [a, b] makab

a

f b

a

g

Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 33 / 33

KontinuDefinisi Kontinu BiasaDefinisi Kontinu Seragam

TurunanDefinisi TurunanTurunan SepihakSifat-sifat TurunanTeorema CaratheodoryAturan RantaiTeorema Rolle'sTeorema Nilai Rata-rataTeorema Uji Turunan PertamaTeorema L'Hospital ITeorema Taylor

IntegralIntegral RiemannDefinisi Integral RiemannSifat-sifat Integral Riemann