FORMULARIO DE ANALISIS MATEMATICO

ANALISIS MATEMATICO I - PRIMER CURSO - 2002-2003

AREAS, LONGITUDES, VOLUMENES, BARICENTROS Y MOMENTOS

1) AREA DE UNA FIGURA PLANA ASOCIADA A UNA CURVA

a) Explıcita: A =∫ b

a

|f(x)| dx.

b) Parametrica: A =∣∣∣∣∫ t1

t0

y(t)x′(t) dt

∣∣∣∣.

c) Polar: A =12

∫ θ1

θ0

ρ(θ)2 dθ.

2) LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA PLANA

a) Explıcita: L =∫ b

a

√1 + f ′(x)2 dx.

b) Parametrica: L =∫ t1

t0

√x′(t)2 + y′(t)2 dt.

c) Polar: L =∫ θ1

θ0

√ρ(θ)2 + ρ′(θ)2 dθ.

3) VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCION ASOCIADO A UNA CURVAPLANA

a) Explıcita (alrededor del eje x): V = π

∫ b

a

f(x)2 dx.

b) Explıcita (alrededor del eje y): V = 2π

∫ b

a

x|f(x)| dx, si a, b ≥ 0.

c) Parametrica: V = π

∣∣∣∣∫ t1

t0

y(t)2x′(t) dt

∣∣∣∣.

d) Polar: V =2π

3

∫ θ1

θ0

ρ(θ)3 sen θ dθ, si θ0, θ1 ∈ [0, π].

4) VOLUMEN DE UN SOLIDO DE SECCION CONOCIDA: V =∫ b

a

S(x) dx.

5) AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION ALREDEDOR DEL EJE x GE-NERADA POR UNA CURVA PLANA

a) Explıcita: A = 2π

∫ b

a

|f(x)|√

1 + f ′(x)2 dx.

b) Parametrica: A = 2π

∫ t1

t0

|y(t)|√

x′(t)2 + y′(t)2 dt.

c) Polar: A = 2π

∫ θ1

θ0

ρ(θ)| sen θ|√

ρ(θ)2 + ρ′(θ)2 dθ.

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6) CENTRO DE GRAVEDAD (BARICENTRO) DE UNA CURVA PLANA CON UNADENSIDAD DE MASA δ

a) Explıcita: (x0, y0),

x0 =

∫ b

axδ(x)

√1 + f ′(x)2 dx∫ b

aδ(x)

√1 + f ′(x)2 dx

, y0 =

∫ b

af(x)δ(x)

√1 + f ′(x)2 dx∫ b

aδ(x)

√1 + f ′(x)2 dx

.

b) Parametrica: (x0, y0),

x0 =

∫ t1t0

x(t)δ(t)√

x′(t)2 + y′(x)2 dx∫ t1t0

δ(t)√

x′(t)2 + y′(x)2 dx, y0 =

∫ t1t0

y(t)δ(t)√

x′(t)2 + y′(x)2 dx∫ t1t0

δ(t)√

x′(t)2 + y′(x)2 dx.

c) Polar: (x0, y0),

x0 =

∫ θ1

θ0δ(θ)ρ(θ) cos θ

√ρ(θ)2 + ρ′(θ)2 dθ∫ θ1

θ0δ(θ)

√ρ(θ)2 + ρ′(θ)2 dθ

,

y0 =

∫ θ1

θ0δ(θ)ρ(θ) sen θ

√ρ(θ)2 + ρ′(θ)2 dθ∫ θ1

θ0δ(θ)

√ρ(θ)2 + ρ′(θ)2 dθ

.

7) MOMENTO DE INERCIA DE UNA CURVA PLANA CON DENSIDAD δ, CONRESPECTO A UNA RECTA O A UN PUNTO

a) Explıcita: d(x) es la distancia del punto (x, f(x)) a la recta o al punto.

I =∫ b

a

d(x)2δ(x)√

1 + f ′(x)2 dx.

b) Parametrica: I =∫ t1

t0

d(t)2δ(t)√

x′(t)2 + y′(t)2 dt.

c) Polar: I =∫ θ1

θ0

d(θ)2δ(θ)√

ρ(θ)2 + ρ′(θ)2 dθ.



ESTUDIO Y REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES

Si f es una funcion real de una variable real, su estudio y representacion grafica puedesistematizarse en la siguientes etapas:

1 - GENERALIDADES.a) Determinacion de su dominio.b) Simplificacion del estudio: paridad (f(−x) = f(x)), imparidad (f(−x) = −f(x)),

periodicidad (f(x + p) = f(x)). Otras simetrıas. Regiones sin puntos de la grafica.c) Lımites de la funcion en puntos del dominio; continuidad.d) Lımites de la funcion en otros puntos; asıntotas verticales: si para algun punto a ∈ R

se cumple lımx→a−

f(x) = ±∞, la recta x = a es una asıntota vertical (lo mismo si el

lımite es por la derecha).e) Comportamiento en el infinito: asıntotas horizontales y oblicuas.

∗) Si existe lımx→+∞

f(x) = b ∈ R, la recta y = b es una asıntota horizontal, cuandox→ +∞.

∗) Si existen a, b ∈ R tales que lımx→+∞

[f(x) − (ax + b)] = 0, la recta y = ax + b es

una asıntota oblicua. En este caso,

a = lımx→+∞

f(x)x

, b = lımx→+∞

[f(x)− ax].

Una asıntota horizontal es un caso particular de asıntota oblicua, con a = 0.

∗) Si existe lımx→+∞

f(x)x

= a ∈ R, la recta y = ax es una direccion asintotica de la

grafica (aunque no exista asıntota). En este caso, si lımx→+∞

[f(x) − ax] = ±∞ se

dice que la grafica de f tiene una rama parabolica de direccion asintotica y = ax.Lo anterior sirve tambien para x→ −∞.

f) Crecimiento y decrecimiento (ver tambien el apartado siguiente).

2 - ESTUDIO DE LA DERIVADA.a) Derivabilidad de la funcion. Puntos con tangente vertical.b) Signo de la derivada: crecimiento y decrecimiento; extremos relativos y absolutos.c) Crecimiento y decrecimiento de la derivada: convexidad y concavidad; puntos de

inflexion (ver tambien el apartado siguiente).d) Puntos crıticos o singulares.

3 - ESTUDIO DE LA DERIVADA SEGUNDA.a) Existencia de la derivada segunda.b) Signo de la derivada segunda: convexidad y concavidad; puntos de inflexion.

4 - OTRAS CONSIDERACIONES.a) Valores particulares de la funcion o sus derivadas. Cortes con los ejes y las asıntotas.b) Dibujo de la grafica.


OPERACIONES CON LIMITES DE SUCESIONES

1. Lımite de una suma: (an)∞n=1, (bn)∞n=1 ⊆ R, an → a, bn → b.

a HHH b −∞ R +∞−∞ −∞ −∞ ?R −∞ a + b +∞

+∞ ? +∞ +∞

lımn

(an + bn)

2. Lımite de un producto: (an)∞n=1, (bn)∞n=1 ⊆ R, an → a, bn → b.

a PPPPP b −∞ (−∞, 0) 0 (0,+∞) +∞−∞ +∞ +∞ ? −∞ −∞

(−∞, 0) +∞ −∞0 ? ab ?

(0,+∞) −∞ +∞+∞ −∞ −∞ ? +∞ +∞

lımn

anbn

3. Lımite de un cociente: (an)∞n=1 ⊆ R, (bn)∞n=1 ⊆ R \ {0}, an → a, bn → b.

a PPPPP b −∞ (−∞, 0) 0 (0,+∞) +∞ 0+

−∞ ? +∞ ? −∞ ? −∞(−∞, 0) 0 ? 0 −∞

0 0 a/b ? a/b 0 ?(0,+∞) 0 ? 0 +∞

+∞ ? −∞ ? +∞ ? +∞

lımn

an/bn

4. Lımite de una potencia: (an)∞n=1 ⊆ (0,+∞), (bn)∞n=1 ⊆ R, an → a, bn → b.

a PPPPP b −∞ (−∞, 0) 0 (0,+∞) +∞0 +∞ +∞ ? 0 0

(0, 1) +∞ 01 ? ab ?

(1,+∞) 0 +∞+∞ 0 0 ? +∞ +∞

lımn

abnn


OTRAS REGLAS PARA EL CALCULO DE LIMITES DE SUCESIONES

Si f(x) representa una cualquiera de las funciones elementales (xr, |x|, ex, log x, sen x, cos x,tg x, arc senx, arc cos x, arc tg x), entonces en general

lımn

an = a =⇒ lımn

f(an) = f(a)

cuando esto tenga sentido, es decir, cuando la sucesion este contenida en el dominio de la funcionf y tambien el lımite a pertenezca al dominio.

Otras reglas son las siguientes:

a) Potencias de exponente positivo: sea r > 0;

lımn

an = +∞ =⇒ lımn

arn = +∞

lımn

an = 0+ =⇒ lımn

arn = 0

b) Potencias de exponente negativo: sea r < 0;

lımn


arn = 0

lımn

an = 0+ =⇒ lımn

arn = +∞

c) Valor absoluto:

lımn

an = +∞ =⇒ lımn|an| = +∞

lımn

an = −∞ =⇒ lımn|an| = +∞

d) Exponencial:

lımn


ean = +∞

lımn

an = −∞ =⇒ lımn

ean = 0

e) Logaritmo:

lımn


log an = +∞

lımn

an = 0+ =⇒ lımn

log an = −∞

f) Tangente: sea k un numero entero;

lımn

an =(π

2+ kπ

)+=⇒ lım

ntg an = −∞

lımn

an =(π

2+ kπ

)−=⇒ lım

ntg an = +∞

g) Arco tangente:

lımn


arc tg an =π

2lımn

an = −∞ =⇒ lımn

arc tg an = −π

2


OPERACIONES CON LIMITES DE FUNCIONES

1. Lımite de una suma: f, g : D −→ R, lımx→r

f(x) = a, lımx→r

g(x) = b.

a HHH b −∞ R +∞−∞ −∞ −∞ ?R −∞ a + b +∞

+∞ ? +∞ +∞

lımx→r

[f(x) + g(x)]

2. Lımite de un producto: f, g : D −→ R, lımx→r

f(x) = a, lımx→r

g(x) = b.

a PPPPP b −∞ (−∞, 0) 0 (0,+∞) +∞−∞ +∞ +∞ ? −∞ −∞

(−∞, 0) +∞ −∞0 ? ab ?

(0,+∞) −∞ +∞+∞ −∞ −∞ ? +∞ +∞

lımx→r

f(x)g(x)

3. Lımite de un cociente: f : D −→ R, g : D −→ R \ {0}, lımx→r

f(x) = a, lımx→r

g(x) = b.

a PPPPP b −∞ (−∞, 0) 0 (0,+∞) +∞ 0+

−∞ ? +∞ ? −∞ ? −∞(−∞, 0) 0 ? 0 −∞

0 0 a/b ? a/b 0 ?(0,+∞) 0 ? 0 +∞

+∞ ? −∞ ? +∞ ? +∞

lımx→r

f(x)/g(x)

4. Lımite de una potencia: f : D −→ (0,+∞), g : D −→ R, lımx→r

f(x) = a, lımx→r

g(x) = b.

a PPPPP b −∞ (−∞, 0) 0 (0,+∞) +∞0 +∞ +∞ ? 0 0

(0, 1) +∞ 01 ? ab ?

(1,+∞) 0 +∞+∞ 0 0 ? +∞ +∞

lımx→r

f(x)g(x)


LIMITES DE FUNCIONES ELEMENTALES

Si f(x) representa una cualquiera de las funciones ex, log x, senx, cos x, tg x, arc sen x, arc cos x,arc tg x, xr, entonces

lımx→a

f(x) = f(a)

para cualquier punto a del dominio de la funcion. Otros lımites son los siguientes:

lımx→−∞

ex = 0 lımx→+∞

ex = +∞

lımx→0+

log x = −∞ lımx→+∞

log x = +∞

lımx→(π/2)−

tg x = +∞ lımx→(π/2)+

tg x = −∞

lımx→−∞

arc tg x = −π

2lım

x→+∞arc tg x =

π

2lım

x→0+xr = 0 lım

x→+∞xr = +∞ (si r > 0)

lımx→0+

xr = +∞ lımx→+∞

xr = 0 (si r < 0)

Si f(x) = arxr + ar−1x

r−1 + · · ·+ a0 es un polinomio (con r ∈ N y ar 6= 0), entonces

lımx→+∞

f(x) = +∞ (si ar > 0),

lımx→+∞

f(x) = −∞ (si ar < 0).

Ordenes de infinitud:

Se tiene el siguiente orden de infinitud, donde a > 0 y b > 1:

log x << xa << bx << xx (x → +∞).

Aquı, “f(x) << g(x) cuando x → +∞” significa que

lımx→+∞

f(x)g(x)

= 0

(o bien que g(x)/f(x) → +∞).

Equivalencias:

Sean a ∈ R∪ {±∞}. Se dice que dos funciones f y g son equivalentes cuando x tiende al puntoa, y se escribe

f(x) ∼ g(x) (x → a)

si se verificalımx→a

f(x)g(x)

= 1.

Equivalencias de infinitesimos: cuando x → 0,

ex − 1 ∼ x log(1 + x) ∼ x (1 + x)α − 1 ∼ αx

senx ∼ x 1− cos x ∼ x2/2 tg x ∼ x

arc senx ∼ x arc tg x ∼ x

Equivalencias de infinitos: sea f(x) = arxr +ar−1x

r−1+ · · ·+a0, con ar 6= 0; cuando x → +∞,

f(x) ∼ arxr,

log f(x) ∼ r log x (si ar > 0).



METODOS BASICOS DE INTEGRACION

INTEGRALES ELEMENTALES:

1)∫

(x + a)r dx =(x + a)r+1

r + 1+ C [r �= −1] 2)

∫dx

x + a= log |x + a| + C

3)∫

ex dx = ex + C 4)∫

cos x dx = sen x + C

5)∫

sen x dx = − cos x + C 6)∫

cosh x dx = senh x + C

7)∫

senh x dx = cosh x + C 8)∫

dx

cos2 x=

∫(1 + tg2 x) dx = tg x + C

9)∫

dx

sen2 x= − ctg x + C 10)

∫dx

(x + a)2 + b2=

1b

arc tgx + a

b+ C = −1

barc ctg

x + a

b+ C1 [b �= 0]

11)∫

2(x + a)(x + a)2 + b

dx = log |(x + a)2 + b| + C 12)∫

2(x + a)[(x + a)2 + b]n

dx =1/(1 − n)

[(x + a)2 + b]n−1+ C [n �= 1]

13)∫

dx√(x + a)2 + b

= log∣∣∣x + a +

√(x + a)2 + b

∣∣∣ + C 14)∫

dx√b2 − (x + a)2

= arc senx + a

b+ C = − arccos

x + a

b+ C1 [b > 0]

15)∫

dx

x2 + 1= arc tg x + C = − arc ctg x + C1 16)

∫dx√

x2 + 1= arg senhx + C = log(x +

√x2 + 1) + C

17)∫

dx√1 − x2

= arc sen x + C = − arccos x + C1 18)∫

dx√x2 − 1

= arg cosh x + C = log∣∣∣x +

√x2 − 1

∣∣∣ + C

INTEGRACION POR PARTES:∫

f(x)g′(x) dx = f(x)g(x) −∫

f ′(x)g(x) dx.

CAMBIO DE VARIABLE: Si∫

f(t) dt = F (t), esto es, F ′(t) = f(t), y ϕ es una funcion derivable, entonces∫

f(ϕ(x))ϕ′(x) dx =F (ϕ(x)). Abreviadamente, ∫

f(ϕ(x))ϕ′(x) dx =∫

f(t) dt = F (t) = F (ϕ(x)).

En el primer paso “se hace el cambio de variable t = ϕ(x), dt = ϕ′(x) dx”; en el ultimo paso “se deshace el cambio t = ϕ(x)”.



INTEGRACION DE ALGUNOS TIPOS DE FUNCIONES

I) FUNCIONES INTEGRABLES POR PARTES:∫

f(x)g(x) dx, donde f(x) es un polinomio y g(x) es una de las funcionessiguientes: eax, sen ax, cos ax, arc sen ax, arc tg ax, log x, (x + a)n, . . . ; o bien f(x) es una funcion seno o coseno y g(x) es unafuncion exponencial. Se aplica el metodo de integracion por partes.

II) FUNCIONES RACIONALES (COCIENTES DE POLINOMIOS):

II-1) In =∫

dx(1+x2)n , donde n ∈ N. Se resuelve de forma recurrente: I1 = arc tg x + C; si n ≥ 2,

In =1

2n − 2· x

(1 + x2)n−1+

2n − 32n − 2

· In−1

II-2)∫

dx(x2+ax+b)n , donde a2 − 4b < 0 y n ∈ N. Se reduce al caso anterior haciendo cuadrados y el cambio de variable y = x + a

2 :

∫dx

(x2 + ax + b)n= (b − a2

4)

12−n

∫dx

(1 + y2)n

II-3)∫

Mx+N(x2+ax+b)n dx, donde a2 − 4b < 0 y n ∈ N. Se reduce a una integral inmediata y otra del tipo anterior:

∫Mx + N

(x2 + ax + b)ndx =

M

2

∫2x + a

(x2 + ax + b)ndx + (N − aM

2)∫

dx

(x2 + ax + b)n

II-4)∫ P (x)

Q(x) dx, donde P y Q son polinomios. Se reduce a integrales inmediatas y de los tipos anteriores, descomponiendo P (x)Q(x) en

fracciones simples.



III) ALGUNAS FUNCIONES IRRACIONALES:

III-1)∫

R(x, xm/n, . . . , xr/s) dx, donde R es una funcion racional. Se reduce a la integral de una funcion racional mediante el cambiox = tk, donde k es un comun multiplo de los denominadores n, . . . , s.

III-2)∫

R(x,

(ax+bcx+d

)1/n )dx, donde R es una funcion racional. Se reduce a la integral de una funcion racional con el cambio ax+b

cx+d = tn.

III-3)∫

dx√ax2+bx+c

. Si a = 0 es inmediata. Y si a �= 0 tambien, ya que∫

dx√ax2 + bx + c

=∫

dx√a(x + b

2a )2 + c − b2

4a

.

III-4)∫ P (x)√

ax2+bx+cdx, donde P es un polinomio. Se hallan una constante K y un polinomio Q con grQ < grP , tales que

∫P (x)√

ax2 + bx + cdx = Q(x)

√ax2 + bx + c + K

∫dx√

ax2 + bx + c.

III-5)∫

dx(x−u)m

√ax2+bx+c

. Se hace el cambio x − u = 1t y se reduce a una de las anteriores.

III-6)∫

R(x,√

a2 − (x + b)2) dx, donde R es una funcion racional. Se reduce a la integral de una funcion de tipo trigonometrico medianteuno de los dos cambios x + b = a cos t, x + b = a sen t.

III-7)∫

R(x,√

(x + b)2 − a2) dx, donde R es una funcion racional. Se reduce a la integral de una funcion de tipo trigonometrico medianteuno de los dos cambios x + b = a

cos t , x + b = asen t .

III-8)∫

R(x,√

a2 + (x + b)2) dx, donde R es una funcion racional. Se reduce a la integral de una funcion de tipo trigonometrico medianteuno de los dos cambios x + b = a tg t, x + b = a

tg t .

III-9)∫

R(x,√

ax2 + bx + c) dx, donde R es una funcion racional. O bien se expresa como uno de los tres tipos anteriores, o bien sereduce a la integral de una funcion racional mediante un cambio de Euler:

a)√

ax2 + bx + c = t ± x√

a, si a > 0;

b)√

ax2 + bx + c = tx ±√c, si c > 0;

c)√

ax2 + bx + c = t(x − u), si au2 + bu + c = 0.



III-10)∫

xr(a + bxs)p dx, donde r, s y p son numeros racionales. Solo se integran en los siguientes casos:

a) Si p ∈ N, se desarrolla (a + bxs)p y es inmediata.

b) Si p es un entero negativo, se hace el cambio x = tk, donde k es un denominador comun de las fracciones r y s.

c) Si r+1s ∈ Z, se hace el cambio a + bxs = tk, donde k es el denominador de la fraccion p.

d) Si r+1s + p ∈ Z, se hace el cambio a + bxs = xstk, donde k es el denominador de la fraccion p.

IV) FUNCIONES TRIGONOMETRICAS:

IV-1)∫

R(sen x, cos x) dx, donde R es una funcion racional. Se reduce a la integral de una funcion racional:

a) Si R(− sen x, cos x) = −R(sen x, cos x), con el cambio cos x = t.

b) Si R(sen x,− cos x) = −R(sen x, cos x), con el cambio sen x = t.

c) Si R(− sen x,− cos x) = R(sen x, cos x), con el cambio tg x = t.

d) En cualquier caso, con el cambio tg x2 = t, dx = 2 dt

1+t2 , cos x = 1−t2

1+t2 , sen x = 2t1+t2 .

IV-2) Los productos de funciones trigonometricas se transforman en sumas, mediante las formulas siguientes:

2 sen a sen b = cos(a − b) − cos(a + b);2 cos a cos b = cos(a − b) + cos(a + b);2 sen a cos b = sen(a − b) + sen(a + b).

En particular: cos2 a = 1+cos 2a2 ; sen2 a = 1−cos 2a

2 .



SERIES DE POTENCIAS

11− x

=∞∑

n=0

xn, si |x| < 1.

ex =∞∑

n=0

1n!

xn, para cada x ∈ R.

(1 + x)α =∞∑

n=0

(α

n

)xn, si |x| < 1.

log(1 + x) =∞∑

n=1

(−1)n−1

nxn, si − 1 < x ≤ 1.

senx =∞∑

n=0

(−1)n

(2n + 1)!x2n+1, para cada x ∈ R.

cos x =∞∑

n=0

(−1)n

(2n)!x2n, para cada x ∈ R.

arc senx =∞∑

n=0

(2n)!22n(n!)2(2n + 1)

x2n+1, si |x| ≤ 1.

arc tg x =∞∑

n=0

(−1)n

2n + 1x2n+1, si |x| ≤ 1.

senh x =∞∑

n=0

1(2n + 1)!

x2n+1, para cada x ∈ R.

coshx =∞∑

n=0

1(2n)!

x2n, para cada x ∈ R.

arg senhx =∞∑

n=0

(−1)n(2n)!22n(n!)2(2n + 1)

x2n+1, si |x| ≤ 1.

arg tghx =∞∑

n=0

12n + 1

x2n+1, si |x| < 1.



FORMULA DE TAYLOR (DESARROLLOS LIMITADOS)

f(x) =n∑

k=0

f (k(a)k!

(x− a)k + Rn(x); Rn(x) =f (n+1(t)(n + 1)!

(x− a)n+1 = o((x− a)n), x → a

EJEMPLOS:

1)1

1− x= 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn +

1(1− t)n+2

xn+1.

2) senx = x− 13!

x3 +15!

x5 − 17!

x7 + . . . +(−1)n

(2n + 1)!x2n+1 +

(−1)n+1 cos t

(2n + 3)!x2n+3.

3) cos x = 1− 12!

x2 +14!

x4 − 16!

x6 + . . . +(−1)n

(2n)!x2n +

(−1)n+1 cos t

(2n + 2)!x2n+2.

4) tg x = x +13x3 +

215

x5 +17315

x7 + o(x8), cuando x → 0.

5) sec x = 1 +12x2 +

524

x4 +61720


6) arc senx = x+16x3 +

340

x5 +5

112x7 + . . .+

1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)2 · 4 · 6 · . . . · (2n)

· x2n+1

2n + 1+ o(x2n+2),

cuando x → 0.

7) arc tg x = x− 13x3 +

15x5 − 1

7x7 + . . . +

(−1)n

2n + 1x2n+1 + o(x2n+2), cuando x → 0.

8) ex = 1 + x +12!

x2 +13!

x3 + . . . +1n!

xn +et

(n + 1)!xn+1.

9) log(1 + x) = x− 12x2 +

13x3 − 1

4x4 + . . . +

(−1)n−1

nxn +

(−1)n

(n + 1)(1 + t)n+1xn+1.

10) (1 + x)α = 1 + αx +(

α

2

)x2 + . . . +

(α

n

)xn +

(α

n + 1

)(1 + t)α−n−1xn+1.

11) senhx = x +13!

x3 +15!

x5 +17!

x7 + . . . +1

(2n + 1)!x2n+1 +

cosh t

(2n + 3)!x2n+3.

12) coshx = 1 +12!

x2 +14!

x4 +16!

x6 + . . . +1

(2n)!x2n +

cosh t

(2n + 2)!x2n+2.

13) tghx = x− 13x3 +

215

x5 − 17315


14) arg senhx = x− 16x3 +

340

x5 + . . . + (−1)n 1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)2 · 4 · 6 · . . . · (2n)

· x2n+1

2n + 1+ o(x2n+2),

cuando x → 0.

15) arg tghx = x +13x3 +

15x5 +

17x7 + . . . +

12n + 1

x2n+1 + o(x2n+2), cuando x → 0.


FORMULARIO DE ANALISIS MATEMATICO

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