Formulario matemticas 2010
21
FORMULARIO DE MATEMATICAS COESMA 2010 ÍNDICE MATEMÁTICAS Geometría Trigonometría Números Complejos Geometría Analítica del Espacio Reglas Generales de Derivación Tablas de Integrales Vectores Integrales Múltiples Fórmulas Misceláneas Series de Fourier Transformada de Laplace 1
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FORMULARIO DE MATEMATICAS
COESMA 2010
ÍNDICE
MATEMÁTICAS
GeometríaTrigonometríaNúmeros ComplejosGeometría Analítica del EspacioReglas Generales de DerivaciónTablas de IntegralesVectoresIntegrales MúltiplesFórmulas MisceláneasSeries de Fourier Transformada de Laplace
1
FORMULARIO DE MATEMÁTICAS
Geometría
Volumen 43
3 r
Área de la Superficie 4 2 r
Volumen r h2
Área de la superficie lateral 2 rh
r
h
Volumen 13
2 r h
Área de la superficie lateral r r h r l2 2
Volumen 13
2 2 h a ab b
Área de la superficie lateral
a b h b a
a b l
2 2
h
a
b
l
2
Trigonometría
sen sen cos cos senA B A B A B
cos cos cos sen senA B A B A B
tan A BtanA tanB
tanAtanB
1
sen sen A A
cos cos A A sen sen cos cosA B A B A B 12
sen cos sen senA B A B A B 12
cos cos cos cosA B A B A B 12
Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C.
Ley de los senos
Ley de los cosenosc a b a b C2 2 2 2 cos
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
Ley de las tangentes
a b
a b
tan A B
tan A B
1212
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
A
B
C
a
c
b
Números Complejos
Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que r i r p i p
p pcos sen cos sen
Sea n cualquier entero positivo y , entonces
r i r in n kn
kncos sen cos sen 1 1 2 2
donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número complejo haciendo
3
Geometría Analítica del Espacio
Considerando P x y z1 1 1 1 , , y P x y z2 2 2 2 , ,
Vector que une P1 y P2 : PP x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1 , , , ,
Distancia entre dos puntos:
d x x y y z z l m n 2 1
2
2 1
2
2 1
2 2 2 2
Recta que pasa por dos puntos:- Forma Paramétrica:
x x l t 1 y y mt 1 z z n t 1
-Forma Simétrica:
tx x
l
1 ty y
m
1 tz z
n
1
Cosenos Directores:
cos
x x
d
l
d2 1 cos
y y
d
m
d2 1 cos
z z
d
n
d2 1
donde , , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente.
Ecuación del Plano:
- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a
1 2 3, , :
a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0
-Forma General:Ax By Cz D 0
cos cos cos2 2 2 1 o
Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0
en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.
4
Coordenadas cilíndricas:
x r
y r
z z
cos
sen
o
r x y
tan
z z
yx
2 2
1
r
z
y
x
y
z
P(x,y,z)(r,z){
x
O
Coordenadas esféricas:
x r
y r
z r
sen cos
sen sen
cos
o r x y z
tanyx
z
x y z
2 2 2
1
12 2 2
cos
z
y
x
y
P (r,{
(x,y,z)
O
z
r
x
Ángulo entre dos rectas en el plano tan
m m
m m2 1
1 21
Reglas Generales de Derivación
d
dxcx c
d
dxcx ncxn n 1
d
dxu v w
du
dx
dv
dx
dw
dx
d
dxcu c
du
dx
d
dxuv u
dv
dxv
du
dx
d
dxuvw u v
dw
dxu w
dv
dxv w
du
dx
d
dx
u
v
v dudx u dv
dxv
2
d
dxu nu
du
dxn n 1
(Regla de la cadena)
5
Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas
d
dxu
e
u
du
dxa aa
aloglog
, 0 1
Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas
d
dxu
u u
du
dx u u
du
dx
si u
si usec
sec
sec
1
2 2
12
21
1
1
1
1
0
d
dxu
u u
du
dx u u
du
dx
si u
si ucsc
csc
csc
1
2 2
12
21
1
1
1
1
0
0
Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas
d
dxu u
du
dxcoth csc h2
d
dxu u u
du
dxsec sec tanhh h
d
dxu u u
du
dxcsc csc cothh h
6
d
dxu
u
du
dx
si u u
si u ucos
cosh ,
cosh ,h-1
1
1
0 1
0 12
1
1
d
dxu
u
du
dxu o ucoth
12
1
11 1
d
dxu
u u
du
dx
si u u
si u usec
sec ,
sec ,h
h
h-1
1
1
0 0 1
0 0 12
1
1
d
dxu
u u
du
dx u u
du
dxsi u si ucsc ,h-1
1
1
1
10 0
2 2
Regla de L`Hopital
Tablas de Integrales
u dv uv v du csc cot cscu u du u C u du
nu C nn n
1
111
du
uu C ln cot ln senu du u C
e du e Cu u a du
a
aCu
u
ln
csc ln csc cotudu u u C
sen cosudu u C du
a u
u
aC
2 2
1
sen
du
u u a a
u
aC
2 2
11
sec
csc cot2 u du u C du
a u a
u a
u aC2 2
1
2
ln
du
u a a
u a
u aC2 2
1
2
ln
a u duu
a ua
u a u C2 2 2 22
2 2
2 2 ln
du
u a u a
a u a
uC
2 2
2 21
ln
u a u duu
a u a ua
u a u C2 2 2 2 2 2 22
2 2
82
8 ln
du
u a u
a u
a uC
2 2 2
2 2
2
7
a u
udu a u a
a a u
uC
2 22 2
2 2
ln
du
a u
u
a a uC
2 2 3 2 2 2 2
/
a u
udu
a u
uu a u C
2 2
2
2 22 2
lna u du
ua u
a u
aC2 2 2 2
21
2 2 sen
du
a uu a u C
2 2
2 2
ln
u du
a u
ua u
au a u C
2
2 2
2 22
2 2
2 2 ln
a u
udu a u a
a a u
uC
2 22 2
2 2
ln
a u
udu
ua u
u
aC
2 2
22 2 11
sen u a duu
u aa
u u a C2 2 2 22
2 2
2 2 ln
u du
a u
ua u
a u
aC
2
2 2
2 22
1
2 2 sen
Cdu
u a u a
a a u
uC
2 2
2 21
ln
u a
udu u a a
a
uC
2 22 2 1
cos
du
u a u a ua u C
2 2 2 22 21
u a
udu
u a
uu u a C
2 2
2
2 22 2
ln
du
u au u a C
2 2
2 2
ln
du
a u
u
a a uC
2 23
2 2 2 2
du
u u a
u a
a uC
2 2 2
2 2
2
du
u a
u
a u aC
2 23
2 2 2 2
udu
a bu ba bu a a bu C
1
2 ln u du
a bu ba b u abu a bu
2
32 2 22
158 3 4
du
u a bu a
a bu a
a bu aC a
1
0ln , si
201
a
a bu
aC atan , si
du
u a bu a
u
a buC
1
lna bu
udu a bu a
du
u a bu
2
du
u a bu au
b
a
a bu
uC2 2
1
ln
a bu
udu
a bu
u
b du
u a bu
2 2
udu
a bu
a
b a bu ba bu C
2 2
1ln
u a budu
b nu a bu na u a budun n n
2
2 3
32 1
8
du
u a bu a a bu a
a bu
uC
2 2
1 1ln
u du
a bu
u a bu
b n
na
b n
u du
a bu
n n n
2
2 1
2
2 1
1
du
u a bu
a bu
a n u
b n
a n
du
u a bun n n
1
2 3
2 11 1
u a budub
bu a a bu C 2
153 22
32
udu
a bu bbu a a bu
2
322
sen sen2 12
14 2udu u u C csc csc cot ln csc cot3 1
212udu u u u u C
cos sen2 12
14 2udu u u C sen sen cos senn
nn nu du u u
n
nu du
1 1 21
cos cos sen cosnn
n nu du u un
nu du
1 1 21
sen sen cos3 13
22udu u u C cot cot cotn n nudun
u udu
1
11 2
cos cos sen3 13
22u du u u C sec sec secn n nu dun
tanu un
nu du
1
1
2
12 2
csc cot csc cscn n nu dun
u un
nu du
1
1
2
12 2
cot cot ln sen3 12
2u du u u C
sen sen
sen senau bu du
a b u
a b
a b u
a bC
2 2
sec sec ln sec3 12
12u du u tanu u tanu C
cos cos
sen senau bu du
a b u
a b
a b u
a bC
2 2
sen cos
cos cosau bu du
a b u
a b
a b u
a bC
2 2
u udu u u n u udun n ncos sen sen 1
u udu u u u Csen sen cos sen cosn mu udu
sen cos
sen cosn m
n mu u
n m
n
n mu u du
1 121
sen cos
sen cosn m
n mu u
n m
m
n mu udu
1 121
u u du u u u Ccos cos sen u u du
uu
u uCcos cos
1
21
22 1
4
1
4u u du u u n u u dun n nsen cos cos 1
sen sen 1 1 21u du u u u Cu u du
nu u
u du
unn n
n
sen sen ,
1 1 1
1
2
1
1 11
cos cos 1 1 21udu u u u Cu udu
nu u
u du
unn n
n
cos cos ,
1 1 1
1
2
1
1 11
9
u u duu
uu u
Csen sen
12
122 1
4
1
4
ue dua
au e Cau au 112
ln lnudu u u u C
u e dua
u en
au e dun au n au n au 1 1
u u du
u
nn u Cn
n
ln ln
1
211 1
e bu due
a ba bu b bu Cau
au
sen sen cos
2 2
1
u udu u C
lnln ln
e bu due
a ba bu b bu Cau
au
cos cos sen
2 2
senh coshudu u C cosh senhudu u C
coth ln senhudu u C
22
22
2 22
1au u duu a
au ua a u
aC
cos
du
a u u
a u
aC
2 2
1
cos
u au u duu au a
au ua a u
aC2
2 3
62
22
22
31
cos
udu
au ua u u a
a u
aC
22
2
2 1
cos
22
2
22 1
a u u
udu a u u a
a u
aC
cos
du
u a u u
a u u
a uC
2
22
2
2 2 22
2
21
a u u
udu
a u u
u
a u
aC
cos
Teorema Fundamental del Cálculo
10
Vectores
A B A B cos 0
donde es el ángulo formado por A y B
A B A B A B A B1 1 2 2 3 3
donde A i j k A A A1 2 3 , B i j k
B B B1 2 3
Son resultados fundamentales:
Producto cruz:
Magnitud del Producto Cruz
El operador nabla se define así:
En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z) tienen derivadas parciales.
Gradiente de U = grad U
Divergencia de A = div A
A
x
A
y
A
z1 2 3
Rotacional de A = rot A
A
y
A
z
A
z
A
x
A
x
A
y3 2 1 3 2 1i j k
Laplaciano de U =
11
Integrales Múltiples
donde y f x 1 e y f x 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:
donde , son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G.
Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones.
Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico .
En parámetro arbitrario: En parámetro s:
Vector tangente unitario
t tr t
r t( )
( )
( )
t s r s( ) ( )
Vector normal principal
n sr s
r s( )
( )( )
Vector binormal
Los vectores unitarios t n b, , forman un triedo positivo
b t n n b t t n b x x x, ,
Recta tangente en Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica
r r t r t 0 0
Plano osculador t n, en
Ecuación vectorial Ecuación paramétrica
r r t r t xr t 0 0 0 0
x x y y z z
x y z
x y z
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
12
Curvatura y Torsión
tr t r t
r tt
r t r t r t
r t r t
x x
x3 2
Plano Normal
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
r r t r t 0 0 0 x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0
Plano Rectificante t b, en
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
r r t n t 0 0 0
x x y y z z
x y z
y z y z z x z x x y x y
- - -0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración
Propiedades de la Divergencia
i) div ( + ) = div ( ) +div ( )
ii) div ( ) = div( ) + ( grad )
iii) div ( + ) = G rot ( ) - ( )
13
Fórmulas misceláneas
Ecuaciones paramétricas de la cicloide para
Trabajo W
Longitud de arco de y f x en
Centro de gravedad de una región plana ,
Longitud de arco en forma paramétrica
Momento de inercia de R respecto al origen
Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x
Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y
Cálculo del volumen
Ecuación diferencial de primer orden y P x y Q x( ) ( )
Solución ye Q x e dx kP x dx P x dx( ) ( )
( )
Ecuación del resorte helicoidal r t t tt
( ) cos ,sen ,2
Derivada direccional D f x y z f x y zu
, , , , u (
u vector unitario)
Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC Lq RqC
q E t 1
Fuerza ejercida por un fluído
Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo F A x g A x g 2 20
Ley de Torricelli v =
14
Series de Fourier15
ao =
∏
∫ f (x) dx -∏
1 2∏
an =
∏
∫ f (x) -∏
1 ∏
cos nx dx
n= 1, 2, 3…
bn =
∏
∫ f (x) -∏
1 ∏
sen nx dx
n=1F(x)= a0 + ∑
∞ ( an cos nx + bn sen nx)
n= 1, 2, 3…
