STORIA E APPLICAZIONI DI UN CONCETTO MATEMATICO

AUTORE: TOMIRI GIUSY 1

INDICE

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1. IL CONCETTO DI Φ E L’IRRUZIONE DELL’IRRAZIONALE NELLA MATEMATICA GRECA

2. LA BELLEZZA: LA SIMMETRIA E LA MISURA

3. IL Φ NEL RINASCIMENTO

4. IL FASCINO DEL NUMERO AUREO E LA MODERNITA’

5. IL NUMERO AUREO NELL’ ARTE: ESEMPI

1. LA SEZIONE AUREA

Con sezione aurea si indica, in arte e in matematica, il rapporto fra due grandezze

diseguali di cui a maggiore è il medio proporzionale tra la minore e la loro

somma (a+b) : a = a:b.

Questo rapporto vale approssimativamente 1,618

Un canone di armonia e di bellezza che ha da sempre attratto intellettuali e

artisti3

LO SPETTRO DELL’IRRAZIONALE NELLA MATEMATICA PITAGORICA

I pitagorici attribuivano al numero un carattere sacro e credevano che tramiteesso tutto potesse essere misurato, che tutto era numero.

I numeri naturali utilizzati con frazioni sono chiamati numeri razionali, il terminerazionale la stessa radice di ragione, nel senso di relazione di proporzione tradue quantità.

Nella scuola Pitagorica, però, si era scoperto che la diagonale di un quadrato dilato = 1 , cioè il Φ, era una grandezza non razionale bensì irrazionale.

Infatti la radice quadrata di 2

non era un numero razionale perché non si poteva esprimere come quoziente di due numeri naturali.

Ma ciò contraddiceva i fondamenti del loro pensiero, che stabiliva che il numero indivisibile e intero fosse la base dell’universo.

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IL Φ GRECO

Inoltre l’espressione decimale dei numeri razionali e irrazionali èdiversa.

I decimali dei numeri razionali producono una sequenza ripetutachiamata periodo, mentre i decimali di numeri irrazionali non siripetono con nessun tipo di modello e appaiono in disordineapparente. Se facciamo suonare i decimali di un numero razionaleabbiamo una melodia, a differenza dei decimali degli irrazionali.

Il phi greco è un numero irrazionale che mai potrà avereespressione decimale esatta. Inoltre non ci sarà mai nessun gruppodei suoi decimali che si ripete in modo periodico. Quindi è unnumero decimale non periodico.

Φ = 1,618033988749894….

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CRISI DELLA SCUOLA PITAGORICA

CERTEZZA NELLA MISURABILITA’ DEL COSMO

SCOPERTA DEL phi

INIZIA LA CRISI

LEGGENDE

IMPERFEZIONE DEL COSMO

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Per i Pitagorici, secondo la loro idea

di armonia e perfezione, tutto era

misurabile, calcolabile, quindi finito

Il primo a scoprire il phi fu Ippaso da

Metaponto, con esso scoprì

l’incommensurabilità.

La scoperta dell’incommensurabile era

pericolosa perché minava la finitudine

e la misurabilità del cosmo

Ippaso si narra, sia perito in mare per

la sua empietà. La scoperta era da

tenere il più possibile segreta.

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SEZIONE AUREA NELLA GEOMETRIA EUCLIDEA

Il primo a studiare e descrivere la sezione aurea fu Euclide nella sua opera più importante “Gli Elementi”, dove ne fornisce la definizione.

1º DEFINIZIONE UTILITA’ DELLA SEZIONE AUREA

Nel IV libro Euclide recita così: “Dividere unsegmento in media ed estrema ragione”.

Cioè trovare quella parte del segmento che èmedia proporzionale fra l’intero segmento e laparte rimanente, cioè trovare la sezione aurea.Nel sesto libro abbiamo la terza celebredefinizione, secondo cui il tutto sta alla partecome la parte sta al rimanente.

La relazione fra le lunghezze dei segmentisarà sempre la stessa, da qualsiasi segmentopartiamo e indipendentemente dallalunghezza del segmento iniziale laproporzione avrà lo stesso valore.La sezione aurea era utile, secondo Euclide,per costruire diverse figure geometriche: ilpentagono,l ’icosaedro, il dodecaedro, iltetraedro e l’ottaedro.Solidi dotati di grandi proprietà estetiche.

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IL PENTAGONO AUREO

LA SEZIONE AUREA RAPPORTI UGUALI A Φ

Il lato del pentagono regolare è

sezione aurea della diagonale del

pentagono

Una delle più importanti

proprietà del pentagono è la

possibilità di costruire infiniti

pentagoni gli uni dentro gli altri.

La diagonale e il lato del

pentagono sono

incommensurabili, il loro

rapporto è phi:

AD/CD; CD/LC;LC/LF;

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IL RETTANGOLO AUREO

• Con l’uso della sezione aurea è possibile

costruire il rettangolo aureo, con un lato che è

sezione aurea dell’altro.

• Quello aureo è l’unico rettangolo che

consente ,togliendo un quadrato dalla sua

area, di ottenere un rettangolo simile al primo.

• Il procedimento può essere ripetuto infinite

volte fino a convergere in un punto che è

esattamente l’intersezione tra il primo

rettangolo aureo e il secondo.

• Questo punto è stato chiamato l’occhio di

Dio, alludendo alle proprietà divine

attribuite a phi .

EF:AE = AE: (EF-AE) AE è la sezione aurea di EF

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2. IL PRINCIPIO DI SIMMETRIA E IL VERO

Il concetto di bello, per i Greci, è unito a quello di buono. Il termine stesso,"bello“ e è un diminutivo dalla radice "duenulus bonulus", è cioè qualcosa di"mediamente buono".

La bellezza riguarda solo ciò che è misurabile. Ad esempio, nel Tempio diApollo di Delfi c’è scritto che la misura è tutto;.Se noi prendiamo la geometria pitagorica, sappiamo che possiamo costruiredelle figure che sono, nello stesso tempo vere, perché matematicamentebasate, e belle.

La bellezza legata al principio della misura implica anche che la bellezza siacalcolabile e che, essendo essa calcolabile ed oggettiva, debba seguiredeterminate regole. Aritmetica ha la stessa radice di ritmo, è ciò che èmisurabile nel nostro mondo.

Ogni arte, per i Greci, deve mantenere insieme l’esattezza e il pathos, quindi laverità e la bellezza.

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L’ ASIMMETRIA E IL NON-ESSERE

Nella filosofia greca l’irregolarità e la mancanza di simmetria sipresentano sotto la forma del "non-essere".Quando una statua manca della proporzione giusta - secondo il canone diPolicleto, per esempio, una testa maschile deve essere dal mentoall’attaccatura dei capelli un decimo dell’altezza del corpo - la statua èbrutta; si dice che è colpita da questa maledizione del non-essere.

La tradizione classica considera brutto l’irregolare perché esso è semprelegato all’idea di una minaccia, di qualche cosa che il bello riesce adomare, ma non completamente. Il brutto è lo spuntare, per così dire, delcaos nell’ordine, dell’incommensurabile e dello smisurato.

La religione greca della fase cosiddetta olimpica, è governata da Zeus, il cuigenitivo in greco è "Diós", cioè il Dio della "dies", della "luce diurna",quello che stabilisce esattamente le proporzioni e che ha per così diresottomesso, in una specie di colpo di stato divino, suo padre e le altrepotenze, che sono state poi respinte nell’inferno, nel mondo sotterraneo,ed ha stabilito un dominio della forma.

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LA SEZIONE AUREA NELL’ARTE CLASSICA

•La sezione aurea ebbe sulla culturagreca un tale fascino che architetti escultori hanno voluto farne il lorocanone di perfezione, bellezza earmonia.

•I loro templi ancora oggi evocanoun senso di equilibrio, armonia eperfezione, con il ritmo delleproporzioni.

Raggiungere l’armonia universale intesa come “unificazione della molteplicità frammista e messa in concordanza della discordanza” (Filolao, fr.B, 10 DK)

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UNIFICARE LE SCIENZE E LE ARTI SECONDO RAPPORTI ARMONICI

OGNI PARTE DI UN OPERA D’ARTEDEVE ESSERE UN MICROCOSMO

CONFERIRE AGLI EDIFICI L’IDEA DI EQUILIBRIO E PERFEZIONE

EQUILIBRIO PERFETTO TRA L’OPPOSIZIONE DEI PRINCIPI

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FIDIA

Fu chiamato da Pericle ad erigere ilPartenone.

Scultore e architetto, la perfezione delle sueopere e l’ampio uso della sezione aureahanno portato ad indicare il valore delrapporto aurea con la lettere iniziale del suonome, phi.

La bellezza consiste nell’armonia fra le partie il tutto, le proporzioni e le mediepitagoriche sono alla base dell’universo.

La ragione secondo cui il tutto sta alla partecome la parte sta al rimanente è sempre ilphi, il numero aureo, che è anche alla basedella costruzione del Partenone.

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IL PARTENONE Costruito sul colle che domina la città di

Atene nel 440/430 a.c., contiene moltirettangoli aurei e le stesse proporzioniauree si riscontrano nelle statue

La sua larghezza e altezzacorrispondevano esattamente airettangoli aurei, ma anche l’altezza e lasommità del timpano alla base delpiedistallo è divisa secondo il rapportoaureo.

Anche nella pianta è possibile notare unrettangolo aureo.

Nel Partenone è presente unasuccessione di rettangoli aurei,perché cara agli artisti greci era lapossibilità geometrica diriprodurre infinite volte ilrapporto aureo.

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3. Φ NEL RINASCIMENTO: LUCA PACIOLI “Commo Idio propriamente non se po diffinire ne per parolle a noi intendere, così questa

nostra proportione non se po mai per numero intendibile asegnare, né per quantità alcunarationale exprimere, ma sempre fia occulta e secreta e da li mathematici chiamata irrationale”

(Luca Pacioli, De Divina Proportione)

Con queste parole Luca Pacioli ci spiega il motivo per cui la proporzione aurea è degna diessere chiamata divina, infatti, il fatto che il rapporto aureo sia espresso da un numeroirrazionale e l’impossibilità, per l’intelletto umano, di comprendere l’idea delladivinità sarebbero equivalenti.

Luca Pacioli (1445-1517) frate francescano del rinascimento,esperto di matematica, geometria ed arte, nel suo celebretrattato il De divina Proprtione, pubblicato nel 1509, dà unimportante fondamento al lavoro creativo degli artistidell’epoca.

Infatti, egli mostra con sessanta illustrazioni realizzate dal“degnissimo pictore prospectivo architecto musico, e detutte virtu doctato, Leonardo Da Vinci” come realizzare isolidi regolari partendo dalla sezione aurea servendosianche di altri celebri trattati come gli Elementi di Euclide.

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LEONARDO DA VINCI

Leonardo Da Vinci nel 1497, durante la suapermanenza nella corte milanese degliSforza, incontrò Luca Pacioli di cui oltre adiventare grande amico divenne anche suocollaboratore e i due instaurarono un vivacerapporto culturale.

L’uomo Vitruviano ne è un esempio, infatti,in esso Leonardo oltre a mostrare pienamentela teoria della proporzionalità del corpoumano descritta da Luca Pacioli e da MarcoVitruvio, mostra anche che il corpo umano èperfetto se l’ombelico divide l’altezzadell’uomo secondo il rapporto aureo.

Luca Pacioli nel secondo volume del De Divina Proportione, attingendo dal DeArchitectura di Marco Vitruvio Pollione (celebre architetto romano; 70-25 a.c.), scrive:

“Dal corpo humano ogni mesura con le sue denominationi deriva e in epso tutte sorti deproportioni e proportionalita secreti dela natura”(Luca Pacioli, De Divina Proportione)

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LEONARDO DA VINCI E LA SEZIONE AUREA Molti matematici e storici-d’arte

contemporanei hanno individuatol’uso della sezione aurea anche innumerose altre opere di Leonardo.

Le più celebri sono la “Verginedelle Rocce”, “L’Ultima Cena” e la“Gioconda”

Nella Gioconda il rapporto aureo èstato individuato:

1. nella disposizione del quadro2. nelle dimensioni del viso3. nell’area che va dal collo a sopra

le mani4. in quella che va dalla scollatura

dell’abito fino a sotto le mani.5. nelle fattezze del viso.

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L’ULTIMA CENA: il rettangolo che racchiude lafigura di Gesù Cristo è stato supposto essereaureo.

LA VERGINE DELLE ROCCE: per capire lapresenza del rapporto aureo nella vergine dellerocce basta fare il rapporto fra l’altezza e la base:

199cm/122cm = 1,631, vicino al phi

LE OPERE

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4. LA SPIRALE AUREA

Con l’avvento dell’età della ragione vengono scoperte altreinteressanti proprietà della sezione aurea.

Jacques Bernoulli e la scoperta della spiralelogaritmica: in un suo celebre trattato, Spira Mirabilis,discute su un particolare tipo di spirali: le spiralilogaritmiche, spirali che crescendo non cambiano forma; laspirale diventa sempre più ampia e la distanza tra un giro ei successivi aumenta man mano che ci si allontanadall’origine, ma se ingrandissimo con un microscopio laparte di spirale più vicina all’origine questa sisovrapporrebbe alla parte più grande.

Spirale aurea: è un particolare tipo di spirale logaritmicache si ottiene dal rettangolo aureo, infatti, tracciando perogni quadrato un quarto di circonferenza tangente ai lati siottiene una spirale (la spirale aurea) che approssima unaspirale logaritmica; essa si ottiene anche dal triangoloaureo.

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LA SPIRALE LOGARITMICA

Supponiamo di partire da RA, al qualesottraiamo quadrati per ottenere nuovi RA

In ciascuno dei quadrati sottratti,tracciamo archi di circonferenza che hannocome raggio il lato del quadrato e comecentro un vertice di ciascuno di essi.Ovvero i punti 1,2,3,4,5…

Se continuiamo indefinitamente con lasuccessione dei quadrati, si ottiene laspirale logaritmica.

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SALVADOR DALI’: IL SACRAMENTO DELL’ULTIMA CENA

“Cosmologia aritmetica e filosofica basata sulla sublime paranoia del numero dodici”(Salvador Dalì)

Queste sono le parole che Dalì disse in una celebre intervista rilasciata per commentare ilquadro Il Sacramento dell’Ultima Cena. In questo dipinto la relazione con la sezione aurea èevidente, infatti, il rapporto: 268/167 = 1,604 è vicinissimo a phi.

Ma ciò che impressiona maggiormente è l’enorme dodecaedro che fluttua in aria, infatti, lefacce pentagonali del dodecaedro sono un chiaro riferimento alla sezione aurea.

Il dodecaedro non è legato solo alla sezione aurea, ma fra i solidi platonici è consideratol’emblema stesso del cosmo, come essenza ultima delle sue armonie.

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GIUSEPPE TERRAGNI: LA CASA DEL FASCIO

Un’altra corrente artistica che nel 1900, riprendendo l’arte classica, ha fatto uso dellasezione aurea fu il razionalismo che vede il suo massimo esponente in GiuseppeTerragni.

La Casa del Fascio a Como è considerata uno dei massimi capolavori delrazionalismo italiano. Si tratta di un prisma perfetto la cui altezza è esattamentemetà della base quadrata. Per sottolinearne il monumentalismo, Terragni lacostruisce su un basamento come negli edifici classici.

La modularità razionaledei pieni e dei vuotidelle facciate sonoproporzionati secondole regole della sezioneaurea.

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5. LA SEZIONE AUREA IN ARTE

Piramide di Cheope

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Pentagono stellato nei rosoni gotici

LA SEZIONE AUREA IN ARTE

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