formulario draft Sistemi II RSII -...

Sistemi a Radiofrequenza nelle Telecomunicazioni II

Formulario

© Politecnico di Torino Pagina 1 di 53

Data ultima revisione 17/01/2006 Autori: Daniele Trinchero Riccardo Stefanelli, Daniele Barbiero

Politecnico di Torino

Operatori Differenziali Definizioni Integrali

0

1ˆlim

VS

v v n dV∆ →

∆

∇⋅ = ⋅ Σ∆ ∫∫

n∆S

∆V

dΣ

Gradiente f∇

Divergenza v⋅∇

Rotore v∇×

Laplaciano ( ) ff 2∇=∇⋅∇

in coordinate Cartesiane

zz

fy

y

fx

x

ff ˆˆˆ

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

ˆ ˆ ˆyx zvv v

v x y zx y z

∂∂ ∂∇⋅ = + +

∂ ∂ ∂

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

x y z

y yx xz z

x y z

vx y z

v v v

v vv vv vx y z

y z z x x y

∂ ∂ ∂∇× = =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2

2

2

2

2

22

z

f

y

f

x

ff

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

z

y

x


Formulario




in coordinate Cilindriche

zz

ff

rr

r

ff ˆˆ1

ˆ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ φφ

( )1 1 ˆˆ ˆzz

v vv rv r z

r r r z

φ φφ

∂ ∂∂∇⋅ = + +

∂ ∂ ∂

( )1 1ˆˆ ˆz r z rvv v v v

v r rv zr z z r r r

φφφ

φ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∇× = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2

2

2

2

2

2 11

z

ff

rr

fr

rrf

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=∇

φ

Teorema di Gauss

S

ˆ dV

v dV v n∇⋅ = ⋅ ∑∫∫∫ ∫∫

Teorema di Stokes

( ) ˆ ˆ S C

v n d v c dc∇× ⋅ Σ = ⋅∫∫ ∫

Proprietà

( ) 0

0

v

f

∇⋅ ∇× =

∇×∇ =

Campo Solenoidale sv

0=⋅∇s

v

Campo Irrotazionale iv

0iv∇× =


Formulario




Grandezze Elettromagnetiche

• Carica Elettrica Q

• Densità di Carica Elettrica eρ

dV

dQe =ρ

• Densità di corrente elettrica J

vJ eρ=

• Corrente elettrica I

dsnJIS

ˆ∫ ⋅=

• Campo elettrico ε

• Campo magnetico H

• Vettore induzione elettrica D

• Vettore induzione magnetica B

• Permettività dielettrica ε )(0 rrεεε =

• Permettività magnetica µ

)(0 rrµµµ =

• Conducibilità elettrica eσ

• Conducibilità magnetica mσ

Unità di misura • ][] [][ CsAQ ==

• ] [] [][ 33 −− == mCmsAρ

• ] [][ 2−= mAJ

• ][][ AI =

• 3 1 1[ ] [ ] [ ]m kg s A V mε − − −= =

• ] [][ 1−= mAH

• 2 2[ ] [ ] [ ]D m s A C m− −= =

• ][]s [][ -1 TkgB ==

• ] [][ 1

0

−= mFε

• ] [][ 1

0

−= mHµ

• ] [][ 1−= mSσ


Formulario





Formulario




Guida d’Onda Metallica Rettangolare


Formulario





Formulario




Equazioni di Maxwell

mc ms

ec es

e

m

BJ J

t

DH J J

t

D

B

ρ

ρ

ε ∂∇× = − − − ∂

∂∇× = + + ∂∇ ⋅ =∇ ⋅ =

Relazioni costitutive

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, , ,rD r t r r t r r tε ε εε ε= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, , ,rB r t r H r t r H r tµ µ µ= =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

, ,

, ,

ec e

mc m

J r t r r t

J r t r H r t

σ

σ

ε=

=

Forza di Lorentz

e F q J Bε= + ×

Equazione di continuità della corrente

0eecJ

t

ρ∂+∇⋅ =

∂

0mmcJ

t

ρ∂+∇⋅ =

∂

Equazioni Integrali

• Legge di Faraday-Neumann ( )

ˆ b

c dct

φε ∂⋅ = −

∂∫

• Legge di Ampere-Maxwell ( )

ˆ d

sc dc It

Hφ∂

⋅ = +∂∫

• Legge di Gauss

ˆ eSD n d q⋅ Σ =∫∫

• Legge di conservazione del flusso di induzione

ˆ mSB n d q⋅ Σ =∫∫

• Legge di conservazione della carica

eq It

∂= −

∂


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Continuità dei campi all’interfaccia

( )2 1ˆ

sn D D ρ⋅ − =

( )2 1ˆ

mn B B ρ⋅ − =

( )2 1ˆ

mn Jε ε× − =

( )2 1ˆ

en H H J× − =

Fasori di campo Data una funzione reale armonica monocromatica con dipendenza temporale del tipo:

0 0 0( , ) ( ) ( ) ( ) cos( ) R e ( ) j j ta r t a r f t a r t a r e eϕ ωω ϕ= = + =

si definisce fasore l’ espressione

A r a r e j( ) ( )=1

20

ϕ

Tabella di trasformazione per grandezze scalari

f(t) F

cos( )tω 1

sin( )tω − j

cos( )ω ϕt + j

eϕ

sin( )tω ϕ+ j

j eϕ−

Tabella di trasformazione per grandezze vettoriali

a r t( , ) A r( )

0( ) cos( )a r tω 0( )a r

0( )a r sin t( )ω − j 0( )a r

0( )a r cos( )ω ϕt + j

eϕ

0( )a r

0( )a r sin t( )ω ϕ+ j

j eϕ− 0( )a r


Formulario




Polarizzazione E’ la curva che descrive il vettore istantaneo a t( )al variare del tempo

$' "

' "n

A A

A A=

××

' "

arccos' "

A A

A Aϕ

⋅= ⋅

se A A' "⊥ allora A' e A" sono detti assi principali

Polarizzazione Lineare

Dato un campo descritto dal fasore A A jA′ ′′= + la polarizzazione è lineare se il vettore

A soddisfa una delle seguenti condizioni :

1. I due vettori A e A′ ′′ sono paralleli cioè il loro prodotto vettoriale é nullo : A A'/ / ' ' (cioè ϕ = 0 oppure ϕ = π) A A' ' '× = 0

2. A'= 0

3. A"= 0

Polarizzazione Circolare

Dato un campo descritto dal fasore A A jA′ ′′= + la polarizzazione è circolare se il

vettore A entrambe le seguenti condizioni :

1. A A' "=

2. A A' ' '⋅ = 0 (ovvero ϕ = ± π2, cioè A A' ' '⊥ )

ϕ

A'

A"

$n


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• Data la terna destrorsa 1 2 3ˆ ˆ ˆ( , , )e e e si definise la generica polarizzazione lineare nel piano

incidente da 2 3ˆ ˆ( , )e e come:

1 2ˆ ˆ ˆcos sinle e eϕ ϕ= +

• Espressione generica di un fasore polarizzato linearmente

ˆl lA me=

dove mj

m m eϕ=

$ $ $e e je0 1 2= + versore circolare orario per l’osservatore che vede 3e uscente

$ $ $e e je0 1 2= − versore circolare antiorario per l’osservatore che vede 3e uscente

NOTA: per determinare se una polarizzazione è oraria o antioraria, si calcola il campo al

tempo a t = 0 e tT

=4 e si studia la sua evoluzione temporale.

• Espressione generale di un fasore polarizzato in modo circolare orario:

A meo o= $ mjm m e ϕ=

• Espressione generale di un fasore polarizzato in modo circolare antiorario :

A nea a= $ njn n e ϕ=

• Nel piano [XY] l’espressione del fasore diventa :

A m x jyo= +( $ $ ) per la polarizzazione circolare oraria

A n x jya= −( $ $ ) per la polarizzazione circolare antioraria

Diametri Principali

B A A sin' ' cos ' '= +δ δ B A A sin' ' ' ' cos '= −δ δ

tgA A

A A2

22 2δ =⋅

−

' ' '

' ' '

ê1

ê2

3e φ

êl


Formulario




Scomposizione in due Polarizzazioni lineari ortogonali nel tempo

Dato A abbiamo

1 2A A A= +

dove 1 'A A= , 2 ''A jA= e ′A , ′′A sono lineari

Scomposizione in due Polarizzazioni lineari ortogonali nel tempo e nello spazio

Dato

A A jA= +' "

si fissa $e1 nel piano di polarizzazione e si calcola

$' ' '

' ' 'n

A A

A A=

××

Quindi si calcola

$ $ $e n e2 1= ×

e si ricavano i coefficienti per calcolare la composizione lineare

A A e A e= +1 1 2 2$ $

mediante proiezione, ovvero :

1 1,A A e= e 2 2ˆ,A A e=

dove *,a b a b= ⋅

Scomposizione in due Polarizzazioni Circolari Ruotanti in Senso Opposto

Se la polarizzazione non è né lineare né circolare allora si dice ellittica . Una polarizzazione ellittica può essere scomposta in due polarizzazioni circolari ruotanti in senso opposto. Il procedimento per effettuare questa scomposizione è descritto di seguito. Si calcolano i versori $e1 , $e2 come al paragrafo precedente e si introducono i seguenti

versori circolari :

$$ $

ee je

o =+1 2

2

$$ $

ee je

a =−1 2

2

Si ricavano i coefficienti della composizione lineare


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A A e A eo o a a= +$ $

dove

,o oA A e= e ,a aA A e=

dove *,a b a b= ⋅


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Onde Piane monocromatiche

( ) ( ) E r t E r e j t, Re= ω

( ) 0

j k rE r E e− ⋅= , ( ) 0

j k rH r H e− ⋅= onda piana progressiva

( ) 0

j k rE r E e ⋅= , ( ) 0

j k rH r H e ⋅= onda piana regressiva

0E , 0H vettori complessi non dipendenti da r

Velocità di Fase - Lunghezza d’Onda

vkk

f=ω

$ velocità di fase

λπ

=2

k lunghezza d’onda

Relazioni notevoli onde piane monocromatiche

0

0

k E

k H

⋅ =

⋅ = equazioni della divergenza

o

o

k E H

k H E

ωµ

ωε

× =

× = −

%

% equazioni di rotore

2 0k k ω εµ⋅ − =% % equazione di dispersione

ˆ

ˆ

m

m

H Y k E

E Z H k

= ×

= × relazioni di ortogonalità e di impedenza

*S E H= × Vettore di Poynting

Densità di potenza sul piano ortogonale alla direzione di propagazione (nel vuoto)

2

0

1dPE

d Z=

Σ

2

0

dPZ H

d=

Σ

Densità di potenza sul piano ortogonale alla direzione di propagazione(in un mezzo generico)

( )* ˆdPE H k

d= × ⋅

Σ


Formulario




Impedenza - Ammettenza

m

m

Z

Y

µε

εµ

=

=

%

%

%

%

Polarizzazione ellittica nel piano x,y

( ) 0 0ˆ ˆ ˆ ˆj x j yjkr jkz

ox oy ox oyE r E x E y e M e x M e y eϕ ϕ− −− − = + = +

Polarizzazione Lineare nel piano x,y

( ) [ ]ˆ ˆcos sinj jkzE r Me x y eϕ α α −= +

Polarizzazione Circolare nel piano x,y

oraria

( )ˆ ˆ

2

j jkzx jyE r Me eϕ −+

=

antioraria

( )ˆ ˆ

2

j jkzx jyE r Me eϕ −−

=

E y0

y

E x0

x α


Formulario




Onde Piane Omogenee e Non Omogenee Mezzo k k’ e k” Tipo di

Onda

senza perdite

k ∈ℜ " 0k = omogenea

senza perdite

k ∈ℜ ′ ⋅ ′′ =k k 0 non omogenea

con perdite Ck∈ ′ ′′k k/ / omogenea

con perdite Ck∈ ′ ′′k k,

qualunque

non omogenea

Onde piane nei mezzi materiali

eo rj j

σε ε ε ε ε

ω′ ′′= − = −

" e

o r

tgσε

δε ωε ε

= =′

2 2 2

0 0

0

e rr rk j

σ µω µε ω µ ε µ ε

ωε= = −

0 1 tgr rk k jµ ε δ= −

2

0 0 0k ω µ ε=

0k costante di propagazione nel vuoto

Mezzo Buon Conduttore

er

o

σε

ωε⟩⟩

kj

=−1

δ , dove

2

o r e

δωµ µ σ

= profondità di penetrazione

( )Z R js= +1 , dove 2

o rs

e

Rωµ µσ

= resistenza superficiale

Mezzo Buon Dielettrico

1e

o r

σωε ε

⟨⟨ ovvero er

o

σε

ωε⟨⟨


Formulario




12

eo r

o

jk k

r

σε

ωε ε

= − =

kjtgo rε δ1

2−

12

o e

o rr

Z jZ

σωε εε

= +


Formulario




Riflessione di Onde Piane e Mezzi Stratificati Si considera un’onda piana incidente sull’interfaccia di separazione tra due mezzi con caratteristiche diverse

k k x k zi

x

i= +$ $2 vettore d’onda

k k k ki i

xiz i

2 2 2 2

1 1

2= + = =ω µ ε modulo quadro

dove

k k sinx

i i

i= ϑ

k kz

i i

i= cosϑ

Si dimostra che l’onda piana è somma di due onde piane, una trasversoelettrica (TE), l’altra trasversomagnetica (TM)

Onda Piana TM

• Il campo E giace nel piano [xz] :

( )E E e E x E z eo

j k r

ox oz

j k ri i

= = +− ⋅ − ⋅$ $

• Il campo H giace lungo y :

H H e H yeo

j k r

o

j k ri i

= =− ⋅ − ⋅$

εµ

1

1

εµ

2

2

x

z ϑi

ki

$y

x

z

$y

ki

H

E


Formulario




• H ha solo componente trasversale (H y )

• E ha una componente trasversale (Ex ) ed una componente longitudinale (Ez )

Campo elettrico incidente

i i

TME E= ( )0ii j k r

TME e− ⋅ = =

( ) ( )ˆ ˆ0 cos 0 sini

i i j k r

TM i TM iE x E z eϑ ϑ − ⋅ = −

Campo magnetico incidente

i i

TMH H= = ( )0ii j k r

TMH e− ⋅ =

( ) ˆ0i

i j k r

TMH y e− ⋅ =

Campo elettrico riflesso

( )

( ) ( )ˆ ˆ0 cos sin

r

r

r r j k r

TM

i j k r

TM TM i i

E E r e

E x z eϑ ϑ

− ⋅

− ⋅

=

= Γ +

Campo magnetico riflesso

( )

( )

ˆ0

r

r

r r j k r

TM

I i j k r

TM TM

H H r e

H y e

− ⋅

− ⋅

= =

= Γ

I

TM TMΓ Γ= − coefficiente di riflessione di corrente

Campo elettrico trasmesso

( ) ( )

( )( )ˆ ˆ0 cos cos tg

t

t

t t j k r

TM

i jk r

TM TM i i t

E r E r e

T E x z eϑ ϑ ϑ

− ⋅

− ⋅

= =

= −

Campo magnetico trasmesso

( ) ( )

( ) ˆ0

t

t

t t j k r

TM

I i j k r

TM TM

H r H r e

T H y e

− ⋅

− ⋅

= =

=

Relazione di Ortogonalità tra E ed H Incidenti

Data un’onda TM abbiamo le seguenti relazioni :

HZ

Ey

i

TM

x

i=1

Ek

Hz

i x

y

i= −ωε


Formulario




x

z

$y

ki

E

H

Relazione di Ortogonalità tra E ed H Riflessi

Data un’onda TM abbiamo le seguenti relazioni :

HZ

Ey

r

TM

x

r= −1

Ek

Hz

r x

y

r= −ωε

Onda Piana TE

• Il campo E é diretto lungo y :

E E e E yeo

j k r

o

jk ri i

= =− ⋅ − ⋅$

• Il campoH giace nel piano [xz]

( )H H e H x H z eo

jk r

ox oz

jk ri i

= = +− ⋅ − ⋅$ $

• H ha una componente trasversale (H x ) ed una componente longitudinale (H z )

• E ha solo componente trasversale (Ey )

Campo Elettrico Incidente

i i

TEE E= ( )0ii j k r

TEE e− ⋅ = =

( ) ˆ0i

i j k r

TEE y e− ⋅ =

Campo Magnetico Incidente

i i

TMH H= = ( )0ii j k r

TEH e− ⋅ =

( ) ( )ˆ ˆ0 cos 0 sini

i i j k r

TE i TE iH x H z eϑ ϑ − ⋅ = − +


Formulario




Campo Elettrico Riflesso

( )

( ) ˆ0

r

r

r r j k r

TE

i j k r

TE TE

E E r e

E y e

− ⋅

− ⋅

=

= Γ

Campo Magnetico Riflesso

( )rr r j k r

TEH H r e− ⋅= =

( ) ( )( )ˆ ˆ0 cos 0 sinr

I i i j k r

TE TE i TE iH x H z eϑ ϑ − ⋅ = Γ − +

I

TE TEΓ Γ= − coefficiente di riflessione di corrente

Campo elettrico trasmesso

( ) ( )0tt t j k r

TEE r E e− ⋅= =

( ) ˆ0t

i j k r

TE TET E y e− ⋅ =

Campo magnetico trasmesso

( ) ( )

( ) ( )ˆ ˆ0 cos cos tg

t

t

t t j k r

TE

I i j k r

TE TE i i t

H r H r e

T H x z eϑ ϑ ϑ

− ⋅

− ⋅

= =

= − +

Relazione di Ortogonalità tra E ed H Incidenti

Data un’onda TE abbiamo le seguenti relazioni :

HZ

Ex

i

TE

y

i= −1

Hk

Ez

i x

y

i=ωµ

Relazione di Ortogonalità tra E ed H Riflessi

Data un’onda TE abbiamo le seguenti relazioni :

HZ

Ex

r

TE

y

r=1

Hk

Ez

r x

y

r=ωµ

Relazioni generiche

Campo Elettrico Incidente

E E Ei

TE

i

TM

i= + ( ) ( )[ ]= + − ⋅E o E o eTE

i

TM

i j k ri =

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆcos sinii i i j k r

TE TM TMi iE o y E o x E o z eϑ ϑ − ⋅ = + −


Formulario




Campo Magnetico Incidente

H H Hi

TE

i

TM

i= + = ( ) ( )[ ]H H eTE

i

TM

i j k ri0 0+ − ⋅ =

= ( ) ( ) ( )[ ]− + + − ⋅H x H sin z H y eTE

i

i TE

i

i TM

i j k ri0 0 0cos $ $ $ϑ ϑ

Campo Elettrico Riflesso

( ) ( )E r E o er r j k rr

= − ⋅ ( ) ( )[ ]= + − ⋅E o E o eTE

r

TM

r j k rr

ˆ ˆ= +r r r

x zk k x k z

Il campo riflesso è associato a tensione regressiva; quindi :

k kz

r

z

i= −

La componente trasversale rimane invariata :

k kx

r

x

i=

k k x k zr

x

i

z

i= −$ $

Componenti trasversali Poiché sono esprimibili in funzione di tensioni e correnti, campo riflesso e incidente sono legati dal coefficiente di riflessione :

( ) ( )E E yTM

r

TE TE

i0 0= Γ $

( ) ( )E E xxTM

r

TM TM

i

i0 0= Γ cos $ϑ

Componente longitudinale TM

Deve essere soddisfatta la relazione di ortogonalità tra E e k :

E kr r⋅ = 0

Svolgendo i calcoli otteniamo :

( ) ( )E tg E zrTM i TM TM

i

iz0 0= ϑ ϑΓ cos $

L’espressione finale del campo elettrico riflesso è la seguente

( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ ˆ ˆ0 0 cos 0 sinrr i i i j k r

TE TE TM TM i TM iE r E y E x E z eϑ ϑ − ⋅ = Γ + Γ +

Campo Magnetico Riflesso

( ) ( ) ( )( ) ( )ˆ ˆˆ0 cos 0 sin 0rr I i i I i j k r

TE TE i TE i TM TMH r H x H z H y eϑ ϑ − ⋅ = Γ − + + Γ

dove I

TE TEΓ Γ= − coefficiente di riflessione di corrente I

TM TMΓ Γ= − coefficiente di riflessione di corrente

Campo Elettrico Trasmesso

( ) ( ) ( )( )ˆ ˆ ˆ0 0 cos costt i i j k r

TE TE TM TM i i tE r T E y T E x tg z eϑ ϑ ϑ − ⋅ = + −

Campo Magnetico Trasmesso

( ) ( ) ( )( )ˆ ˆ ˆ0 0 cos costt I i I i j k r

TM TM TE TE i i tH r T H y T H x tg z eϑ ϑ ϑ − ⋅ = + − +


Formulario




dove

TV

VTE

B

A TE

=+

−

TV

VTM

B

A TM

=+

−

x

...... z - + - + A B

Linee di Trasmissione Equivalenti

ONDA TM ONDA TE

( )hj

jk x yx' exp $= −2π

( )e

jjk x yx" exp $= −

2π

( )ej

jk x xx' exp $= −2π

( )h

jjk x xx' exp $= − −

2π

( )H H I r hy' ' '= = + ( )E E V z ey" " "= = +

( )E V jk zx o z' exp= −+ ( ) ( )V z I jk zo z

+ += −exp

Vj

Eo x

+ =−

′2π

F I

jHo x

+ = ′′2π

F

in pratica in pratica

( )E E e xx xo

j k x k z rx z' $$ $= − + ⋅

( )H H e x

x xo

j k x k z rx z" $ $$= − + ⋅

EjV

ox

o=+

2π

H

jIox

o=+

2π

V k Z+∞, , I k Z+

∞, ,

k kz= k kz=

Z Zk

TM

z

∞ = =ωε

Z ZkTE

z

∞ = =ωµ

kt

ki


Formulario




Le componenti trasversali stanno nella stessa relazione in cui si trovano tensione e corrente sulle linee introdotte qui sopra, con opportuni k eZ∞


Formulario




Onde piane – Incidenza Obliqua Angolo di Brewster

2

1

tani i

εϑ ϑ

ε⇒ =

( iϑ è l’angolo per il quale // 0Γ = )

Angolo limite

2 2 sinr ek k ε ϑ=

( eϑ è l’angolo per cui si ha trasmissione radente)

eϑ rε

z

1rε =

x


Formulario




Irradiazione sin cos

sin cos

cos

ˆ ˆˆ ˆsin cos cos cos cos

ˆ ˆˆ ˆ sin sin cos sin cos

ˆˆˆ cos sin

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin

ˆ ˆ ˆsin cos

x r

y r

z r

x r

y r

z r

r x y z

x y z

x y

ϑ ϕϑ ϕϑ

ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϕ ϕ

ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϕ ϕ

ϑ ϑ ϑ

ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ

ϑ ϑ ϕ ϑ ϕ ϑϕ ϕ ϕ

=

=

=

= + −

= + +

= −

= + +

= + −

= − +

elemento di superficie sulla sfera 2 sind r d dϑ ϕ ϑ→ Σ =

Espressioni di campo elettromagnetico prodotto da sorgenti eJ e mJ in un mezzo spazio

invariante

( ) ( ) ( )0'

' ' 'er

E r j G r r J r d rωµ= − − ⋅∫ % , oppure

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0' '

' ' ' ' ' 'e mr r

E r j G r r J r d r G r r J r drωµ= − − ⋅ − ∇× − ⋅∫ ∫

( ) ( ) ( )0 m

r

H r j G r r J r drωε′

′ ′= − − ⋅∫ % , oppure

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0'

'

' ' ' ' ' 'e mr

r

H r G r r J r dr j G r r J r d rωε= ∇× − ⋅ − − ⋅∫ ∫

dove la distribuzione di corrente elettrica equivalente è data da

me e

JJ J

jωµ∇×

= +%

%

e la distribuzione di corrente magnetica equivalente è data da

em m

JJ J

jωε∇×

= −%

%

P

r

ϕ

ϑ

y

z

x


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Diadica di Green

( ) ( )2

0

G r I rk

φ ∇∇

= +

( ) 01

4

jk rr e

rφ

π−=

ejσ

ε εω

= −% permettività dielettrica complessa

mjσ

µ µω

= −% permettività magnetica complessa

Diadica di Green in coordinate sferiche

( ) ( )

( )

( )

2

0 0

2

0 0

ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ

1 12 2

1 11

G r Arr B B r

A jk r k r

B jk r k r

ϑϑ φφ φ = + +

= +

= − −

Con rappresentazione diadica

( ) ( )0 0

0 0

0 0

A

G r B r

B

φ =

Rotore di ( )G r in coordinate sferiche

( ) ( ) ( )

0 0

0

ˆ ˆ ˆ ˆ

1 11

G r C r

C jk j jkk r r

φϑ ϑφ φ∇× = −

= − − = − −

Con rappresentazione diadica

( ) ( )0 0 0

0 0

0 0

G r C r

C

φ ∇× = −

Potenza irradiata in spazio libero

2

2 2

0 0

sinirr

dP dP dPP d r d d d r

d d d

π π

ϑ ϕ ϑ∞Σ

Ω

= Σ = Ω = Σ Σ Σ ∫ ∫ ∫ ∫


Formulario




Vettore di Poynting *

S E H= ×

Densità di potenza irradiata su una sfera

*ˆ

dPE H r

d= × ⋅

Σ


Formulario




Dipolo elettrico elementare

ˆˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r rE r E r E r E r r E rϑ ϑ ϑ= + = +

ˆ( ) ( ) ( )H r H r H rϕ ϕ ϕ= =

( )0

2

1 1( ) 2 2 cos

2

jk r

r e

jZE r e M j

r kr krϑ

λ−

−= +

( )2

1 1( ) 1 sin

2

jkr

e

jZE r e M j

r kr krϑ ϑ

λ−

−= − −

1( ) 1 sin

2

jkr

e

jH r e M j

r krϕ ϑ

λ− = −

= momento elettrico del dipoloe aM I l

= corrente nel dipoloaI

2 =k

πω µε

λ= %%

ejσ

ε εω

= −% permettività dielettrica complessa

mjσ

µ µω

= −% permettività magnetica complessa

P

r

ϕ

ϑ

y

z

x


Formulario




Dipolo magnetico elementare

ˆE E Eϕ ϕϕ= =

ˆˆH H Hr rH r Hϑ ϑϑ= + = +

00

1E ( ) 1 sin

2

jkrak I Ar jZ e j

r krϕ ϑ

λ− = −

( )0

2

1 1H ( ) 1 sin

2

jk rakI Ar je j

r kr krϑ ϑ

λ−

= − − −

( )2

1 1H ( ) 2 2 cos

2

jkrar

kI Ar e j

r kr krϑ

λ−

= +

m aM kI A= momento magnetico del dipolo

Area sottesa dal filoA⇒

0

2= k

πω µε

λ= %%

aI Corrente nel filo⇒

Campo irradiato da una distribuzione di sorgenti

Espressione asintotica del campo elettromagnetico, valida per r > D , r> 3 λ, r > 2 D2/ λ

( ) ( ) ( )0 0

0 0ˆ ˆ' '

0 0, ,' 'ˆ~ ' ' ' '

4 4

jk r jk rjk r r jk r r

e mt r t rr r

e eE r j I J r e dr jk r I J r e dr

r rωµ

π π

− −⋅ ⋅− ⋅ − × ⋅∫ ∫

( ) ( ) ( )0 0

0 0ˆ ˆ' '

0 0, ,' 'ˆ~ ' ' ' '

4 4

jk r jk rjk r r jk r r

e mt r t rr r

e eH r jk r I J r e dr j I J r e dr

r rωε

π π

− −⋅ ⋅− × ⋅ − ⋅∫ ∫

, ,

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ t r t rI I rr r Iθθ ϕϕ ϕθ θϕ= − = + ⇒ × = −

P

D 'r

0

r


Formulario




Momento elettrico generalizzato

0 0ˆ ˆ' '

0 ˆ, ,ˆ ˆ( ) ( ') ' ( ') '

jk r r jk r r

e e mt r t rV V

effa

P r I J r e d r Y r I J r e d r

I h

⋅ ⋅= ⋅ − × ⋅

=

∫ ∫

aI corrente ai morsetti di antenna

ˆ( ) ( )2

jkrme

jZE r e P r

rλ−−

=

0 0ˆ ˆ' '

0, ,' '

ˆ( ) ( )2

ˆ ˆ( ) ( ') ' ( ') '

ˆ ˆ ˆ( ) [ ( ) ]

jkrmm

jk r r jk r r

m m et r t rr r

m em

jYH r e P r

r

P r I J r e dr Z r I J r e d r

P r Y P r r

λ−

⋅ ⋅

−=

= ⋅ + × ⋅

= ×

∫ ∫


Formulario




Parametri di antenna Guadagno

( )2

ˆG r

4

irr

al

dPd

P

rπ

Σ= .

2ˆ( ) 4G r r d πηΩ =∫

Area equivalente

( )r disp

eq

inc

PA

dPd

χ=

Σ

Fattore di adattamento di polarizzazione

2

ˆ ˆinc antp pχ = ⋅

ˆ versore // campo incidenteincp ⇒

effˆ versore // h di antennaantp ⇒

Altezza efficace

ˆ( )ˆ( ) e

eff

a

P rh r

I=

dove aI è la corrente ai morsetti dell’antenna

Fattore di antenna

ˆ( )inc

L

E rAF

V=

LV = caduta di tensione su un carico di 50Ω collegato all’antenna

Antenna in trasmissione

ant irr irrZ R jX RΩ= + +

aI

antZ


Formulario




Antenna in ricezione

ˆ ˆ( ) ( )incant

effV E r h r= ⋅

direttività

2

ˆ( )

4

irr

irr

dPd

D rP

rπ

Σ=

efficienza

irr

al

P

Pη =

fattore di utilizzazione di apertura

ˆ( )eq

geo

A r

Aυ =

( geoA = area geometrica dell’apertura)

relazione eqG A↔

2

4ˆ ˆ( ) ( )eqG r A r

πλ

=

campo irradiato

00ˆ ˆ( ) ( )2

jk R

effa

ZE r j e I h r

rλ−= −

r distanza

0Z impedenza del vuoto

valido in condizioni di Far Field e Fraunhofer

antZ

antV


Formulario




Equazione di Friis

2

4

x xT R

ric al

G GP P

rχ

πλ

=

ricP Potenza disponibile ai morsetti dell’antenna ricevente

alP Potenza erogata all’antenna trasmittente

2

ˆ înc antp pχ = ⋅

Antenne filari e a stilo Densità di corrente su antenne filari

( ) ( ) ( )( ) êJ r I s r r s sγγδ= −

Vettore momento elettrico generalizzato per antenne filari

( ) ( ) ( )0 ˆ

,ˆ ˆ

jk r r s

e t rP r I I s s e dsγ

γ

⋅= ⋅ ∫

Momento elettrico generalizzato per antenna a stilo

( ) 0 cos

ˆˆ sin ( )e kP r F I z

ϑϑ ϑ= −

Altezza efficace per antenna a stilo

( ) ( ) 0 cos

1 ˆêff k

a

h r sin F I zI ϑ

ϑ ϑ= −


Formulario




Vettore di Poynting

( )

( )

* *

2*

2 2 2 2

22

2 2

ˆ ˆ( )2 2

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )

4 4

1ˆsin ( ) ( )

4

m me m

e m e

jZ jYS E H P r P r

r r

P r P r P r rr r

F I x rr

λ λ

λ λ

ϑλ

− = × = × =

= × = =

=

Potenza irradiata in regione di Fraunhofer (spazio libero)

( )2

*

0

= irr

E rP E H r d d

Z∞ ∞

Σ

Σ Σ× ⋅ Σ = Σ∫ ∫

Potenza irradiata da un’antenna a stilo in funzione dell’antenna efficace

( )2

20

2 2ˆ

4

a

effirr

Z IP h r d

r λ ∞Σ= Σ∫

( )2

20

2ˆ

4 t

a

effirr

Z IP h r d

λ Ω= Ω∫

Resistenza di irradiazione

( )2

0

2ˆ

4 teffirr

ZR h r d

λ Ω= Ω∫

Antenna elettricamente corta e antenna a mezz’onda Distribuzione di corrente per antenna corta

( ) a

zI z I rect

l

=

Momento elettrico generalizzato per antenna corta

( ) 0 cos ˆˆ sin 2

e a E

k lP r lF

ϑϑ ϑ

= − Γ

Altezza efficace per antenna corta

( ) ( )0

ˆ cos ˆˆ sin2

e

eff E

a

P r k lh r lF

ϑϑ ϑ

= = − Γ


Formulario




Distribuzione di corrente per antenna a λ/2

( ) cosa

z zI z I rect

l lπ =

Altezza efficace per antenna a λ/2

( ) 0 cos2 ˆsin2

eff H

k lh l F

ϑϑ ϑ ϑ

π

= −

Guadagno dipolo a / 2λ

2,16 0 G dBi dBd= =

Impedenza dipolo / 2λ infinitamente sottile

73antZ = Ω


Formulario




Impedenza d’antenna di radiatori a stilo

Le curve sono parametrizzate rispetto a l/d l: lunghezza dello stilo d: diametro dello stilo


Formulario





Formulario




Funzioni di Irradiazione Normalizzate

( ) sinsincEF

η ηη

η π= =

( ) 2

cos

21

HFη

ηηπ

= −

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

η*π

Normalized Radiation Fucntions

|FE|

|FH|


Formulario




Antenne ad apertura


Formulario




Schiere Teorema del prodotto

Data una distribuzione di sorgenti con

0

1

00

0

1ˆ

0 0

0

0

( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )n

m

N

ne n e

n

Njkr r

e eff effn

n

J

J r I J r r

P r h r I e h r F r

−

=

−⋅

=

=

= −

= =

∑

∑

%

dove 0ˆ( )effh r è l’altezza efficace del radiatore n=0

Schiera Lineare

Schiera Lineare uniformemente spaziata

P

z

ϑ

r

d

P

z

ϑ

r


Formulario




0ˆ

nr ndz=

( ) ( )1 1 1

cos

0 0 0

ˆ( )

n nN N Njkd j n

n n n

n n n

F r I e I e I wϑ ψ− − −

= = =

= = =∑ ∑ ∑

2 cosd

ψ π ϑλ

=

jw e ψ=

Schiera Lineare uniformemente spaziata a sfasamento progressivo

jn

n n nI I e I Rϕ= ∈% %

( ) ( )1 1 1

( cos )

0 0 0

ˆ( )

n nN N Nj kd n

n n n

n n n

F r I e I e I wϑ ϕ ψ− − −

+

= = =

= = =∑ ∑ ∑% % %

Schiera Lineare uniformemente spaziata a sfasamento progressivo a coefficienti costanti

0

jn

nI I e ϕ=

( ) ( )1 1 1

( cos )

0 0 0

0 0 0

1ˆ( )

1

n n NN N Nj kd j n

n n n

wF r I e I e w I

w

ϑ ϕ ψ− − −

+

= = =

−= = = =

−∑ ∑ ∑

Intervallo di visibilità

2 2d d

π ϕ ψ π ϕλ λ

− + ≤ ≤ +

Massimi assoluti

max 2mψ π= ± nell’interno dell’intervallo di visibilità

Zeri

2 , 0

multipli interi di N

p pN

p

πψ = ± ≠

≠ nell’interno dell’intervallo di visibilità

Lobi secondari

max (2 1) 0p pN

πψ ± + ≠


Formulario




Grating lobes

max

1 11

1 cos

d

Nλ ϑ ≤ − +

Schiera Broadside

max2

πϑ =

Schiera EndFire

max max0 , ϑ ϑ π= =

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