Download - Analisis Riil 1

Transcript
  • Analisis Riil

    Rezki Setiawan Bachrun

    H 111 11 256

    Universitas Hasanuddin

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 1 / 33

  • Kontinu Definisi Kontinu Biasa

    Definisi (Kontinu)

    Misalkan A R; f : A R; dan u A. Fungsi f dikatakan kontinu pada titiku, jika

    > 0 (u, ) > 0 3 x A memenuhi 0 < |x u| < mengakibatkan |f (x) f (u)| <

    Interpretasi Geometrinya :

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 2 / 33

  • Kontinu Definisi Kontinu Seragam

    Definisi (Kontinu Seragam)

    Misalkan A R; f : A R; dan u A. Fungsi f dikatakan kontinu seragampada titik u, jika

    > 0 () > 0 3 x A memenuhi 0 < |x u| < mengakibatkan |f (x) f (u)| <

    Definisi (Fungsi Lipschitz)

    Misalkan A R dan f : A R. Jika K > 0 3 |f (x) f (u)| K |x u|

    x , u A, maka f dikatakan fungsi lipschitz pada A.

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 3 / 33

  • Turunan Definisi Turunan

    Definisi (Turunan)

    Misalkan I R; f : I R; dan c I . Bilangan riil L dikatakan turunan dari fdi titik c , jika:

    > 0 () > 0 3 x I memenuhi 0 < |x c | < mengakibatkan

    f (x) f (c)x c L <

    dimana

    L = limxc

    f (x) f (c)x c

    Jadi, dalam hal ini f mempunyai turunan di titik c dan f (c) = L dan f dikatakanturunan di interval I jika f terdiff. di setiap titik x I .

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 4 / 33

  • Turunan Definisi Turunan

    Contoh (Turunan)

    Tentukan turunan dari f (x) = x2; x R Definisi turunan

    Misalkan I R; f : I R; dan c I . Bilangan riil Ldikatakan turunan dari f di titik c , jika:

    L = f (c) = limxc

    f (x) f (c)x c = limxc

    x2 c2x c

    = limxc

    (x + c)(x c)(x c)

    = limxc(x + c)

    = c + c

    = 2c

    maka f (x) = 2x .

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 5 / 33

  • Turunan Definisi Turunan

    Review (Kekontinuan di Matdas)

    Fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika:

    1 f (c) ada

    2 limxc ada

    3 limxc f (x) = f (c)

    Teorema (Hub. Kekontinuan dan Keterdiff. suatu fungsi)

    Misalkan f : I R dimana I RJika f terdiff. di titik c I maka f kontinu di titik c .Bukti:Diketahui f terdiff. di titik c , artinya

    f (c) = limxc

    f (x) f (c)x c

    Adt. f kontinudi titik c , artinya

    limxc f (x) = f (c)

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 6 / 33

  • Turunan Definisi Turunan

    (Lanjutan)

    Penyelesaian:

    4y = m 4x

    f (x) f (c) = f (x) f (c)x c (x c)

    limxc[f (x) f (c)] = limxc

    [f (x) f (c)

    x c (x c)]

    limxc f (x) limxc f (c) = limxc

    f (x) f (c)x c limxc(x c)

    limxc[f (x)] f (c) = f

    (c) 0limxc[f (x)] f (c) = 0

    limxc f (x) = f (c)

    Jadi, f (x) kontinu di titik c

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 7 / 33

  • Turunan Definisi Turunan

    Contoh (Fungsi Kontinu yang tidak terdiff.)

    Diberikan f (x) = |x |; x RTunjukkan bahwa f (x) kontinu dan terdiff di titik x = 0! Diketahui f (x) = |x |; x R

    Adt. Fungsi f kontinu di titik x = 0 dan f terdiff. di titik x = 0Penyelesaian:

    1 Kontinu

    f (0) = |0| = 0limx0

    |x | = |0| = 0limx0

    |x | = f (0) = 0 2 Terdifferensialkan

    f (0) = limx0

    f (x) f (0)x 0

    = limx0|x | |0|x 0

    = limx0|x |x

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 8 / 33

  • Turunan Definisi Turunan

    (Lanjutan)

    dimanalim

    x0+x

    x= 1

    limx0

    xx

    = 1

    Karena limx0+

    |x |x6= lim

    x0|x |x

    maka

    limx0|x |x

    tidak ada.

    sehingga turunan f di titik x = 0 (dapat ditulis f (0)) juga tidak ada.

    (Sejarah)

    Oleh Karl Weierstrass, menemukan suatu fungsi yang kontinu di setiap titik tapiturunannya disetiap titik tidak ada. Salah satu fungsinya yaitu:

    f (x) =n=0

    [(1

    2n

    )cos(3nx)

    ]Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 9 / 33

  • Turunan Turunan Sepihak

    Definisi (Turunan Kanan)

    Misalkan I R adalah interval; f : I R dimana I (x0,) 6= makaturunan kanan dari f pada x0 (dilambangkan f +(x0)), yaitu:

    f +(x0) = limxx+0

    f (x) f (x0)x x0

    Definisi (Turunan Kiri)

    Misalkan I R adalah interval; f : I R dimana I (, x0) 6= makaturunan kiri dari f pada x0 (dilambangkan f (x0)), yaitu:

    f (x0) = limxx0

    f (x) f (x0)x x0

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 10 / 33

  • Turunan Sifat-sifat Turunan

    Teorema (Sifat-sifat Turunan)

    Misalkan I R; f : I R dan g : I R dimana f , g terdiff. di c , maka:(i) Jika a R maka af terdiff. di c , dan

    (a f )(c) = a f (c)

    (ii) Fungsi f + g terdiff. di c , dan

    (f + g)(c) = f (c) + g (c)

    (iii) Fungsi fg terdiff di c , dan

    (fg)(c) = f (c)g(c) + f (c)g (c)

    (iv) Fungsi f /g terdiff. di c untuk g 6= 0, dan(f

    g

    )(c) =

    f (c)g(c) f (c)g(c)[g(c)]2

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 11 / 33

  • Turunan Teorema Caratheodory

    Teorema (Caratheodory)

    Misalkan f terdefinisi pada interval I dan c I . Fungsi f terdiff. di c terdapatfungsi yang kontinu di c dan memenuhi:

    f (x) f (c) = (x)(x c)

    Dalam hal ini (c) = f (c).Bukti: Diketahui f terdefinisi di I , i.e f (c) ada c I

    f terdiff. di c , i.e

    f (c) = limxc

    f (x) f (c)x c

    Adt. yang kontinu di c yang memenuhi f (x) f (c) = (x)(x c)Penyelesaian:

    1. Jika f terdiff. di c , dapa didefinisikan fungsi:

    (x) =

    f (x) f (c)

    x c untuk x 6= cf (c) untuk x = c

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 12 / 33

  • Turunan Teorema Caratheodory

    (Lanjutan)

    2. Adt. (x) kontinu di titik c .Kedua ruas untuk persamaan x 6= c dilimitkan dengan x c

    limxc (x) = limxc

    f (x) f (c)x c

    = f (c)= (c)

    maka, (x) kontinu di titik c .

    3. Adt. (x) memenuhi f (x) f (c) = (x)(x c)Untuk x = c maka

    f (x) f (c) = (x)(x c)f (c) f (c) = (c)(c c)

    0 = 0

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 13 / 33

  • Turunan Teorema Caratheodory

    (Lanjutan)

    Untuk x 6= c maka

    (x) =f (x) f (c)

    (x c)f (x) f (c) = (x)(x c)

    maka, yang kontinu di titik c dan memenuhi f (x) f (c) = (x)(x c) Diketahui f terdefinisi di I i.e f (c) ada c I

    yang kontinu di titik c dan memenuhi f (x) f (c) = (x)(x c)Adt. f terdiff. di titik c , i.e

    f (c) = limxc

    f (x) f (c)x c

    Penyelesaian: yang kontinu di titik c dan memenuhi

    f (x) f (c) = (x)(x c)

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 14 / 33

  • Turunan Teorema Caratheodory

    (Lanjutan)

    (x) =f (x) f (c)

    (x c)Limitkan kedua ruas sehingga diperoleh:

    limxc (x) = limxc

    f (x) f (c)(x c)

    (c) = f (c)

    Oleh karena itu, f terdiff. di titik c dimana f (c) = (c).

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 15 / 33

  • Turunan Aturan Rantai

    Definisi (Aturan Rantai)

    Misalkan I , J adalah interval dalam R;g : I R;f : J R; dimana f (J) I dan c J

    Jika f terdiff. di c dan g terdiff di f (c) maka fungsi komposisi g f juga terdiff.di c dan

    (g f )(c) = g (f (c))f (c)Bukti:Diketahui f terdiff. di c

    g terdiff. di f (c)Adt. (g f ) terdiff. di c dan (g f )(c) = g (f (c))f (c)Penyelesaian:

    f terdiff. di c artinya yang kontinu di c dan memenuhi

    f (x) f (c) = (x)(x c) (2.1)

    x J; f (c) = (c).

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 16 / 33

  • Turunan Aturan Rantai

    (Lanjutan)

    g terdiff. di d artinya yang kontinu di d dan memenuhi

    g(y) g(d) = (y)(y d) (2.2)

    y I ; g (d) = (d). x J dapat disubstitusi y = f (x) dan d = f (c), sehingga Pers. (2.2) dapatditulis:

    g(f (x)) g(f (c)) = (f (x))(f (x) f (c))= (f (x))((x)(x c))= (f (x))(x)(x c)

    (g f )(x) (g f )(c) = ( f )(x)(x c)Karena f (c) ada maka f kontinu di titik cDari Pers. (2.1) kontinu di cDari Pers. (2.2) kontinu di d = f (c)maka ( f ) kontinu di c .Jadi, ( f ) yang kontinu di c dan memenuhi

    (g f )(x) (g f )(c) = ( f )(x)(x c)Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 17 / 33

  • Turunan Aturan Rantai

    (Lanjutan)

    Menurut Teorema Caratheodory diperoleh: ( f ) yang kontinu di c dan memenuhi

    (g f )(x) (g f )(c) = ( f )(x)(x c)

    Jadi, (g f ) terdiff. di c . Substitusi (x) = g (x) dan (x) = f (x) pada persamaan diatas, diperoleh:

    ( f )(x) = (g f )f (x)= g f )(x)f (x)= g (f (x))f (x)

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 18 / 33

  • Turunan Teorema Rolles

    Review (Ekstrim Relatif)

    Misalkan f : I R maka1.a. Dikatakan mempunyai maks. relatif di x = c jika

    V(c) 3 f (x) f (c) x V(c) I

    b. Dikatakan mempunyai min. relatif di x = c jika

    V(c) 3 f (x) f (c) x V(c) I

    2. f dikatakan mempunyai ekstrim relatif di c . Jika f (c) adalah max./min.relatif.

    Teorema (Rolles)

    Misalkan f : [a, b] R, kontinu di I = [a, b].Jika f terdiff. pada setiap x (a, b) dan f (a) = f (b) = 0 maka

    paling sedikit satu titik c (a, b) 3 f (c) = 0

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 19 / 33

  • Turunan Teorema Rolles

    (Lanjutan Teorema Rolles)

    Interpretasi Geometri:

    Catatan:Gradien garis yang melalui titik (c , f (c)) adalah 0.

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 20 / 33

  • Turunan Teorema Nilai Rata-rata

    Teorema (Nilai Rata-rata)

    Misalkan f kontinu di I = [a, b] dan f terdiff. di interval buka (a, b) maka,

    paling sedikit satu titik c (a, b) 3 f (b) f (a) = f (c)(b a)Bukti:Didefinisikan suatu fungsi yang diperoleh dari selisih antara grafik f dan garis yangmenghubungkan titik (a, f (a)) dan (b, f (b)), yaitu:

    (x) = f (x) f (a) f (b) f (a)b a (x a)

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 21 / 33

  • Turunan Teorema Nilai Rata-rata

    (Lanjutan)

    (x) : kontinu pada [a, b] (Karena selisih dua fungsi yang kontinu adalah kontinu)(x) : terdiff. pada (a, b) dan (a) = (b) = 0maka, menurut Teorema Rolles :

    paling sedikit satu titik c (a, b) 3 (c) = 0sehingga:

    (c) = 0 = lim

    xc(x) (c)

    x c

    = limxc

    [(f (x) f (a) f (b) f (a)

    b a (x a))(f (c) f (a) f (b) f (a)

    b a (c a))]

    x c

    = limxc

    [f (x) f (c) f (b) f (a)

    b a (x a c + a)]

    x c

    = limxc

    [f (x) f (c)

    x c] lim

    xc

    [f (b) f (a)

    b a]

    0 = f (c) f (b) f (a)b a

    f (b) f (a) = f (c)(b a)

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 22 / 33

  • Turunan Teorema Uji Turunan Pertama

    Teorema (Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim)

    Misalkan f kontinu pada I = [a, b]c titik interior di If terdiff. di (a, c) dan (c , b)

    maka,

    1 Jika V(c) I 3 f (x) 0 untuk c < x < c dan f (x) 0 untukc < x < c + maka f mempunyai max. relatif di c , i.e

    f (x) f (c)2 Jika V(c) I 3 f (x) 0 untuk c < x < c dan f (x) 0 untuk

    c < x < c + maka f mempunyai min. relatif di c .

    f (x) f (c)

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 23 / 33

  • Turunan Teorema LHospital I

    Teorema (Aturan LHospital I)

    Misalkan a dan f , g terdiff. pada (a, b) 3 g (x) 6= 0 x (a, b) danmisalkan lim

    xa+f (x) = 0 = lim

    xa+g(x).

    1 Jika limxa+

    f (x)g (x)

    = L ; L R maka

    limxa+

    f (x)

    g(x)= L

    2 Jika limxa+

    f (x)g (x)

    = L ; L {,} maka

    limxa+

    f (x)

    g(x)= L

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 24 / 33

  • Turunan Teorema Taylor

    Teorema (Taylor)

    Misalkan n N; I = [a, b]; f : I R 3 f , f , , f (n) kontinu pada I dan f (n+1)ada pada (a, b). Jika x0 I maka x I c (x0, x) 3 x0 < c < x , maka,

    f (x) =f (x0) +f(x0)

    1!(x x0) + f

    (x0)

    2!(x x0)2 + + f

    (n)(x0)

    n!(x x0)n

    +f (n+1)(c)

    (n + 1)!(x x0)(n+1)

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 25 / 33

  • Integral Integral Riemann

    Partisi dan Label PartisiMisalkan I = [a, b].Partisi dari I adalah himpunan terurut dan berhingga

    P = (x0, x1, , xn1, xn)

    dimana a = x0 < x1 < < xn1 < xn = b.Notasi dari partisi, yaitu:

    P = {(xi1, xi )|i = 1, 2, , n}

    Norm dari partisi, yaitu:

    P = max{(xi xi1)|i = 1, , , n}

    Titik-titik pada P merupakan titik yang membagi I ke dalam beberapasubinterval yang saling bebas, yaitu:

    I1 = [x0, x1]; I2 = [x1, x2]; ; In = [xn1, xn]Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 26 / 33

  • Integral Integral Riemann

    Jika ti adalah sebarang titik pada [xi1, xi ] maka ti disebut label partisi dari[xi1, xi ].Himpunan pasangan berurut dari subinterval dan label partisi yaitu:

    P = {([xi1, xi ], ti )|i = 1, 2, , n} disebut label partisi dari intrval I = [a, b]Jika P adalah label partisi didefinisikan jumlahan Riemann darif : [a, b] R sebagai berikut:

    S(f ; P) =n

    i=1

    [f (ti )(xi xi1)]

    Interpretasi geometri

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 27 / 33

  • Integral Definisi Integral Riemann

    Definisi (Integral Riemann)

    Misalkan f : [a, b] Rf terintegralkan Riemann pada [a, b]

    Jika L R 3 > 0 () > 0 3 P adalah sebarang label partisi pada [a, b]dengan P < () maka

    |S(f ; P) L| <

    Teorema (Ketunggalan Integral Riemann)

    Jika f R[a, b] makaba

    f tunggal.

    Bukti:Diketahui f terintegralkan Riemann, f R[a, b]Adt. Nilai integralnya tunggal, |L1 L2| = 0Penyelesaian:Karena f terintegralkan Riemann

    Misalkan L1 =ba

    f dan L2 =ba

    f

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 28 / 33

  • Integral Definisi Integral Riemann

    (Lanjutan)

    Ambil > 0 sebarang

    Pilih 1 > 0 3 P label partisi pada [a, b] dengan P < 1 maka

    |S(f ; P) L1| < 2

    Pilih 2 > 0 3 P label partisi pada [a, b] dengan P < 2 maka

    |S(f ; P) L2| < 2

    Pilih = min{1, 2}, sehingga d 1 dan d 2maka P adalah label partisi pada [a, b] dengan P < berlaku:

    |L1 L2| = |L1 L2 S(f ; P) + S(f ; P)|= |L1 S(f ; P) + S(f ; P) L2| |L1 S(f ; P)|+ |L2 S(f ; P)| 0 () > 0 3 P adalah sebarang label partisi pada [a, b]dengan P < () maka

    |S(f ; P) L| <

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 30 / 33

  • Integral Definisi Integral Riemann

    Contoh (Lanjutan)

    Penyelesaian:

    L = ba

    f (x) dx =

    ba

    k dx = k(b a) (3.1)

    S(f ; P) =n

    i=1

    [f (ti )(xi xi1)]

    =n

    i=1

    [k(xi xi1)]

    = k[(x1 x0) + (x2 x1) + + (xn xn1)]= k(xn x0)= k(b a)

    (3.2)

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 31 / 33

  • Integral Definisi Integral Riemann

    (Lanjutan)

    L R 3 > 0 () > 0 3 P adalah sebarang label partisi pada [a, b]dengan P < () maka dari Pers. (3.1) dan (3.2) diperoleh:

    |S(f ; P) L| = |k(b a) k(b a)|= 0

    <

    Maka, f (x) = k terintegralkan Riemann pada [a, b].

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 32 / 33

  • Integral Sifat-sifat Integral Riemann

    Teorema (Sifat-sifat Integral Riemann)

    Misalkan f , g R[a, b]. Maka:1 Jika k R, fungsi kf R[a, b] dan

    ba

    kf = k

    ba

    f

    2 Fungsi f + g R[a, b] danb

    a

    [f + g ] =

    ba

    f +

    ba

    g

    3 Jika f (x) g(x); x [a, b] makab

    a

    f b

    a

    g

    Rezki Setiawan Bachrun (H 111 11 256) Analisis Riil Universitas Hasanuddin 33 / 33

    KontinuDefinisi Kontinu BiasaDefinisi Kontinu Seragam

    TurunanDefinisi TurunanTurunan SepihakSifat-sifat TurunanTeorema CaratheodoryAturan RantaiTeorema Rolle'sTeorema Nilai Rata-rataTeorema Uji Turunan PertamaTeorema L'Hospital ITeorema Taylor

    IntegralIntegral RiemannDefinisi Integral RiemannSifat-sifat Integral Riemann