Analisis Variansi II

Oleh

Suryo Guritno

( )2,N~Y ( ) N ..., 2, 1, i , ,N~Y 2i i.i.d =ambil s.r.s

berukuran n

=>

>=

n

,N~Y 2

jika diket. 2

1-nt~ns-Y jika diket. tak 2

=> Inferensi statistika untuk parameter dapat dilakukan

( ) 2 1, j , ,N~Y 2jjj ==> ambil s.r.s

berukuran njdari masing2populasi

=> ( )2jjij ,N~Y i.i.d1,2j

n ..., 2, 1, i j==

+

2

22

1

21

2121 n

n,N~YY =>

jika diket. dan 222

1

,t~

n1

n1s

YY 2nn

21p

212121 +

+

( ) ( )2nn

s1ns1ns21

222

211

p ++=

jika diket. tak 2222

1 ==

=> Inferensi statistika untuk parameter 1- 2 dapat dilakukan

( ) k , ... 2, 1, j , ,N~Y 2jj =( k>2 )

=> ambil s.r.s berukuran njdari masing2populasi

=> ( )2jjij ,N~Y i.i.d1,2j

n ..., 2, 1, i j==

=> Inferensi statistika untuk membandingkan j ???

SSW SSA SST += ??

( )= =

k

1j

n

1i

2..ij

j

YY

.j.j YY

( ) ( ){ }= =

+k

1j

n

1i

2...j.jij

j

YYYY=>

( ) ( ) = = = =

+k

1j

n

1i

k

1j

n

1i

2..ij

2.jij

j j

YYYY=>

( )=

k

1j

2...jj YYn

||

=> SSA + SSW

MSA ~ ??

MSW ~ ??

=> MSWMSA ~ ??

( )2ijijjij 0,~ , Y i.i.d+=k1,2,...,j;n1,2,...,i j ==

untuk keperluan inferensi statistika diperlukan persyaratan distri busi dari ij atau Yij=> diasumsikan berdistribusi normal

=> ( )2ij 0,N~ i.i.d => ( )2j ,ij N~Y i.i.d=>

j

2

jij n,N~Y

i.i.d

( )

i j

2

1)(n

2.jij2

jj

X~YY

1

( ) ?? ~2j

...jj2 YYn1

Teorema Cochran :

Jika ( )2i ,N~Y i.i.d ( )i

2i Y-Y

=j

j2db

2j 1ndb jika X~SS j

i.d

SSW SSA SST +==>( ) ( ) += knkn jj 11db :

=> 2 1)(k2 X~SSA

( )2 kn2 jX~SSW salingind SSWdan SSW dan 22

=> = kn1;k jF~MSWMSAF

dekomposikan menjadi k jumlah kuadrat SSj masing-masing dengan derajat bebas dbj, j = 1, 2, , k, maka

dan dapat di

( )

=

= =

k

1j

n

1i

2...j

j

YY1-k

1 (MSA)

karena ( )2i.i.dijijjij 0,~ , Y +=maka ( ) ( )...j.j...j YY ++=

( ) ( ).j...j +=

=> ( ) ( )

+=

= =

k

1j

k

1j

2.jj

2...jj nn1-k

1 (MSA)

( )==

+

=

k

1j

2.jj

k

1j

2....

2.jj n1-k

1n n

1-k1

( ) ( ) ( )==

+

=

k

1j

2.jj

2....

k

1j

2.jj n1-k

1EnE n

1-k1

( )==

+

=

k

1j

2.jj

..

2

..

k

1j j

2

j n1-k1

nn

n .n

1-k1

( )

= j i

2.jij

..YY

kn1 (MSW)

=> ( ) ( )j.jjij.jij YY ++=( ).jij =

=> ( )

= ==

jn

1i

2.jij

k

1j..

kn1 (MSW)

( )2ijijjij 0,~ , Y i.i.d+==j ?? =2 , ??

11111 Y +=21121 Y +=

1n11n 11 Y +=12212 Y +=22222 Y +=

2n22n 22 Y +=

1kk1k Y +=2kk2k Y +=

knkkn kk Y +=

~Y ~

~~~ XY +=

( )k21~ ... ==X

1 ... 0 0 01 ... 0 0 01 ... 0 0 00 ... 0 1 00 ... 0 1 00 ... 0 1 00 ... 0 0 10 ... 0 0 10 ... 0 0 1

=> untuk mencari estimator dapat digunakan : MM MKM MKT

1n

2n

kn

MKT : Cari harga parameter yang meminimumkan jumlahkuadrat galat

=> ( ) ==i j

2jij

i j

2ij YS

minjj S menentukan yang adalah

=>

==~~~

~~~XYXYS=>

=> ( ) ~1~ Y XX X =

k , .. 1,2,j , Yn

Y .j

j

n

1iij

j

j

====

=2 ??

=>

=>ditentukan dari

( )...

YYi j

2ijij

sehinga 22 )( E = !!!

( )=

=n

1i~~~~

2ii YYYYYY

( )~

1~

X X) XX(I =

karena : ( )~

1~~ X X) XX(IYY ( ) idemp. & sim. X X) XX(I 1

TH : I),oN(~X~~

dan A simetri

=> 2k~~ Y~XAX bhb A idempoten dengan r(A)=kI),o(~ 2

~~ maka=> karena I),o(~1 2

~~sehingga

( ) 2 1)k(nn1i

2ii2 Y~YY

1

=

=>( )

1kn

YY

n

1i

2ii

2

==

karena 22 )E( =

mean efek model :)(0,~ , Y 2

i.i.d

ijijjij +=i = 1, 2, , nj ; j = 1, 2, , k (> 2)

faktor efek model :

)(0,~ , Y 2i.i.d

ijijjij ++=i = 1, 2, , nj ; j = 1, 2, , k (> 2)

MKT : cari harga parameter yang meminimumkan jumlah kuadrat galat

ijjij Y +==> adalah j yang meminimumkanj =

i j

2ijS

MKM : cari harga parameter yang memaksimumkan fungsi kemungkinan

=> j adalah j yang memaksimumkan ( )kn11 ky,...,yf=> apakah hasilnya sama ??

Setelah Ho di tolak ???inferensi untuk :

i ji

kontras : 0 , k

1ii

k

1iii

=== aa

k

1iii

= a

Uji komposisi ganda :

Fisher (=least sign.Diff.) LSD Tukey (=hon.sign.diff.) HSD Student.Newman-Keuls-SNK Duncan new mult.range Scheff Bonferroni

jiji1jio ,H vsH === Fisher LSD :

Ho ditolak jika :

LSDYY ji >

, n1

n1MSEtLSD

jik)(n;2

+=

=

=k

1iinn , ji

Tukey HSD :Ho ditolak jika :

HSDYY j.i. >

s.s. equal , n

MSEqHSD k)(n k,; =

s.s. equal , n

MSEqHSD *j

k)(n k,;*

= terkecils.s. n *j

Kram-T , 2n1 MSEqHSD

ik)(n k,;

**

+=

jni

Student Newman Keuls (=SNK)Ho ditolak jika :

SNKYY j.i. >

n

MSEqSNK k)(n r,; =

r = banyaknya langkah yang memisahkan (i) dan (j)

Duncan new mult.range (=DMR)Ho ditolak jika :

DMRYY j.i. >

, n

MSEqDMR k)(n r,; =

r = banyaknya langkah yang memisahkan (i) dan (j)level protection)(1 1r =

rateerror )(1-1 1r =

====i

ii1o 0,H vs0H a Scheff mult.comp. :

Ho ditolak jika :

S j >

k)(n1),(k;

k

1i i

2i F 1)(k

nMSES

== a

lebih konservatif (kurang sensitif) untuk menguji pair

Bonferroni mult.comp. :Ho ditolak jika :

B j >

, n

MSE tBk

1i i

2i

k)(n 2q; =

= a

q = banyaknya jj = 1, 2, , q

yang diuji

Cell means model)(0,~ , Y 2ijkijkijijk +=

i = 1, 2, , a ; j = 1, 2, , bk = 1, 2, , n

Factor effects model :jiij ++=

ijjiij ) ( +++=estimasi parameter ??partisipasi jumlah kuadrat ??- ekspektasi- distribusi

rerata juml. kuadrat ??

dengan MLSijkijijk Y * +=

=

==n

1kijkijij Yn

1.Y=>

jiij Y * ++==> ..Y =

..i.i YY =...jj YY =

syaratnya ??

ijjiijk ) (Y * +++=..Y ==>

YY , YY ..i.j..i.i ==( ) ....j.i..ij.ij YYYY =syaratnya ??

deviasi total

deviasi penduga mean

treatment sekitar overall

mean

deviasi sekitar

penduga mean

treatment

= +

ijk......ijk Y Y - YY +=

( ) ( ) ( ) YYYYYY ij.ijk...ij....ijk +=( ) ( ) ( )[ ]2ij.ijk...ij.2...ijk YYYYYY +=( ) ( ) ( ) +=

kj,i,

2ij.ijk

kj,i,

2...ij.

kj,i,

2...ijk YYYYYY

???

( ) ( ) 0YY YY ??ij.ijkkj,i,

...ij. =

( ) ( ) ji,ji,

ij.ijk...ij. , 0 YY YY =

k