Analisis de Vigas
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ANALISIS DE VIGAS TIPOS DE FALLA
ESTADO DE ROTURA
A.-FALLA POR TRACCION
eu= 0.003 f max 0.85f'c
a/2
c β3*c a=β1x c C
h d
d-c d-β3*c d-a/2
es Ts=As*fs Ts=As*fs
b
Deformacion Unitaria del concreto
Luego del Diagrama de Esfuerzos Reales
C= fc max .c x b
fc max= α = β1x β3
fc max= β1x β3x f'c β3= 0.85
fc max= β1x 0.85 x f'c
C= β1x 0.85 x f'c x c x b a= β1x c
β1= 0.85-((f'c-280)/70) x 0.05
DIAGRAMA DE ESFUERZO DEFORMACION DEL ACERO
Esfuerzo
fy
fs=fy
εs<εy
εy εs Deformacion Unitaria
Cuando Fs=Fy , Esta ocurriendo que el acero en traccion esta fluyendo
Tomamos momentos en el Eje Donde Actua el Acero en Traccion
a.-Momento en Tracion b.-Momento en Compresion
Mn= C x (d-a/2) Mn= T x (d-a/2)
C= 0.85 x f'c x a x b T= As x fy
Mn= 0.85 x f'c x a x b x (d-a/2) Mn= As x fy x (d-a/2)
c.-Calculo del Valor de "a"
εu=
α x f'c
De la Ecuacion de Equilibrio T-C=0
As x fy =0.85 x f'c x a x b
a=As x fy / (0.85 x f'c x b)
Reemplazando en la Ecuacion de Momento en Traccion
Mn= 0.85 x f'c x As x fy / (0.85 x f'c x b) x b x (d-As x fy / (2x 0.85 x f'c x b))
ρ= As/ b x d
Mn= ρ x fy x b x d² (1-(0.59ρ x fy/f'c))
w= ρ x fy / f'c …(Cuantia mecanica o indice de Refuerzo)
Mn= b x d² x f'c x w x (1-0.59w)
B.-FALLA BALANCEADA
Es una falla que se produce simultaneamente por aplastamiento del concreto y el acero esta iniciando la fluencia
DIAGRAMA DE ESFUERZO DEFORMACION DEL ACERO
Esfuerzo
Zona de FluenciA del Acero
fy
fs=fy
εy=εs Deformacion Unitaria
εu= 0.003 f max 0.85f'c
ab/2
cb β3*cb ab=β1x cb C
h d
d-cb d-β3*cb d-ab/2
εy=εs Ts=Asb*fy Ts=Asb*fy
C= 0.85 x f'c x ab x b Asb= Area de Acero Balanceada
T= Asb x fy εy= Punto de Fluencia
ρ b= Cuantia Balanceada del Acero
Calculo de la Cuantia Balanceada del Acero
De la Ecuacion de Equilibrio T-C=0
Asb x fy =0.85 x f'c x ab x b
Dividiendo por bd Toda la expresion
Asb x fy / ( b x d )=0.85 x f'c x ab x b / ( b x d ) ρb= As/ b x d
ρb= (0.85/d) x (f'c /fy) x ab ab= β1x cb
Calculo del Valor de Cb
Del diagrama de deformaciones unitarias εu/Cb=εy /( d- Cb) εu= 0.003
εy= fy / Es
Reemplazando obtenemos la siguiente Ecuacion Reemplazando obtenemos la siguiente Ecuacion…(1)
Cb= (6000 / (6000+ fy )) x d
ab= β1x cb
ab= β1x (6000 / (6000+ fy )) x d ρb=0.85β1 x (f'c / fy) x (6000 / (6000+ fy ))
a.-Momento en Tracion b.-Momento en Compresion
Mb= C x (d-ab/2) Mb= T x (d-ab/2)
C= 0.85 x f'c x a x b T= Asb x fy
Mb= Mn= Asb x fy x (d-ab/2)
C.-FALLA POR COMPRESION O APLASTAMIENTO
Nota : Se presenta en vigas de gran cantidad de Acero ( Sobrereforzados ) o con moderada cantidad de Acero al incrementarse las cargas
se Alcanza la capacidad de compresion del concreto y el colapso del elemento , Esta falla es de Tipo Fragil
εs<εy fs<fy
εu= 0.003 f max 0.85f'c
a/2
c β3*c a=β1x c C
h d
d-c d-β3*c d-a/2
εs Ts=As*fs Ts=As*fs
b
DIAGRAMA DE ESFUERZO DEFORMACION DEL ACERO
Esfuerzo
fy
fs<fy
fs
εy=εs Deformacion Unitaria
a.-Momento en Tracion b.-Momento en Compresion
Mb= C x (d-ab/2) Mb= T x (d-a/2)
C= 0.85 x f'c x a x b T= As x fy
0.85 x f'c x ab x b x (d-ab/2)
Mn= 0.85 x f'c x a x b x (d-a/2) Mn= As x fs x (d-a/2)
c.-Calculo del Valor de "a"
De la Ecuacion de Equilibrio T-C=0
As x fy =0.85 x f'c x a x b
a=As x fs / (0.85 x f'c x b)
Calculo del Esfuerzo de Acero en Traccion " fs"
Del diagrama de Deformaciones Unitarias
εu/c=εs /( d- c) εu= 0.003
εs= εu x ( d- c)/c εs= fs / Es
fs =εu x Es ( d- c)/c a= β1 x c
Finalmente Tenemos
fs = (6000 x ( β1 x d -a ) )/a
CRITERIO DE LAS FALLAS
Se debe Diseñar la falla que evitara el colapso
Si la Falla es por compresion ( aplastamiento del concreto ) se produce repentinamente y es de naturaleza casi explosiva
Si la Falla es por Traccion (Fluencia del Acero ) es Gradual y esta precedida por signoz visibles de averias , como
ensanchamiento y alargamiento , las grietas y el marcado de las flechas
TRACCION COMPRESION
ρ<ρb ρ>ρb
Mn<Mb Mn>Mb
C<Cb C>Cb
a<ab a>ab
NATURALEZA DE UNA VIGA SIMPLEMENTE ARMADA
FORMULAS PARA VIGAS SOMETIDAS A FLEXION
Mu=φ x Mn
A.-MOMENTO EN COMPRESION B.-MOMENTO EN TRACCION C.-CARACTERISTICAS DE LAS VIGAS A DISEÑAR
Mn= As x fy (d-a/2) Mn= 0.85 x f'c x a x b x (d-a/ ρ < ρ max Viga Simplemente Armada o Reforzada
Mu=φ x Mn Mu=φ x Mn Mact < Mmax Viga Simplemente Armada o Reforzada
Mu=φ x As x fy (d-a/2) Mu=φ x 0.85 x f'c x a x b x (d-a/2) ρ > ρ max Viga Doblemente Armada o Reforzada
Mu=φ x ρ x fy x b x d² (1-(0.59ρ x fy/f'c)) Mu=φ x b x d² x f'c x w x (1-0.59w) Mact > Mmax Viga Doblemente Armada o Reforzada
D.-CALCULO DEL MOMENTO MAXIMO
(Zona Sismica)
Mmax=φ x ρ max x fy x b x d² (1-ρ max x ( fy/f'c))
(Zona Sismica)
uy
DISEÑO DE VIGA SIMPLEMENTE ARMADA
1.-DATOS
Datos Geometricos Datos de Concreto y Acero
h= 0.50m f'c= 210.00
b= 0.25m fy= 4,200.00
r= 0.05m fy/f'c= 20.00
d= 0.45m f'c/fy 0.05
Mact= 15.00Ton-m β1= 0.85
φ= 0.90
2.-CALCULOS PRELIMINARES
Calculos
22.50cm
amax= 16.88cm
0.0212
0.0159
24.78Ton-m
24.76Ton-m Mact
24.77Ton-m 15.00Ton-m < 24.77Ton-m
Se diseñara Como Viga Simplemente Armada
3.-CALCULOS DE ACERO 3.1.-Primer Tanteo 3.2.-Segundo Tanteo
d= 45.00cm As= 9.80cm2 As= 9.83cm2
a= d/5 a calculado= 9.22cm a= 9.25cm
a asumido= 9.00cm
Mact= 15.00Ton-m 3.3.-Tercer Tanteo 3.4.-Cuantia Minima
As= 9.83cm2 Asmin= 14 x b x d / fy
a= 9.25cm Asmin= 3.75cm2 Ok
Mmax=φ x 0.85 x f'c x amax x b x (d-amax/2)
a max=0.50 x ab
a max=0.75 x ab
ab=β1x (6000 / (6000+ fy )) x d
ρ max=0.50 x ρb
ρ max=0.75 x ρb
ρb=0.85β1 x (f'c / fy) x (6000 / (6000+ fy ))
ab=
ρb=
ρ max=
M max=
M max= M max
M max=
NATURALEZA DE UNA VIGA DOBLEMENTE ARMADA
d' A's : Area de Acero en Compresion
As' As : Area de Acero en Traccion
h d ρ > ρ max : Viga Doblemente Armada o Reforzada
As
b
FALLA BALANCEADA DE UNA VIGA DOBLEMENTE ARMADA
Esfuerzo
fy
ε's<εy , f's < fy : El Esfuerzo de Acero en Compresion no Fluye
fs εs=εy , fs = fy : El Esfuerzo de Acero en Traccion Fluye
ε's εy=εs Deformacion Unitaria
εu=0.003 0.85f'c
d'c's
d' ab/2
ε'sC
h d
d-d' d-ab/2
εs=εy Ts=Asb*fs
CALCULO DE LA CUANTIA BALANCEADA DE VIGA DOBLEMENTE ARMADA
Del Diagrama de Esfuerzos
T-C-C's=0
Asb x fy -0.85 x f'c x ab x b - A's x f's =0
Asb x fy =0.85 x f'c x ab x b - A's x f's
Dividiendo toda la expresion por b.d
( Asb x fy ) / b.d = ( 0.85 x f'c x ab x b )/b.d - ( A's x f's ) / b.d
ρb : Cuantia de Acero Balanceada
ρ' : Cuantia de Acero en Compresion
Calculo del Valor de Cb
cb ab=β1x c
d-cb
ρb=Asb / b.d
ρ'=A's/ b.d
ρb x fy = ( 0.85 x f'c x ab )/d + ρ' x f's
ρb = ( 0.85 / d ) x ( f'c / fy ) x ab + ρ' x ( f's / fy )….(a)
Calculo de ab
ab=β1 x Cb
Del Diagrama de Deformaciones Unitarias
εu / Cb = εy / (d - Cb ) εu =0.003 εy= fy / Es
Reemplazando Tenemos
Cb = ( 6000 / (6000 + f'y ) ) x d Reemplazamos en la Ecuacion ab=β1 x Cb
Reemplazando los valores en la ecuacion …(a)
ρ max =0.75 x ρb + ρ' x ( f's / fy )
ρ max =0.50 x ρb + ρ' x ( f's / fy ) … ( Zona Sismica )
Si el Esfuerzo de Acero en Compresion Fluye f's=fy
ρ max =0.75 x ρb + ρ' x ( fy / fy ) ρ max =0.50 x ρb + ρ' x ( fy / fy )
ρ max =0.75 x ρb + ρ' ρ max =0.50 x ρb + ρ'
DISEÑO DE UNA VIGA DOBLEMENTE ARMADA
Esfuerzo
fy
ε's<εy , f's < fy : El Esfuerzo de Acero en Compresion no Fluye
fs εs=εy , fs = fy : El Esfuerzo de Acero en Traccion Fluye
ε's εy εs Deformacion Unitaria
ε's < εy o ε's < εs , el esfuerzo de acero em compresion puede o no fluir
εs < εy , el esfuerzo de acero en traccion fluye
εu=0.003 0.85f'c
d' c's= As' x fs'
d' a/2
cε's
C=0.85 x f'c x a x b
h d c-d'
d-d' d-a/2
εs>εy Ts=As x fs
b
Calculo del Valor de "a"
Del Diagrama de Esfuerzos
T-C-C's=0
As x fy -0.85 x f'c x a x b - A's x f's =0
0.85 x f'c x a x b = As x fy - A's x f's
a= ( As x fy - A's x f's ) / ( 0.85 x f'c x b ) Si Hacemos f's= fy a=fy x ( As - A's ) / ( 0.85 x f'c x b )
ab=β1 x ( 6000 / (6000 + f'y ) ) x d
ρb = ( 0.85 / d ) x ( f'c / fy ) x β1 x (6000 / (6000+ fy )) x d + ρ' x ( f's / fy )
ρb = ( 0.85 x β1 ) x ( f'c / fy ) x β1 x ( 6000 / (6000+ fy ) ) x d + ρ' x ( f's / fy ) (ρb) ̂�ρb = ρb + ρ' x ( f's / fy )
ρb : cuantia balanceada de una viga Doblemente armada o Reforzada
ab=β1x c
d-c
Calculo del Esfuerzo de Acero en Compresion f's del Diagrama de Deformaciones Unitarias
Del diagrama de Deformaciones Unitarias tenemos
εu/c=ε's /( c-d' ) ε's =( c-d' ) x εu/c ε's : Deformacion Unitaria del Acero en Compresion
ε's = f's / Es
Luego Reemplazamos f's / Es = ( c-d' ) x εu/c Reemplazamos los siguientes Valores Es=2000000 kg/cm2
f's = Es x ( c-d' ) x εu/c εu=0.003
C=a/β1
Para Luego Tener : f's = 6000 x (a - β1 x d' ) / a
A.-MOMENTO EN TRACCION
…El Acero no Fluye
Luego si Hacemos f's=fy , La expresion queda reducida de la siguiente manera :
Segunda Forma de Obtener las Expresiones para el Diseño de Una Viga Doblemente Armada o Reforzada
0.85f'c
d' a/2 As' x fy
A's a A's
h dC
As As1=Asmax d-a/2 As2
Ts= As x fy As2 x fy
bM1= M max
C=0.85 x f'c x a x b
As=As1+As2
De la Primera Figura :
Sumatoria de Fuerzas Horizontales igual a cero
As1 x fy = 0.85 x f'c x a x b
a = ( As1 x fy ) / ( 0.85 x f'c x b )
A.-MOMENTO EN TRACCION B.-MOMENTO EN COMPRESION
De la Segunda Figura :
C.-MOMENTO EN TRACCION D.-MOMENTO EN COMPRESION
f's<fy …El esfuerzo de Acero en compresion no fluye
f's=fy …El esfuerzo de Acero en compresion esta fluyendo
Mn= C x ( d-a/2 )+ C's x (d - d ' )
Mn= 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 )+ As' x fs'x (d - d ' )
Mu=φ x Mn
Mu=φ x( 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 )+ As' x fs'x (d - d ' ))
Mu=φ x( 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 )+ As' x fs'x (d - d ' ))
Mu=φ x( 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 )+ As' x fy x (d - d ' ))
M1= φ x C x ( d-a/2 ) M1= φ x T x ( d-a/2 )
M1= φ x 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 ) M1= φ x As x fy x ( d-a/2 )
M2= φ x A's x f's x ( d-d' ) M2= φ x As2 x fy x ( d-d' )
Mu=M1+M2
Mu=φ ( 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 ) + A's x f's )
As' x fy Aplicando el equilibrio Tenemos
A's As2 x fy = As' x fy
d-d' As2 = As'
As2
As2 x fy
E.-MOMENTO EN TRACCION F.-MOMENTO EN COMPRESION
DISEÑO DE VIGA DOBLEMENTE ARMADA
1.-DATOS
Datos Geometricos Datos de Concreto y Acero
h= 0.50m f'c= 210.00
b= 0.25m fy= 4,200.00
r= 0.05m fy/f'c= 20.00
d= 0.45m f'c/fy 0.05
d'= 0.05m β1= 0.85 ρ max =0.75 x ρb + ρ' x ( f's / fy )
Mact= 27.34Ton-m φ= 0.90 ρ max =0.50 x ρb + ρ' x ( f's / fy ) … ( Zona Sismica )
2.-CALCULOS PRELIMINARES Mmax=φ x ρ max x fy x b x d² (1-ρ max x ( fy/f'c))
Calculos
22.50cm
amax= 16.88cm
0.0212
0.0159
24.78Ton-m 24.76Ton-m Mact
24.77Ton-m 27.34Ton-m > 24.77Ton-m
Se diseñara como Viga Doblemente Armada
3.-CALCULOS DE ACERO 3.1.-Primer Tanteo 3.2.-Segundo Tanteo
d= 45.00cm As= 17.86cm2 As= 10.84cm2
a= d/5 a calculado= 16.81cm a= 10.21cm
a asumido= 9.00cm
Mact= 15.00Ton-m 3.3.-Tercer Tanteo 3.4.-Cuantia Minima
As= 9.95cm2 Asmin= 14 x b x d / fy
a= 9.36cm Asmin= 3.75cm2 Ok
3.-CALCULOS DE AREAS DE ACERO EN TRACCION Y COMPRESION
d' a/2 As' x fs
A's a A's
h dC
As As1=Asmax d-a/2 As2
Ts= As x fy As2 x fy
M2= φ x A's x fy x ( d-d' ) M2= φ x As2 x fy x ( d-d' )
Mu=M1+M2
Mu=φ ( 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 ) + A's x fy x ( d-d' ) )
ab=β1 x ( 6000 / (6000 + f'y ) ) x d
ρb = ρb + ρ' x ( f's / fy )
M1= φ x 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 )
Mmax=φ x 0.85 x f'c x amax x b x (d-amax/2)
ab=
ρb=
ρ max=
M max=
M max= M max
M max=
3.1.-CALCULO DE " As1 " (As max = As1 ) 3.1.-CALCULO DE " As2 " 3.3.-CALCULO DE AREA
DE ACERO TOTAL
As max= ρmax.b x d Mact= 27.34Ton-m As1= 17.93Ton-m
ρb= 0.0212 M1= 24.77Ton-m As2= 1.70Ton-m
ρ max= 0.0159 M2= 2.57Ton-m As= 19.63Ton-m
b= 25.00cm d= 45.00cm Asumiendo que fy=fs , As2=As'
d= 45.00cm d'= 5.00cm As'= 1.70Ton-m
As max= 17.93cm2 d-d'= 40.00cm Si Hacemos f's= fy
As1= 17.93cm2 As2= 1.70cm2 a= 16.88cm
fs'= 4,488.89Ton-m
f's no Puede ser Mayor que fy . Por lo tanto f's=fy
1.-CONSIDERACIONES PARA UNA VIGA SECCION T
hf
ha
≤ 8hf bw ≤ 8hf
Consideraciones Iniciales Para una Viga T
a.-El ancho efectivo de debera ser menor o igual a la cuarta parte de Longitud de la viga b≤ Ln/4
b.-El ancho efectivo de debera ser menor o igual al ancho del alma mas ocho veces el espesor de la losa a cab≤ bw+8hf+8hf
c.-El ancho efectivo de debera ser menor o igual al ancho del almas mas la mitad de la distancia libre de la sig b≤ bw+ (L1+L2 )/2
d.-De los tres Valores se Escoje el Menor
2.-CONSIDERACIONES PARA UNA VIGA SECCION T CON UN SOLO ALA
b
hf
h d
bw ≤ 6hf
Consideraciones Iniciales Para una Viga Seccion T de un solo ala
a.-El ancho efectivo de debera ser menor o igual a la Doceava parte de Longitud de la viga b≤ Ln/12
b.-El ancho efectivo de debera ser menor o igual al ancho del alma mas Seis veces el espesor de la Losa b≤ bw+6hf
c.-El ancho efectivo de debera ser menor o igual al ancho del almas mas la mitad de la distancia libre de la sig b≤ bw+ L1/2
d.-De los tres Valores se Escoje el Menor
1.-VIGA DE SECCION T AISLADA
En las vigas aisladas de seccion T proporciona un ala adicional de compresion en ambos lados . La seccion transversal de la
Viga que tiene la Forma de T En vez de rectangular . La losa conforma el ala de la viga mientras que la parte de la viga que se
proyecta por debajo de la losa se conoce como alma . La parte supérior de la viga T esta sometida a esfuerzos Laterales a causa
de la losa en esa direccion debera tener las siguientes dimensiones
b
hf b≤4bw
hf≤bw/2
hd
≤ 4hf bw ≤ 4hf
3.-FALLA BALANCEADA DE UNA VIGA T
εu=0.003 0.85f'c
hf ab/2
ε'sC
h d
d-ab/2
bw εs=εy Tb=Asb x fy
Aplicando Ecuaciones de Equilibrio en los Diagramas de Esfuerzos :
Tb - c =0 → Tb = C Tf - cf =0 → Tf = cf
Asb x fy = 0.85 x f'c x ab x bw…(1) Asf x fy = 0.85 x f'c x ( b - bw ) x hf…(2)
Luego Tenemos
Tb= Cf + Cw
Asb x fy =0.85 x f'c x ( b - bw ) x hf + 0.85 x ab x bw…(3)
Reemplazando (3) en (2)
Asb x fy =Asf x fy + 0.85 x ab x bw…(4)
…Cuantia de Acero Balanceada
…Cuantia de Acero Debido a las Alas
( Asb x fy ) / ( bw x d ) = ( Asf x fy ) / ( bw x d )+ ( 0.85 x f'c x ab x bw ) / ( bw x d )
ρb x fy = ρf x fy + ( 0.85 x f'c x ab ) / ( d )
ρb = ( ρf x fy ) / fy+ ( 0.85 x f'c / fy ) x ( ab / d )
ρb = ( ρf x fy ) / fy+ ( 0.85 / d ) x ( f'c / fy ) x ( ab )…(5)
Del Diagrama de Deformaciones Unitarias
εu / Cb= εy / ( d- Cb ) → εu x ( d- Cb ) = εy x ( d- Cb )
→ εu x d - εu x Cb = εy x d - εy x Cb
→ Cb x ( εu + εy ) = εu x d
cb ab=β1x c
d-cb
ρb = Asb / ( bw x d )
ρf = Asf / ( bw x d )
Calculo de ab
ab=β1x c
→ Cb = ( εu / ( εu + εy ) )x d
Luego Tenemos : Cb = ( 6000 / (6000+ fy ) )x d
Reemplazamos en la siguiente ecuacion :
ab=β1x ( 6000 / (6000+ fy ) )x d
Reemplazando los Valores en la Ecuacion : …( 5 )
ρb = ρf + ( 0.85 / d ) x ( f'c / fy ) x β1 ( 6000 / (6000+ fy ) )x d
ρb = ρf + ( 0.85 x β1 ) x ( f'c / fy ) x ( 6000 / (6000+ fy ) )
4.-ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS T
4.1.-Primer Caso , si C < h f la viga se analizara como una viga de seccion rectangular de ancho "b"
εu=0.003 0.85f'c
hfa/2
ε'sC=0.85 x f'c x a x b
h d
d-a/2
bw εs > εy Tb=As x fy
Aplicando Equilibrio al Diagrama de esfuerzos
T - c =0 → T = C
→ Asf x fy = 0.85 x f'c x a x b
→ a = Asf x fy / 0.85 x f'c x b
A.-MOMENTO EN COMPRESION A.-MOMENTO EN TRACCION
4.2.-Segundo Caso , si C > h f la viga se analizara como una viga de seccion "T"
εu=0.003 0.85f'c
hf a/2
c C
h d
d-a/2
bw εs>εy T = As x fy
0.85f'c
hf a = hf hf / 2
d C=0.85 x f'c x ( b- bw ) x hf
h
d-a d-hf / 2
ab=β1x c
ρb = ρf + ρb
ρ max= 0.75 x ρb = 0.75 x ( ρf + ρb )
cb
ab=β1x c
d-cb
Mn= T x ( d-a/2 ) Mn= T x ( d-a/2 )
Mu=φ x Mn Mu=φ x Mn
Mu=φ x T x ( d-a/2 ) Mu=φ x C x ( d-a/2 )
Mu=φ x Asf x fy x ( d-a/2 ) Mu=φ x 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 )
a=β1x c
d-c
bw Tf=Asf x fy
Aplicando las ecuaciones de Equilibrio en los Diagramas de esfuerzos
Tf - cf =0 → Tf = Cf
Asf x fy=0.85 x f'c x ( b- bw ) x hf
Asf = ( 0.85 x f'c x ( b- bw ) x hf ) / fy
A.-MOMENTO EN COMPRESION
ρb = Asf / (bw x d ) →
ρb = As / (bw x d ) →
Luego Tenemos :
As = Asf + As2
→ ρ < ρ max = 0.75 x ( ρf + ρb )
Mn= Tf x ( d-hf/2 ) Mn= T x ( d-a/2 )
Mn= Asf x fy x ( d-hf/2 ) Mu=φ x Mn
Mu=φ x Mn Mu2=φ x T x ( d-a/2 )
Mu1 = φ x Asf x fy x ( d-hf/2 ) Mu2=φ x Asf x fy x ( d-a/2 )
Mu = Mu1 + Mu2
Mu = φ ( Asf x fy x ( d-hf/2 ) + Asf x fy x ( d-a/2 ) )
ρ max = 0.75 x ρb =0.75 x ( ρf + ρb )