ANALISIS DE VIGAS TIPOS DE FALLA

ESTADO DE ROTURA

A.-FALLA POR TRACCION

eu= 0.003 f max 0.85f'c

a/2

c β3*c a=β1x c C

h d

d-c d-β3*c d-a/2

es Ts=As*fs Ts=As*fs

b

Deformacion Unitaria del concreto

Luego del Diagrama de Esfuerzos Reales

C= fc max .c x b

fc max= α = β1x β3

fc max= β1x β3x f'c β3= 0.85

fc max= β1x 0.85 x f'c

C= β1x 0.85 x f'c x c x b a= β1x c

β1= 0.85-((f'c-280)/70) x 0.05

DIAGRAMA DE ESFUERZO DEFORMACION DEL ACERO

Esfuerzo

fy

fs=fy

εs<εy

εy εs Deformacion Unitaria

Cuando Fs=Fy , Esta ocurriendo que el acero en traccion esta fluyendo

Tomamos momentos en el Eje Donde Actua el Acero en Traccion

a.-Momento en Tracion b.-Momento en Compresion

Mn= C x (d-a/2) Mn= T x (d-a/2)

C= 0.85 x f'c x a x b T= As x fy

Mn= 0.85 x f'c x a x b x (d-a/2) Mn= As x fy x (d-a/2)

c.-Calculo del Valor de "a"

εu=

α x f'c

De la Ecuacion de Equilibrio T-C=0

As x fy =0.85 x f'c x a x b

a=As x fy / (0.85 x f'c x b)

Reemplazando en la Ecuacion de Momento en Traccion

Mn= 0.85 x f'c x As x fy / (0.85 x f'c x b) x b x (d-As x fy / (2x 0.85 x f'c x b))

ρ= As/ b x d

Mn= ρ x fy x b x d² (1-(0.59ρ x fy/f'c))

w= ρ x fy / f'c …(Cuantia mecanica o indice de Refuerzo)

Mn= b x d² x f'c x w x (1-0.59w)

B.-FALLA BALANCEADA

Es una falla que se produce simultaneamente por aplastamiento del concreto y el acero esta iniciando la fluencia

DIAGRAMA DE ESFUERZO DEFORMACION DEL ACERO

Esfuerzo

Zona de FluenciA del Acero

fy

fs=fy

εy=εs Deformacion Unitaria

εu= 0.003 f max 0.85f'c

ab/2

cb β3*cb ab=β1x cb C

h d

d-cb d-β3*cb d-ab/2

εy=εs Ts=Asb*fy Ts=Asb*fy

C= 0.85 x f'c x ab x b Asb= Area de Acero Balanceada

T= Asb x fy εy= Punto de Fluencia

ρ b= Cuantia Balanceada del Acero

Calculo de la Cuantia Balanceada del Acero

De la Ecuacion de Equilibrio T-C=0

Asb x fy =0.85 x f'c x ab x b

Dividiendo por bd Toda la expresion

Asb x fy / ( b x d )=0.85 x f'c x ab x b / ( b x d ) ρb= As/ b x d

ρb= (0.85/d) x (f'c /fy) x ab ab= β1x cb

Calculo del Valor de Cb

Del diagrama de deformaciones unitarias εu/Cb=εy /( d- Cb) εu= 0.003

εy= fy / Es

Reemplazando obtenemos la siguiente Ecuacion Reemplazando obtenemos la siguiente Ecuacion…(1)

Cb= (6000 / (6000+ fy )) x d

ab= β1x cb

ab= β1x (6000 / (6000+ fy )) x d ρb=0.85β1 x (f'c / fy) x (6000 / (6000+ fy ))

a.-Momento en Tracion b.-Momento en Compresion

Mb= C x (d-ab/2) Mb= T x (d-ab/2)

C= 0.85 x f'c x a x b T= Asb x fy

Mb= Mn= Asb x fy x (d-ab/2)

C.-FALLA POR COMPRESION O APLASTAMIENTO

Nota : Se presenta en vigas de gran cantidad de Acero ( Sobrereforzados ) o con moderada cantidad de Acero al incrementarse las cargas

se Alcanza la capacidad de compresion del concreto y el colapso del elemento , Esta falla es de Tipo Fragil

εs<εy fs<fy

εu= 0.003 f max 0.85f'c

a/2

c β3*c a=β1x c C

h d

d-c d-β3*c d-a/2

εs Ts=As*fs Ts=As*fs

b

DIAGRAMA DE ESFUERZO DEFORMACION DEL ACERO

Esfuerzo

fy

fs<fy

fs

εy=εs Deformacion Unitaria

a.-Momento en Tracion b.-Momento en Compresion

Mb= C x (d-ab/2) Mb= T x (d-a/2)

C= 0.85 x f'c x a x b T= As x fy

0.85 x f'c x ab x b x (d-ab/2)

Mn= 0.85 x f'c x a x b x (d-a/2) Mn= As x fs x (d-a/2)

c.-Calculo del Valor de "a"

De la Ecuacion de Equilibrio T-C=0

As x fy =0.85 x f'c x a x b

a=As x fs / (0.85 x f'c x b)

Calculo del Esfuerzo de Acero en Traccion " fs"

Del diagrama de Deformaciones Unitarias

εu/c=εs /( d- c) εu= 0.003

εs= εu x ( d- c)/c εs= fs / Es

fs =εu x Es ( d- c)/c a= β1 x c

Finalmente Tenemos

fs = (6000 x ( β1 x d -a ) )/a

CRITERIO DE LAS FALLAS

Se debe Diseñar la falla que evitara el colapso

Si la Falla es por compresion ( aplastamiento del concreto ) se produce repentinamente y es de naturaleza casi explosiva

Si la Falla es por Traccion (Fluencia del Acero ) es Gradual y esta precedida por signoz visibles de averias , como

ensanchamiento y alargamiento , las grietas y el marcado de las flechas

TRACCION COMPRESION

ρ<ρb ρ>ρb

Mn<Mb Mn>Mb

C<Cb C>Cb

a<ab a>ab

NATURALEZA DE UNA VIGA SIMPLEMENTE ARMADA

FORMULAS PARA VIGAS SOMETIDAS A FLEXION

Mu=φ x Mn

A.-MOMENTO EN COMPRESION B.-MOMENTO EN TRACCION C.-CARACTERISTICAS DE LAS VIGAS A DISEÑAR

Mn= As x fy (d-a/2) Mn= 0.85 x f'c x a x b x (d-a/ ρ < ρ max Viga Simplemente Armada o Reforzada

Mu=φ x Mn Mu=φ x Mn Mact < Mmax Viga Simplemente Armada o Reforzada

Mu=φ x As x fy (d-a/2) Mu=φ x 0.85 x f'c x a x b x (d-a/2) ρ > ρ max Viga Doblemente Armada o Reforzada

Mu=φ x ρ x fy x b x d² (1-(0.59ρ x fy/f'c)) Mu=φ x b x d² x f'c x w x (1-0.59w) Mact > Mmax Viga Doblemente Armada o Reforzada

D.-CALCULO DEL MOMENTO MAXIMO

(Zona Sismica)

Mmax=φ x ρ max x fy x b x d² (1-ρ max x ( fy/f'c))

(Zona Sismica)

uy

DISEÑO DE VIGA SIMPLEMENTE ARMADA

1.-DATOS

Datos Geometricos Datos de Concreto y Acero

h= 0.50m f'c= 210.00

b= 0.25m fy= 4,200.00

r= 0.05m fy/f'c= 20.00

d= 0.45m f'c/fy 0.05

Mact= 15.00Ton-m β1= 0.85

φ= 0.90

2.-CALCULOS PRELIMINARES

Calculos

22.50cm

amax= 16.88cm

0.0212

0.0159

24.78Ton-m

24.76Ton-m Mact

24.77Ton-m 15.00Ton-m < 24.77Ton-m

Se diseñara Como Viga Simplemente Armada

3.-CALCULOS DE ACERO 3.1.-Primer Tanteo 3.2.-Segundo Tanteo

d= 45.00cm As= 9.80cm2 As= 9.83cm2

a= d/5 a calculado= 9.22cm a= 9.25cm

a asumido= 9.00cm

Mact= 15.00Ton-m 3.3.-Tercer Tanteo 3.4.-Cuantia Minima

As= 9.83cm2 Asmin= 14 x b x d / fy

a= 9.25cm Asmin= 3.75cm2 Ok

Mmax=φ x 0.85 x f'c x amax x b x (d-amax/2)

a max=0.50 x ab

a max=0.75 x ab

ab=β1x (6000 / (6000+ fy )) x d

ρ max=0.50 x ρb

ρ max=0.75 x ρb

ρb=0.85β1 x (f'c / fy) x (6000 / (6000+ fy ))

ab=

ρb=

ρ max=

M max=

M max= M max

M max=

NATURALEZA DE UNA VIGA DOBLEMENTE ARMADA

d' A's : Area de Acero en Compresion

As' As : Area de Acero en Traccion

h d ρ > ρ max : Viga Doblemente Armada o Reforzada

As

b

FALLA BALANCEADA DE UNA VIGA DOBLEMENTE ARMADA

Esfuerzo

fy

ε's<εy , f's < fy : El Esfuerzo de Acero en Compresion no Fluye

fs εs=εy , fs = fy : El Esfuerzo de Acero en Traccion Fluye

ε's εy=εs Deformacion Unitaria

εu=0.003 0.85f'c

d'c's

d' ab/2

ε'sC

h d

d-d' d-ab/2

εs=εy Ts=Asb*fs

CALCULO DE LA CUANTIA BALANCEADA DE VIGA DOBLEMENTE ARMADA

Del Diagrama de Esfuerzos

T-C-C's=0

Asb x fy -0.85 x f'c x ab x b - A's x f's =0

Asb x fy =0.85 x f'c x ab x b - A's x f's

Dividiendo toda la expresion por b.d

( Asb x fy ) / b.d = ( 0.85 x f'c x ab x b )/b.d - ( A's x f's ) / b.d

ρb : Cuantia de Acero Balanceada

ρ' : Cuantia de Acero en Compresion

Calculo del Valor de Cb

cb ab=β1x c

d-cb

ρb=Asb / b.d

ρ'=A's/ b.d

ρb x fy = ( 0.85 x f'c x ab )/d + ρ' x f's

ρb = ( 0.85 / d ) x ( f'c / fy ) x ab + ρ' x ( f's / fy )….(a)

Calculo de ab

ab=β1 x Cb

Del Diagrama de Deformaciones Unitarias

εu / Cb = εy / (d - Cb ) εu =0.003 εy= fy / Es

Reemplazando Tenemos

Cb = ( 6000 / (6000 + f'y ) ) x d Reemplazamos en la Ecuacion ab=β1 x Cb

Reemplazando los valores en la ecuacion …(a)

ρ max =0.75 x ρb + ρ' x ( f's / fy )

ρ max =0.50 x ρb + ρ' x ( f's / fy ) … ( Zona Sismica )

Si el Esfuerzo de Acero en Compresion Fluye f's=fy

ρ max =0.75 x ρb + ρ' x ( fy / fy ) ρ max =0.50 x ρb + ρ' x ( fy / fy )

ρ max =0.75 x ρb + ρ' ρ max =0.50 x ρb + ρ'

DISEÑO DE UNA VIGA DOBLEMENTE ARMADA

Esfuerzo

fy

ε's<εy , f's < fy : El Esfuerzo de Acero en Compresion no Fluye

fs εs=εy , fs = fy : El Esfuerzo de Acero en Traccion Fluye

ε's εy εs Deformacion Unitaria

ε's < εy o ε's < εs , el esfuerzo de acero em compresion puede o no fluir

εs < εy , el esfuerzo de acero en traccion fluye

εu=0.003 0.85f'c

d' c's= As' x fs'

d' a/2

cε's

C=0.85 x f'c x a x b

h d c-d'

d-d' d-a/2

εs>εy Ts=As x fs

b

Calculo del Valor de "a"

Del Diagrama de Esfuerzos

T-C-C's=0

As x fy -0.85 x f'c x a x b - A's x f's =0

0.85 x f'c x a x b = As x fy - A's x f's

a= ( As x fy - A's x f's ) / ( 0.85 x f'c x b ) Si Hacemos f's= fy a=fy x ( As - A's ) / ( 0.85 x f'c x b )

ab=β1 x ( 6000 / (6000 + f'y ) ) x d

ρb = ( 0.85 / d ) x ( f'c / fy ) x β1 x (6000 / (6000+ fy )) x d + ρ' x ( f's / fy )

ρb = ( 0.85 x β1 ) x ( f'c / fy ) x β1 x ( 6000 / (6000+ fy ) ) x d + ρ' x ( f's / fy ) (ρb) ̂�ρb = ρb + ρ' x ( f's / fy )

ρb : cuantia balanceada de una viga Doblemente armada o Reforzada

ab=β1x c

d-c

Calculo del Esfuerzo de Acero en Compresion f's del Diagrama de Deformaciones Unitarias

Del diagrama de Deformaciones Unitarias tenemos

εu/c=ε's /( c-d' ) ε's =( c-d' ) x εu/c ε's : Deformacion Unitaria del Acero en Compresion

ε's = f's / Es

Luego Reemplazamos f's / Es = ( c-d' ) x εu/c Reemplazamos los siguientes Valores Es=2000000 kg/cm2

f's = Es x ( c-d' ) x εu/c εu=0.003

C=a/β1

Para Luego Tener : f's = 6000 x (a - β1 x d' ) / a

A.-MOMENTO EN TRACCION

…El Acero no Fluye

Luego si Hacemos f's=fy , La expresion queda reducida de la siguiente manera :

Segunda Forma de Obtener las Expresiones para el Diseño de Una Viga Doblemente Armada o Reforzada

0.85f'c

d' a/2 As' x fy

A's a A's

h dC

As As1=Asmax d-a/2 As2

Ts= As x fy As2 x fy

bM1= M max

C=0.85 x f'c x a x b

As=As1+As2

De la Primera Figura :

Sumatoria de Fuerzas Horizontales igual a cero

As1 x fy = 0.85 x f'c x a x b

a = ( As1 x fy ) / ( 0.85 x f'c x b )

A.-MOMENTO EN TRACCION B.-MOMENTO EN COMPRESION

De la Segunda Figura :

C.-MOMENTO EN TRACCION D.-MOMENTO EN COMPRESION

f's<fy …El esfuerzo de Acero en compresion no fluye

f's=fy …El esfuerzo de Acero en compresion esta fluyendo

Mn= C x ( d-a/2 )+ C's x (d - d ' )

Mn= 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 )+ As' x fs'x (d - d ' )

Mu=φ x Mn

Mu=φ x( 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 )+ As' x fs'x (d - d ' ))

Mu=φ x( 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 )+ As' x fs'x (d - d ' ))

Mu=φ x( 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 )+ As' x fy x (d - d ' ))

M1= φ x C x ( d-a/2 ) M1= φ x T x ( d-a/2 )

M1= φ x 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 ) M1= φ x As x fy x ( d-a/2 )

M2= φ x A's x f's x ( d-d' ) M2= φ x As2 x fy x ( d-d' )

Mu=M1+M2

Mu=φ ( 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 ) + A's x f's )

As' x fy Aplicando el equilibrio Tenemos

A's As2 x fy = As' x fy

d-d' As2 = As'

As2

As2 x fy

E.-MOMENTO EN TRACCION F.-MOMENTO EN COMPRESION

DISEÑO DE VIGA DOBLEMENTE ARMADA

1.-DATOS

Datos Geometricos Datos de Concreto y Acero

h= 0.50m f'c= 210.00

b= 0.25m fy= 4,200.00

r= 0.05m fy/f'c= 20.00

d= 0.45m f'c/fy 0.05

d'= 0.05m β1= 0.85 ρ max =0.75 x ρb + ρ' x ( f's / fy )

Mact= 27.34Ton-m φ= 0.90 ρ max =0.50 x ρb + ρ' x ( f's / fy ) … ( Zona Sismica )

2.-CALCULOS PRELIMINARES Mmax=φ x ρ max x fy x b x d² (1-ρ max x ( fy/f'c))

Calculos

22.50cm

amax= 16.88cm

0.0212

0.0159

24.78Ton-m 24.76Ton-m Mact

24.77Ton-m 27.34Ton-m > 24.77Ton-m

Se diseñara como Viga Doblemente Armada

3.-CALCULOS DE ACERO 3.1.-Primer Tanteo 3.2.-Segundo Tanteo

d= 45.00cm As= 17.86cm2 As= 10.84cm2

a= d/5 a calculado= 16.81cm a= 10.21cm

a asumido= 9.00cm

Mact= 15.00Ton-m 3.3.-Tercer Tanteo 3.4.-Cuantia Minima

As= 9.95cm2 Asmin= 14 x b x d / fy

a= 9.36cm Asmin= 3.75cm2 Ok

3.-CALCULOS DE AREAS DE ACERO EN TRACCION Y COMPRESION

d' a/2 As' x fs

A's a A's

h dC

As As1=Asmax d-a/2 As2

Ts= As x fy As2 x fy

M2= φ x A's x fy x ( d-d' ) M2= φ x As2 x fy x ( d-d' )

Mu=M1+M2

Mu=φ ( 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 ) + A's x fy x ( d-d' ) )

ab=β1 x ( 6000 / (6000 + f'y ) ) x d

ρb = ρb + ρ' x ( f's / fy )

M1= φ x 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 )

Mmax=φ x 0.85 x f'c x amax x b x (d-amax/2)

ab=

ρb=

ρ max=

M max=

M max= M max

M max=

3.1.-CALCULO DE " As1 " (As max = As1 ) 3.1.-CALCULO DE " As2 " 3.3.-CALCULO DE AREA

DE ACERO TOTAL

As max= ρmax.b x d Mact= 27.34Ton-m As1= 17.93Ton-m

ρb= 0.0212 M1= 24.77Ton-m As2= 1.70Ton-m

ρ max= 0.0159 M2= 2.57Ton-m As= 19.63Ton-m

b= 25.00cm d= 45.00cm Asumiendo que fy=fs , As2=As'

d= 45.00cm d'= 5.00cm As'= 1.70Ton-m

As max= 17.93cm2 d-d'= 40.00cm Si Hacemos f's= fy

As1= 17.93cm2 As2= 1.70cm2 a= 16.88cm

fs'= 4,488.89Ton-m

f's no Puede ser Mayor que fy . Por lo tanto f's=fy

1.-CONSIDERACIONES PARA UNA VIGA SECCION T

hf

ha

≤ 8hf bw ≤ 8hf

Consideraciones Iniciales Para una Viga T

a.-El ancho efectivo de debera ser menor o igual a la cuarta parte de Longitud de la viga b≤ Ln/4

b.-El ancho efectivo de debera ser menor o igual al ancho del alma mas ocho veces el espesor de la losa a cab≤ bw+8hf+8hf

c.-El ancho efectivo de debera ser menor o igual al ancho del almas mas la mitad de la distancia libre de la sig b≤ bw+ (L1+L2 )/2

d.-De los tres Valores se Escoje el Menor

2.-CONSIDERACIONES PARA UNA VIGA SECCION T CON UN SOLO ALA

b

hf

h d

bw ≤ 6hf

Consideraciones Iniciales Para una Viga Seccion T de un solo ala

a.-El ancho efectivo de debera ser menor o igual a la Doceava parte de Longitud de la viga b≤ Ln/12

b.-El ancho efectivo de debera ser menor o igual al ancho del alma mas Seis veces el espesor de la Losa b≤ bw+6hf

c.-El ancho efectivo de debera ser menor o igual al ancho del almas mas la mitad de la distancia libre de la sig b≤ bw+ L1/2

d.-De los tres Valores se Escoje el Menor

1.-VIGA DE SECCION T AISLADA

En las vigas aisladas de seccion T proporciona un ala adicional de compresion en ambos lados . La seccion transversal de la

Viga que tiene la Forma de T En vez de rectangular . La losa conforma el ala de la viga mientras que la parte de la viga que se

proyecta por debajo de la losa se conoce como alma . La parte supérior de la viga T esta sometida a esfuerzos Laterales a causa

de la losa en esa direccion debera tener las siguientes dimensiones

b

hf b≤4bw

hf≤bw/2

hd

≤ 4hf bw ≤ 4hf

3.-FALLA BALANCEADA DE UNA VIGA T

εu=0.003 0.85f'c

hf ab/2

ε'sC

h d

d-ab/2

bw εs=εy Tb=Asb x fy

Aplicando Ecuaciones de Equilibrio en los Diagramas de Esfuerzos :

Tb - c =0 → Tb = C Tf - cf =0 → Tf = cf

Asb x fy = 0.85 x f'c x ab x bw…(1) Asf x fy = 0.85 x f'c x ( b - bw ) x hf…(2)

Luego Tenemos

Tb= Cf + Cw

Asb x fy =0.85 x f'c x ( b - bw ) x hf + 0.85 x ab x bw…(3)

Reemplazando (3) en (2)

Asb x fy =Asf x fy + 0.85 x ab x bw…(4)

…Cuantia de Acero Balanceada

…Cuantia de Acero Debido a las Alas

( Asb x fy ) / ( bw x d ) = ( Asf x fy ) / ( bw x d )+ ( 0.85 x f'c x ab x bw ) / ( bw x d )

ρb x fy = ρf x fy + ( 0.85 x f'c x ab ) / ( d )

ρb = ( ρf x fy ) / fy+ ( 0.85 x f'c / fy ) x ( ab / d )

ρb = ( ρf x fy ) / fy+ ( 0.85 / d ) x ( f'c / fy ) x ( ab )…(5)

Del Diagrama de Deformaciones Unitarias

εu / Cb= εy / ( d- Cb ) → εu x ( d- Cb ) = εy x ( d- Cb )

→ εu x d - εu x Cb = εy x d - εy x Cb

→ Cb x ( εu + εy ) = εu x d

cb ab=β1x c

d-cb

ρb = Asb / ( bw x d )

ρf = Asf / ( bw x d )

Calculo de ab

ab=β1x c

→ Cb = ( εu / ( εu + εy ) )x d

Luego Tenemos : Cb = ( 6000 / (6000+ fy ) )x d

Reemplazamos en la siguiente ecuacion :

ab=β1x ( 6000 / (6000+ fy ) )x d

Reemplazando los Valores en la Ecuacion : …( 5 )

ρb = ρf + ( 0.85 / d ) x ( f'c / fy ) x β1 ( 6000 / (6000+ fy ) )x d

ρb = ρf + ( 0.85 x β1 ) x ( f'c / fy ) x ( 6000 / (6000+ fy ) )

4.-ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS T

4.1.-Primer Caso , si C < h f la viga se analizara como una viga de seccion rectangular de ancho "b"

εu=0.003 0.85f'c

hfa/2

ε'sC=0.85 x f'c x a x b

h d

d-a/2

bw εs > εy Tb=As x fy

Aplicando Equilibrio al Diagrama de esfuerzos

T - c =0 → T = C

→ Asf x fy = 0.85 x f'c x a x b

→ a = Asf x fy / 0.85 x f'c x b

A.-MOMENTO EN COMPRESION A.-MOMENTO EN TRACCION

4.2.-Segundo Caso , si C > h f la viga se analizara como una viga de seccion "T"

εu=0.003 0.85f'c

hf a/2

c C

h d

d-a/2

bw εs>εy T = As x fy

0.85f'c

hf a = hf hf / 2

d C=0.85 x f'c x ( b- bw ) x hf

h

d-a d-hf / 2

ab=β1x c

ρb = ρf + ρb

ρ max= 0.75 x ρb = 0.75 x ( ρf + ρb )

cb

ab=β1x c

d-cb

Mn= T x ( d-a/2 ) Mn= T x ( d-a/2 )

Mu=φ x Mn Mu=φ x Mn

Mu=φ x T x ( d-a/2 ) Mu=φ x C x ( d-a/2 )

Mu=φ x Asf x fy x ( d-a/2 ) Mu=φ x 0.85 x f'c x a x b x ( d-a/2 )

a=β1x c

d-c

bw Tf=Asf x fy

Aplicando las ecuaciones de Equilibrio en los Diagramas de esfuerzos

Tf - cf =0 → Tf = Cf

Asf x fy=0.85 x f'c x ( b- bw ) x hf

Asf = ( 0.85 x f'c x ( b- bw ) x hf ) / fy

A.-MOMENTO EN COMPRESION

ρb = Asf / (bw x d ) →

ρb = As / (bw x d ) →

Luego Tenemos :

As = Asf + As2

→ ρ < ρ max = 0.75 x ( ρf + ρb )

Mn= Tf x ( d-hf/2 ) Mn= T x ( d-a/2 )

Mn= Asf x fy x ( d-hf/2 ) Mu=φ x Mn

Mu=φ x Mn Mu2=φ x T x ( d-a/2 )

Mu1 = φ x Asf x fy x ( d-hf/2 ) Mu2=φ x Asf x fy x ( d-a/2 )

Mu = Mu1 + Mu2

Mu = φ ( Asf x fy x ( d-hf/2 ) + Asf x fy x ( d-a/2 ) )

ρ max = 0.75 x ρb =0.75 x ( ρf + ρb )