Diapositiva 1

DEFORMACIONES POR FLEXION EN VIGASMETODO DE DOBLE INTEGRACIONxyEje deformado de la vigaEje inicial de la viga sin deformarSeccin de la viga sin deformarGiro de la seccinFlecha de la seccinA una distancia x del origen o, la seccin de estudio de la viga, por efecto de las cargas que actan sobre ella, experimenta dos tipos de deformaciones:

: Giro de la seccin o deformacin angular y: Flecha de la seccin, tambin denominado desplazamiento linealEn la seccin de estudio, en su configuracin deformada:Tg = dy = (por ser pequeo) dx

Luego: = dy d = d2y dx dx dx2ddxdSe cumple:dx d

1 = d 1 = d2y dx dx2

Pero de la teora de flexin de vigas:

1 = M EI d2y = M EI dx2

Esta ecuacin se denomina, ecuacin diferencial del eje deformado de la viga o simplemente: elstica

EI d2y = M dx2Al producto EI, se le llama rigidez a la deformacin por flexin. Ecuacin diferencial con variables separables, la solucin es:Primera integracin :

EI dy = Mdx + C1 ; como dy = dx dx

EI = Mdx + C1 Ecuacin de giros

Segunda integracin :

EIy = Mdxdx + C1x + C2 Ecuacin de la elstica

Las constantes C1 y C2 , se obtienen de la condicin de bordes o extremos de la vigaEjemplos:PBBAElstica o deformadayB 0B 0A = 0yA = 0ABABqElstica o deformadaA 0yA = 0B 0yB = 0PqPElstica o flecha ABA = 0yA = 0B = 0yB = 0Elstica o deformadaPABCqA = 0yA = 0Bi 0Bd 0yB 0c 0yc = 0E = 2 * 105 Kg/cm2Eiy = M = -12 + 2 (t.m) EIy` = -12x + 2 + C1 (t.m2)EIy = -6x2 + 3 + C1x + C2 (t.m3) 3Para x=2, yB = 0 : -6(2)2 + 2C1 + C2 = 0Para x=8, yc = 0 : -6(8)2 + (63)/3 + 8C1 + C2 = 0 Resolviendo: C1 = 48 y C2 = -72 (x - 2)2 12x + 48 = 0 x2 4x + 4 -12x + 48 = 0 x2 16x + 52 = 0x` = 16 162 4(1)(52) 2x = 8 3,464 x = 4,536 m EIy = 27,713 11 2 m 6 m

Para la viga mostrada, calcular la flecha mxima en el tramo BC 2t2tACBx12 t.mYmax = 27,713EIIEN = 1 (30 * 103 + 10 * 303) 600(5)2 3IEN = 85000 cm4

Ymax = 27,713 * 109 = 1,63 cm85000 * 2 * 10510 10 10cm10cm

3015ENPP2PABCDE2 m 3 3 2PP2PABCDE2P2P2 m 3 3 2--++PPPP-+-2P2PPIz = 24 * 363 = 93312 cm4 12

Q = 24 * 18 * 9 = 3888 cm3

= 2P * 102 * 18 600 P 15552 Kg 93312

= P * 3888 60 P 34560 Kg 93312 * 24

EIy = 2P - Px (Kg.m)

EIy = - P x2 + P 2 + C1 2EIy = - P x3 + P 3 + C1x + C2 6 3362418ENCuando x = 2 yB = 0 - P * 8 + 2C1 + C2 = 0 6x = 5 yc = 0 yc = - 25 P + 9P + C1 = 0 2

C1 = 25 18 P C1 = 7 P 2 2

4 P + 7P + C2 = 0 C2 = - 17 P 3 3

EIy = - P x3 + P 3 + 7 Px - 17 P 6 3 2 3

x = 0 yA = - 17 * P 3 EI

x = 5 EIyc = - 125 P + 27 P + 35 P 17 P 6 3 2 3

EIyc = (-125 + 54 + 70 - 34) P yc= - 35 * P 6 6 EIymax = - 35 * P 6 EI

35 * P * 106 1 6 EI

P 1 * 6 * 2,4 * 105 * 9331235 * 106

P 3839,12 Kg ProblemaR1 = 100 NR2 = 200 NxyACBYX300 N2 m1 mEI d2y = M = ( 100x 300 < x 2 >) N.m dx2EI dy = ( 50 x2 150 < x 2 >2 + C1) N.m2 dxEIy = 50 x3 50 < x - 2>3 + C1x + C2 N.m3 3En A, para X = 0, la ordenada Y = 0. Sustituyendo estos valores en la ecuacin se obtiene C2 = 0. recordemos que < x 2 >3 no existe para valores de X menores que 2, que haran negativo el parntesis.

En el otro apoyo para X = 3, la ordenada tambin es nula. Conocido C2 = 0 y sustituyendo en la expresin, se obtiene

0 = 50 (3)3 50 (3 2)3 + 3C1 o C1 = - 133 N.m2 3

Determinadas las constantes de integracin y sustituidos sus valores , se pueden escribir las expresiones de la pendiente y de la ordenada de la elstica en su forma convencional

Tramo AB (0 x 2)EI dy = (50 x2 133) N.m2 dx

EIy = 50 x3 133x N.m2 3Tramo BC (2 x 3)EI dy = [50 x2 150 (x 2)2 133] N.m2 dx

EIy = 50 x3 50 (x 2)3 133x N.m3 350 x2 133 = 0 o x = 1,63 m

EIymax = - 145 N.m3

Expresando E en N/m2 e I en m4, se obtiene y en m.

Por ejemplo, si: E = 10 * 109 N/m2 e I = 1,5 * 106 mm4 = 1,5 * 10-6 m4

El valor de y es:

(10 * 109) (1,5 * 10-6)y = -145

y = -9,67 * 10-3 m = - 9,67 mm600 NABCR1 = 500 N 1 m 3 m 2 m 2 mR2 = 1300 NXYE600 NABCDR1 = 500 N 1 m 3 m 2 m 2 mR2 = 1300 NXYE600 NABCDR1 = 500 N 1 m 3 m 2 m 2 mR2 = 1300 NXYE600 NABCDR1 = 500 N 1 m 3 m 2 m 2 mR2 = 1300 NXYEProblemaABCDEYX400 N/mR1 = 500 NR2 = 1300 N1 m 3 m 2 m 2 mEI d2y = M = 500x 400 < x 1>2 + 400 < x 4 >2 + 1300 < x 6> N.m dx2 2 2EI dy = 250x2 200 < x 1 >3 + 200 < x 4 >3 + 650 < x 6 >2 + C1 N.m2 dx 3 3

EIy = 250x3 50 < x 1 >4 + 50 < x 4 >4 + 650 < x 6 >3 + C1x + C2 N.m3 3 3 3 3600 N0 = 250 (6)3 50 (5)4 + 50 (2)4 + 6 C1 o C1 = - 1308 N.m2 3 3 3

EIy = 250 (3)3 50 (2)4 1308 (3) = - 1941 N.m3 3 3

EIy = 250 (8)3 50 (7)4 + 50 (4)4 + 650 (2)3 1308 (8) = - 1814 N.m3 3 3 3 3Problema400 NABCVcRA2 m 1 mMcEI d2y = Mc + Vcx 400 < x 2 > dx2

EI dy = Mcx + Vcx2 200 2 + C1 dx 2

EIy = Mcx2 + Vcx3 200 < x 2 >3 + C2 2 6 3= 0= 0Mc + 3 Vc 400(1) = 0

Mc (3)2 + Vc (3)3 200 (1)3 = 0 2 6 3

Vc = 193 N y Mc = 179 N.mProblemaAB900 N/m1 m 3 mMAMBYXEI d2y = MA + VAx 900 < x 1 >2 dx2 2

EI dy = MAx + VAx2 150 < x 1 >3 + C1 dx 2

EIy = MAx2 + VAx3 150 < x 1 >4 + C2 2 6 4

= 0= 04MA + (4)2 VA 150 (3)3 = 0

(4)2MA + (4)3 VA 150 (3)4 = 0

VA = 949 Ny MA = - 886 N.m

VB + 949 900 (3) = 0 VB = 1750 N

ProblemaR1CMARA3 m 1 m 1 m36 t/m 12 tABCD+- ++--78,820,81 m2,19 m29,181257,28122917,18EIy = - MA + RAx 36 x2 + 36 < x 3 >2 + Rc < x 4 > 2 2

EIy = - MAx + RAx2 6x3 + 6 < x 3 >3 + Rc < x 4 >2 + C12 2

EIy = - MAx2 + RAx3 3x4 + 3 < x 3 >4 + Rc 3 + C1x + C2 2 6 2 2 6

X = 0 yA = 0 C1 = 0 ;yA = 0 C2 = 0X = 4 yC = 0:- 8 MA + 32 RA 384 + 3 = 0

- 24 MA + 32 RA = 1147,5- 3 MA + 4 RA = 143,44

(M)c = 0: - MA + 4 RA ( 36 * 3 )(2,5) + 12 = 0 - MA + 4 RA = 258 3 MA 4 RA = -143,44

2 MA = 114,56 MA = 57,28 RA = 78,82 RC = 41,18