flexion en vigas

FLEXIN SIMPLE

Figura 2.a

Figura 2.b

Figura 2.c

2.1.- GeneralidadesEn las Figuras 2.a, 2.b y 2.c se han resumido gran parte de las hiptesis y de la notacin que se utilizarn en la resolucin de los ejemplos. Los ejemplos se han resuelto en base a las siguientes premisas: a) Las secciones deben verificar la condicin resistente (artculo 9.1.1) dada por: con Mu Mn Mu = Resistencia requerida calculada para cargas mayoradas Mn = Resistencia nominal (real) de la seccin = Coeficiente de reduccin de resistencia en funcin del tipo de rotura Las secciones se proyectan para que presenten roturas dctiles (precedidas por importantes deformaciones y fisuracin) por lo que se establece una deformacin mnima para el acero ms traccionado1 de 0,005 (esto implica que todos los aceros comerciales se encontrarn en fluencia por traccin). Este tipo de secciones se denominan controladas por traccin (artculo 10.3.4) (Figura 2.c).B B B B B B B B B B B B TP PT

b)

Cuando existan varias capas de armaduras la deformacin a considerar ser la de la capa que se encuentre ms alejada del eje neutro. Por ese motivo se habla del acero ms traccionado.TP PT

1

Flexin Simple Ejemplos de Aplicacin del Reglamento CIRSOC 201-2005.- 7

c) d)

e) f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

En funcin de la hiptesis anterior, y de acuerdo con la Figura 2.c, el coeficiente puede tomarse siempre igual a 0,90 (artculo 9.3.2.1). Las secciones inicialmente planas se mantienen planas luego de deformarse (artculo 10.2.2). Esta hiptesis permite aplicar semejanza de tringulos para conocer las deformaciones que experimentan armaduras ubicadas en cualquier posicin (Figura 2.a). El hormign no resiste tracciones (artculo 10.2.5). La deformacin de rotura del hormign es siempre de 0,003 por lo que todos los posibles planos de deformacin de la seccin transversal se obtienen pivotando alrededor de dicha deformacin (Figura 2.a) (artculo 10.2.3). Existe solidaridad resistente entre el acero y el hormign (adherencia) por lo tanto ambos materiales experimentan iguales deformaciones especficas si se encuentran a igual distancia del eje neutro de deformaciones (puede considerarse redundante con el mantenimiento de las secciones planas). Las tensiones de compresin en el hormign pueden representarse mediante un bloque de tensiones uniformes de valor f*c = 0,85 fc (artculo 10.2.7.1), siendo fc la resistencia especificada de compresin del hormign (Figura 2.a). El eje neutro de tensiones es paralelo al eje neutro de deformaciones y la profundidad a del bloque de tensiones en el hormign est relacionada con la profundidad c del eje neutro de deformaciones mediante la expresin: a = 1 c (artculo 10.2.7.1) (Figura 2.a), donde: Si fc 30 MPa 1 = 0,85 y Si fc > 30 MPa 1 = 0,85 0,05 (fc 30 MPa) / 7 0,65 (art. 10.2.7.3) El acero tiene un comportamiento perfectamente elastoplstico (Figura 2.b). Para deformaciones menores a las de fluencia su tensin se calcula como el producto de su deformacin especfica por el mdulo de elasticidad (Es = 200000 MPa) a partir de all su tensin es igual a la tensin de fluencia especificada fy (artculo 10.2.4). Si el momento solicitante fuera mayor que el resistido en base a las deformaciones lmites establecidas para los materiales (cu = 0,003 y s 0,005) se recurrir al uso de armadura comprimida (As) de modo de mantener el eje neutro en su profundidad mxima (artculo 10.3.5.1). Esta profundidad se obtiene por semejanza de tringulos asignando a los materiales las deformaciones lmites: c = d 0,003 / (0,003 + 0,005) = 0,375 d Para asegurar una ductilidad mnima las secciones no podrn proyectarse con una armadura menor que: Si fc 30 MPa As mn = 1,4 bw d / fy Si fc > 30 MPa As mn = fc bw d / (4 fy) (artculo 10.5.1)B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B

donde fc y fy se encuentran expresados en MPa.B B B B

2.2.- Secciones rectangulares 2.2.1.- Ecuaciones generales de equilibrioEn el caso ms general, planteando momentos respecto a la armadura traccionada se tiene (Figura 2.a): Mn = Mc + Ms = C (d a / 2) + Cs (d d)B B B B B B B B B B B B


y planteando equilibrio de fuerzas horizontales: As fy = C + CsB B B B B B

2.2.2.- Cuantas lmitesa) Cuanta mnima

Dado que la cuanta mnima es la menor armadura a disponer, se estar muy lejos de la cuanta mxima y por lo tanto no se tendr armadura comprimida, es decir que se tendr solamente: y por lo tanto T = As fy = C = f*c bw a = f*c bw ka d ka = As fy / (f*c bw d)B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B

Una seccin contar con una armadura mayor que la mnima cuando ka ka mn = As mn fy / (f*c bw d)B B B B B B B B B B B B

Si fc 30 MPa Si fc > 30 MPaB B B B

ka ka mn = 1,4 / f*c = 1,4 / (0,85 fc) ka ka mn = 1 / (3,4 fc )B B B B B B B B B B B B

b)

Cuanta mxima

Una seccin requerir armadura de compresin cuando la seccin de hormign comprimido sea insuficiente como para equilibrar el momento externo. El momento mximo que puede equilibrar el hormign se da cuando se alcanza la mxima deformacin de compresin en el hormign (0,003) y la mnima deformacin de traccin en el acero (0,005) 2 es decir cuando:TP PT

cmx = 0,003 d / (0,003 + 0,005) = 0,375 d kc mx = cmx / d = 0,375 ka mx = kc mx 1 = 0,375 1B B B B B B B B B B B B B B

por lo que resulta y por lo tanto

Existen otras razones para limitar la profundidad mxima del eje neutro. Este es el caso de las secciones en las que se pretenda efectuar una redistribucin plstica de momentos. El CIRSOC 201-2005, artculo 8.4.3, pide para estos casos una deformacin mnima en el acero de 0,0075 y puede ser an mayor dependiendo del porcentaje de redistribucin que se desee. Volveremos ms adelante sobre este tema. En esta serie de ejemplos se tomar como cuanta mxima la correspondiente a la deformacin de 0,005 en el acero ms traccionado.

2.2.3.- Clculo de armadurasMn = Mu / = Mu / 0,9B B B B B B

Si bien el CIRSOC 201-2005 permite llegar a una deformacin mnima de 0,004 simultneamente indica una reduccin del factor que vuelve antieconmicas soluciones con deformaciones menores a 0,005.TP PT

2


En primera instancia supondremos que no es necesario disponer armadura comprimida: Mn = f*c bw a (d a / 2) = f*c bw d2 ka (1 ka / 2)B B B B B B B B B B B B B B P P B B B B B B

y

llamando

mn = Mn / (f*c bw d2)B B B B B B B B P P

resulta

ka = 1 (1 2 mn)1/2B B B B P P

a) b) c)

Si ka ka mn se adoptaB B B B

As = As mn = f*c bw ka mn d / fyB B B B B B B B B B B B

yB

As = 0B B

Si ka mn < ka ka mx se calculaB B B B B B B B B B

As = f*c bw ka d / fyB B B B B B B B B B

y

As = 0B

Si ka > ka mx se requerir el uso de armadura comprimida, es decir

As > 0B B

El mximo momento que podr tomar la seccin comprimida de hormign es: Mc = f*c bw d2 ka mx (1 ka mx / 2)B B B B B B P P B B B B B B

por lo que el momento remanente deber ser tomado por la armadura comprimida: Mn = Ms = Mn Mc = As fs (d d)B B B B B B B B B B B B

donde la tensin fs surge deB B

s = 0,003 (c d) / cB B

Si Si

s < y = fy / Es = fy / 200000 MPa s yB B B B B B B B B B B B B B

entonces entonces

fs = Es s fs = fyB B B B B B B B B B B B

por lo que se puede despejar la armadura comprimida como: As = Mn / [fs (d d)]B B B B B B

finalmente, de la sumatoria de fuerzas se obtiene As = f*c bw ka mx d / fy + As fs / fyB B B B B B B B B B B B B B B B

Si en cualquier situacin se deseara conocer la deformacin de la armadura ms traccionada esta se obtiene por semejanza de tringulos como: s = 0,003 (d c) / c = 0,003 (1 kc) / kcB B B B B B

con

kc = ka / 1B B B B B B

2.3.- Secciones con alas (T y L) 2.3.1.- GeometrasLas Figuras 2.3.1.1.a) c) muestran los tres tipos de secciones con alas que contempla el CIRSOC 201-2005: Viga T bajo losa, Viga L bajo losa y Viga T aislada. Las condiciones que da el CIRSOC para el clculo del ancho efectivo b a emplear en los clculos resistentes es:Flexin Simple Ejemplos de Aplicacin del Reglamento CIRSOC 201-2005.- 10

2.3.1.1.- Para Vigas T bajo losa (artculo 8.10.2)a) b) c) b = bw + be izq + be der b Luz de la viga / 4 be (izq der) = mnimo (8 hf ; distancia libre a viga adyacente)B B B B B B B B B B B B B B

2.3.1.2.- Para Vigas L bajo losa (artculo 8.10.3)a) b) b = bw + be be = mnimo (6 hf ; distancia libre a viga adyacente ; Luz de la viga / 12)B B B B B B B B B B B B

2.3.1.3.- Para Vigas T aisladas (artculo 8.10.4)a) b) hf bw / 2 b 4 bwB B B B B B B B B B

(a) Figura 2.3.1.1

(b)

(c)

2.3.2.- Alturas relativas entre alas y almaAl limitar la profundidad mxima del eje neutro de deformaciones a c = 0,375 d cualquier seccin transversal en la que se verifique que hf 0,375 1 d puede analizarse como si se tratara de una seccin rectangular de ancho constante b (Figura 2.3.2.1) dado que el eje neutro de tensiones siempre caer en la zona de ancho b.B B B B B B B B B B B B B B

si hf 0,375 1 dB B B B B B B B B B

Figura 2.3.2.1

2.3.3.- Cuantas lmitesa) Cuanta mnimaB B

En estos casos es ms complicado establecer referencias en trminos de ka dado que la cuanta mnima siempre se calcula en base a bw, y ka se calcula en base a b. EnU U B B B B


estos casos resulta ms prctico, al finalizar los clculos, comparar la armadura obtenida con la armadura mnima reglamentaria.

b)

Cuanta mxima

Como veremos enseguida, los clculos de secciones con alas pueden presentar dos situaciones: que el eje neutro de tensiones caiga dentro de las alas o que corte solamente al nervio. Las situaciones de cuanta mxima se dan cuando el eje neutro de tensiones corta solamente al nervio3. En estas condiciones el momento resistente de la seccin puede dividirse en un momento tomado por las alas y otro tomado por el nervio (ver ms adelante). Una seccin requerir armadura de compresin cuando la seccin de hormign comprimido del nervio sea insuficiente como para equilibrar la parte del momento externo que le toca resistir. El momento mximo que puede equilibrar el hormign del nervio se da cuando se alcanza la mxima deformacin de compresin en el hormign y la mnima deformacin de traccin en el acero necesaria para mantener la condicin de = 0,90, es decir cuando:TP PT

cmx = 0,003 d / (0,003 + 0,005) = 0,375 d kc mx = cmx / d = 0,375 ka mx = kc mx 1 = 0,375 1B B B B B B B B B B B B B B

por lo que resulta y por lo tanto

Valen los comentarios realizados para secciones rectangulares con referencia a situaciones en las que se requieran mayores deformaciones mnimas en el acero ms traccionado.

2.3.4.- Clculo de armadurasMn = Mu / = Mu / 0,9B B B B B B

De acuerdo con la posicin que adopte el eje neutro de tensiones pueden presentarse dos situaciones (Figuras 2.3.4.1 y 2.3.4.2):

Figura 2.3.4.1

Figura 2.3.4.2

Figura 2.3.4.1: El eje neutro de tensiones cae dentro de la placa por lo que la seccin puede calcularse como rectangular de ancho constante e igual a b.

Ya comentamos que si hf 0,375 1 d la seccin puede analizarse como rectangular. Si no se la analizara como rectangular podra darse algn caso en el que el eje neutro cayera en la placa para la condicin de cuanta mxima.3TP PT B B B B B B B B B B


Figura 2.3.4.2: El eje neutro de tensiones corta slo al nervio. La seccin se divide en alas y alma. La fuerza y el momento equilibrado por las alas son conocidos por lo que el momento que debe tomar el alma se obtiene por diferencia con el momento solicitante.

Para iniciar el clculo se supondr en primera instancia que no es necesario disponer armadura comprimida y que el eje neutro de tensiones se encuentra dentro de las alas es decir se asume que la seccin se comporta como una seccin rectangular de ancho b: Al suponerseB B B B

a hfB B B

debe verificarse queB B B B B P P B B B B B B

ka hf / dB B B B

Mn = f*c b a (d a / 2) = f*c b d2 ka (1 ka / 2) mn = Mn / (f*c b d2)B B B B B B P P

y

llamando

resultaP

ka = 1 (1 2 mn)1/2B B B B P

a)

Si ka hf /dB B B B

se calcula As = f*c b ka d / fy y se verifica que As As mn Si no se verificara se adopta As = As mnB B B B B B B B B B B B B B B B

y

As = 0B B

b)

Si ka > hf / dB B B B

La fuerza que toman las alas vale: El momento (respecto a As) tomado por las alas vale:B B

Cf = f*c (b bw) hfB B B B B B B B

Mnf = Cf (d hf / 2)B B B B B B B B

La armadura necesaria para equilibrar Cf vale:B B

Asf = Cf / fyB B B B B B

El momento a equilibrar con el hormign del alma vale :

Mnw = Mn MnfB B B B B B

De aqu en adelante el clculo del alma se efecta como en una seccin rectangular aislada para lo cual ser necesario recalcular ka para el momento solicitante Mnw. Al finalizar el clculo se deber adicionar a la armadura Asw la armadura Asf necesaria para equilibrar las compresiones en las alas.B B B B B B B B

En primera instancia supondremos que no es necesario disponer armadura comprimida es decir que ka ka mx = 0,375 1B B B B B B B B B B

Mnw = f*c bw a (d a / 2) = f*c bw d2 ka (1 ka / 2)B B B B B B B B B B B B B B P P B B B B B B

y

llamando

mn = Mnw / (f*c bw d2)B B B B B B B B P P

resulta

ka = 1 (1 2 mn)1/2B B B B P P

b.1)

ka ka mx se calculaB B B B

Asw = f*c bw ka d / fy As = Asw + AsfB B B B B B B B B B B B B B B B

y

As = 0B B


b.2)

Si ka > ka mx se requerir el uso de armadura comprimida, es decirB B B B

As > 0B B

Fijamos la posicin del eje neutro en:

cmx = kc mx d = 0,375 dB B B B

El mximo momento que podr tomar la seccin comprimida de hormign es: Mc = f*c bw d2 ka mx (1 ka mx / 2)B B B B B B P P B B B B B B

por lo que el momento remanente deber ser tomado por la armadura comprimida: Mn = Ms = Mnw Mc = As fs (d d)B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B

donde la tensin fs surge deB B B B B B B B

s = 0,003 (cmx d) / cmx = 0,003 (kc mx d / d) / kc mx Si Si s < y = fy / Es = fy / 200000 MPa s yB B B B B B B B B B B B B B

entonces entonces

fs = Es s fs = fyB B B B B B B B B B

por lo que se puede despejar la armadura comprimida como: As = Mn / [fs (d d)]B B B B B B

finalmente, de la sumatoria de fuerzas se obtiene As = f*c bw ka mx d / fy + As fs / fy + AsfB B B B B B B B B B B B B B B B B B

Como en el caso de secciones rectangulares, si en cualquier situacin se deseara conocer la deformacin de la armadura ms traccionada esta se obtiene por semejanza de tringulos como: s = 0,003 (d c) / c = 0,003 (1 kc) / kcB B B B B B

con

kc = ka / 1B B B B B B


TABLA AUXILIAR N 1 FLEXIN SIMPLE: CLCULO DE SECCIONES RECTANGULARES Y CON ALASb hf d a = 1 c a = ka d

c eje neutro

As

Mu = Mn Mu = 0,90 Mn 1 en funcin de fc [MPa]

Cuanta mnima Si mn es menor que el valor indicado para la resistencia de hormign utilizada, adoptar cuanta mnima

d

fc [MPa]60 55 50 45 40 35 30 25

mn

kaAs bw bw = b Seccin rectangular

= 30 0,850

35 0,814

40 0,779

45 0,743

50 0,707

55 0,671

60 0,650

Para valores menores mn ka 0,037 0,039 0,041 0,043 0,045 0,048 0,053 0,058 0,064 0,068 0,077 0,038 0,040 0,042 0,044 0,047 0,050 0,055 0,060 0,066 0,070 0,080 0,082 0,090 0,100 0,110 0,120 0,130 0,140 0,150 0,160 0,170 0,180 0,190 0,200 0,210 0,220 0,230 0,240 0,244 0,252 0,260 0,265 0,270 0,279 0,280 0,290 0,292 0,300 0,305 0,310 0,319

fy [MPa]220 420 500

fs : Tensin de As en [MPa] para d / d =0,05 220 420 500 0,10 220 420 440 0,15 220 360 360 0,20 220 280 280 0,25 200 200 200 0,30 120 120 120 0,35 40 40 40

A) SECCIONES RECTANGULARES (y con alas para h f / d = 1 0,375) mn = Mn / (0,85 fc bw d ) ka = ka mn si ka mn < ka = ka mx ka > ka mx2

obtener ka de la tabla adoptar ka = ka mn adoptar ka = ka de tabla corresponde doble armadura As = ka 0,85 fc bw d / fy Obtener de tablas ka mx , mn mx y fs2

20

0,079 0,086 0,095 0,104 0,113 0,122 0,130 0,139 0,147 0,156 0,164 0,172 0,180 0,188 0,196

Armadura simple: Armadura doble:

Mn = Mn - mn mx 0,85 fc bw d

As = Mn / [(d - d) fs] As = ka mx 0,85 fc bw d / fy + As fs / fy B) SECCIONES CON ALAS ( "T" y "L" con h f / d = 1 0,375) mn = Mn / (0,85 fc b d ) obtener ka de la tabla As mn = ka mn 0,85 fc bw d / fy B.1) Rectangular: k a = hf / d (Verificar si As = As mn)2

As = ka 0,85 fc b d / fy

fc Doble armadura [MPa]Si mn es mayor que el valor indicado para la resistencia de hormign utilizada, adoptar doble armadura 60 55 50 45

0,204 0,211 0,214 0,220 0,226 0,230 0,234 0,240 0,241 0,248

B.2) Nervio y alas Mnf = 0,85 fc hf (b - bw) (d - hf / 2) Asf = Mnf / [(d - hf / 2) fy] Mnw = Mn - Mnf mn = Mnw / (0,85 fc bw d ) obtener ka de la tabla ka = ka mx adoptar ka = ka de tabla si ka > ka mx corresponde doble armadura Armadura simple: As = ka 0,85 fc bw d / fy + Asf Armadura doble:2

Verificar si As = As mn

40 35 = 30

0,249 0,255 0,259 0,262 0,268

Obtener de tablas ka mx , mn mx y fs2

Mn = Mnw - mn mx 0,85 fc bw d

As = Mn / [(d - d) fs] As = ka mx 0,85 fc bw d / fy + As fs / fy + Asf



EJEMPLOS FLEXIN SIMPLE2.I.- SECCIN RECTANGULAREjemplo 2.I.1U

Enunciado: Calcular las armaduras de una seccin rectangular para las siguientes condiciones: Materiales: - Hormign: H25 (fc = 25 MPa) - Acero: ADN 420 (fy = 420 MPa)B B B B

Seccin transversal: Estribos:

- bw = 0,12 mB B

;

h = 0,40 m cc = 0,02 m dbe = 6 mmB B B B

- Recubrimiento: - Dimetro estimado: - Dimetro estimado: - Mu = 52 kNmB B

Armadura longitudinal: Solicitacin:

db = 16 mmB B

Resolucin analtica: Para fc = 25 MPa se tiene que:B B

-

f*c = 0,85 fc = 21,25 MPa = 21250 kN/m2 1 = 0,85 ka mn = 1,4 / f*c (MPa) = 0,06588B B B B P P B B B B B B

Mn = Momento nominal = Mu / = 52 kNm / 0,9 = 57,78 kNmB B B B

d = h cc dbe db / 2 = 0,40 m 0,02 m 0,006 m 0,008 m = 0,366 mB B B B B B B B

mn = Mn / (f*c bw d2) = 57,78 kNm / (21250 kN/m2 0,12 m 0,3662 m2) = 0,16915B B B B B B B B P P P P P P P P

ka = 1 (1 2 mn)1/2 = 1 (1 2 0,16915)1/2 = 0,18655 > ka mnB B B B P P P P B B

kc = ka / 1 = 0,18655 / 0,85 = 0,219B B B B B B B B B B B B B B B B

ka mnB B B B P P P P B B

kc = ka / 1 = 0,40886 / 0,85 = 0,481B B B B B B

>B B

0,375B B

B B

As > 0B B B B

Se fija kc = 0,375B B

por lo tanto:

-

ka = ka mx = kc 1 = 0,375 0,85 = 0,31875 c = 0,375 0,366 m = 0,137 m

por lo que la seccin de hormign comprimido tomar un momento constante igual a: Mc = f*c bw d2 ka mx (1 ka mx / 2) Mc = 21250 kN/m2 0,12 m 0,3662 m2 0,31875 (1 0,31875 / 2) = 91,53 kNmB B B B B B B B P PB B B B B B B B B B B B B B P PB B B B B B B B P P P P B B B B B B

El momento a tomar con As ser: Mn = As fs (d d) = Mn McB B B B B B B B B B B B

Mn = 111,11 kNm 91,53 kNm = 19,58 kNm por lo queB B

As = Mn / [fs (d d)] As = [19,58 kNm / (420 MPa (0,366 m 0,03 m))] 1000 (mm2 MN/(m2 kN)) = 139 mm2B B B B B B B B P P P P P P B B

El valor de fs utilizado en la expresin anterior surge de plantear semejanza de tringulos a partir de una deformacin igual a 0,003 en la fibra de hormign ms comprimida. s = 0,003 (0,137 m 0,03 m) / 0,137 m = 0,0023 > y = fy / Es = 0,0021 fs = fy = 420 MPaB B B B B B B B B B B B

y por lo tanto se tiene: As = ka mx f*c bw d / fy + As fs / fy As = 0,31875 21,25 MPa 120 mm 366 mm / 420 MPa + 139 mm2 420 MPa / 420 MPa As = 708 mm2 + 139 mm2 = 847 mm2B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B P PB B B B B B B B B B P P P P P P

Resolucin mediante la tabla auxiliar N1: Mn = Momento nominal = Mu / = 100 kNm / 0,9 = 111,11 kNmB B B B

d = h cc dbe db / 2 = 0,40 m 0,02 m 0,006 m 0,008 m = 0,366 mB B B B B B B B

Ingresando a la tabla con: mn = Mn / (0,85 fc bw d2) = 111,11 kNm / (0,85 25000 kN/m2 0,12 m 0,3662 m2) mn = 0,32528B B B B B B B B P P P P P P P P B B

se observa que el valor de mn es mayor que el aceptado para armadura simple por lo que se dispondr armadura doble. Segn la tabla, para fc = 25 MPa: mn mx = 0,268 y ka mx = 0,319B B B B B B B B


Mc = mn mx 0,85 fc bw d2 = 0,268 0,85 25000 kN/m2 0,12 m 0,3662 m2 Mc = 91,54 kNmB B B B B B B B P P P P P P P P B B


Mn = 111,11 kNm 91,54 kNm = 19,57 kNmB B

Segn la tabla auxiliar, una armadura con fy = 420 MPa y d / d = 0,03 m / 0,366 m = 0,08 se encuentra en fluencia para relaciones de d / d menores que 0,10 por lo tanto, se tendr que fs = fy .B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B

As = Mn / [fs (d d)] As = [19,57 kNm / (420 MPa (0,366 m 0,03 m))] 1000 (mm2 MN/(m2 kN)) = 139 mm2B B B B B B B B P P P P P P B B B B B B B B B B B B B B B B

As = ka mx 0,85 fc bw d / fy + As fs / fy As = 0,319 0,85 25 MPa 120 mm 366 mm / 420 MPa + 139 mm2 420 MPa / 420 MPa As = 709 mm2 + 139 mm2 = 848 mm2B B B B P PB B B B P P P P P P

Armado: Luego de armada la seccin se observa que: d = 0,344 m (utilizado en el clculo: 0,366m) d d = 0,313 m (utilizado en el clculo: 0,336 m) Rehaciendo los clculos se llega a: As = 230 mm2 > 2 db10 = 158 mm2B B P P B B P P

As = 896 mm2 > 4 db16 = 804 mm2B B P P B B P P

Por lo que deberan modificarse las armaduras adoptadas. Ejercicio que se deja a cargo del lector.

Ejemplo 2.I.4U

Enunciado: Calcular las armaduras para las condiciones del Ejemplo 2.I.1 y Mu = 100 kNm. Se tratar de evitar el uso de armadura comprimida.B B

Para comenzar los clculos utilizaremos la altura til d = 0,344 m obtenida en el ejemplo anterior. Resolucin analtica: Para fc = 25 MPa se tiene que: B B



Mn = Momento nominal = Mu / = 100 kNm / 0,9 = 111,11 kNmB B B B

d = 0,344 m mn = Mn / (f*c b d2) = 111,11 kNm / (21250 kN/m2 0,12 m 0,3442 m2) = 0,36821B B B B B B P P P P P P P P

ka = 1 (1 2 mn)1/2 = 1 (1 2 0,36821)1/2 = 0,48660 > ka mnB B B B P P P P B

kc = ka / 1 = 0,48660 / 0,85 = 0,572B B B B B B

>

0,375

As > 0B B

< 0,90

Como se ha comentado, en la resolucin de estos ejemplos se ha adoptado como criterio general la utilizacin de armadura comprimida en lugar de intentar soluciones con variable. En este ejemplo se demostrar que las soluciones con variable resultan imposibles debido a un efecto de compensacin que existe entre el incremento que experimenta el momento Mn al aumentar la profundidad del eje neutro c y la disminucin de , lo que da lugar a la aparicin de un momento tope prcticamente constante e independiente de la profundidad del eje neutro una vez que ste ha superado la posicin dada por: c = 0,375 d.B B B B B B

El camino elegido para poner de manifiesto el fenmeno consiste en un proceso de sucesivos aumentos de la profundidad del eje neutro de deformaciones c. Para cada valor de c se calcular: kc = c / d a = Profundidad del eje neutro de tensiones = 1 c = 0,85 c Mn = Momento nominal = f*c b a (d a / 2) s = Deformacin especfica de As = 0,003 (d c) / c = 0,65 + 0,25 (s y) / (0,005 y) = 0,65 + 0,25 (s 0,0021) / (0,005 0,0021) M u = MnB B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B

c [m] 0,12900 0,13072 0,13760 0,14752 0,15480 0,20259

kc 0,37500 0,38000 0,40000 0,42883 0,45000 0,58893B B

a [m] 0,10965 0,11111 0,11696 0,12539 0,13158 0,17220

C [kN] 279,61 283,34 298,25 319,74 335,53 439,12

Mn [kNm] 80,86 81,73 85,16 89,95 93,35 113,25B B

s 0,00500 0,00489 0,00450 0,00400 0,00367 0,00209B B

0,900 0,891 0,857 0,813 0,785 0,650

Mu [kNm] 72,77 72,81 72,97 73,16 73,28 73,55B B

La tabla anterior llega hasta valores de c muy altos, de hecho llega hasta el punto en que la armadura As dejara de estar en fluencia por traccin. Independientemente de cualquier consideracin reglamentaria, a partir de este punto las roturas se produciran con la armadura ms traccionada en rgimen elstico - roturas poco dctiles - y adems se estara desaprovechando parte de la resistencia del acero. En definitiva, se puede afirmar entonces que, a partir de c = 0,375 d, el momento que se puede equilibrar con armadura simple crece en forma despreciable con el aumento de la profundidad del eje neutro por lo que la opcin ms razonable - y en general la nica - consiste en disponer armadura doble.B B B B B B


Ejemplo 2.I.5U

Enunciado: Calcular las armaduras, constituidas por mallas soldadas de alambres conformados, de una seccin rectangular perteneciente a una losa armada en una direccin para las siguientes condiciones: Materiales: Seccin transversal: Armadura principal: - Hormign: H20 (fc = 20 MPa) - Acero: AM 500 N (fy = 500 MPa) - bw = 1,00 m ; h = 0,09 mB B B B B B

- Recubrimiento: cc = 0,02 m - Dimetro estimado: db = 12 mm - De ser necesaria armadura comprimida se supondr que la distancia de la fibra de hormign ms comprimida al centro de gravedad de la armadura comprimida es d = 0,023 m.B B B B

Solicitacin:

- Mu = 17,1 kNm (en rigor kNm/m)B B

Resolucin analtica: Para fc = 20 MPa se tiene que: B B B B B B

f*c = 0,85 fc = 17 MPa = 17000 kN/m2 1 = 0,85 ka mn = 1,4 / f*c (MPa) = 0,08235B B B B P P B B B B B B

Mn = Momento nominal = Mu / = 17,1 kNm / 0,9 = 19 kNm d = Altura til = h cc db / 2 = 0,09 m 0,02 m 0,006 m = 0,064 mB B B B

mn = Mn / (f*c bw d2) = 19 kNm / (17000 kN/m2 1,0 m 0,0642 m2) = 0,27286B B B B B B B B P P P P P P P P

ka = 1 (1 2 mn)1/2 = 1 (1 2 0,27286)1/2 = 0,326 > ka mnB B B B P P P P B B

kc = ka / 1 = 0,326 / 0,85 = 0,38353B B B B B B

>B B

0,375B B

B B

As > 0B B B B

Se fija kc = 0,375B B

por lo tanto:

-

ka = ka mx = kc 1 = 0,375 0,85 = 0,31875 c = 0,375 0,064 = 0,024 m

por lo que la seccin de hormign comprimido tomar un momento constante igual a: Mc = f*c bw d2 ka mx (1 ka mx / 2) Mc = 17000 kN/m2 1,00 m 0,0642 m2 0,31875 (1 0,31875 / 2) Mc = 18,66 kNmB B B B B B P P B B B B B B P P P P P P B B


Mn = 19 kNm 18,66 kNm = 0,34 kNm por lo queB B

As = Mn / [fs (d d)] As = [0,34 kNm / (25 MPa (0,064 m 0,023 m))] 1000 (mm2 MN/(m2 kN)) As = 334 mm2B B B B B B B B P P P P B B P P


El valor de fs utilizado en la expresin anterior surge del siguiente planteo de semejanza de tringulos que parte de suponer una deformacin mxima en el hormign comprimido de 0,003:B B

s = 0,003 (0,024 m 0,023 m) / 0,024 m = 0,000125 < y = fy / Es = 0,0025 fs = s Es = 0,000125 200000 = 25 MPaB B B B B B B B B B B B B B

y por lo tanto se tiene: As = ka mx f*c bw d / fy + As fs / fy = As = 0,31875 17 MPa 1000 mm 64 mm / 500 MPa + 334 mm2 25 MPa / 500 MPa = As = 694 mm2 + 17 mm2 = 711 mm2 (en rigor las armaduras estaran en mm2/m)B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B P P B B P P P P P P P P

Resolucin mediante la tabla auxiliar N1: Mn = Momento nominal = Mu / = 17,1 kNm / 0,9 = 19 kNmB B B B

d = Altura til = h cc db / 2 = 0,09 m 0,02 m 0,006 m = 0,064 mB B B B

Ingresando a la tabla con: mn = Mn / (0,85 fc bw d2) = 19 kNm / (0,85 20000 kN/m2 1,00 m 0,0642 m2) mn = 0,27286B B B B B B B B P P P P P P P P B B

se observa que el valor de mn es mayor que el aceptado para armadura simple por lo que se dispondr armadura doble. Segn la tabla, para fc = 20 MPa se tiene: mn mx = 0,268 y ka mx = 0,319B B B B B B B B

El momento a tomar con As ser: Mn = As fs (d d) = Mn McB B B B B B B B B B B B B B

donde Mc es el mximo momento que puede tomar la seccin de hormign comprimido Mc = mn mx 0,85 fc bw d2 = 0,268 0,85 20000 kN/m2 1,00 m 0,0642 m2 Mc = 18,66 kNmB B B B B B B B P P P P P P P P B B

Mn = 19 kNm 18,66 kNm = 0,34 kNmB B

Obtendremos la tensin de As de la tabla auxiliar para fy = 500 MPa y d / d = 0,023 m / 0,064 m = 0,35938. La tensin se obtiene por extrapolacin y vale 25 MPaB B B B B B B B

As = Mn / [fs (d d)] As = [0,34 kNm / (25 MPa (0,064 m 0,023 m))] 1000 (mm2 MN/(m2 kN)) = 334 mm2B B B B B B B B P P P P P P B B B B B B B B B B B B B B B B

As = ka mx 0,85 fc bw d / fy + As fs / fy = As = 0,319 0,85 20 MPa 1000 mm 64 mm / 500 MPa + 334 mm2 25 MPa / 500 MPa As = 694 mm2 + 17 mm2 = 711 mm2B B P P B B P P P P P P


Armado:

La altura til utilizada en el clculo coincide con la obtenida al armar la seccin.

Ejemplo 2.I.6U

Enunciado: Calcular Mu para la siguiente vigaB B

Materiales:

- Hormign: H25 (fc = 25 MPa) - Acero: ADN 420 (fy = 420 MPa)B B B B


- bw = 0,12 mB B

;

h = 0,40 m cc = 0,02 m dbe = 6 mmB B B B B B

- Recubrimiento - Dimetro estimado - As = 2 db16B B B B

Armadura longitudinal:

;

As = 0

Resolucin analtica: Para fc = 25 MPa se tiene que: B B B B B B B B B B


d = h cc dbe db / 2 = 0,40 m 0,02 m 0,006 m 0,008 m = 0,366 m Suponiendo que la seccin no se encuentra sobredimensionada con armadura simple4 se tendr que:TP PT

Mu = Mn = 0,90 MnB B B B B B

Si la armadura As fuera mayor que la necesaria para equilibrar la fuerza desarrollada por la seccin de hormign comprimido para una deformacin mxima de 0,003 en el hormign y de 0,005 en el acero traccionado, habra que aplicar un coeficiente de reduccin de resistencia menor que 0,90. En estas condiciones la armadura que se coloque en exceso de la necesaria para producir el equilibrio anteriormente mencionado resulta inefectiva dado que el incremento de momento resistente que se produce en trminos de Mn se ve ms que contrarrestado por la disminucin de obtenindose secciones que cada vez presentan menores Mu.TP PT B B B B B B

4


a = As fy / (bw f*c) = 2 (201 mm2 10-6 m2 / mm2) 420 MPa / (0,12 m 21,25 MPa) a = 0,06621 m por lo tantoB B B B B B B B P P P P P P P P P P

ka = a / d = 0,06621 m / 0,366 m = 0,18091 > ka mnB B B B B B B B B B B B

kc = ka / 1 = 0,18091 / 0,85 = 0,213 < 0,375 s > 0,005 y corresponde = 0,90 Mn = f*c bw d2 ka (1 ka / 2) Mn = 21250 kN/m2 0,12 m 0,3662 m2 0,18091 (1 0,18091 / 2)B B B B B B P P B B B B B B B B P P P P P P

Mn = 56,20 kNmB B

Mu = 0,9 56,20 kNm = 50,58 kNmB B

Se hubiera llegado al mismo resultado haciendo: a) Mn = f*c bw a (d a / 2) Mn = 21250 kN/m2 0,12 m 0,06621 m (0,366 m 0,06621 m / 2) = 56,20 kNm b) z = kz d ; kz = 1 ka / 2 = 1 0,18091 / 2 = 0,90955 ; Mn = As z fy = As kz d fy Mn = 2 (201 mm2 10-6 m2 / mm2) 0,90955 0,366 m 420 MPa 1000 kN/MN Mn = 56,21 kNmB B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B P PB B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B P P P P P P P P P P B B

Resolucin mediante la tabla auxiliar N1: d = h cc dbe db / 2 = 0,40 m 0,02 m 0,006 m 0,008 m = 0,366 mB B B B B B

Suponiendo que la seccin no se encuentra sobredimensionada con armadura simple se tendr que: Mu = Mn = 0,90 MnB B B B B B

Ingresando a la tabla con: a = As fy / (bw 0,85 fc) = 2 (201 mm2 10-6 m2 / mm2) 420 MPa / (0,12 m 0,85 25 MPa) a = 0,06621 m por lo tantoB B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B P P P P P P P P P P B B B B B B B B B B B B B B

ka = a / d = 0,06621 m / 0,366 m = 0,18091B B

Se observa que ka se encuentra entre las cuantas lmites por lo que se extrae el valor correspondiente de mn:B B B B

Sin interpolar: Interpolando:

mn = 0,164 mn = 0,164 + (0,172 0,164) (0,18091 0,18) / (0,19 0,18) = 0,16473B B B B

El no interpolar en este caso implicara un error menor al 1%. Mn = mn 0,85 fc bw d2 = 0,16473 0,85 25000 kN/m2 0,12 m 0,3662 m2 Mn = 56,27 kNmB B B B B B B B P P P P P P P P B B

Mu = 0,9 56,27 kNm = 50,64 kNmB B


Como se observa, el valor es casi coincidente con el arrojado por la resolucin analtica.

Armado: La pequea diferencia entre la altura til adoptada en los clculos (0,366 m) y la altura til resultante (0,364 m) se debe a que las barras se encuentran apoyadas sobre el comienzo de la zona curva de las esquinas de los estribos. Rehaciendo los clculos se llega a los siguientes momentos: Mn = 55,87 kNm Mu = 0,9 Mn = 50,28 kNmB B B B B B

prcticamente iguales a los valores anteriores.

Ejemplo 2.I.7U

Enunciado: Calcular Mu para la siguiente seccinB B

Materiales:

- Hormign: H25 (fc = 25 MPa) - Acero: ADN 420 (fy = 420 MPa)B B B B


- bw = 0,12 mB B

;

h = 0,40 mB B

- Recubrimiento: cc = 0,02 m - Dimetro estimado: dbe = 6 mmB B

Armadura longitudinal:

- As = 2 db16B B B B

;

As = 2 db16B B B B

Resolucin analtica: Para fc = 25 MPa se tiene que: B B B B B B B B


d = h cc dbe db / 2 = 0,40 m 0,02 m 0,006 m 0,008 m = 0,366 m d = cc + dbe + db superior / 2 = 0,02 m + 0,006 m + 0,008 m = 0,034 mB B B B B B

Al ser iguales As y As esto indica que la seccin tiene un dimensionado arbitrario y por lo tanto no puede afirmarse que ambas armaduras estarn en fluencia, de hecho podra afirmarse que As no puede estar en fluencia. En estos casos el abordaje ms satisfactorio suele ser solucionar el problema por aproximaciones sucesivas dando distintas posiciones al eje neutro hasta lograr el equilibrio interno de fuerzas. Las ecuaciones a considerar son:B B B B B B


a = 1 cB B

C = 0,85 fc a bwB B B B

s = 0,003 (c 0,034 m) / cB B

si si

s y = fy / Es = 0,0021 fs = fy = 420 MPa s < y fs = s Es = s 200000 MPaB B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B

Cabe acotar que en algunos casos de disposicin ms o menos arbitraria de armaduras, la armadura comprimida puede llegar a estar traccionada por lo que se debe estar atento al signo de la deformacin. Cs = fs AsB B B B B B

T = fy AsB B B B

Dado que se est obteniendo la resistencia a flexin simple la resultante de las fuerzas internas debe ser nula, es decir: T = C + CsB B

Cuando se verifique la condicin anterior el momento resistente se puede calcular tomando momentos respecto a la armadura traccionada como: Mn = C (d a / 2) + Cs (d d)B B B B

La tabla siguiente muestra el proceso de aproximaciones sucesivas que lleva a la solucinc [m] 0,100 0,050 0,025 0,040 0,045 0,047 0,048 sB B

0,00198 0,00096 -0,00108 0,00045 0,00073 0,00083 0,00088

fs [MPa] 396,0 192,0 -216,0 90,0 146,7 166,0 175,0B B

Cs [kN] 159,19 77,18 -86,83 36,18 58,96 66,71 70,35B B

C [kN] 216,75 108,38 54,19 86,70 97,54 101,87 104,04

T Cs + C T Mn [kN] [kN] [kNm] 168,84 207,10 168,84 16,72 168,84 -201,48 168,84 -45,96 168,84 -12,34 168,84 -0,25 57,40 168,84 5,55B B B B B B B B B B

Por lo tanto: Mu = 0,90 Mn = 0,90 57,40 kNm = 51,66 kNmB B B B

Para casos de armaduras simtricas con recubrimientos usuales puede obtenerse una buena aproximacin de Mn haciendo:B B

Mn As fy (d d) Mn = (402 mm2 10-6 m2 / mm2) (420 MPa 1000 kN/MN) (0,366 m 0,034 m) Mn = 56,05 kNmB B B B B B B B P P P P P P B B

que en este caso arroja un resultado que difiere del correcto en alrededor del 2%. Intentar solucionar este tipo de problemas mediante el uso de tablas es tan laborioso que resulta conveniente abordarlos directamente en forma analtica.


Armado: Como en el ejemplo anterior, las pequeas diferencias entre el valor de d adoptado en los clculos y el real no tienen significacin en los resultados y, por supuesto, tienen implicancias menores a las que surgen de las imperfecciones de colocacin inevitables en cualquier obra.

Ejemplo 2.I.8U

Enunciado: Calcular la altura total de una viga rectangular de modo de obtener mxima rigidez sin que la misma resulte sobredimensionada en flexin. Materiales: - Hormign: H20 (fc = 20 MPa) - Acero: ADN 420 (fy = 420 MPa)B B B B


- Por razones de hormigonado se fija h/bw 4 y bw 0,12 mB B B B

- Recubrimiento: cc = 0,02 m - Dimetro estimado: dbe = 6 mmB B B B

Armadura longitudinal: Solicitacin:

- Dimetro estimado: db = 12 mmB B

- Mu = 20 kNmB B

(A los fines del ejercicio se supone que Mu no variar significativamente al modificar la altura de la viga)B B

Resolucin analtica: Para fc = 20 MPa se tiene que: B B


Mn = Mu / = 20 / 0,90 = 22,22 kNmB B B B

Para obtener la mayor rigidez despejaremos la mayor altura til, es decir, adoptaremos cuanta mnima. Mn = f*c bw d2 ka (1 ka / 2) = 17000 kN/m2 bw d2 0,08235 (1 0,08235 / 2) Mn = 1342,31 kN/m2 bw d2B B B B B B B B B B B B P PB B B B B B B B B B B B B B B B B B P PB B B B B B B B P P B B B B B B B B B B B B B B B B B B P PB B B B B B B B P P


Si adoptamos bw = 0,12 m obtendremos:B B

d = [22,22 kNm / (1342,31 kN/m2 0,12 m)]1/2 = 0,37 mP P P P

h = d + cc + dbe + db / 2 = 0,37 m + 0,02 m + 0,006 m + 0,006 m = 0,402 mB B B B B B B B

La altura anterior verifica la condicin:B

h / bw = 0,40 m / 0,12 m = 3,33 < 4B B B

Se adopta entonces una seccin con: bw = 0,12 m

y

h = 0,40 m

Aunque en este caso no ha sido necesario efectuar redondeos importantes para obtener una altura prctica de construir, recalcularemos la cuanta para obtener la armadura de flexin necesaria5.TP PT

d = h cc dbe db / 2 = 0,40 m 0,02 m 0,006 m 0,006 m = 0,368 mB B B B B B

mn = Mn / (f*c bw d2) = 22,22 kNm / (17000 kN/m2 0,12 m 0,3682 m2) = 0,08043B B B B B B B B P P P P P P P P

ka = 1 (1 2 mn)1/2 = 1 (1 2 0,08043)1/2 = 0,08395 > ka mn = 0,08235B B B B P P P P B B


ka mnB B B B P P P P B B

kc = ka / 1 = 0,29592 / 0,85 = 0,348B B B B B B

As mn = 147 mm2B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B P P B B P P

Armado:

Si se recalcula la armadura con la altura til d = 0,347 m se obtiene una armadura: As = 400 mm2 la que resulta adecuadamente cubierta por las barras adoptadas.B B P P

Ejemplo 2.II.2U

Enunciado: Calcular las armaduras de la viga T del ejemplo anterior para: Solicitacin: - Mu = 20 kNmB B

Resolucin analtica: Para fc = 25 MPa se tiene que: B B B B B B

f*c = 0,85 fc = 21,25 MPa = 21250 kN/m2 1 = 0,85B B B B P P B B

Mn = Momento nominal = Mu / = 20 kNm / 0,9 = 22,22 kNm d = h cc dbe db / 2 = 0,40 m 0,02 m 0,006 m 0,006 m = 0,368 m As mn = 1,4 bw d / fy = 1,4 MPa 120 mm 368 mm / 420 MPa = 147 mm2B B B B B B B B B B B B P P


Supondremos en principio que a hf por lo que la seccin se comportar como rectangular de ancho constante e igual a b. Para ello debe verificarse:B B

ka hf / d = 0,10 m / 0,368 m = 0,272B B B B

mn = Mn / (f*c b d2) = 22,22 kNm / (21250 kN/m2 1,37 m 0,3682 m2) = 0,00564B B B B B B P P P P P P P P

ka = 1 (1 2 mn)1/2 = 1 (1 2 0,00564)1/2 = 0,00565B B B B P P P P

< 0,272B B

por lo tanto a < hfB B

kc = ka / 1 = 0,00565 / 0,85 = 0,007B B B B B B B B B B B B B B

0,245

por lo tanto a > hfB B

La seccin no puede considerarse como rectangular por lo que se la descompone en alma (subndice w) y ala (subndice f). La fuerza en el hormign del ala y el momento que equilibra resultan iguales a: Cf = f*c (b bw) hf = 21250 kN/m2 (0,67 m 0,25 m) 0,09 m = 803,25 kNB B B B B B B B P P

Mnf = Cf (d hf / 2) = 803,25 kN (0,368 m 0,09 m / 2) = 259,45 kNmB B B B B B

La armadura necesaria para equilibrar las compresiones en las alas resulta: Asf = Cf / fy = [803,25 kN / (420 MPa)] 1000 mm2 MN / (m2 kN) = 1913 mm2B B B B B B P P P P P P

El momento a equilibrar con el hormign del alma resulta: Mnw = Mn Mnf = 422,22 kNm 259,45 kNm = 162,77 kNmB B B B B B

mn = Mnw / (f*c bw d2) = 162,77 kNm / (21250 kN/m2 0,25 m 0,3682 m2) = 0,22625B B B B B B B B P P P P P P P P

ka = 1 (1 2 mn)1/2 = 1 (1 2 0,22625)1/2 = 0,26006B B B B P P P P


As mnB B B B B B P P P P P P B B

La armadura anterior es extremadamente difcil de ubicar en el ancho del alma. Se debe recurrir al uso de varias capas de armadura. Esto se debe a que la fuerza de compresin de las alas requiere una gran cantidad de armadura para ser equilibrada. Este fenmeno se hace an ms agudo en el caso de vigas T. Es un caso en el que claramente debe recurrirse a alturas totales de viga mayores.

Resolucin mediante la tabla auxiliar N1: Mn = Momento nominal = Mu / = 380 kNm / 0,9 = 422,22 kNmB B B B

d = h cc dbe db / 2 = 0,40 m 0,02 m 0,006 m 0,006 m = 0,368 mB B B B B B

En secciones con alas la cuanta mnima recin puede verificarse al conocer la armadura total calculada. De la tabla se obtiene que el valor de ka para calcular la armadura mnima es 0,066.B B

As mn = ka mn 0,85 fc bw d / fy = 0,066 0,85 25 MPa 250 mm 368 mm / 420 MPa As mn = 307 mm2B B B B B B B B B B B B P

Supondremos en principio que a hf por lo que la seccin se comportar como rectangular de ancho constante e igual a b. Para ello debe verificarse:B B

ka hf / d = 0,09 m / 0,368 m = 0,245B B B B

se ingresa a la tabla con: mn = Mn / (f*c b d2) = 422,22 kNm / (0,85 25000 kN/m2 0,67 m 0,3682 m2) = 0,21898 con lo que se obtiene:B B B B B B P P P P P P P P

sin interpolar: interpolando:

ka = 0,252 ka = 0,244 + (0,252 0,244) (0,21898 0,214) / (0,220 0,214) = ka = 0,25064B B B B B B B B B B

en cualquier caso ka > 0,245 por lo tanto a > hf

Como en el caso de la resolucin analtica, la seccin no puede considerarse como rectangular por lo que se la descompone en alma (subndice w) y ala (subndice f). La fuerza en el hormign del ala y el momento que equilibra resultan iguales a: Cf = 0,85 fc (b bw) hf = 0,85 25000 kN/m2 (0,67 m 0,25 m) 0,09 m = 803,25 kNB B B B B B B B P P

Mnf = Cf (d hf /2) = 803,25 kN (0,368 m 0,09 m / 2) = 259,45 kNmB B B B B B



El momento a equilibrar con el hormign del alma resulta: Mnw = Mn Mnf = 422,22 kNm 259,45 kNm = 162,77 kNmB B B B B B

mn = Mnw / (0,85 fc bw d2) = 162,77 kNm / (0,85 25000 kN/m2 0,25 m 0,3682 m2) mn = 0,22625B B B B B B B B P P P P P P P P B B

ingresando a la tabla se obtiene sin interpolar: interpolando: ka = 0,260 ka = 0,260 + (0,265 0,260) (0,22625 0,226) / (0,230 0,226) = ka = 0,26031B B B B B B

Se aprecia que la diferencia entre el valor interpolado y el ledo en forma directa difiere en mucho menos del 1%. kc = ka / 1 = 0,26031 / 0,85 = 0,306B B B B B B B B B B B B B B B B

As mnB B B B B B P P P P P P B B

Valen los comentarios hechos al finalizar la resolucin analtica. En trminos generales cabe acotar que cuando el eje neutro de tensiones cae dentro del alma, el uso de tablas no resulta sensiblemente ms prctico que el abordaje analtico.

Armado: Luego de un tanteo previo se llega a la distribucin de armaduras de la figura. Si se recalcula la seccin para una altura d = 0,34 m se llega a una armadura necesaria As = 3439 mm2 que es adecuadamente cubierta por 7 db25 pero aparece adems la necesidad de colocar una armadura comprimida As = 156 mm2 que se cubre con 2 db10.B B P P B B B B P P B B


Ejemplo 2.II.4U

1,00 m AsB B

Viga T aislada 0,80 m 0,15 m

Enunciado: Dimensionar las armaduras 0,10 m de flexin de la seccin de la Figura. La distancia entre el filo de hormign y el centro de gravedad de las armaduras traccionadas y comprimidas es 0,04 m.

0,12 m AsB B

Materiales: - Hormign: H30 (fc = 30 MPa) - Acero: ADN 420 (fy = 420 MPa)B B B B

0,15 m

0,35 m b AsB B

Estribos: - Recubrimiento: cc = 20 mm - Dimetro estimado: dbe = 6 mmB B B B

hfB

Solicitacin:

- Mu = 1440 kNmB B

d AsB B

bwB B

Determinacin del ancho efectivo Para completar la geometra de la seccin transversal ser necesario calcular el ancho efectivo b a partir de lo especificado en el CIRSOC 201-2005 para vigas aisladas. El espesor de alas (hf = 0,10 m) verifica la condicin de ser mayor que la mitad del ancho del alma (bw / 2 = 0,15 m / 2 = 0,075 m)B B B B

El ancho efectivo mximo est limitado a cuatro veces el ancho del alma es decir: b = 4 0,15 m = 0,60 m por lo que no puede aprovecharse ntegramente el ancho total de losa disponible (1 m). Resolucin analtica: Para fc = 30 MPa se tiene que: B B B B B B

f*c = 0,85 fc = 25,5 MPa = 25500 kN/m2 1 = 0,85B B B B P P B B

Mn = Momento nominal = Mu / = 1440 kNm / 0,9 = 1600 kNm d = h 0,04 m = 0,80 m 0,04 m = 0,76 m As mn = 1,4 bw d / fy = 1,4 MPa 150 mm 760 mm / 420 MPa = 380 mm2B B B B B B P P


Supondremos en principio que a hf por lo que la seccin se comportar como rectangular de ancho constante e igual a b para ello debe verificarse:B B

ka hf / d = 0,10 m / 0,76 m = 0,132B B B B

mn = Mn / (f*c b d2) = 1600 kNm / (25500 kN/m2 0,60 m 0,762 m2) = 0,18105B B B B B B P P P P P P P P

ka = 1 (1 2 mn)1/2 = 1 (1 2 0,18105)1/2 = 0,20132B B B B P P P P

> 0,132

por lo tanto a > hfB B

Descomponiendo la seccin en alas y alma: Cf = f*c (b bw) hf = 25500 kN/m2 (0,60 m 0,15 m) 0,10 m = 1147,50 kNB B B B B B B B P P

Mnf = Cf (d hf / 2) = 1147,50 kN (0,76 m 0,10 m / 2) = 814,73 kNmB B B B B B


El momento a equilibrar con el hormign del alma resulta: Mnw = Mn Mnf = 1600 kNm 814,73 kNm = 785,27 kNmB B B B B B

mn = Mnw / (f*c bw d2) = 785,27 kNm / (25500 kN/m2 0,15 m 0,762 m2) = 0,35544B B B B B B B B P P P P P P P P

ka = 1 (1 2 mn)1/2 = 1 (1 2 0,35544)1/2 = 0,46229B B B B P P P P

kc = ka / 1 = 0,46229 / 0,85 = 0,544B B B B B B

>

0,375

As > 0B B

por lo tanto se necesitar doble armadura Se fija kc = 0,375 por lo tanto:B B

-

ka = ka mx = kc 1 = 0,375 0,85 = 0,31875 c = 0,375 0,76 m = 0,285 mB B B B B B B B

por lo que la seccin de hormign comprimido tomar un momento constante igual a: Mc = f*c bw d2 ka mx (1 ka mx / 2)B B B B B B P P B B B B

El momento a tomar con As ser:B B B B P PB B B B

Mn = Mnw McB B B B B B B B B B P P P P B B

es decir,B B B B

Mn = 785,27 kNm 25500 kN/m2 0,15 m 0,762 m2 0,31875 (1 0,31875 / 2) Mn = 193,28 kNm por lo queB B

As = Mn / [fs (d d)] As = [193,28 kNm / (420 MPa (0,76 m 0,04 m))] 1000 mm2 MN / (m2 kN) = 639 mm2B B B B B B B B P P P P P P

El valor de fs utilizado en la expresin anterior surge de:B B

s = 0,003 (0,285 m 0,04 m) / 0,285 m = 0,0026 > y = fy / Es = 0,0021 fs = fy = 420 MPaB B B B B B B B B B B B


y por lo tanto se tiene: Asw = ka mx f*c bw d / fy + As fs / fy Asw = 0,31875 25,50 MPa 150 mm 760 mm / 420 MPa + 639 mm2 420 MPa / 420 MPa Asw = 2206 mm2 + 639 mm2 = 2845 mm2B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B P PB B B B B B P P P P P P

As = Asf + Asw = 2732 mm2 + 2845 mm2 = 5577 mm2B B B B B B P P P P P P

Resolucin mediante la tabla auxiliar N1: Como se coment en el Ejemplo anterior, la resolucin mediante tablas no aporta un beneficio significativo en la simplificacin de los clculos. Remitimos al lector a la operatoria utilizada en el Ejemplo anterior.

Armado: Luego de un tanteo en la adopcin de armaduras se llega al esquema de la figura. Recalculando las armaduras con la geometra de la figura se llega a que: As = 1168 mm2B B P P

As = 5964 mm2B B P P

valores adecuadamente cubiertos por las armaduras dispuestas.


flexion en vigas

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