04 Fungsi Vektor

Program Perkuliahan Dasar Umum

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

[MA1124] KALKULUS II

Fungsi VektorFungsi Vektor

DefinisiDefinisi

Definisi fungsi vektor

Fungsi vektor merupakan aturan yang mengkaitkan t R dengan tepat satu vektor

g(t)f(t), jg(t) if(t) (t)F =+=

2(3)R(t)F

Notasi : F : R R2(3)

t

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

2

g(t)f(t), jg(t) if(t) (t)F =+=t

atauh(t)g(t),f(t), kh(t) jg(t) if(t) (t)F =++=t

dengan f(t), g(t), h(t) fungsi bernilai real

Contoh, Daerah Asal dan Daerah NilaiContoh, Daerah Asal dan Daerah Nilai

Contoh

jtittF )3(2)(.1 1+=

kjtittF sincos)(2. ++=r

jtittF cos)1ln()(.3 12 ++=

jtit

tF 62

ln)(4.

=

r


3

Daerah Asal (Df ){ }321

| ffff DDDtRtD =r

ktfjtfitftf )()()()( Misal 321 ++=

Daerah Hasil (Rf ){ }ff

DtRtfR = |)( 3r

r

ContohContohTentukan Df (daerah asal), kemudian gambarkan daerahnya

jtittF )3(2)(.1 1+=

Misalkan 2)(1 = ttf ( )31)(2 = ttfdanDiperoleh ),2[

1=fD dan { }32 = RDf


4

Sehingga

{ }21 ffF

DDtRtD =

{ }{ }3),2[ = RtRt{ }{ } ),3()3,2[3),2[ == t

ContohContoh

Misalkan ttf cos)(1 =

Sehingga

ttf sin)(2 =,

{ }321 fffF

DDDtRtD =

Diperoleh RDf =1 , RDf =2

kjtittF sincos)(2. ++=r

1)(3 =tfdan

dan RDf =3


5

{ }321 fffF

DDDtRtD =

{ } RRRRtRt ==Misalkan )1ln()( 21 += ttf

Sehingga

ttf 12 cos)(

=dan

{ } [ ]{ } ]1,1[1,121 === RtRtDDtRtD ffFDiperoleh RDf =1

jtittF cos)1ln()(3. 12 ++=r

dan ]1,1[2

=fD

ContohContoh

jtit

tF 62

ln)(.4

=

Misalkan

=

ttf

2ln)(1

Sehingga

ttf = 6)(2dan

Diperoleh ),0(1

=fD dan ]6,(2 =fD


6

Sehingga

{ }21 ffF

DDtRtD =

{ }]6,(),0( = tRt]6,0(=

LatihanLatihanTentukan Df (daerah asal), kemudian gambarkan daerahnya

jtittf )4()(1. +=r

jtittf 4)(2. 2=r

jtit

tf )4(

1)(3. +

=

r


7

t )4(

jtit

tf 4

1)(4. 2+

=

r

Grafik Fungsi Bernilai VektorGrafik Fungsi Bernilai Vektor Misalkan

Df=[a,b]

jtfitftf )()()( 21 +=

][ (b)f

(t)fr(a)f

rc

y


8

][atb

(b)f

x

Jika t berubah sepanjang [a,b] ujung-ujung )t(fmenjelajah lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu

disebut titik pangkal lengkungan C )(af

disebut titik ujung lengkungan C )(bf

kurva C disebut kurva tertutup)()( bfafJika =

Grafik fungsi vektorGrafik fungsi vektor

Grafik fungsi bernilai vektor berupa lengkungan/kurva di R2(3) dengan arah tertentu

Cara menggambar grafik fungsi vektor

1. Tentukan persamaan parameter dari lengkungan C

2. Kemudian eliminasi parameter t dan gambarkan


9

2. Kemudian eliminasi parameter t dan gambarkan (Gambar kartesius kurva)

3. Tentukan arahnya

ContohContohGambarkan grafik fungsi dibawah ini:

pi20;sin2cos3)(.1 += tjtittF

Persamaan parameter

x = 3 cos t

y = 2 sin t

x/3 = cos t

y/2 = sin t

cos2 t + sin2 t =1

123

22

=

+

yx(ellips)


10

23 Arahnya

)0,3(3)0( == iF

)2,0(2)2

( == jFpi

)0,3(3)( == iF pi

)2,0(2)2

3( == jF

pi

)0,3(3)2( == iF pi

3-3

2

-2

x

y

C

ContohContoh

Persamaan parameter

x = t 4

y = t = x+4

y =

42 = yx

Arahnya

(parabola)

y

40;)4()(2. += tjtittFr

t

4+x


11

Arahnya

)0,4(4)0( == iF

)2,0(2)4( == jF

-4

2

x

y

C

ContohContoh

Persamaan parameter

x = t

y = 0,222 =+ yayx

Arahnya

(1/2 lingkaran)

y

atajtaittF += ;)(3. 22r

22 ta

( ) 0,22222 == yxayxay


12

Arahnya

)0,()( aiaaF ==

),0()0( ajaF ==)0,()( aiaaF ==

a

x

y

aa

C

LatihanLatihan

22;4)(.2 2 += tjtittF

22;4)(1. 2 = tjtittFr

Gambarkan grafik fungsi dibawah ini:

( ) ( )( ) 30;214)(3. = tjtittFr


13

( ) ( ) 32;32)(.4 2 ++= tjtitttF

Persamaan Parameter di RPersamaan Parameter di R33

Persamaannya adalah sebagai berikut:x = f1(t) ; y = f2(t) ; z = f3(t) , t I

Contoh:

ktjtittF sincos)(1. ++=r

2. Garis P(x,y,z)z

x = cos t; y = sin t; z = t , t R


14

2. Garis

0wr

wr

vr

P0=(x0,y0,z0)

P(x,y,z)

x

z

y

Garis (ljt)Garis (ljt)

Garis adalah himpunan semua titik P sehingga

vtww 0rrr

+=

vtww- 0 =+rr

garisdengan sejajar yangvektor v =rvtPP0 r=


15

vtww 0 +=Jika w =(x, y, z) dan w0 =(x0,y0,z0) serta v = maka persamaan garis dalam bentuk parameter ditulissebagai berikut

ctzzbtyyatxx 000 +=+=+=

Sedangkan persamaan simetrinya adalah

cbc000 zzyyxx

=

=

ContohContoh1. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui

titik (1, 2, 3) dan sejajar dengan vektor

Jawab: Persamaan simetri garis tersebut adalah

x = 1 t

y = 2 - 2 t

z = 3 - 3 t


16

z = 3 - 3 t

2. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui titik (2, -3, -1) dan (5, -1, -4)

Jawab: vektor yang sejajar dengan garis tersebut:

vr

= =

Pilih titik (x0, y0, z0) = (2, 3, 1)

maka persamaan parameter garis tersebut adalahx = 2 + 3t , y = 3 + 2t , z = 1 3t

LatihanLatihan1. Carilah persamaan parameter dari garis yang melalui

pasangan titik yang diberikan:

a. (1, -2, 3), (4 , 5, 6)

b. (2, -1, 5), (7, -2, 3)

c. (4, 2, 3), (6, 2, -1)

2. Tuliskan persamaan parameter dan persamaan simetri


17

2. Tuliskan persamaan parameter dan persamaan simetri untuk garis yang melalui yang diberikan dan sejajar terhadap vektor yang diberikan

a. (4, -6, 3),

b. (-1, 3, 2),

c. (2, 5, -4),

EkivalenEkivalen Fungsi

dan)t(fr

menjelajahi suatu lengkungan C yang sama dengan

arah yang sama.

disebut ekivalen jika )t(gr dan)t(fr )t(gr

Contoh

pi+= t0,jtsinaitcosa)t(fr


18

pi+= t0,jtsinaitcosa)t(fata,jtait)t(g 22 +=r

dan)t(fr )t(gr ekivalen

Norm

k)t(fj)t(fi)t(f)t(f 321 ++=r

( ) ( ) ( )232221 )t(f)t(f)t(f)t(f ++=rMisalkan maka norm dari adalah)t(f

r

SifatSifat

ktfjtfitftf )()()()( 321 ++=r

Misalkan ktgjtgitgtg )()()()( 321 ++=r

dan

cos)()()()()()()()()().( 332211 tgtftgtftgtftgtftgtfrrrr

=++=1.

kji

adalah sudut antara dua vektor tersebut


19

ktgtg

tftfj

tgtg

tftfi

tgtg

tftf

tgtgtg

tftftf

kji

tgxtf )()(

)()()()(

)()(

)()(

)()(

)()()(

)()()(

)()(21

21

31

31

32

32

321

321 +==rr

2.

( ) ( ) ( ) ( )ktgtfcjtgtfcitgtfctgtfc )()()()()()()()( 332211 ++= rr3.c =konstanta

LimitLimit

Definisi

TeoremaTeorema

jtfitftf )()()( 21 +=r

Misalkan )(tfr

, maka mempunyai limit di a

f1(t) dan f2(t) mempunyai limit di a. Dan

( ) ( ) jtfitftfatatat

)(lim)(lim)(lim 21

+=r


21

Contoh: Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada,(Jika tidak ada beri alasan):

++

+

j

t

tti

t

t

t

9

63

9lim.1

2

22

3

+

je

ti

t

tt

t

sinlim.20

tttt

ln),ln(lim.3 20+

Contoh (Jawab)Contoh (Jawab)

++

+

j

t

tti

t

t

t

9

63

9lim.1

2

22

3j

t

tti

t

t

tt

9

6lim

3

9lim

2

2

3

2

3

++

+

=

( )( ) ( )( )( )( ) jtt

tti

t

tt

tt

33

23lim

3

33lim

33+

++

+

+=

( ) jtit 2lim3lim +=


22

( ) jt

tit

tt

3

2lim3lim

33

+=

ji 6

56 +=

+

j

e

ti

t

ttt

sinlim.20

je

ti

t

tttt

limsin

lim00

+=

iji 0 =+=

Contoh (Jawab)Contoh (Jawab)ttt

tln),ln(lim.3 2

0+ttt

ttlnlim),ln(lim

0

2

0 ++ =

=+

)ln(lim 20

tt

karena (tidak ada)

Jadi tidak adatttt

ln),ln(lim 20+


23

t 0+

LatihanLatihanHitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):

++

j

t

tti

t

t

t

2

64

2lim.1

2

22

++ j

tt

ti

t

t 32

1sinlim.22

2

te t

t

1,lim.3 /1

0+


24

+

jtt

itt 32

lim.22

KekontinuanKekontinuan

)t(f.ar

Definisi

fDrkontinu di a jika )a(f)t(flimat

rr=

)t(f.br

kontinu pada himpunan A R jika )t(fr

kontinu

di setiap titik pada A


25

f1(t), f2(t) , f3(t) kontinu pada B

di setiap titik pada A

Teorema


Fungsi kontinu pada BfDr

TurunanTurunan


MisalkanDefinisi:

[ ] [ ]h

k)t(fj)t(fi)t(fk)ht(fj)ht(fi)ht(flim)t('f 3213210h

+++++++=

r

++

++

+= k)t(f)ht(fj)t(f)ht(fi)t(f)ht(flim 332211


26

++

++

+=

k

h)t(f)ht(fj

h)t(f)ht(fi

h)t(f)ht(flim 332211

0h

kh

)t(f)ht(flimjh

)t(f)ht(flimih

)t(f)ht(flim 330h

220h

110h

++

++

+=

k)t('fj)t('fi)t('f 321 ++=k)t('fj)t('fi)t('f)t('f 321 ++=

rJadi

Contoh Contoh

jei)3t2()t(f t22 +=r . Tentukan1. Diketahui )0(fDtr

dan )0(2 fDtr

Jawab

)(')( tftfDtrr

= ( ) jeit t22322 2+=( ) jeit t2128 2+=

i.


27

jeitftfD tt 48)(")(22

==

rr

( ) jeit t2128 2+=jifDt 212)0( =

r

jifDt 48)0(2

=

rii.

Contoh Contoh jeit2cos)t(f t+=r . Tentukan2. Diketahui

)t('f.ar

dan )t("fr

)0('fantarasudut.br

dan )0("fr

Jawab

a. )(' tfr

jeit t 2sin2 +=


28

a. )(' tf

)(" tfr

jeit 2sin2 +=

jeit t 2cos4 +=

b. )0('fr

)0("fr

j=

ji 4 +=

)0(")0('

)0(").0('cos

ff

ffrr

rr

=17

1=

=

17

1cos 1

LatihanLatihan

( ) ktjetittf t 1lntan)( 221 +++= rTentukan

1. Diketahui

)0(fDtr

dan )0(2 fDtr

jtietr t )ln()( 32 +=r

Tentukan

2. Diketahui

)](').([ trtrDtrr


29

Tentukan )](').([ trtrDt

3. Tentukan )(' trr

dan )(" trr

a.

b.

( ) jeieetr ttt )( 2+= rjtittr 2tan)( 3/5=

r

Arti GeometrisArti Geometris

Df=[a,b]

][a t b

h)(tf +r

(t)fr

(t)f-h)(tfrr

+

c

z

yx

O

P


30

a t b yx

O

Vektor 0h,h

)t(f)ht(f>

+rr

searah dengan vektor (t)f-h)(tfrr

+

Jika h 0, maka

Merupakan vektor singgung pada kurva C di titik P pada

saat

)t('fh

)t(f)ht(flim0h

rrr

=

+

fDrtArti Geometris : Vektor Singgung)t('f

r

Garis SinggungGaris Singgung

Df=[a,b]

][atb

)(tf 0r

)(t'f 0r

c

z

yO

P


31

atb yx

O

Persamaan garis singgung pada kurva C pada titik P adalah

)t('ft)t(f)t(x 00rrr

+=

atau

=+t

ContohContoh

ktjtittf sincos)( ++=r

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (1, 0, pi).

Diketahui

kjtittf cossin)(' ++=r

Jawab: t0 = waktu saat P tercapai, yaitu t0 = pi


32

kjif )1(0)(' ++=pir

kjif 0)1()( pipi ++=r

>=< 1,1,0

>=< pi,0,1

Persamaan parameter garis singgung di titik P (1, 0, pi) adalah x = 1, y = t , z = pi + t

LatihanLatihan

jtittf cos4sin3)( +=r

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 4).

1. Diketahui

( )ktjteitetf tt 1cossin)( 2+++=rTentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1).

2. Diketahui


33

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1).

( ) ( ) jtittf 2322)( 2 +=rTentukan persamaan garis singgung di titik P (2, 2).

3. Diketahui

Gerak Sepanjang KurvaGerak Sepanjang Kurva

Misalkan t menyatakan waktu dan P titik yang bergerak ditentukan oleh persamaan parameter x = f(t); y = g(t). maka

menyatakan vektor posisi dari titik P.

j)t(gi)t(f)t(r +=r


34

menyatakan vektor posisi dari titik P.

Jika t berubah ujung vektor bergerak sepanjang)t(rr

lintasan titik P. Gerak ini dinamakan Gerak Sepanjang Kurva (Gerak Curvilinear)

DefinisiDefinisi1. Kecepatan

2. Percepatan

j)t('gi)t('f)t('r)t(v +== rrtitik P adalah)t(vr

di sebut laju titik P)t(vr

titik P)t(ar

1. Gerak Linear

q)t(hp)t(r rrr +=

2. Gerak pada Lingkaran

realfungsi)t(h;tetapvektorq,p rr

ContohContoh


35

2. Percepatan

j)t(''gi)t(''f)t(''r)t(a +== rrtitik P)t(a

di sebut besar percepatan)t(arpada saat t

3. Gerak pada ellips

0a,jtsinaitcosa)t(r >+=r

0b,a,jtsinbitcosa)t(r >+=r4. Gerak pada heliks

Lingkaran

ktbjtsinaitcosa)t(r ++=r

Contoh Gerak Sepanjang KurvaContoh Gerak Sepanjang Kurva

Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah

x = 3 cos t dan y = 2 sin t (t = waktu)

a. Gambarkan grafik lintasan P.


36


b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan

percepatan

c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan

pada saat mana nilai itu dicapai

JawabJawab

a. Persamaan parameter

x = 3 cos t

y = 2 sin t

x/3 = cos t

y/2 = sin t

cos2 t + sin2 t =1

123

22

=

+

yx(ellips)

2y

. P(t)vr


37

3-3

-2

x

.(t)ar

b. jtittr sin2cos3)( +=r

jtittvtr cos2sin3)()(' +==rr

)(sin2cos3)()(" trjtittatrrrr

===

Jawab (Lanjutan)Jawab (Lanjutan)tttv 22 cos4sin9)( +=

r

( )tttttt 222222 cossin4sin5cos4sin4sin5 ++=++=4sin5 2 += t

b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = 1, atau t = pi/2, 3pi/2


38

b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = 1, atau t = pi/2, 3pi/2

yaitu pada titik (0, 2)

Laju min = 2, dicapai saat sin t = 0, atau t = 0, pi

yaitu pada titik (3, 0)

LatihanLatihan

Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah

x = 4 cos t dan y = 3 sin t (t = waktu)



39


b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan

percepatan

c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan

pada saat mana nilai itu dicapai

KelengkunganKelengkungan

Andaikan atb, vektor posisi titik P.j)t(gi)t(f)t(r +=rPanjang lintasan s dari P(a) ke P(t) adalah

( ) ( ) =+=t

a

t

a

duurduugufs )(')(')(' 22 r


40

Laju titik yang bergerak itu adalah

)t(v)t('rdtds rr

==

)t(v1

dsdt

r=

Kelengkungan (Ljt)Kelengkungan (Ljt) Definisi. Vektor Singgung Satuan di P.

Notasi didefinisikan sbb)t(Tr

)t(v)t(v

)t('r)t('r)t(T r

r

r

rr

==

xo

y


41

Apabila P bergerak berubah arah)t(Tr

xo

disebut vektor kelengkungan di PdsTdr

Kelengkungan (Ljt)Kelengkungan (Ljt) Kelengkungan di P; (kappa).

Dengan aturan rantai diperoleh

)t(v)t('T

)t(v1)t('T

dsdt

dtTd

dsTd

r

r

r

rrr

===

dsTdr

=

)t('TTdrr


42

Jadi

dan

disebut jari-jari kelengkungan

)t(v)t('T

dsTd

r

r

==

=

1R

ContohContoh

12,sin8cos8)(.1 33 pi=+= tpadaPtitikdijtittr

rTentukan kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari

Jawab:

jttitttvtr cossin24sincos24)()(' 22 +==rr

tttttv 2424 cossinsincos24)( +=r

tttttt sincos24)sin(cossincos24 2222 =+=


43

jtittv

tvtT sincos

)(

)()( +== r

rr

tttttt sincos24)sin(cossincos24 2222 =+=

jtittT cossin)(' +=r

ttttt

tt

tv

tTt

2sin12

1

sincos24

1

sincos24

cossin

)(

)(')(

22

==

+== r

r

Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)

6

1

2

1.12

1

6sin12

1

122sin12

1)

12( =

=

=

=

pipi

pi

61

==

R (Jari-jari kelengkungan)

Jadi kelengkungan () kurva diatas di t= pi/12 adalah 1/6,


44

Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah 6

ContohContoh

Jawab: ( ) ( ) kejteteitetetvtr ttttt sincoscossin)()(' +++== rr( ) ( ) 1sincossincos)( 22 +++= ttttetv tr

tt etttte 31sincos21sincos21 =+++=

2,cossin)(.2 pi=++= tpadaPtitikdikejteitetr ttt

r


45

( ) ( )[ ]kjttitttv

tvtT sincoscossin

3

1

)(

)()( +++== r

rr

tt etttte 31sincos21sincos21 =+++=

( ) ( )[ ]kjttitttT 0cossinsincos3

1)(' ++=

r

( ) ( )tt ee

tttt

tv

tTt

3

2

3

cossinsincos

)(

)(')(

22

=

++== r

r

Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)2

23

2

3

2

2

pi

pi

pi

==

e

e

2

231 2pi

eR == (Jari-jari kelengkungan)

Jadi kelengkungan () kurva diatas di t= pi/12 adalah , 2pi


46

Jadi kelengkungan () kurva diatas di t= pi/12 adalah ,

Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah

2

3

2pi

e

2

23 2pi

e

LatihanLatihan

Tentukan vektor singgung satuan, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan di titik yang diberikan

2,cossin)(.1 pi=+= tpadaPtitikdijteitetr tt

r

( ) 1,12)(.2 2 =+= tpadaPtitikdijtittrr1,44)(.3 2 =+= tpadaPtitikdijtittr

r


47

21,44)(.3 2 =+= tpadaPtitikdijtittr

r

9,3cos3sin)(.5 pi=++= tpadaPtitikdiktjtittr

r6

,4cos8sin8)(.4 pi=++= tpadaPtitikdiktjtittrr

TeoremaTeoremaAndaikan x = f (t) dan y = g (t) adalah persamaan parameter kurva yang mulus. Maka

( ) ( )[ ] 2322 ''"'"'

yx

xyyx

+

=

Khususnya, untuk kurva dengan persamaan y =g(x), berlaku


48

berlaku

( )[ ] 232'1"

y

y

+=

ContohContoh1. Tentukan kelengkungan elips

x = 2 cos t, y = 3 sin t

pada titik t = 0 dan t = pi/2

Jawab:

x = 2 sin t

x = 2 cos t

y = 3 cos t

y = 3 sin t


49

x = 2 cos t y = 3 sin t

Kita peroleh

( ) ( )[ ] 2322 ''"'"'

yx

xyyx

+

=( ) ( )[ ] 2322

22

cos3sin2

cos6sin6

tt

tt

+

+= [ ] 2322 cos9sin4

6

tt +=

Sehingga

[ ] 2322 0cos90sin46

)0(+

= [ ] 92

9

6

23

==

23

22

2cos9

2sin4

6)

2(

+

=

pipi

pi

4

3=

ContohContoh2. Tentukan kelengkungan kurva y = x2 di P(1, 0)

Jawab:

y = 2x y = 2

Kita peroleh

"y= [ ]

2=


50

( )[ ] 232'1"

y

y

+= ( )[ ] 23221

2

x+=

Sehingga

25

52

5

22/3

==( ) ( )[ ] 2321.212

1+

=

LatihanLatihanTentukan kelengkungan kurva berikut di titik P

1. y = x2 x, di P(1,0)

2. r(t)=(t+t3) i + (t+t2) j , di P(2,2)

3. r(t)=2t2 i + (4t+2) j , di P(2,-2)

4. r(t)=4(1 sint) i + 4(t+cos t) j , di P(8,8pi/3)


51

04 Fungsi Vektor

Documents

Transcript of 04 Fungsi Vektor