Fisika - Modul 1 - Vektor

download Fisika - Modul 1 - Vektor

of 26

description

Fisika merupakan salah satu cabang ilmu yang tidak lepas dari perhitungan matematika.Pada konsep perhitungannya, fisika tidak hanya menggunakan satuan biasa, tetapi juga menggunakan vektor dalam menyelesaikan kasus-kasusnya.

Transcript of Fisika - Modul 1 - Vektor

FI SI KA MODUL 1 VEKTOR NilaivektorA(yaitu:A)diperolehdaripengukuran menggunakan alat ukur yang sesuai Contoh:vektorgayanilainyadiukurdenganalatneracapegas, vektorkecepatandiukurdenganalatspeedometer,vektor pergeseran diukur dengan alat ukur penggaris arahvektorAadalahsudutvektorAterhadapsuatukerangka acuan tertentu Contoh :

A X Y X Y A Titik arah vektorA Nilai / panjang / magnitude vektorA dilambangkan denganA Titik tangkap vektorA VektorAberdasarkankerangkaacuanXYarahnyadalam arahsumbuYataudalamarah90oterhadapsumbuX.Tetapi vektorAberdasarkankerangkaacuanXYarahnyao

terhadap sumbuX.Keduaarahdiatastetapbenar,tergantungacuanapayangkita gunakan.Didalammengerjakanpersoalan,kitaperlumemilih sistemkerangka acuan yang terbaik dalammengerjakan persoalan tersebut.Pemilihankerangkaacuanyangsalahakanmembuat pengerjaan persoalan tersebut menjadi rumit. OPERASI OPERASIVEKTOR (1)Operasi Pembalikan Arah Vektor SebuahvektorBakanbisadibalikkanarahnyadengancaramengalikannya dengan angka ( 1), sehingga diperolehvektor( 1)B =( B) VektorB Vektor( B ) (2)Operasi Penggabungan Dua Vektor atau Lebih Dua buah vektorAdanB , atau bahkan lebih, seperti pada gambar di bawah ini, dapat digabungkan untuk menghasilkan vektorG, D, W, dan K, dan seterusnya, dengancaramembentukjajarangenjang(harusdenganmembentukjajaran genjang).Penggabungantersebutdikenaldenganpenjumlahanvektor.Tapi dikenal juga istilah pengurangan vektor yang tak lain adalah penjumlahan vektor juga.Dalampenjelasandibawahiniakandijelaskanapayangdisebut penjumlahan vektor dan pengurangan vektor. Contoh 1

A B A B G B ( A) D G=A+B D=( A)+B ( B)A ( A) ( B) K=( B)+A K W W=( A)+( B) Darigambardiatasterlihatbahwaadaduajenispenggabunganvektor. Penggabunganduavektordenganarahkeduanyatidakberubahdan penggabungan dua vektor dengan arah yang berubah. Pembaca harus sampai pada kesimpulanbahwakeduanyaadalahsamasamapenggabunganvektoryang disebut penjumlahan vektor Contoh 2 A BA 90o B G 90o ( B) A T T=A+( B) G=A+B B Z ( A) 90o Z=B+( A) 90o N ( B) ( A) N=( A)+( B) Contoh 3 Contoh 4 A B A B G A ( B)W W=A+( B) G=A+B A B AB G A ( B) R R=A+( B) G=A+B Contoh 5 Penggabunganlebihdariduavektorprosesnyalebihpanjangdaripenggabungan dua vektor. Pada gambar di atas dipilih menggabungkan vektor vektorAdanBlebihduludanmemperolehvektorT.KemudianmenggabungkanvektorTdenganCuntukmemperolehvektorG.Carayanglaindapatditempuh, misalkan menggabungkan vektor vektorAdanClebih dahulu baru hasilnya digabungkan dengan vektorB. A B C A B TT C G T=A+BG=T+C Contoh 6 AB C D ( B) A G1 G1 C G2 G2 ( D) G G1=A+( B)G2=C+G2G=G2+( D) Formulasi Penggabungan Vektor Kita pandang segitiga yang sisi sisinya adalahnilaivektorA,yaituA,nilai vektor B, yaituB, nilai vektorG, yaitu G.Kitagunakanaturancosinusuntuk segitiga sembarang di samping, yaitu : ( ) 180 cos AB 2 B A Go 2 2 2 + =karena ( ) cos sin 180 sin cos 180 cos 180 coso o o = + = Maka( ) cos AB 2 B A 180 cos AB 2 B A G2 2 o 2 2 2+ + = + =atau cos AB 2 B A G2 2+ + = A B G A B G 180o 180o B A G Kita pandang segitiga yang sisi sisinya adalahnilaivektorA,yaituA,nilai vektor(B),yaituB,nilaivektorT, yaituT.Kitagunakanaturancosinus untuksegitigasembarangdisamping, yaitu : cos AB 2 B A T2 2 2 + =Maka cos AB 2 B A T2 2 + = Kita akan coba gunakan dua formulasi ini untuk mengerjakan contoh contoh di atas. A ( B) T 180o A T 180o ( B) B A T Contoh 1

JikaA = 5 ; B = 10 ; = 120 ; maka : ( ) ( ) ( )( )( ) 75 2 / 1 100 100 25 G20 1 cos 10 5 2 10 5 cos AB 2 B A Go 2 2 2 2= + + =+ + = + + = Dan ( ) ( ) ( )( )( ) 175 2 / 1 100 100 25 D20 1 cos 10 5 2 10 5 cos AB 2 B A Do 2 2 2 2= + = + = + = A B A B G B ( A) D G=A+B D=( A)+B Contoh 2 JikaA = 5 ; B = 10 ; = 90 ; maka : ( ) ( ) ( )( )( ) 125 0 100 100 25 G90 cos 10 5 2 10 5 cos AB 2 B A Go 2 2 2 2= + + =+ + = + + = Dan ( ) ( ) ( )( )( ) 125 0 100 100 25 T90 cos 10 5 2 10 5 cos AB 2 B A To 2 2 2 2= + = + = + = Contoh 3 A BA 90o B G 90o ( B) A T T=A+( B) G=A+B A B JikaA = 5 ; B = 10 ; = 180 ; maka : ( ) ( ) ( )( )( ) 5 25 1 100 100 25 G180 cos 10 5 2 10 5 cos AB 2 B A Go 2 2 2 2= = + + =+ + = + + = Dan ( ) ( ) ( )( )( ) 15 225 1 100 100 25 R180 cos 10 5 2 10 5 cos AB 2 B A Ro 2 2 2 2= = + = + = + = Contoh 4 A B G A ( B) R R=A+( B) G=A+B A B TT C G A B C 120o JikaA = 5 ; B = 10 ; C = 15 ; = 90 ; maka : ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 5 5 25 5 125 0 100 100 25 T90 cos 10 5 2 10 5 cos AB 2 B A To 2 2 2 2= = = + + =+ + = + + = Kita harus mencari. Karena= + 120o . Kita gunakan aturan cosinus : cos TB 2 B T A2 2 2 + =T=A+BG=T+C B A T ( ) ( ) ( )( )( )( ) bawah di gambar lihat51 sin52 cos5 00 12005 00 1100 125 5 2 cos10 5 5 210 5 5 5 cosTB 2B T A cos222 2 2 2= = = = = = ( )5 23 2513215221120 sin sin 120 cos cos120 cos cos 120 o oo o =|.|

\||.|

\| |.|

\||.|

\| = =+ = + = ( ) ( ) ( )( )( )3 75 200 G3 75 150 225 125 3 2 75 225 125 G5 23 215 5 5 2 15 5 5 cos TC 2 C T G222 2 = + = + + =((

+ + = + + = Daripengerjaancontoh1sampaicontoh4diatas,kitamelihatadanya beberapa kesulitan dan kelemahan, yaitu : (1)formulasiinihanyacocokuntukmencarinilaidaripenggabungan vektor.Tapiakanmunculkesulitantambahanpadasaatkita mencariarahdarihasilpenggabunganvektor.Sebagaicontoh, padapengerjaancontoh2,kitamelihathasilnilaiyangsama padanilaivektorGdanT,tanpamemberikaninformasi 2 51 tambahandariarahkeduavektoryangjelasberbeda.Danpada contoh 4, kita menjumpai langkah tambahan mencari sudut. (2)Daricontoh4,kitamenjumpailangkahyangsulitkarenakita menghitung penggabungan lebih dari dua vektor.(3)Tidakefektif.Jikadaricontoh4,yangkitainginkanadalah vektorZ=A+2B3C,makakitaharusmengulangilagi langkah langkah yang akan menghabiskan waktu. Denganalasanini,dikembangkanmetodeyangdikenaldengannamametode analitik yang akan mengeliminir kesulitan kesulitan di atas. Metode Analitik untuk Menghitung Penggabungan Vektor A = 90o B C D Langkah 1Letakkanvektorvektoryangakandigabungkanpadasumbukordinatsiku CartesianX Y Langkah 2Uraikan vektor vektor yang belum berada pada salah satu sumbu. Dengan cara memproyeksikan secara tegak lurus pada masing masing sumbu. Dan kemudian tuliskan vektor vektor di atas dalam notasi vektor sesuai dengan sistem kordinat yang digunakan

A X Y B C D Y X A Ax = Ax (+i) Ay = Ay (+j) A Ax Ay Komponen / uraian vektorAdalam arah sumbuY Komponen / uraian vektorAdalam arah sumbuX VektorAyadalah komponen vektorAdalam arah sumbu Y. Ay adalah nilai / panjang/magnitudevektorAy,yangdiperolehdenganmemproyeksikannilai vektorAdalam arah sumbuY , dengan cara trigonometri (lihat gambar segitiga di atas). Vektor(+j)adalah vektor satuan dalam arah sumbu Y positif. sin A AAA sinyy= = VektorAxadalah komponen vektorAdalam arah sumbu X. Ax adalah nilai / panjang/magnitudevektorAx,yangdiperolehdenganmemproyeksikannilai vektorAdalam arah sumbuX , dengan cara trigonometri (lihat gambar segitiga di atas). Vektor(+i)adalah vektor satuan dalam arah sumbu X positif. cos A AAA cosxx= = Maka vektorAdituliskan : A=Ax+Ay=Axi+ Ayj=A cos i+ A sin j X D Dx = Dx ( i) Dy = Dy (+j) D Dx Dy Komponen / uraian vektorDdalam arah sumbuY Komponen / uraian vektorDdalam arah sumbuX VektorDyadalah komponen vektorDdalam arah sumbu Y. Dy adalah nilai / panjang/magnitudevektorDy,yangdiperolehdenganmemproyeksikannilai vektorDdalam arah sumbuY , dengan cara trigonometri (lihat gambar segitiga di atas). Vektor(+j)adalah vektor satuan dalam arah sumbu Y positif. sin D DDD sinyy= = VektorDxadalah komponen vektorDdalam arah sumbu X. Dx adalah nilai / panjang/magnitudevektorDx,yangdiperolehdenganmemproyeksikannilai vektorDdalam arah sumbuX , dengan cara trigonometri (lihat gambar segitiga di atas). Vektor(i)adalah vektor satuan dalam arah sumbu Xnegatif. cos D DDD cosxx= = Maka vektorDdituliskan : D=Dx+Dy=Dx( i)+ Ayj=D cos ( i)+ D sin j VektorBsudah dalam arah sumbuY. Yaitu dalam arah negatif sumbuY. Maka vektorBdituliskan : B=B( j) DenganBadalah nilai vektorB . VektorCsudah dalam arah sumbuX. Yaitu dalam arah negatif sumbuX. Maka vektorCdituliskan : C=C( i) DenganCadalah nilai vektorC . Langkah 3Gabungkan vektor vektor dengan cara dijumlahkan. Maka jikaG=A+B+C+D, A= A cos i+ A sin j B= + B( j)C= C( i) D= D cos ( i)+ D sin j G=(A cos C D cos ) i+(A sin B+ D sin ) j G=Gx i+Gy j

Atau jika kita menginginkan menggabungkan : R= 2A+3BC+4D 2 A= 2A cos i 2A sin j 3 B=+ 3B( j)( 1) C= C( i) 4D= 4D cos ( i)+ 4D sin j R=( 2A cos + C 4D cos ) i +( 2A sin 3B+ 4D sin ) j R= Rx i+Ry j Contoh 6+ + JikaA = 10 ; tan = ; B = 5 ; C = 20 ; D = 15 ; tan = 4/3 ; Maka jika : (a)N=A+B+C+D;CarivektorNdansudutantaravektorNdengan sumbu Xpositif Tuliskan vektor vektor di atas menjadi : A= A cos i+ A sin j= 10 (4/5) i+ 10 (3/5) j = 8 i+ 6 j B= + B( j) =5 jC= C( i) = 20 iD= D cos ( i)+ D sin j = 15 (3/5) i+ 15 (4/5) j = 9 i+ 12 j + Ay Ax A 4 5 3 tan =Dy Dx D tan =4/34 3 5 N= 21 i+13 j N=Nx ( i ) +Ny j;Nx=21;Ny=13 ; ( ) ( ) 7 , 24 13 21 N2 2= + = oo oo oarc24 , 14876 , 31 180180 76 , 312113tan2113tan= = = = = = (b)K=A+2BC+2D;CarivektorKdansudutantaravektorKdengan sumbu Xpositif Tuliskan vektor vektor di atas menjadi : A= A cos i+ A sin j= 10 (4/5) i+ 10 (3/5) j Y X N =180o Nx = 21 ( i) Ny = 13 (j) = 8 i+ 6 j 2B = + 2B( j) =10 j(1)C= (1) C( i) = 20 i2 D= 2D cos ( i)+ 2D sin j = 30 (3/5) i+ 30 (4/5) j = 18 i+ 24 j K=10 i+20 j K=Nxi+Ny j;Nx=10;Ny=20 ; ( ) ( ) 36 , 22 20 10 K2 2= + = oarc 44 , 63 2 tan1020tan = = = (c)Diambil dari contoh 4 di atas. JikaG=A+B+C;A = 5 ; B = 10 ; C = 15 ; Cari vektorG dan sudut antara vektorGdengan sumbu Xpositif + Y X K Kx = 10 (i) Ky = 20 (j) A B 120o C X Y 30o A= 5 iB= 10 j C= C cos 30oi+ C sin 30oj = 15 ( 3 /2) i+ 15 (1/2) j =3215i+ 215 j G=|.|

\|+ 32155 i+|.|

\|25 j G=Gx i +Gy ( j);Gx=|.|

\|+ 32155 ;Gy=|.|

\|25 ; 3 75 20042546753 75 252532155 G2 2 = + + =|.|

\|+|.|

\|+ = Kitaperolehhasilyangsamadenganyangtelahkitahitungpadacontoh4di atas. + Cy Cx C = 15 30o 32 30o 1 Latihan Soal Mandiri 1 Operasi Menggabungkan Dua Vektor atau Lebih 01.Gambarkan gabungan ( = penjumlahan) vektor vektor di bawah ini : (a)(b) (c)(d) (e) V W W V WV V W V W U (f) 02.Dengan menggunakan kedua cara yang telah dijelaskan di atas, (a)Dari soal01.adi atas jikaV = 7 danW = 24 , carilah nilai dari V + W (b)Dari soal01.adi atas jikaV = 8 danW = 15 , carilah nilai dari V + W (c)Dari soal01.bdi atas jikaV = 7,W = 24 , dan = 60 , carilah nilai dari V + W (d)Dari soal01.bdi atas jikaV = 7,W = 24 , dan tan = , carilah nilai dari V + W (e)Dari soal01.cdi atas jikaV = 7,W = 24 , dan = 120 , carilah nilai dari V + W (f)Dari soal01.cdi atas jikaV = 7,W = 24 , dan tan = , carilah nilai dari V + W (g)Dari soal01.ddi atas jikaV = 8,W = 15 , dan = 60 , carilah nilai dari V + W (h)Dari soal01.edi atas jikaV = 7,W = 24 , U = 10 dan tan = , carilah nilai dari V + W + U V W U T (i)Dari soal01.edi atas jikaV = 7,W = 24 , U = 10 , T = 39 , tan = , dantan = 12/5 ,carilah nilai dari V + W + U + T