Kekontinuan Fungsi Vektor

Click here to load reader

  • date post

    08-Aug-2015
  • Category

    Documents

  • view

    286
  • download

    12

Embed Size (px)

description

kalkulus Vektor

Transcript of Kekontinuan Fungsi Vektor

KALKULUS VEKTOR KEKONTINUAN FUNGSI VEKTOR

Konsep kekontinuan fungsi vektor di satu titik dapat di definisikan limit fungsi dititik itu, yang harus sama dengan nilai fungsinya, atau langsung dengan = , berikut adalah definisinya.

Definisi 1.2.2 Misalkan fungsi vektor F (t) = f1(t)e1 + ... + fn (t)en terdefinisi pada selang terbuka D yang memuat a, F dikatakan kontinu di a D jika lim ta F(t) = F(a).

Definisi 1.2.3Misalkan fungsi vektor F (t) = f1(t)e1 + ... + fn (t)en terdefinisi pada himpunan D yang memuat a, fungsi F dikatakan kontinu di a D jika >0 >0 | t a | < F (t) F (a) <

Definisi 1.2.4 Fungsi vektor F (t) = f1(t)e1 + ... + fn (t)en yang terdefiinisi pada himpunan D R dikatakan kontinu pada D jika fungsi F kontinu di setiap titik pada D.

Teorema

1.2.4

Fungsi vektor F(t)= F (t) = f1(t)e1 + ... + fn (t)en kontinu pada fungsi real f1 kontinu pada Df = Df1 Dfn , t = 1, 2, , n Bukti:Bukti ke kanan ) F(t)= = f1(t)e1 + ... + fn (t)en kontinu pada Df F kontinu pada setiap titik di D F kontinu pada Df = Df1 Dfn , i = 1, 2, , n f1(t) kontinu pada Df1 fn(t)kontinu pada Dfn fi(t) kontinu pada Df = Df1 Dfn

Bukti ke kiri ) fi(t)kontinu pada Df= Df1 Dfn f1(t) kontinu pada DF fn(t) kontinu pada DF F(t) kontinu pada setiap titik di DF

Jadi teorema di atas terbukti kebenarannya.

Teorema 1.2.5 Misalkan fungsi vektor F(t) = f1(t)e1 + ... + fn (t)en dan G(t)= = g1(t)e1 + ... + gn (t)en dan fungsi real u = g(t) semuanya terdefinisi pada selang terbuka D = DF DG Dg, terdefinisi lim ta F(t) = F(a) lim ta G(t) = G(a) lim ta g(t) = g(a)

maka lim ta F+G (t) = lim ta [F(t) + G(t)] = lim ta F(t) + lim ta G(t) = F(a) + G(a) = (F+G)(a) Ini menunjukan bahwa fungsi F + G kontinu pada D.

lim ta F-G (t) = = = =

lim ta [F(t) - G(t)] lim ta F(t) - lim ta G(t) F(a) - G(a) (F-G)(a)

Ini menunjukan bahwa fungsi F - G kontinu pada D.

lim ta c (F) (t) = c lim ta F(t) = c F(a)

Ini menunjukan bahwa fungsi c F kontinu pada D.

lim ta (F . G) (t) = = = =

lim ta [F(t) . G(t)] lim ta F(t) . lim ta G(t) F(a) . G(a) (F . G)(a)

Ini menunjukan bahwa fungsi F .G kontinu di D lim ta (gF) (t) = lim ta [g(t) . F(t)] = lim ta g(t) . lim ta F(t) = g(a) . F(a) = (gF)(a) Ini menunjukan bahwa fungsi gF kontinu pada D

Teorema 1.2.61. Jika fungsi real u =g(t) semuanya terdefinisi pada selang terbuka D yang memuat a dengan lim ta g(t) = b dan fungsi vektor F, F(t) = f1(t)e1 + ... + fn (t)en kontinu di b, maka lim ta F(g(t)) = F [lim ta g(t)] = F(b) 2. Jika fungsi real u = g(t) terdefinisi pada himpunan D dengan Rg= g(D) E R dan fungsi vektor F(t)= f1(t)e1 + ... + fn (t)en kontinu pada E, maka fungsi vektor (F G) kontinu pada D.

Bukti : 1. Diberikan >0, akan ditunjukan terdapat suatu >0 sehingga 0 0 sehingga 0 0 ; t DF , |t - a| < | fi(t) - fi(a)| < /3 , t DF ,i = 1, 2, 3 perhatikan bahwa | fi(t) - fi(a)| < /3 , t DF ,i = 1, 2, 3 (fi(t) - fi(a)) < /3 i=1 (fi(t) - fi(a)) < [i=1 (fi(t) - fi(a))]^ < F(t) - F(a) <

Sehingga jika fi kontinu pada DF , i = 1, 2, 3 maka > 0 > 0 t DF , |t - a| < F(t) - F(a) < , t DF dengan kata lain jika fi kontinu pada DF , i = 1, 2, 3 maka F kontinu pada DF . Jadi, fungsi maka F kontinu pada DF jika dan hanya jika fungsi real fi kontinu pada DF = Df 1 Df 2 Df 3

Terbukti.

b. Bukti: Diberikan fungsi vektor F(t) = f1(t)i + f2(t)j + f3(t)k dan G(t) = g1(t)i + g2(t)j + g3(t)k , dan u = g(t) semuanya kontinu pada D = DF DG Dg maka, /2 > 0 > 0 ; t D , |t - a| < 1 F(t) - F(a) < /2 , t D dan /2 > 0 > 0 ; t D , |t - a| < 2 G(t) - G(a) < /2 , t D Perhatikan bahwa, (F(t) + G(t)) (F(a) + G(a)) = (F(t) - F(a)) + (G(t) G(a)) F(t) - F(a) + G(t) - G(a) dengan memilih = min {1 , a } , diperoleh F(t) - G(t) + F(a) - G(a) < /2 + /2 0 > 0 ; t DF , |t - a| < F(t) - F(a) < , t D Dengan kata lain, Jika F(t) dan G(t) kontinu pada D , maka F(t) + G(t) kontinu pada D. Terbukti.

c) Di berikan u = g(t) kontinu pada D dengan G(D) E R. Dan fungsi vektor F(t) = f1(t) i + f2 (t) j + f3 (t) k kontinu pada E, maka,

>0 >0 ; tD, | t a | < | g (t) g (a) | < , t D.dan >0 >0 ; uE | u b | < || F (u) F (b) || < , u E.

Karena g(D) D, sehingga Jika g(t) E yang memenuhi | g (t) g (a) | < F (g(t)) F (g(u)) < , g(t) E, t D. tetapi >0 >0 dan >0 >0, sehingga >0 >0 ; t D, | t a | < | g (t) g (a) | < , g(t) E F (g(t)) F (g(a)) < , t D. Jadi, >0 >0 ; tD, | t a | < (F o g)(t) (Fog) (a) < , tD Dengan kata lain, F o g kontinu pada D. Terbukti