Perkalian skalar dua vektor dan proyeksi vektor
-
Upload
gitasetiawan -
Category
Education
-
view
1.194 -
download
56
Transcript of Perkalian skalar dua vektor dan proyeksi vektor
Kompetensi Dasar
Indikator
Perkalian Skalar dengan Vektor
Proyeksi Vektor
Perbandingan Vektor
Latihan Soal
KOMPETENSI DASAR
Memahami konsep skalar dan vektor dan
menggunakannya untuk membuktikan
berbagai sifat terkait jarak dan sudut serta
menerapkannya dalam memecahkan
masalah
Perkalian Skalar dengan Vektor
Perhatikan vektor berikut :
Dari vektor tersebut diperoleh :
a2a1 K vektor a
a3
k skalar tak nol dan vektor u
= (a1, a2,a3)
Maka ku= (k a1, k a2, k a3)
Dalam perkalian skalar :
k>0 maka vektor ka searah
dengan vektor a
k<0 maka vektor ka
berlawanan arah dengan
vektor a
a
a
a
a
a
a
Contoh Soal Diketahui vektor a dan b seperti gambar
berikut :
Gambarkan vektor c dengan c = 2a - b!
a b
2a-b
c
Jika a dan b adalah vektor- vektor tak nol dan ἀ
adalah sudut di antara vektor a dan b
b
a
ἀ
Maka perkalian skalar vektor
a. 𝐛 , yaitu :
a. 𝐛 = |a| |b| cos ἀ
Pada 𝑹𝒏
a.b =𝒂𝟏𝒃𝟏+ 𝒂𝟐𝒃𝟐+ …… + 𝒂𝒏𝒃𝒏( 𝒃 − 𝒂 )𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 - 2abcos ἀ
Cos ἀ = 𝒃−𝒂 𝟐 −𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
−𝟐𝒂𝒃
Bagaimana jika vektor beradapada 𝑹𝒏 ?
Proyeksi VektorPerhatikan segitiga AOB
Pada segitiga AOB, cos θ adalah :
|c| = |a| cos θ = |a| 𝒂.𝒃
𝒂 |𝒃|= 𝒂.𝒃
|𝒃|
Jadi, panjang proyeksi vektor a pada vektor b :
|c| = 𝒂.𝒃
|𝒃|
a
b
A
OC
Bθ
c
Berdasarkan segitiga AOB, karena c berimpitdengan b maka :
vektor satuan c = 𝒃
|𝒃|
Jadi, c= 𝒂.𝒃
|𝒃|.
𝒃
|𝒃|=
𝒂.𝒃
|𝒃|𝟐. b
Proyeksi vektor a pada vektor b :
C= 𝐚.𝐛
|𝐛|𝟐. b
Dari hubungan
tersebut, bagaimana
dengan proyeksi
vektornya ?
Perbandingan Vektor
Misalkan:
• Posisi rumah Niko Sentera adalah P• Posisi sekolah adalah Q• Posisi Niko Sentera saat ini adalah NMaka dapat dituliskan PN : NQ m : n.
Niko Sentera pergi dari rumah ke sekolahnya dengan
berjalan kaki melintasi sebuah jalan yang lurus. Jika
saat ini, ia telah meninggalkan rumah sejauh m meter
dan ia harus menempuh jarak n meter lagi untuk
tiba di sekolah.
Maka perbandingan jarak yang telah ditempuh
dengan jarak yang belum ditempuhnya adalah m : n.
Dari perbandingan seperti pada soal , kalian dapat menyatakan titik N sebagai vektor posisi n dalam vektorposisi titik P dan Q.Caranya sebagai berikut :
n = r + PN
= r + 𝒎
𝒎+𝒏𝑷𝑸
= r + 𝒎
𝒎+𝒏(s-r)
= 𝒎𝒓+𝒏𝒓+𝒎𝒔−𝒏𝒓
𝒎+𝒏
= 𝒎𝒔+𝒏𝒓
𝒎+𝒏
P
Q
O
N
r
s
n
m
n
Jadi, n = 𝒎𝒔+𝒏𝒓
𝒎+𝒏
Dalam perbandingan PN:NQ = m:n terdapat duakasus, yaitu :
Titik N membagi PQ di dalamPN:NQ = m:n
P
Q
N
m
n
Titik N membagi PQ di luar
PN:NQ = m: (-n)
P Nm
Q -n
Latihan Soal
1. Diketahui vektor a=(1,-1,0) dan b=(-
1,2,2). Tentukanlah besar sudut yang
dibentuk oleh vektor a dan vektor b!
2. Diketahui vektor a=(1,-1,0) dan b=(-
1,2,2). Tentukanlah panjang proyeksi
vektor a pada vektor b!