VEKTOR MOMENTA SILE ZA TA ČKU

FABM FA

rr r

×=

Vektor momenta sile, kojadejstvuje na neku tačku tela, zaproizvoljno izabranu tačkupredstavlja meru obrtnogdejstva sile u odnosu na tuproizvoljno izabranu tačku.

Intenzitet vektora momenta sile za tačku iznosi hFABFM FA ⋅=θ⋅⋅= sinrr

Rastojanjeh, koje leži u ravniπkoju obrazuju napadna linijasile i momentna tačka, predstavlja najkraće rastojanjeizmeđu napadne linije sile i momentne tačke, i naziva se krakom sile za tačku A.

Ovde je tačkaA momentna tačka a tačka B napadna tačka sile

Fr

MOMENT SILE ZA OSU

Moment sile za osu je skalarna veličina koja predstavlja meruobrtnog dejstva sile za tu osu. Može se dobiti projektovanjem na osu vektora momenta sile za proizvoljnu tačku na toj osi.

Ovde, moment sile za x osu određuje

ma koji od narednih skalarnih proizvoda:Fr

...=⋅=⋅=⋅= iMiMiMM FC

FB

FA

Fx

rrrrrr rrrr

Sile koje su paralelne sa osom i silečije napadne linije presecaju osu nemajuobrtno dejstvo oko te ose, tj. momenti takvih sila za osu jednaki su nuli

⇒)1

⇒)2

( ) 0=⋅×=⋅= iFDBiMM FD

Fx

rrrr rr

( ) 0=⋅×=⋅= iPCAiMM PC

Px

rrrr rr

( ) 00 =⋅=⋅×=⋅= iiFCBiMM FC

Fx

rrrrrr rr

( ) 00 =⋅=⋅×=⋅= iiPDAiMM PD

Px

rrrrrr rr

Slučaj kada sila leži u ravni upravnoj na osuP

PAF

FA hPMhFM ⋅=⋅=

rr rr,

PPA

Px

FFA

Fx

hPiMM

hFiMM

⋅−=⋅=

⋅+=⋅=rr

rr

rr

rr

Praktično se mement sile za osu, kada sila leži u ravni upravnoj naosu, određuje prikazom te ravniu pravoj veličini tako što se posmatra sa strane u koju je usmerena osa

U takvom pogledu osa se vidi kao tačka a sila, njena napadna linija i najkraćerastojanje između napadne linije sile i ose vide se u pravoj veličini. Predznakmomenta za osu je “+” ako, tako gledano, sila teži da obrneoko ose u pozitivnom matematičkom smeru (suprotno od smera kazaljke na satu), dok je predznak “-” ako sila teži da obrne oko ose u smeru kazaljke na satu. Sama vrednost koja sledi iza predznaka jednaka je proizvodu intenziteta sile i krakasile. Krak sile predstavlja najkraće rastojanje između napadne linije sile i ose.

Slučaj kada sila zauzima proizvoljan položaj u odnosu na osu

xFx

Fx

Fx MMM

rrr

+= π

hFMM Fx

Fx ⋅== π

πrr

Moment proizvoljne sile određene svojim projekcijama X, Yi Z i koordinatamax, y i znjenenapadne tačke:

Fr

==×=ZYX

zyx

kji

FrM FO

rrr

rrr r ( ) +− izYyZr

( ) ( )kyXxYjxZzXrr

−+−+

zYyZM Fx −=r

xZzXM Fy −=r

yXxYM Fz −=r

O TERMINU MOMENT SILE ZA TA ČKU KOD RAVANSKIH PROBLEMA

Termin “moment sile za tačku” koji se koristi kod ravanskih problemaekvivalentan je terminu “moment sile za osu” koja prolazi kroz momentnutačku a upravna je na ravan i usmerena ka posmatraču.

Dakle, moment sile za neku tačku kod ravanskih problema jednak je proizvoduintenziteta sile i kraka sile za posmatranu tačku, s tim što je predznak “+” akosila teži da obrne telo oko momentne tačke u suprotnom smeru od kazaljke nasatu dok je predznak “-” ako sila teži da obrne telo oko momentne tačke u smerukazaljke na satu.

To znači da se moment sile za tačku kod ravanskih problema tretira kaoskalarna veličina koja predstavlja meru obrtnog dejstva sile oko momentnetačke. Krak sile predstavlja najkraće rastojanje između napadne linije sile i momentne tačke.

0,, =⋅−=⋅+= QAP

PAF

FA MhPMhFM

rrr

Na slici, kraci sila i za tačku Asu označeni sa hF i hP, dok je, očigledno, krak sile , čija napadna tačka prolazi kroz tačku A, jednak nuli.

Fr

Pr

Qr

Primer 5.1Odrediti momente svih sila za prikazane tačke A, B i K ?

2,sin

lGMlSM G

ASA ⋅−=α⋅=

rr

2,

lGMlYM G

BAYB

A ⋅=⋅−=rr

2,tan

lGMlXM G

KAXK

A ⋅−=α⋅=rr

0====== SK

YK

SB

XB

YA

XA MMMMMM AAAA

rrrrrr

Primer 5.2

Odrediti momente svih sila za tačke A i K ?

( ) α⋅−=β+α⋅= cos2

,sinl

GMlSM GA

SA

rr

α⋅−=⋅= cos2

,l

GMAKXM GKA

XK

A

rr ( )( )

( )β

β+α=β−β+α=

cos

sin

90sin

sin0

llAK

β+α=+= tansin EBlEKAEAK

βα+α=⇒ tancossin llAK

Preostali traženi momenti jednaki su nuli, zbog prolaska napadnih linija sila krozmomentne tačke, dakle:

0==== SK

YK

YA

XA MMMM AAA

rrrr

IZRAŽAVANJE SPREGA PREKO MOMENTA SILE ZA TA ČKU

111

FAMFABrrrr

=×=M

111

FBMFBA ′=′×=rrrr

M

222

FCMFCDrrrr

=×=M

222

FDMFDC ′=′×=rrrr

M

Vektor sprega se može odrediti preko vektora momenta sile za tačku

Spreg se kod ravanskih problema može izraziti preko momenta sile za tačku

1111

FB

FA MMhF ′==⋅=

rr

M

2222

FD

FC MMhF ′==⋅=

rr

M

Jedini uslov koji moraju da zadovolje tačke A, B, C i D je da se nalaze na proizvoljnim mestima napadnih linija sila:

I ovde, jedini uslov koji moraju da zadovolje tačke A, B, C i Dje da se nalaze na proizvoljnim mestima napadnih linija sila:

,1F ′r

,1Fr

,2F ′r

.2Fr

,1F ′r

,1Fr

,2F ′r

.2Fr

PROSTORNI SISTEM SPREGOVA

Sistem spregova može biti zamenjen jednostavnijim ekvivalentnim dejstvom koje čini rezultujući spreg.

∑=⇒++= iRR MMMMMrrrrr

...21

Proizvoljni sistem spregova i rezultujući spreg

kji iziyixi

rrrrMMMM ++=

kji RzRyRxR

rrrrMMMM ++=

∑= ixRx MM

-vektor rezultujućeg sprega

∑= iyRy MM

∑= izRz MM

Telo na koje dejstvuje proizvoljan sistem spregova biće u ravnoteži ako je vektor rezultujućeg sprega jednak nula vektoru, tj. ako su njegove projekcije na sve tri koordinatne ose jednake nuli. To znači da analitički uslovi ravnoteže proizvoljnog sistema spregova glase:

-vektor i-tog sprega

,0=∑ ixM ,0=∑ iyM ∑ = 0izM

Primer 5.3 Odrediti vektor rezultujućeg sprega koji zamenjuje sledeći sistem zadatih spregova: kji

rrrr3121 +−=M kji

rrrr1322 ++−=M

kjirrrr

2233 −−=M kjrrr

224 −=M,

, ,

30322 =++−==∑ ixRx MM

02213 =−−+==∑ izRz MM

22231 =+−+−==∑ iyRy MM

jiR

rrr23 +=⇒ M

1323 22

222

=+=

=++=⇒ RzRyRxR MMMM

Primer 5.4

Za zadat sistem spregova odrediti rezultujući spreg.Podaci su: M1=1kNm, M2=2 kNm,M3=2 kNm, M4=1kNm, M5=2 kNm,α=450, β=600.

kNm2cos22 =α= MM x

kNm2sin22 =α= MM z

kNm1cos33 −=β−= MM x

kNm3sin33 −=β−= MM z,0,0

,0kNm,2

,0kNm,1

,0kNm,1

32

5555

4444

1111

==

====

====

====

yy

zxy

zyx

yxz

MM

MMMM

MMMM

MMMM

201120 =++−+==∑ ixRx MM

220000 =++++==∑ iyRy MM

321 −+==∑ izRz MM

kNm,

kNm,

kNm, …

Primer 5.5

Poznate veličine: M, a, b i c.

Odrediti:M1, M2 i M3.

(Primer ravnoteže spregova)

Uvodimo jedinični vektor , normalan na ravanABCnr n

rrMM =

kabjacibc

ca

ba

kji

ACABNrrr

rrr

r++=

−−=×=

0

0 ( ) ( ) ( )222 abacbcN ++=⇒r

⇒( ) ( ) ( )222 abacbc

kabjacibc

N

Nn

++

++==rrr

r

rr

⇒( )

( ) ( ) ( )222 abacbc

kabjacibcn

++

++==rrr

rr MMM

kji zyx

rrrrMMMM ++=

( ) ( ) ( )MM

222 abacbc

bcx

++=

( ) ( ) ( )MM

222 abacbc

acy

++=

( ) ( ) ( )MM

222 abacbc

abz

++=

,

.

03 =+−=∑ xix MMM

Uslovi ravnoteže:

02 =+−=∑ yiy MMM

...............

01 =+−=∑ ziz MMM

RAVANSKI SISTEM SPREGOVA

Proizvoljan ravanski sistem spregova i njihov rezultujući spreg

U ravanskim problemima, vektori

svih spregova su međusobno paraleni, a upravni na ravan, i obično se ne prikazuju. Pogodno je i praktično da se sa spregovima, u takvim slučajevima, operiše kao sa skalarnim veličinama.

Za spreg čiji je smer suprotan od smera kazaljke na satu, pri algebarskom sabiranju spregova, najčešće će se koristiti predznak “+” dok će se za spreg sa smerom kazaljke na satu, koristiti predznak “-”.Ravanskim sistemima spregova takođe se smatraju i takvi sistemi spregova kod kojih spregovi leže u međusobno paralelnim ravnima.

Ravanski sistem spregova ima jednostavnije ekvivalentno dejstvo koje čini jedan, rezultujući, spreg: ∑=⇒++= iRR MMMMM ...21

Telo na koje dejstvuje proizvoljan sistem ravanskih spregova biće u ravnoteži ako je rezultujući spreg jednak nuli. To znači da analitički uslov ravnoteže takvog sistema glasi: 0=∑ iM

Odrediti ?

Primer 5.6

.2,3,1

,2,1

543

21

kNmkNmkNm

kNmkNm

=====

MMM

MMZadato:

Odrediti rezultujući spreg?

kNm354321 =++−−= MMMMMM R

Primer 5.7

M6

.1,2,3

,2,1

543

21

kNmkNmkNm

kNmkNm

=====

MMM

MMZadato: (Primer ravnoteže spregova)

Uslov ravnoteže:

0654321 =+−+−−=∑ MMMMMMMi

Rešenje je:

kNm3543216 =+−++−= MMMMMM

Primer 5.8

Na vratilo, koje je čest element mašina, dejstvuje uravnotežen sistem spregova. Iz dinamike je poznato da je pri ustaljenom obrtanju vratila (kada ono niti ubrzava niti usporava) sistem spregova koji na njega dejstvuje takođe uravnotežen, kao što bi bio u slučaju njegovog mirovanja.

.200,300

,200,100

43

21

kNmNm

NmNm

====

MM

MMZadato:

Odrediti: ?M5

(Primer ravnoteže spregova)

Uslov ravnoteže:

054321 =−++−−=∑ MMMMMMi

Traženo rešenje:

Nm20043215 =++−−= MMMMM

MOMENT SPREGA ZA OSU

Pod pojmom “moment sprega za neku osu” podrazumevaće se mera obrtnogdejstva sprega u odnosu na tu osu.

Moment sprega za neku osu jednak je projekciji vektora tog sprega na tu osu.

Dakle, za spregčiji je vektor kji zyx

rrrrMMMM ++= veličine

istovremeno predstavljaju, kako njegove projekcije na koordinatne ose, tako i momente tog sprega za iste ose.

zyx M MM i,

Primer 5.9

.45,2

,2,10

3

21

=α=

==

kNm

kNmkNm

M

MMPodaci su:

Odrediti momente spregovaza koordinatne ose?

kNm2sin33 −=α−= MM y

.................

kNm2cos33 −=α−= MM z

MOMENT SPREGA ZA TA ČKU KOD RAVANSKIH PROBLEMA

Za obrtno dejstvo sprega u odnosu na tačku koristićemo termin “moment sprega za tačku”.

Činjenica je da je, u ravanskim problemima, moment nekog sprega M za svaku tačku isti i iznosi +M ili – M. Predznak je “+”, ako spreg teži da obrnetelo u suprotnom smeru od kazaljke na satu dok je predznak “-”, ako spregteži da obrne telo u smeru kazaljke na satu.

Moment sprega za ma koju tačku kod ravanskih problema jednak je samom spregu

MMMM +=== CBA MMM

1111 M

MMM −=== CBA MMM

Dokaz:

( )M

M

+===−+=+= ′

Fh

FbhbFMMM FB

FBB

rr

Primer 5.10

Za sistem sila i spregova prikazan na slici odrediti momenate svih sila i spregova za tačke A i B?

M,MMMMM −==+== BAABA MMMM AA

lQMlGM QA

GA ⋅−=⋅−=

rr

,2/

lYMlGM AYB

GB

A ⋅−=⋅=rr

,2/

Preostali traženi momenti sila jednaki su nuli.