Kinematika hmotného bodu

zkyjxirrrrr

++= Polohový vektor bodu v prostoru

222 zyxrr ++==r Velikost polohového vektoru

zkyjxisr dddddrrrrr

++=τ⋅= Změna polohového vektoru

∫∫ ++== 222 dddd zyxss Dráha

τ=τ=τ==rrr

rr v

ts

ts

trv

dd

dd

dd

Rychlost hmotného bodu

12

2

1

d

tt

tv

tsv

t

tp −

=∆∆

=∫

Průměrná rychlost

2

2

dd

dd

tr

tva

rrr

== Zrychlení hmotného bodu

τ⋅=rr

tvat d

d Tečné zrychlení

nRvan

rr 2

= Normálové zrychlení

0=ar ⇒ , .konstv =r

tvrtvr rrrr+== ∫ 0d ,

),,()( 00000 zyxtr =r ,

),,( zyx vvvv =r

Rovnoměrný přímočarý pohyb

.konsta =r ,

tavtav rrrr+== ∫ 0d ,

200 2

1d tatvrtvr rrrrr++== ∫ ,

),,()( 00000 zyxtr =r ,

),,( 0000 zyx vvvv =r ,

),,( zyx aaaa =r

Přímočarý pohyb rovnoměrně zrychlený

tddϕ

=ωr

r Úhlová rychlost

2

2

dd

dd

ttϕ

=ω

=εrr

r Úhlové zrychlení

rv rrr×ω= ,

nt aavra rrrrrrr+=×ω+×ε= ,

ϕ= rs , ω= rv ,

ε= rat , rr

van2

2

ω==

Otáčivý pohyb po kružnici

.konstv = , .konst=ω

raT = 0 ; RvnaN

2rr= ,

tω+ϕ=ϕ 0 , v = ω R,

fT

π=π

=ω 22

Rovnoměrný kruhový pohyb

.konst=ε

tt ε+ω=ε=ω ∫ 0d ,

200 2

1d ttt ε+ω+ϕ=ω=ϕ ∫

Rovnoměrně zrychlený kruhový pohyb

vrw rrr×=

21 Plošná rychlost

Dynamika hmotného bodu

vmp rr= Hybnost hmotného bodu

Ftp rr

=dd Pohybová rovnice (2.Newtonův zákon)

konst.=m ,

),,(dd

d)(d tvrFam

tvm

tvm rrrr

rr

===

Pohybová rovnice v případě konstantní hmotnosti

amFF Rrrr⋅=+ ,

dtdmvF RR

rr−= (reaktivní síla)

Pohybová rovnice hmotného bodu s proměnnou

hmotností

FrMrrr

×= Moment síly

prL rrr×= Moment hybnosti (točivost)

MtL rr

=dd

Časová změna momentu hybnosti

0rr

=F ⇒ .konstp =r Zákon zachování hybnosti

0rr

=M ⇒ .konstL =r Zákon zachování momentu hybnosti

( ) ( )∫ −=≡2

1

12dt

tF tptptFI rrrr

Impuls síly

( ) ( )12

2

1

d tLtLtMJt

tM

rrrr−=≡ ∫

Impuls momentu síly

∫∫ ==2

1

dd2

112

t

t

tvFrFA rrrr

Práce

vFtAP rr=

δ=

d Okamžitý výkon

AW =∆ Energie je skalární veličina, která charakterizuje stav

soustavy. Změna energie je rovna práci přijaté

soustavou.

2

21 mvWk =

Energie kinetická (pohybová)

∫=−=∆2

1

21

22 d

21

21 rFmvmvWk

rr

Změna kinetické energie

ppp WWWA ∆−=−= 2112 Potenciální energie hmotného bodu

∫−=−=∆2

112 drFWWW ppp

rr

Změna potenciální energie

pk WW ∆−=∆ Zákon zachování mechanické energie

kpp WWWF gradgrad =−∇=−=r

,

0d11 == ∫L

rFA rr, ( )1212 rrfA rr

−=

Konzervativní síla

∗∗ +=+= ∫∫ 12

2

1

2

112 AArdFrdFA konz

rrrr

Práce v poli nekonzervativních sil

∗=−=∆ 1212 AWWW Změna W∆ celkové mechanické energie

hmotného bodu v nekonzervativním silovém poli

´´0 rvvv rrrrr×ω++= ,

( )´´´2´ 0 rrvaaa rrrrrrrrrr×ω×ω−×ε−×ω−−=

pohyb bodu v pohybující se referenční soustavě

( )´raodrrrr

×ω×ω−= Odstředivé zrychlení

´2 vaCrrr

×ω−= Coriolisovo zrychlení

´raSrrr

×ε−= Setrvačné zrychlení charakterizující zrychlený

otáčivý pohyb soustavy

odCS amamamamFam rrrrrr+++−=′ 0 ,

ZFFamrrr

+=′

Pohybová rovnice v neinerciální soustavě

DCSZ amamamamF 00rrrrr

+++−= Výslednice zdánlivých setrvačných sil

Gravitační pole

konst.dd

21

dd 2 =

ϕ==

tr

tSw Druhý Keplerův zákon

konst.3

2

=AT

Třetí Keplerův zákon

12312

210122

12

2112 r

rmmr

rmmF rrr

κ−=κ−= ,

2112 FFrr

−=

Newtonův gravitační zákon

-23-111 .s.mkg1067,6 −⋅=κ & Gravitační konstanta

0122

12

1

2

12 rrm

mF

E rr

rκ−== ,

∫ρ

κ−=V

VrrrE d)(3

rrr

Intenzita gravitačního pole

12

1

rm

κ−=ϕ Potenciál gravitačního pole

rddE v

r ϕ−=ϕ−= grad Vztah mezi intenzitou a potenciálem

12

212 r

mmmWp κ−=ϕ=

Potenciální energie gravitačního pole

( )2hRm

Ea Zg

+κ==

r

Gravitační zrychlení ve výšce h nad povrchem

Země

22 /81,9 sm

Rmga

Z

Zg =κ== &r

Gravitační zrychlení na povrchu Země

RhhmgWp /1+

=∆ ,

mghWRh p =∆<<

Potenciální energie ve výšce h nad povrchem

Země

Mechanika soustavy hmotných bodů a tuhého tělesa

m

rm

m

rmr i

ii

ii

iii

T

∑∑∑

==

rr

r Poloha těžiště soustavy hmotných bodů

m

vm

m

vmv i

ii

ii

iii

T

∑∑∑

==

rr

r Rychlost těžiště soustavy hmotných

bodů

Ftp rr

=dd ,

∑∑==

==n

iii

n

ii vmpp

11

rrr , , ∑=

=n

iiFF

1

rr

Ftrm

tvm TT

rrr

== 2

2

dd

dd

Pohybová rovnice těžiště soustavy

hmotných bodů (první impulzová věta)

MtL rr

=dd ,

∑=

×=n

iii FrM

1

rrr, . ∑

=

=n

iiLL

1

rr

TT Mt

L rr

=d

d

Druhá impulzová věta

Vmr

dd)( =ρ

r Hustota spojitého tělesa

∫ρ=V

Vrm d)(r Hmotnost spojitého tělesa

Vr

Vrrzyxr

V

VTTTT d)(

d)(),,(

∫

∫ρ

ρ== r

rr

r

Poloha těžiště tuhého spojitého tělesa

∑ =i

iF 0r

, ∑ =i

iM 0r

Rovnice rovnováhy tuhého tělesa

ω=rtr

JL Celkový moment hybnosti tuhého tělesa

( )( )

( )∑= +−−

−+−−−+

=n

iiiiiiiiii

iiiiiiiii

iiiiiiiii

yxmzymzxmzymzxmyxmzxmyxmzym

J1 22

22

22

t

Tenzor setrvačnosti tuhého tělesa

123321

dd MLL

tL

=ω−ω+ ,

231132

dd MLL

tL

=ω−ω+ ,

312213

dd

MLLt

L=ω−ω+ .

Eulerovy rovnice pro rotaci tuhého tělesa

VrrmrJVm

d)(d 22 ∫∫ ρ==r Osový moment setrvačnosti pro spojité

tuhé těleso

22

21

21

ω+= TTk JmvW Kinetická energie obecného pohybu

(translace+rotace)

MJrr

=ε Pohybová rovnice otáčejícího se tělesa

kolem pevné hlavní osy

2mdJJ T +=′ Steinerova věta

mglJT π2=

Perioda pohybu fyzikálního kyvadla

Pružnost a pevnost

SF

dd

=σ Normálové napětí

ε=σ E Hookův zákon

0

0

0 lll

ll −=

∆=ε

Relativní protažení

0

0

0 aaa

aa −=

∆−=η ,

Emmσ

=ε=η11

Příčné zkrácení

(m…Poissonova konstanta)

γ=τ G Smykové (tečné) napětí

(γ…poměrné posunutí - zkos)

)1(2 +=

mmEG Modul pružnosti ve smyku

Mechanika tekutin

SpFp

rrdd −= , ∫−=

Sp SpF

rrd Tlaková síla

0div =ρ+∂ρ∂ vt

r Rovnice kontinuity (zákon zachování hmoty)

222111 SvSv ρ=ρ ,

. konstvS =ρ

Rovnice kontinuity pro stacionární nevírové

proudění tekutiny

gptv rr

ρ+−=ρ graddd

( ) konvlok aavvtv

tva rrrr

rrr

+=+∂∂

== graddd

.grad121gradrot 2 pvvv

tv

ρ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ+−=×−

∂∂ rrr

Pohybová rovnice ideální kapaliny v tíhovém

poli

. 21 2 konstpv =+ϕρ+ρ Bernoulliho rovnice (zákon zachování

mechanické energie) pro stacionární

nevírové proudění ideální tekutiny

)( 00 hhgpp −ρ−= Hydrostatický tlak v tekutině

gVgmF kapkapvz ρ== Archimédův zákon (těleso ponořené do

kapaliny je nadlehčováno silou, která se rovná

tíze kapaliny tělesem vytlačené)

yvx

yx dd

η=τ Tečné napětí v kapalinách (Newtonovské

kapaliny)

vpgtv rrr

2graddd

∇η+−ρ=ρ Navier-Stokesova rovnice pro proudění

viskózní kapaliny

lpRQ

∆∆

ηπ

=8

4

Hagenův – Poiseulleův vzorec pro

stacionární proudění viskozní kapaliny

v potrubí

2

1

2

2

1

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∆=

SS

hgv Rychlost výtoku ideální kapaliny z nádoby o

průřezu S1 malým otvorem o průřezu S2

( ) ( )∫∫ ρ=ρ=SS

SnvvSvvF d d rrrrrrr Síla působící na kapalinu při ustáleném

proudění

rvFO πη= 6 Odporová síla, kterou klade tekutina pomalu

pohybující se kouli (Stokesův vztah)

lF

dd

=σ , σ=SW

dd Povrchové napětí

12

2313cosσσ−σ

=θ Krajový úhel

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+σ=

21

11rr

pk Kapilární tlak (Laplaceův vztah)

Rpgh k

σ==ρ

2 Vztah pro kapilární elevaci (depresi) v

kapiláře

Mechanické kmitání

kxFE −= Elastická síla

( ) ( ) 00sin xtAtx +ϕ+ω= ,

( ) ( ) 00cos xtAtx +ϕ+ω=

Harmonický kmit

πν=π

=ω 22T

Úhlová frekvence kmitání

T1

=ν Frekvence a perioda kmitání

0dd 2

02

2

=ω+ utu ,

0)( xtxu −=

Pohybová rovnice harmonických

kmitů

mk

=ω0 Kruhová frekvence harmonických

kmitů

( )ϕ+ω= tAu 0sin Rovnice harmonických kmitů

( )ϕ+ωω== tAtuv 00 cos

dd Rychlost hmotného bodu,

konajícího harmonický pohyb

( )ϕ+ωω−== tAtva 0

20 sin

dd Zrychlení hmotného bodu,

konajícího harmonický pohyb

( )00222 cos

21

ϕ+ωω= tAmWk Kinetická energie kmitajícího

hmotného bodu

( )00222 sin

21

ϕ+ωω= tAmWp Potenciální energie kmitajícího

hmotného bodu

2202

1 AmWWW pk ω=+= Celková mechanická energie

kmitajícího hmotného bodu

BvFt −= Tlumící síla

0dd2

dd 2

02

2

=ω++ xtxb

tx ,

,2mBb =

mk

=ω20

Pohybová rovnice tlumených kmitů

( ) ( )tdbtdb eCeCx +−−− += 21 ,

20

2 ω−= bd

Aperiodický pohyb ( b > ω0 )

( ) ( ) tbt etAebtAx 0011 ω−− ω+=+= Mezní aperiodický pohyb ( b = ω0 )

( )ϕ+ω= − tAex bt sin Tlumený kmitavý pohyb (b < ω0)

220

2 bT

−ω=π

=ω Úhlová frekvence ω tlumených

kmitů

220

2b

T−ω

π= Perioda T tlumených kmitů

bTe=δ Útlum kmitající soustavy

b1

=τ Relaxační doba kmitající soustavy

ϑ

π21

2−−

=e

Q Činitel jakosti kmitající soustavy

tmF

xtxb

tx

Ω=ω++ sindd2

dd 02

02

2

, Pohybová rovnice vynucených

harmonických kmitů

mk

mBb =ω= 2

0 ,2

( )vvtt tAeCeCx ϕ+Ω++= λλ sin21

21 Obecné řešení pohybové rovnice

vynucených harmonických kmitů

( ) 222220

0

4 Ω+Ω−ω=

bmF

Av

Amplituda vynucených

harmonických kmitů

220

2tgΩ−ωΩ−

=ϕb

v Fázové posunutí vynucených

harmonických kmitů

220 2br −ω=Ω Rezonanční frekvence

( )220

2

0

max4 bb

mF

Av−ω

=

Maximální (rezonanční) amplituda

vynucených kmitů

( ) ( 222111 sin,sin )ϕ+ω=ϕ+ω= tAxtAx

( )ϕ+ω= tAx sin ,

( ),cos2 122122

21

2 ϕ−ϕ++= AAAAA

2211

2211

coscossinsintg

ϕ+ϕϕ+ϕ

=ϕAAAA

Skládání kmitů stejné frekvence

021 AAA ==

( ) ( 22021101 sin,sin )ϕ+ω=ϕ+ω= tAxtAx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω+ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−ω

= ttAx2

sin2

cos2 21210

Skládání kmitů blízkých frekvencí

(rázy) a stejné amplitudy

( ) ( 222111 sin,sin )ϕ+ω=ϕ+ω= tAytAx

( ) ( ) 0sincos2 122

1221

2

2

2

1

=ϕ−ϕ−ϕ−ϕ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ay

Ax

Ay

Ax

Skládání kmitů vzájemně kolmých

Vlnění a akustika

2

2

22

2 1tu

vxu

∂∂

=∂∂ ,

( ) ( )2

2

22 ,1,

ttru

vtru

∂∂

=∇r

r

Vlnová rovnice

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

vxtg

vxtftxu ,

Obecné řešení vlnové rovnice

∑=

=n

iiiuau

1

Princip superpozice vlnění

0)()( 22 =+∇ rUkrU rr Helmholzova rovnice

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −ω= 0cos,

vxtAtxu ,

)cos(),( 0ϕ+−ω= kxtAtxu

Rovnice harmonické vlny, šířící se ve

směru osy x

Tπ

=ω2 Úhlová frekvence vlnění

00 ϕ+−ω=ϕ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ω=ϕ kxt

vxt

Fáze vlny

txv

dd

= Fázová rychlost vlnění

vT=λ Vlnová délka

λπ

=ω

=2

vk Vlnové číslo

( ) ( )0cos, ϕ+ω= rktAtru rrm

r Rovnice postupné rovinné harmonické

vlny

( ) ( )0cos, ϕ+ω= krtrAtru m Rovnice sférické harmonické vlny

( )ϕ+−ω=+= rktAuuu rr.cos21 ,

( )( )rkkAAAAA rrr)(cos2 221221

22

21

2 −−ϕ−ϕ++= ,

).cos().cos().sin().sin().(tg

222111

222111

rkArkArkArkArk rrrrrrrr

rr

−ϕ+−ϕ−ϕ+−ϕ

=−ϕ

Interference rovinných harmonických

vlnění

( ) ( ) ( )tAtkxAu ω=ω= sinsincos2 0 ,

2λ

= nx …(kmitny),

( )2

1 λ+= nx …(uzly)

Stojaté vlnění

ρ=

Ev Rychlost šíření podélné vlny v tyči

( ) ( )∫∫Σ

αλ

−= dSr

eMUiPUMP

ikrMP

cos Difrakce vlnění (amplituda vlnového

pole)

1

2

1

2

sinsin

vv

=αα

Zákon lomu vlnění

α′=α Zákon odrazu vlnění

zd

P

vcvcff

m

±=′ 0

Dopplerův jev

dd

ddd

⊥⊥

==SP

tSWj Proudová hustota energie

cj

ctSW

VWw ===

⊥ddd

dd , nwccwj rrr

== Objemová hustota energie

∫=S

SjPrr

d. Celkový tok energie plochou S

jrIIrr

== )( Intenzita vlnění

2

23222 )2(

21

λρπ=ωρ==

AcAcjI Intenzita podélného mechanického

vlnění

ρ=

Gv Rychlost šíření příčné vlny v pevných

látkách

ρ=

Kv Rychlost šíření vlnění v kapalinách

ρκ=

pv Rychlost šíření vlnění v plynech

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ω=

cxtutxu sin, 0

Harmonická zvuková vlna šířící se ve

směru osy x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ωω=

∂∂

=cxtu

tuv cos 0

Akustická (zvuková) rychlost

ρ=∂∂

−= 2 , cKxuKpa ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −ωωρ=

cxtp

cxtucpa coscos 00

Akustický tlak

000 cvucp ρ=ωρ= Amplituda akustického tlaku

20p

pe = Efektivní hodnota akustického tlaku

cp

cvvpucI 2

1 21

21

21 2

02000

20

2

ρ=ρ==ρω=

Intenzita zvukového pole

,log20log1000 e

eI p

pIIL ==

2120 W/m10−=I , Pa 10 . 03,2 5

0−=ep

Hladina intenzity zvuku v dB

( )∑ α−−=

iiSVT

1ln163,0 Doba dozvuku (Millington)