KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

Oleh:Ahmad Fuad Rosyidi, S.Pd.

MA AL MUSLIMUNKAWISTOLEGI KARANGGENENGLAMONGAN2012

i merupakan vektor satuan pada sumbu x dan

j merupakan vektor satuan pada sumbu y

A. Posisi, Kecepatan, dan Percepatan pada Gerak dalam Bidang

1. Posisi partikel pada suatu bidang

r = xi + yj

a. Vektor PosisiVektor posisi merupakan vektor yang menyatakan posisi suatu titik pada suatu bidang atau ruang.

x

y

O xi

yj

r

α

P (x, y)

Partikel di titik P (x,y), maka vektor posisi titik tersebut ditulis:

Ket:

22 yxr

x

ytan

Besarnya perpindahan adalah

Arah vektor r (α) adalah

)()( 1122 jyixjyixr jyyixx )()( 1212

yjxir

22 yxr x

y

tan

Dalam bentuk komponen kita peroleh:

Besarnya perpindahan adalah Arah perpindahannya adalah

Dengan: Δx = x2 – x1

Δy = y2 – y1

x

y

O

r1

Δr

r2

P1 (x1, y1)

b. Perpindahan partikel pada suatu bidang

12 rrr

Perpindahan merupakan perubahan posisi suatu titik pada suatu bidang atau ruang dalam selang waktu tertentu.Perpindahan partikel (r) pada bidang adalah :

P2 (x2, y2)

Contoh soal:

1. Sebuah titik partikel mula-mula berada di r1 =

10i – 4j kemudian partikel tersebut perpindah

ke posisi r2 = 7i + 3j, r dalam meter.

Berapakah besar perpindahan partikel tersebut?

2. Vektor suatu benda diberikan oleh r = (t3 – 2t2)i

+ 3t2j; t dalam sekon dan r dalam meter.

Tentukan besar dan arah perpindahan benda

dari t = 2 s sampai ke t = 3 s!

Latihan soal:

1. Sebuah partikel mula-mula berada di r1 = 3i +

5j, kemudian berpindah ke r2 = 5i + j. Tentukan

besar perpindahan partikel tersebut!

2. Vektor posisi suatu benda diberikan oleh r = 4t2

i + (6t2 + 2t)j, t dalam sekon dan r dalam meter.

Tentukan besar dan arah perpindahan benda

dari t = 2 s sampai t = 4 s!

jvivv yx

12

12

tt

xx

t

xv

12

12

tt

rr

t

rv

12

12

tt

xx

t

xvx

12

12

tt

yy

t

yvy

;

2. Kecepatan partikel pada suatu bidang

- Kecepatan rata-rata pada bidang dua dimensi

Dalam bentuk komponen:

Dengan:

a. Kecepatan rata-rata pada garis lurus

dt

dxv → Kecepatan sesaat untuk garis lurus

Kecepatan sesaat adalah turunan pertama dari fungsi posisi (x) terhadap waktu (t).

b. Kecepatan sesaat sebagai turunan fungsi posisi

Secara matematis ditulis:

dt

drv

dt

yjxidv

)(

dt

dyj

dt

dxiv jvivv yx

dt

dxvx

dt

dyv y

- Kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang

;dalam bentuk komponen jika: r = xi + yj, maka:

Dengan:

MARI BERLATIH SOAL ...!!1. Vektor posisi suatu benda dinyatakan oleh:

r = (t3 – 2t2)i + (3t2)j, t dalam sekon dan r dalam meter.

Tentukanlah:

a) Besar dan arah perpindahan dari t = 1 s sampai t = 3 s

b) Besar dan arah kecepatan rata-rata dari t = 1 s sampai t = 3 s

c) Persamaan kecepatan dan kecepatan sesaat mobil pada t = 3 s

2. Sebuah partikel bergerak dengan fungsi posisi:

r = (2 + 4t – 4t2)i + (1 + 3t + 3t2)j, t dalam sekon dan r dalam meter.

Tentukanlah:

a) Posisi awal (t = 0 s)

b) Posisi pada t = 2 s

c) Besar perpindahan dari t = 0 s sampai t = 2 s

d) Kecepatan rata-rata (Δv)

e) Kecepatan sesaat pada t = 3 s

dt

dxvx

dtvdxt

x

x

x 00

dtvxt

xxx

00

dtvxxt

x00

dtvxxt

x00

c. Menentukan posisi dari fungsi kecepatan

•Posisi x •Posisi y

dt

dyvy

dtvdyt

y

y

y 00

dtvyt

yyy

00

dtvyyt

y00

dtvyyt

y00

12

12

tt

vv

t

va

jaiaa yx

12

12

tt

vv

t

va xxx

x

12

12

tt

vv

t

va

yyyy

;

3. Percepatan partikel pada suatu bidang

Dalam bentuk komponen

Dengan:

a. Percepatan rata-rata

dt

dva → Percepatan sesaat untuk garis lurus dan bidang

Percepatan sesaat adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan (v) terhadap waktu (t).

Contoh:Posisi x dari suatu roket percobaan yang sedang bergerak sepanjang rel dinyatakan oleh: x (t) = 4t + 6t2 + 3t3 – 0,25t4, selama 10 sekon dari gerakannya dengan t dalam sekon dan x dalam meter.

b. Percepatan sesaat

Secara matematis ditulis:

Tentukan: (a) Persamaan kecepatan dan percepatan roket (b) kecepatan dan percepatan awal roket (c) kecepatan dan percepatan roket pada t =2 sekon

dt

dva

jaiaa yx

dt

dva x

x dt

dva y

y

dt

dva

dtadvtv

v 00

dtavvt

00

dtavvt

00

;

c. Percepatan sesaat untuk gerak pada bidang

Dalam bentuk komponen:

Dengan:

d. Menentukan kecepatan dari fungsi percepatan

CONTOH SOAL: Hal.15

Percepatan sebuah partikel pada saat t adalah: a = 4ti – 6j. Mula-mula partikel sedang bergerak dengan kecepatan v = 2i. Tentukan vektor dan besar kecapatan pada t = 2 sekon.

SOAL: Sebuah benda bergerak dengan kecepatan merupakan

fungsi waktu yang dinyatakan dalam persamaan v = 2t2 + 4t – 6, dengan v dalam m/s, dan t dalam sekon. Tentukan:a. Percepatan rata-rata pada selang waktu t = 0 s sampai

dg 4 s.b. Pers. percepatanc. Percepatan awal dan saat t = 4 sekon

12

12

ttt

dt

d

B. Posisi, Kecepatan, dan Percepatan pada Gerak Melingkar

Keterangan:θ = posisi sudut (radian)ω = kecepatan sudut (rad/s)

a. Kecepatan sudut rata-rata dan sesaat

1. Kecepatan Sudut

-Kecepatan sudut rata-rata

- Kecepatan sudut sesaat (ω) didefinisikan sebagai turunan pertama dari fungsi posisi θ sudut terhadap waktu t.

Contoh soal:Hal.18

SOAL: Sebuah benda berotasi dengan persamaan posisi:

θ = 4t2 + 2t (θ dalam radian dan t dalam sekon).Tentukan:a. Posisi sudut pada saat t = 1 s dan t = 2 sb. Kecepatan sudut rata-rata pada saat t = 1 s dan t = 2 sc. Kecepatan sudut pada t = 1 s

dt

d atau

3. Percepatan Sudut

a. Percepatan sudut sebagai turunan fungsi kecepatan sudut

b. Menentukan Kecepatan Sudut dari Fungsi Percepatan Sudut

ωo = kecepatan sudut awal pada t = 0

dttt

)(00

2

2

dt

d

b. Menentukan Posisi Sudut dari Fungsi Kecepatan Sudut

θo = posisi sudut awal pada t = 0

dttt

)(00

CONTOH SOAL:1. Baling-baling kipas angin berputar dengan persamaan

kecepatan sudut ω = 2 + 2t (ω dalam rad/s dan t dalam sekon). Pada saat t = 0 sekon, posisi sudutnya 1 rad.Tentukan:a. Persamaan posisi sudutnyab. Posisi sudut pada saat t = 2 sekon

2. Benda yang bergerak melingkar kecepatan sudutnya berubah sesuai persamaan ω = (3t2 – 4t +2) rad/s dan t dalam sekon). Pada saat t = 1 sekon, posisi sudutnya 5 rad.Tentukan:c. Percepatan sudut saat t = 2 sekond. Posisi sudut pada saat t = 0 sekon

ts aaa

rr

vas

22

rat

GMBB mengalami dua percepatan, yaitu percepatan sentripetal (as) berarah ke pusat lingkaran dan percepatan tangensial (at) berarah menyinggung lingkaran.

Dengan:

3. Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB)

a. Percepatan total pada GMBBGerak melingkar berubah beraturan (GLBB) didefinisikan sebagai gerak partikel mengitari suatu titik poros (tititk O) dengan percepatan sudut tetap (tidak nol).

Percepatan total GMBB adalah

dan

22ts aaa

s

t

a

atan

Besar percepatan total:

Arah percepatan total :

aat

as

GLBB GMBB

atvv 0 t 0

20 2

1attvx 2

0 2

1tt

xavv 220

2 220

2

0xxx 0

•Kinematika gerak melingkar berubah beraturan

Beberapa analogi persamaan kinematika GMBB dengan persamaan kinematika GLBB.

Bersambung….