Kinematika 2012.Ppt` g
112
1 Предавања по предметот КИНЕМАТИКА Проф.д-р Иван Мицкоски Скопје - 2012 Машински факултет-Скопје 1 Doc.d-r Hristijan Mickoski
-
Upload
nikola-arsoski -
Category
Documents
-
view
628 -
download
0
Transcript of Kinematika 2012.Ppt` g
1
Предавања попредметот
КИНЕМАТИКА
Проф.д-р Иван Мицкоски
Скопје - 2012
Машински факултет-Скопје
1
Doc.d-r Hristijan Mickoski
2
pωr
rvr
rvr
rvr
rvr
rvr
car
car
car
KINEMATIKA
Prof.d-r Ivan Mickoski
Doc.d-r Hristijan Mickoski2012
3
Содr`ina1. Кинематика na точкa. Na~ini na задavawe na движеweto. Rавenki na
движеwe. Траекториja. Закон na движеwe na точкa. Vrska ме|у трitena~ini na zadavawe na движеweto. Brzina na to~ka.
2. Zabrzuvawe na точкa. Рamnomerno promenlivo движеwe нa точкa. Класификациja na движеweto na точкa. Примерi na решavawe naзадачata на определuvawe na кинематичkite kарактеристикi naдвижеwe na точкa. Кинематика na круto telo. Видovi na движеwe . Translatorno dvi`ewe.
3. Rotaciono движеwe. Agolna brzina и aгolno zabrzuvawe. Раmноmernoпрoменliva rotacija. Brzina и zabrzuvawе na точкa od телo приrotaciono движеwe. Brzina i zabrzuvawe na точкa pri rotacija naтелo какo векторski произвod. Формула na Ojler. Преобразuvawe narotacii .
4. Ramno движеwe нa круto телo. Разложuvawe na ramnо движеwe наtranslatorno и рotaciono движеwe.Ravenki na движеwe. Теорема zaсложuvawe na brzini . Posledici od теоремite. Мomentalen pol(centar) na brzina (МPB).
5. Примерi za koristewe na МPB za определuvawe na brzinata. Теорема za сложuvawe na zabrzuvawa. Мomentalen центар(pol)nazabrzuvawe (МPZ). Примерi za koristewe na теоремata zaсложuvawe na zabrzuvawa и МPZ za определuvawe na zabrzuvaweto
3
4
6. Сфернo движеwe na круto telo. Теорема na Ojler. Aгоlnа brzinaи agolno zabrzuvawe. Brzina i zabrzuvawe na to~ka od телo svernoдвижеwe. Оpt slu~aj na движеwe. Brzina na точкa pri сlободнотелo. Незавиsnost na вектороt na agolnata brzina и agolnotozabrzuvawe оd izborot na polo. Zabrzuvawe na to~ka na slobodnotelo.
7. Сложeno движеwe na точкa. Теорема za сложuvawe na zabrzuvawana to~ka при сложeno движеwe. Теорема za сложuvawe nazabrzuvawa при сложeно движеwe na точкa. Кориолисovozabrzuvawe. Причинi za pojava na Кориолисovo zabrzuvawe.
8. Сложeno движеwe na круto telo . Сложuvawe na translatorniдвижеwa. Сложuvawe na rotacioni движеwa. Сложuvawe natranslatorno i rotaciono движеwe. Оpt случаj na составнодвижеwe na телo. Кинематичki инвариjантi.
Koristena литература1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч.1. М.: Высшая школа.
1977 г. 368 с.2. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука.
1986 г. 416 с.3. Сборник заданий для курсовых работ /Под ред. А.А. Яблонского.
М.:Высшая школа. 1985 г. 366 с.4. Бондаренко А.Н. “Теоретическая механика в примерах и задачах.
Кинематика” , 2004 г.5.Ветаџокоска-Грнарова Е. Кинематика ,III издание,Скопје, 2006 4
5
Кинематика – дел од теоретската механика,која го проучувамеханичкото движење без учество на сили кои го предизвикуваатдвижењето.
Се состои од два дела:
Кинематика на точка – го изучува движењето на геометриска точка ие основа за изучување на движењето на точки од крути тела.
Задавање на движењето на точка – неопходно е за да имаме можностда ја определиме положбата на точка во просторот во било кој моментод времето .
Траекторија на движење на точка – севкупност на положби на точка вопросторот при нејзино движење.
5
Кинематика на точка
Кинематика
Кинематика на круто тело
6
Видови на движења:
Праволиниско Ротационо(кружно) Рамно Сферно Сложено
Кинематичкикарактеристики:
Положба на точка(тело)
Траекторија Брзина Забрзување
Видови на движења:
Праволиниско Ротационо(кружно) Рамно Сферно Сложено
Кинематичкикарактеристики:
Положба на точка(тело)
Траекторија Брзина Забрзување
Основни задачи накинематиката:
Утврдување наматематички начини –постапки за задавање надвижењето на точки(тела)
На познат закон надвижење на точка (тело),да се постават(изнајдат)начини за определувањена сите големини кои гокарактеризираатдаденото движење
Основни задачи накинематиката:
Утврдување наматематички начини –постапки за задавање надвижењето на точки(тела)
На познат закон надвижење на точка (тело),да се постават(изнајдат)начини за определувањена сите големини кои гокарактеризираатдаденото движење
7
M
O
r
)(trrrr
=
Се задаваат координатитена положбата на точката.
.
.0),,(
);(
=
=
zyxf
tssM
O
s1O
+−
Се задава големината инасоката на радиус-векторот.
Сите три начини на задавање сееквивалентни и сврзани меѓу себе:1. Векторски и координатни – со релацијата:
ktzjtyitxtrrrrr
)()()()( ++=
r
i
jk
2. Координатeн и природен – со релацијата:222 dzdydxds ++=
∫ ++= dtzyxts 222)( &&&
x
xy
y
z
z
dx
dz
ds
dy
).()]([)();()]([)();()( xzxtztzzxyxtytyyxtttxx =⇒==⇒==⇒=
Последните две равенки претставуваат равенки на површина,линијата напресекот е траекторија на движење на точка. )();( xzzxyy ==
На пример:.; или ; 2222222 czRyxxRtRyxttx ==+−⇒−==⇒=
Три начини на задавање на движењето на точка:
Последните две равенки претставуваат равенки на цилиндрична рамнинска површина сорадиус R , паралелна со z оската , парална со координатната површина Oxy ипоместувањето по z оската за големина на c. Линијата на пресекот на овие површини (кругсо радиус R) – траекторија на движење на точката
Векторски начин: Координатен начин:Природен начин:
Се задава законот надвижење на точката итраекторијата.
За добивање на равенката на траекторијата на движење неопходно е одравенката на движење по координатната метода да се исклучи времето, траекторијата не зависи од времето:
M
O
x
).(
);(
);(
tzz
tyy
txx
=
=
=
xy
y
z
z
8
Брзина на точка – големина која се карактеризира со брза промена наположбата на точка во просторот.
Векторски начин: Споредуваме две положби на точката вомоментите на времето t и t1= t + ∆t:
;
;
11 r∆rr∆ttt
rtrrr
r
+=⇒+=
⇒
срv∆t
r∆ rr
=
M
O
rr M1
1rr
r∆
- вектор на средна брзина вовременскиот интервал ∆t,
dt
rd
∆t
r∆∆t
rr
=0
lim
- вектор на вистинската брзина на точка во моментот навремето t, насочен по тангентата на траекторијата(при приближување на M1 кон M тетивата завзема положба натангента).
срvr
Земаме ∆t → 0 и барамегранична вредност на изразот:
Граничната вредност на односот на прираст на фукцијатакон прирастот на аргументот е извод на функцијата :
v∆t
r∆∆t
rr
=0
lim
dt
rdv
rr
=
vr
Насочен по правецот на векторот на поместување (тетива MM1).
8
9
Компоненти на векторот на брзината :
.)(
;)(
;)(
ktzv
jtyv
itxv
z
y
x
r&
r
r&
r
r&
r
=
=
=
Проекции на брзинатапо координатните оски:
.
;
;
zv
yv
xv
z
y
x
&
&
&
=
=
=
.),cos(
;),cos(
;222
v
yyv
v
xxv
zyxv
&
&
&&&
=
=
++=
[ ]
kvjvivkdt
dzj
dt
dyi
dt
dx
ktzjtyitxdt
d
dt
trdv
zyx
rrrrrr
rrrr
r
++=+=
=++== )()()()(
ktzjtyitxtrrrrr
)()()()( ++=
Ја користиме векторската форма за определуваме набрзината:
Врската помеѓу радиус-векторот со координатите сеопределуваат со изразот :
Брзина во координатeн начин:
M
O
x
xy
y
z
z
r
ir j
rkr
xvr
yvr
zvr
9
10
∆r∆s
ρ
1ρϕ∆
.sv &====На таков начин, изводот на радиус-векторот по природната координата е единеченвектор, насочен по тангентата на траекторијата.
Векторот на брзината рамен: Проекција на брзината на тангентата:
При векторот на брзината насочен во насока на зголемување наприродната координата, во спротивен случај на нејзино намалување.
0>s&
.τr
&r
sv =
При ∆s → 0 радиусот на кривината ρ1 → ρ, аголот меѓу радиусот на кривината ∆ϕ→ 0, броителот – основата на рамнокракиот тријаголник,именител – должината налакот од кругот со радиус ρ.
.1sin2
limlim 2
00===
ϕρρ ϕ
ϕ∆∆s
r∆
ds
rd∆
∆∆s
rr
Големината на изводот на радиус-векторот поприродната координата рамна 1:
Векторот на прираст на радиус-векторот насочен потетиватаMM1 во гранична положба завзема положба потангента.
Го претставуваме изводот нарадиус-векторот како гранична вредност: .lim
0 ∆s
r∆
ds
rd∆s
rr
=
.)(
sds
rd
dt
ds
ds
rd
dt
trdv &
rrrr
===Го претставуваме радиус-вектороткако сложна функција: )].([)( tsrtr
rr=
Ја користиме векторската форма за определување на брзината:Природен начин:
M
O
s1O
+−
rr
M1
1rr
r∆r∆sτ
v
11
Поларни координати
Радијална компонента r
Трансверзалнакомпонента θ
eθ и er -нормални еден
во однос на друг
Тета θ во радијани
Единечни вектори er и eθпозиција
Вектор на положба
rerrrr
=
12
Брзина во поларни координатиМоменталната брзина е извод по времето од
rerrrr
=
( ) rr r
d dr dev re e r
dt dt dt= = +
rr r r
dt
de
dt
d
d
ed
dt
ed rr θθθ θ
rrr
== r ed
ed rr
====θ θкаде
r r
dr dv e r e re r e
dt dtθ θ
θθ= + = +
r r r r&&
•Вкупната брзина
22 )()( θυ && rr ++++====
)(tan 1
rυυ
δ θ−=
δθυυ θ&& rиrr ========
r ed
ed rr
====θ θ
брзина лнатрансверза- v
брзина радијална- v r
θ
13
Моменталното забрзување е извод од брзината v повремето
2θ&&& rrar −=θθθ&&&& rra 2+=
забрзување
( )r
rr
r r
da re r e
dt
de dere r r e r e r
dt dt
d dre re r e r e r e
dt dt
θ
θθ θ
θ θ θ
θ
θ θ θ
θ θθ θ θ
= +
= + + + +
= + + + −
r r r&&
r rr r r& && &&& & &
r r r r r& && &&& & &
( ) ( )2 2ra r r e r r eθθ θ θ= − + +r r r& && &&& &
•Вкупното забрзување ќе биде:
•Aголот φ )(tan 1
ra
aθϕ −−−−====
φ
dt
de
dt
d
d
ed
dt
edr
θθθθθ rrr
−==
dt
de
dt
d
d
ed
dt
ed rr θθθ θ
rrr
==
222 )2()( θθθ &&&&&&& rrrra ++−=
r ed
ed rr
====θ θre
d
ed r−=θθ
каде
14
Секторска брзина
[[[[ ]]]]rrArrr
∆∆ ,2
1====
∆∆
=∆∆
t
rr
t
Ar
rr
,2
1
[[[[ ]]]]vrt
rr
t
AS
tt
rrr
rr
r,
2
1,
2
1limlim
00====
========→→→→→→→→ ∆
∆∆∆
∆∆
xy
sr
rr
1rv r
r∆ v
v
θ
M1
M
z
Oo
o
Секторската брзина е брзина на промена на површина што ја опишувавекторот на положба при движење на точката,во единицавреме.Димензијата на секторската брзина е (m2/s ).Пресметката на секторскатабрзина оди по следната постапка:
rr
1.Површината ОММ1ја претставувамепреку векторски производ
2.Бараме средна промена на векторот-површината за време коеизнесува:
Ar
∆ t∆
3. Barame graniчna vrednost на векторот ,кога штопретставува секторска брзина на точката во моментот t:
t
A
∆∆r
0→∆t
15
[ ] ( ) ( ) ( ) zyx SSSkxyyxjzxxziyzzy
zyx
zyx
kji
vrS ++=−+−+−===r
&&r
&&r
&&
&&&
rrr
rrr
2
1
2
1
2
1
2
1,
2
1
kr
rr
r
ku
Sr&
&&
rrr
rθ
θ
θ2
00
2
1
0
002
1========
Ако векторскиот производ од предходната равенка за пресметка насекторската брзина го напишеме во детерминанта ќе добиеме:
Од каде ги добивме проекциите на секторската брзина на оските одДекартовиот правоаголен координатен систем со кои го определувамеинтензитетот на секторската брзина:
-Intenzitет na sektorskata brzina opredelен preku
nejzinite proekcii
Во случај на цилиндрично-поларни коодинати секторската
брзина може да се изрази со подолната детерминанта:
222zyx SSSS ++=
r
16
М
М1
O
rr
∆
Забрзување при векторски начин назадавање на движењето на точкаЗабрзување при векторски начин на
задавање на движењето на точка Во моментот за времето t
брзината на точката М
при t1= t + ∆t во точката М1
Во моментот за времето tбрзината на точката М
при t1= t + ∆t во точката М1
( )tVVrr
= ( )tVVrr
=
( ) ( )ttt ∆+== VVVrrr
111( ) ( )ttt ∆+== VVV
rrr
111
( ) ( )ttt VVVVVrrrrr
−∆+=−=∆1
( ) ( )ttt VVVVVrrrrr
−∆+=−=∆1
Vr
Vr
−
Vr
∆ 1Vr
срar
;t
acp ∆∆
=Vr
r;
tacp ∆
∆=
Vr
r rdt
rd
dt
d
ta
t
&&r&rrrr
r====
∆∆
=→∆
VVV
2
2
0lim r
dt
rd
dt
d
ta
t
&&r&rrrr
r====
∆∆
=→∆
VVV
2
2
0lim
[ ]22 сек
м
време
должинаa =
=
r
17
Забрзување при координатен начин назадавање на движењето на точкаЗабрзување при координатен начин на
задавање на движењето на точка
Vr
ar
М
Oi
j
k r
rdt
rd
dt
da &&r
rrr
r==== V
V2
2
rdt
rd
dt
da &&r
rrr
r==== V
V2
2
кajaiaazyx
rrrr++= кajaiaa
zyx
rrrr++=
кVjViVazyx
r&r
&r
&r++= кVjViVa
zyx
r&r
&r
&r++=
кzjyixar
&&r
&&r&&
r++= кzjyixa
r&&
r&&
r&&
r++=
222
zyxaaaaa ++==
r 222
zyxaaaaa ++==
r
косинуси
инасочувачк
косинуси
инасочувачкa
axa x=
∧,cos
a
axa x=
∧,cos
a
aya
y=
∧,cos
a
aya
y=
∧,cos
a
aza z=
∧,cos
a
aza z=
∧,cos
18
О
−
+
М
М1
Пресметување на векторот на забрзување на точка со неговите проекции поприродните оски.
Природни оски – тоа се оски на подвижен правоаголен координатен системсо почеток во точката М која се движи.
Оските се насочени на следниот начин:
Забрзување при природен начин назадавање на движењето на точкаЗабрзување при природен начин на
задавање на движењето на точка
19
О
−
+
М
М1
Оската Мτ е во правец на тангентата од траекторијата во позитивна насокана криволиниската координата. Во граничен случај кога t тежи кон нуларамнината на векторите на тангентата на траекторијата поминува вооскулаторната рамнина.
τ
Оската Мn е во правец на главната нормала насочена кон вдлабнататастрана на траекторијата.
n
Оската Мb е нормална кон првите две и со нив го формира природниоттриедар.
b
•Тангентата и нормалата ја градат оскулаторната рамнина
•Тангентата и бинормалата ја градат ректификационата рамнина
•Нормалата и бинормалата ја градат нормалната рамнина
20
M
N
TB
III
III
IIIIII
Оскулаторна рамнина
Нормална рамнина
Ректификациона рамнина
21
О
−
+
М
М1
Како забрзувањето лежи во допирната рамнина, тогаш проекцијата навекторот на забрзувањето на бинормалата е рамно на нула.
τ
nb
На таков начин за забрзувањето ќе имаме
22
ијаконтингенцнаагол− ијаконтингенцнаагол−
ta
t ∆∆
=→∆
Vr
r
0lim
ta
t ∆∆
=→∆
Vr
r
0lim
dt
dVr
=dt
dVr
= ;τrr
TN ana += ;τrr
TN ana +=
( ) ( )ttt VVVrrr
−∆+=∆ ( ) ( )ttt VVVrrr
−∆+=∆( )tV
r( )tV
r
( )tt ∆+Vr
( )tt ∆+Vr
( )tt ∆+Vr
( )tt ∆+Vr
ϕ∆ϕ∆
;t
acp ∆
∆=
Vr
r;
ta
cp ∆∆
=Vr
r
ϕ∆ϕ∆
Vr
∆Vr
∆
Vrr
∆cp
a Vrr
∆cp
a
рамнина
допирната
вoлежиacp
r
рамнина
допирната
вoлежиacp
r
ММ
М1М1
OO
23
ta
tT ∆
∆=
→∆
τV0
limt
at
T ∆∆
=→∆
τV0
lim ;dt
dV= ;
dt
dV=
1sin
lim0
=ϕ∆
ϕ∆
→ϕ∆
1sin
lim0
=ϕ∆
ϕ∆
→ϕ∆
tt ∆−ϕ∆
=
→ϕ∆→∆
VV cos1
00
lim tt ∆−ϕ∆
=
→ϕ∆→∆
VV cos1
00
lim
k⋅= 2V k⋅= 2V
ta n
tN ∆
∆=
→∆
Vlim
0 ta n
tN ∆
∆=
→∆
Vlim
0
0≡B
a 0≡B
a
tt ∆−
=→∆
VV1
0lim tt ∆
−=
→∆
VV1
0lim
tt ∆ϕ∆
=
→ϕ∆→∆
sin1
00
limV
tt ∆ϕ∆
=
→ϕ∆→∆
sin1
00
limV
1
t 00
sin s
t slim∆ →∆ϕ→
∆ϕ ∆ ∆ϕ= ⋅ ⋅ = ∆ ∆ ∆ϕ
V1
t 00
sin s
t slim∆ →∆ϕ→
∆ϕ ∆ ∆ϕ= ⋅ ⋅ = ∆ ∆ ∆ϕ
V
ϕ∆ϕ∆
⋅∆
ϕ∆⋅
∆∆
⋅=
→∆→ϕ∆
→ϕ∆→∆
→ϕ∆→∆
sinlimlimlim
00
00
1
00
ttt st
sV
ϕ∆ϕ∆
⋅∆
ϕ∆⋅
∆∆
⋅=
→∆→ϕ∆
→ϕ∆→∆
→ϕ∆→∆
sinlimlimlim
00
00
1
00
ttt st
sV
kds
d
ss
≡ϕ
=∆
ϕ∆
→∆lim
0
kds
d
ss
≡ϕ
=∆
ϕ∆
→∆lim
0
- Кривина накрива во точка М- Кривина накрива во точка М
;2
ρ=
V;
2
ρ=
V
24
arar
NarN
ar
атраекторијнакривинанарадиус− атраекторијнакривинанарадиус−
TaTa
ndt
da
rrr
ρτ
2VV
+= ndt
da
rrr
ρτ
2VV
+=TarT
ar
k
1=ρk
1=ρ
-Покажува промена на брзината по големина-Покажува промена на брзината по големина
Na Na
ММ
ОО
22
NTaaa += 22
NTaaa +=
-Покажува промена на брзината поправец
25
vr
.τr&rsv ====
.)(dt
dsss
dt
d
dt
vda
τττ
r
&r
&&r
&
rr
++++============M
O
s1O
+−
rr
M1
1rr
r∆r
∆sτr
.1sin2
limlim2
00 ρϕρττ ϕ
ϕ============
∆∆s
∆
ds
d ∆
∆∆s
rr
Големина на изводот наединичниот тангенцијаленвектор по криволинискатакоордината:
)].([)( tst ττ rr====
Го претставувамеединичниоттангенцијален вектор какосложена функција:
Извод наединичниоттангенцијаленвектор:
.ds
ds
dt
ds
ds
d
dt
d τττ&==
При ∆s → 0 радиусот на кривината ρ1 → ρ,аголот меѓу радиусите на кривината ∆ϕ → 0
ττττ1 и ττττ, единични вектори на рамнокракиоттриаголник.
∆r∆s
ρ
1ρϕ∆
τr
1τr
1τr
τ∆
ϕ∆
Изводот на единичниоттангенцијален вектор покриволиниската координатае вектор,насочен нормалнона тангентата натраекторијата.
аголот меѓу прирастот наединечниот вектор ∆ττττи самиот вектор ττττпри ∆ϕ → 0, се стреми кон 90о.
Воведуваме единечен вектор n, нормален на тангентата,насочена кон центарот на кривината.
nr
Со користење на векторот n и порано определенотозабрзувањето го претставуваме како сума од вектори: .
2
ns
sar&r
&&r
ρτ ++++==== .
;2
ns
a
sa
N
T
r&r
r&&
r
ρ
τ
====
====Компоненти наВекторот назабрзувањето:
.
;2
ρs
a
sa
N
T
&
&&
====
====
Проекции наЗабрзувањетопоττττ и n оските:
Вкупното забрзување на точка е векторска сума на двекомпоненти:тангенцијално, насочено по тангентата на траекторијатакон страната на наголемување на криволиниската координатаи нормално забрзување,насочено нормално на тангентата кон
центарот на кривината (вдлабната траекторија):
0>s&&
.NT
aaarrr
++++====
Tar
Nar
ar
Модул на вкупното забрзување : ;22
NTaaa ++++====
Kриволиниско движење(втор начин): Го користиме векторскиот израз зазабрзувањето и изразот за брзината при криволиниски начин на задавање:
2626
Движење на точка, исфрлена под агол кон хоризонталата (кос истрел), без учество на отпорот на воздухот(криволиниско движење на точка).
gr
0vr
α x
y
x
O
garr
= ;0 :)( =xx &&
; :)( gyy −=&&
;0=dt
dvx ;gdt
dvy −= ;0=xdv ;gdtdvy −=
;0
0
=∫x
x
v
vxdv ;
00
∫∫ −=tv
vy gdtdv
y
y
;cos00 αvvv xx == ;sin00 gtvgtvv yy −=−= α
;cos0 αvdt
dx= ;sin0 gtv
dt
dy−= α
;cos0 tvx ⋅= α ;2
sin2
0
gttvy −⋅= α
Проектираме по х и уоските
2727
;2sin2sin2
coscos2
0000 L
g
v
g
vvTvx ===⋅=
αααα
Далечината на исфрлување се определува со внесување на времето наисфрлување:
.cos2 22
0
2
αα
v
gxxtgy −=
Со елиминирање на времето од равенкитена движење ја добиваме равенката натраекторијата која е парабола:
g
vT
αsin2 0====
;02
sin2
0 =−⋅=gT
Tvy α
Времето на исфрлање се определувасо прирамнување на координатата y
на нула:
28
- природна координата на точка при рамномерно-променливо движење2
2
00
tatvss T++=
.2
;)2
( ;)( 2
00
0
2
0
0
00
0
tatvss
tatvsdttavds T
t
T
ts
sT
s
s
+=−+=+= ∫∫
После замената на изразот за брзината и соинтегрирање добиваме :
. или dtvdsdt
dsv T========
Брзината на точка исто така е сврзана со природнатакоордината во диференцијална зависност:
-Брзина на точка при рамномернопроменливо движењеtavv T++++==== 0
tavvtavdtadv T
t
T
v
v
t
T
v
v
=−== ∫∫ 00
0
; ;0
0
dtadv T====
Добиениот израз е диференцијална равенка, која лесно се решава соразделување на променливите и интегрирање на левиот и десниот дел:
dt
dvs
dt
dsaT ============ &&&
Го запишуваме изразот за тангенцијалното забрзување сопроекцијата на брзината:
.constsaT ======== &&
Рамномерно-променливо движење на точка – движење на точка потраекторија, при кое тангенцијалното забрзување не се менува поголемина .
28
29
tavv xx += 0
ixT xaaar&&
rrr============
Праволиниско движење на точкаКај праволиниското движење на точката радиусот на кривината ρ=∞,панормалното забрзување е нула.Tангенцијалното забрзување е еднакво навкупното(тоталното)забрзување: ,движењето се одвива по
оска која земаме да се поклопува со Оx-оската.Положбата на точката во секојмомент ќе биде определена со равенката: x=x(t) .Pravoliniskoto dviжewe e ramnomerno ako брзината е константна:
v=vx= x& =const.Toga zabrzuvaweto e ednavo na nula a=0.
Zakonot na patot moже da se opredeli со интегрирање на равенкaта:
dx=Vxdt.
;0
0
0
∫∫ =tx
x
dtvdx Od kade imame tvxx 00 +=
Ako при dviжeweto na toчkata забрзувањето е а=const.,движењето ерамномерно променливо ,од каде се изведува законот на патот на овој начин:
00
⇒= ∫∫t
x
v
v
x dtadv
Со уште една интеграција на ravenkata dx=vx dt се добива законотна патот
30
2
2
0
tgtvx ++++====
ghv 2====
gtvv += 0
∫ ⇒++=t
x dttav0
00 )(x x2
2
00
tatvxx x++++++++====
;00
∫∫ =t
x
x
x
dtvdx Од каде:
Ако е аx>0,движењето е рамномерно забрзано,а за аx<0,рамномерно забавено
Специјален случај на рамномерно забрзано праволиниско движење слободнотопаѓање.Во случај на слободно паѓање ќе имаме:
⇒ gtv = tt
gx ⇒=2
2
а
hgt /2= ⇒g
Za V0=0
- Земјино забрзување
tuka zabrzuvaweto se zamenuva so
31
ОдогравPравецот насоката на на вектерот на забрзување геометриски може да сеопредели со помош на одографот на брзината.Посмтраме неколку положби наточката за разни временски интервали ,со соодветни брзини ,како на подолнатаслика.Го конструираме одографот на брзината и ги определуваме точките N,N1,N2 .....Бидејќи е ,тогаш забрзувањето на подвижната точка М е брзина насоодветната точка N во одографот на брзината.Според тоа ,ако повлечеметангенти на одографот во точките Ni ,го определуваме правецот на векторот назабрзување на соодветната точка( види слика).
var&
r=
o
vr
1vr
1vr
2vr
N1
N2
arM
M1
M2vr 2v
r
N1ar
2ar
одограв
траекторија
О
Забрзувањето ќе биде нула ако движењето ерамномерно праволиниско движење, односно за константна брзина на движењепо правец и интензитет на точката.
Ако брзините за точката М ,коиодговараат за различни интервали навремето,ги пренесеме паралелно насамите себе во прозволна точка О иги поврземе нивните краеви ќедобиеме крива наречена одограф.
32
Велоцида
2vru ++++====rr
avvrurrr
&&r&
r& ++++====++++==== 2
Се користи за графичко определување на интензитетот на забрзувањето. Постапката е следната:1.Повлекуваме во точките1,2,3 на траекторијата тангенти ина нив ги нанесуваме соодветните вектори на брзини,краевите на овие вектори јаопределуваат велоцидата.Тука е прикажана постапката за определување наинтензитетот ,правецот и насоката на тоталното забрзување со помош наодографот и велоцидата.Повлекуваме три тангенти :на траекторијата низ точкатаМ2.,на велоцидата и на одографот низ точките што се совпаѓаат со врвот навекторот .
2vr
Го пренесуваме векторот и низнеговите краеви повлекуваме правципаралелни на другите дветангенти.Страната која е паралелна сотангентата на одографот,го давазабрзувањето по интензитет, правец инасока.Од триаголникот ОМВ седобива:
2vr
So diferencirawe po vreme na gornata
vektorska ravenka se dobiva:
Векторот има правец на тангентатана велоцидата во точката В.
ur&
велоцида траекторија
одограф
33
Класификација на движења на точка.
криволиниско (ρ ≠ ∞)нерамномерно (v ≠ const)≠ 0 [t, t1]≠ 0 [t, t1]4
Свиткување натраекторија(ρ = ∞ при t=t)
нерамномерно (v ≠ const)3.2
секоја траекторијаПромена на насоката надвижење (v = 0 при t=t)
= 0 Во
временскимомент t
3.1
криволиниско (ρ ≠ ∞)≠ 0 [t, t1]2.2
праволиниско (ρ = ∞)нерамномерно (v ≠ const)= 0 [t, t1]≠ 0 [t, t1]
3
секоја траекторијарамномернопроменливосекое= const[t,t1]
5
праволиниско (ρ = ∞)нерамномерно (v ≠const),
Во моментот на времетоt
v = max
= 0 [t, t1]= 0 вовременскимомент t
2.1
криволиниско (ρ ≠ ∞)рамномерно (v = const)≠ 0 [t, t1]= 0 [t, t1]2
праволиниско (ρ = ∞)рамномерно (v = const)= 0 [t, t1]= 0 [t, t1]1
ТраекторијаЗакон на движење
Врста на движење
Tar
Nar
33
34
Кинематика на круто тело – го изучува движењето на цврститетела, кинематика на точка се исползува за добивање на новизависности и формули.
Постојат пет видови на движења на крути тела:1. Транслаторно (лизгач, клип на пумпа, кабина на лифт и други).2. Ротационо(вртливо) (нишало , криваја, кулиса, тркало , обична
врата).3. Рамно (планарно) (тркало на локомотива при тркалање по права
пруга, и други).4. Сферно (жироскоп и други).5. Општ случај на движење или слободно фрлање на ( камен,
небесно тело и други)
Транслаторно движење на круто тело – такво движење при кое било којаправа, цврсто сврзана со телото, останува паралелна сама на себе. Обично транслаторното движење се идентификува со праволинискодвижење на неговите точки, но тоа не е така. Точките и самото тело(центрот на масите на телото) можат да се движат по криволинискитраектории, на пример, движење на кабина на тркала .
34
35
Ox
z
y
sxsz
sy
θθθθy
θθθθx
θθθθz
ПросторПросторПросторПростор- 6
степени на
слобода
y′′′′
x′′′′
z′′′′
O′′′′
РамнинаРамнинаРамнинаРамнина-3
степени на
слободаsx
y
θθθθz
xO
sy
(x , y)
Слободно круто тело во
простор и во рамнина
36
СверноСверноСверноСверно-
рамнинскирамнинскирамнинскирамнински парпарпарпарЦилиндричноЦилиндричноЦилиндричноЦилиндрично-
рамнинскирамнинскирамнинскирамнински парпарпарпар
Неслободни крути тела(примери)
37
Кинематски парови
призматиченпризматиченпризматиченпризматичен ротиренротиренротиренротирен цилиндричен сверичен хеликоиден
типтиптиптип ТТТТ R C S H
СтепениСтепениСтепениСтепени нананана
слободаслободаслободаслобода 1 1 2 3 1
38
Транслаторно движење на круто тело – такво движење при кое било којаправа, цврсто сврзана со телото, останува паралелна сама на себе. Обично транслаторното движење се идентификува со праволинискодвижење на неговите точки, но тоа не е така. Точките и самото тело(центрот на масите на телото) можат да се движат по криволинискитраектории, на пример, движење на кабина на тркала .
A
B
A1
B1
AV паралелна на А1В1
39
1A
ρ
Br
ArBr∆
Ar∆A
X
Y
Z
O
ρ
B1B
Транслаторно движење на круто тело – такво движење при кое било којаправа, цврсто сврзана со телото, останува паралелна сама на себе. Обичнотранслаторното движење се идентификува со праволиниско движење на неговитеточки, но тоа не е така. Точките и самото тело (центрот на масите на телото) можат да се движат по криволиниски траектории, на пример, движење на кабинана тркала .
dt
d
dt
d
∆∆
AB
AВ
rr
rr
=
=
AВ vv = AВ aa =
40
Теорема за транслаторно движење на круто тело – При транслаторнодвижење на круто тело сите негови точки опишуваат идентичнитраектории и имаат временски геометриски исти брзини и забрзувања восекој момент.
C
A
B
A
B
Со радиус-векторот rBA ги поврзуваме двете точки A и B.
Arr
Brr
BArr
во секој временски момент е исполнета векторската равенка: .)()( BABA rtrtrrrr
+=
Arr
Brr
BArr
Во секој времени момент векторот rBA останува постојан по насока и по
големина(растојанието помеѓу точките не се менува).Одкаде: и тоаозначува, дека во секој временски момент положбата на точката A се разликува одположбата на точката B за една иста големина rBA = const, т.е. Траекторијата надвете точки е идентична.
,)()( tconstrtr BA
rrr+=
Ги диференцираме по времето левиот и десниот дел на равенката: и тоаозначува, дека во секој времени момент брзината на точкта A е рамна геометриски(т.е. векторски)со брзината на точката B.
dt
trd
dt
trd BA )()(rr
=
).()( tvtv BA
rr=
Второ диференцирање по времето правиме насоодносот: и тоа означува, дека во
секој времени момент забрзувањето на точката A ерамно геометриски(т.е. векторски) созабрзувањето на точката B.
2
2
2
2 )()(
dt
trd
dt
trd BArr
=
).()( tata BA
rr=
Bvr
Avr
Aa
Bar
40
41
На таков начин, транслаторно движење на круто тело вопотполност е определено со движење на една точка,која припаѓана тоа тело со произволно избран облик.Сите кинематичкипараметри на движење на таа точка (траекторија, брзина изабрзување) се опишуваат со равенки и соодноси од кинематикана точка.
41
42
Ротационо движение на круто тело – движењето при кое сите негови точкисе движат во рамнини , нормални на некоја неподвижна права, и опишувааткружници со центри кои лежат на таа права ја нарекуваме оска на ротација
( вртење). Задавање на ротационото движење –движењето се задава со законот на промена на аголотφ (агол на вртење), кој го прават неподвижнатарамнина P, која проаѓа низ оската на вртење, ирамнината Q, цврсто врзана за телото:
P
Q
ϕ
)(tϕϕ = - Равенка на вртливо движење(ротација)Аголна брзина – големина која се , карактеризира со
брза промена на аголот на вртење.;
;
11 ϕϕϕϕ
∆∆ttt
t
+=⇒+=
⇒
срωϕ
=∆t
∆ - средна аголна брзина во интервалот на времето ∆t,
При условот ∆t → 0 бараме граничнавредност:
ωϕ
====∆t
∆∆t 0
lim ϕϕ
ω &==dt
d - аголна брзина завременски момент t
Ако dφ/dt > 0, тогаш врењето предизвикува наголемување на аголот на вртење ,ако dφ/dt < 0, тогаш вртењето предизвикува намалување на аголот на вртење.
Аголно забрзување – големина што се карактеризира со брзапромена на аголната брзина.
;
;
11 ωωωω
∆∆ttt
t
+=⇒+=
⇒
срεω
=∆t
∆- средно аголно забрзување во интервал на времето ∆t,
кога ∆t → 0 барамегранична вредност:
εω
=∆t
∆∆t 0
lim ϕωω
ε &&& ===dt
d - вистинското аголно забрзувањево момент на времето t
ω
Аголното забрзување е нацртано со црвена стрелка во насока на наголемувањена аголот. 0>ϕ&&
ε
43
.2
2
00
tt εωϕϕ ++=
;)( ;0
0
0
∫∫ +==t
dttddt
dεωϕ
ϕω
ϕ
ϕ
.0 tεωω +=
; ;00
∫∫ ==t
dtddt
dεω
ωε
ω
ω
.const=ε
Рамномерно-променлива ротација – аголното забрзувањеостанува непроменето по големина.
.0 tωϕϕ += ; ;
00
∫∫ ==t
dtddt
dωϕ
ϕω
ϕ
ϕ .const=ω
Ако d2φ/dt2 и dφ/dt се со ист предзнак, тогаш брзината се зголемува помодул и ротацијата се нарекува забрзана (лачните стрелки на аголнатабрзина и аглното забрзување насочени на една страна),ако d2φ/dt2 и dφ/dt се со различен знак, тогаш брзината се намалува по умодул и ротацијата е в забавена(лачните стрелки на аголната брзина иаголното забрзување насочени во спротивни страни).
43
44
Брзина на точка при ротација на круто тело – траекторијата на точката позната ( R –растојание на точката до оската на вртење), може да се примени формулата заопределување на брзина на точка при природен начин на движење:
O
.sv &====
+-
sφ
R
Природната координата еповрзана со радиусот накружницата: .Rs ϕ=
Тогаш проекција на брзината натангентата на кругот ќе биде: .)( RR
dt
dR
dt
dv ω
ϕϕ ===
Во колку и понатаму работиме со модулот на аголната брзина после нејзиноприкажување со лачна стрелка формулата за пресметка се прикажува со изразот замодулот на брзината . Вектор на брзина е нормален на радиусот вонасока на лачната стрелка на аголната брзина .
Rv ⋅= ωω
vr
Како следува од формулата за брзина на точка таа е пропорционалнана растојанието до оската на вртење (радиус на вртење).
Забрзување на точка при ротација на круто тело– траекторијата на точката позната,може да се примени формула за определување на забрзување на точка при природенначин на движење:
. ;2
ρs
asa NT
&&& ========
Проекциите на забрзувањето по нормала и тангента:
.)(2
2
2
2
RRdt
dR
dt
daT ε
ϕϕ === .
1)(
1 222
RRdt
d
RR
dt
daN ω
ϕϕ
ρ=
=
=
Nar
Во колку и понатаму работиме со модул на аголното забрзување после неговотопретставување со лачна стрелка формулата за изразување на тангенцијалното забрзување е:
и векторот на тоа забрзување се нарекува ротационо забрзување, насоченонормално на радиусот во насока на лачната стрелка на аголното забрзување. .
RaT ⋅⋅⋅⋅==== ε
ε
Tar
Нормалното забрзување е насочено по радиусот кон оската на ротацијанезависно од насоката на лачната стрелка на аголната брзина , не ни кажува за насоката налачната стрелка на аголното забрзување.
2 Ra N ⋅⋅⋅⋅==== ω
Како што следува од формулите двете забрзувања на точката се пропорционални сорастојанието од неа до оската на вртење (радиус на вртење).
Вкупното забрзување на точка, како и порано, е векторска сумана тие забрзувања:
.NT aaarrr
+=
ar
44
45
ω
ε
ωr
εr
ω
ε
ωr
εr
k
z
k
z
kz
rrεε = kz
rrωω =
Позитивна насока на оската z може да се зададесо помош на единечниот вектор k. Тогаш векторотна аголната брзина и аголното забрзување можеда се представат како:
каде ωz, εz – се проекции на соодветните векторина z оската.
Брзина и забрзување на точка при ротација како векторскипроизвод. Ги претставуваме аголната брзина и аголното забрзувањекако вектори, насоката по оската на вртење на таа страна, каделачните стрелки на овие големини кажуваат дека вртењето е противчасовата стрелка.
.2
N
=
=
ωε
β arctga
aarctg
T
Аголот меѓу насоката на вкупното забрзување не зависи од радиусот ие рамен:
k k
46
Брзина на точка при вртливо движење како векторски производ –се определува со изразот , кој ја опишува и големината инасоката на брзината.
rvrrr
×= ω
ω
ωr
r
Големината (модулот) навекторот изнесува:
).,sin( rrvrrrrr
ωω ⋅=
RR
На таков начин: .Rv ⋅= ω
Насоката на векторот на разгледуваниот векторски производ:по определување на векторскиот производ – нормално на рамнината ,којапроаѓа низ зголемениот вектор, насочен во таа страна, од каде завртувањетона првиот вектор кон вториот за најмал агол и секогаш да врти обратно одчасовата стрелка;
v
по правилo на десната рака – при совпаѓање на поголемиот палец со првиотвектор, останатите – со вториот вектор, завртување на поголемиот палецнормално на дланката ја покажува насоката на векторскиот производ.
На таков начин , вистинскиот векторски производ од аголната брзина ирадиус-векторот во потполност ја определуваат големината инасоката на брзината на точката при вртливо движење(ротација) восообразност со порано добиените резултати.
1
2
46
47
T rarrr
×= ε
Големината(модулот)на тојвекторски производ ќе биде:
).,sin( T rrarrrrr
εε ⋅= На таков начин: .T Ra ⋅= ε
R
Насоката на векторот на разгледуваниот векторски производможе да се утврди по определувањето на векторскиотпроизвод или по правилото на десната рука
На таков начин , вистинскиот векторски производ на аголнотозабрзување и радиус-векторот на површината ја определуваатголемината и насоката на вртливото забрзување на точката восогласност со порано добиените резултати.
ε
εr
R
Tar
ε
εr
R
Тангенцијалното забрзување на точка како векторски производ – сеопределува со раенката , која ја дава големината инасоката на вртливото (тангенцијално) забрзување.
48
Нормално забрзување на точка како векторски производ – сеопределува со изразот , кој ја опишува големината инасоката на нормалното забрзување
varrr
××××==== ωN
)(N rarrrr
××××××××==== ωω
Големината (модулот) навекторскиот производ:
).,sin( N vvarrrrr
ωω ⋅⋅⋅⋅====
векторот на брзината на точката е нормален на рамнината во којалежи векторот на аголната брзина.
На таков начин :
.)( 2RRvaN ωωωω =⋅=⋅=
Насоката на векторот на разгледуваниот векторски производ може дасе установи по определување на векторскиот производ или поправило на десната рака.
Реално , векторскиот производ од аголната брзина и векторот набрзината на точката во целост ја определуваат големината и насоката нанормалното забрзување на точката во согласност со порано добиенитерезултати.
Тој векторски производ може да се напише како:
1
ω
ωr
R
vv
ω
ωr
R
vv
осa
ω
ωr
r
R
vv
Nar
49
Формула на Ојлер – со помош на векторскиот производ за брзината наточката може да се добие општ аналитички израз за таа брзина прекукоординати за разгледуваната точка при произволна положба на оскатана ротација во просторот:
ω
ωr
rr
R
vr
x
y
z
xy
z
kxyjzxiyz
zyx
kji
rv yxxzzyzyx
rrr
rrr
rrr)()()( ωωωωωωωωωω −+−+−==×=
Од каде добиваме аналитички формули запроекциите на брзината на точката: .
;
;
xyv
zxv
yzv
yxz
xzy
zyx
ωω
ωω
ωω
−=
−=
−=
Преобразување на ротациони движења –измената на големината и насоките на аголнитебрзини на ротирни тела во различни преноснимеханизми :
Фрикциона спрега:
R1
R2
ω1ω2
Брзините кои влегуваат во контактот на точките натркалата при отсуство на пролизгување рамни:
. ; 221121 RRvv ωω == Од каде:
1
2
2
1
R
R=
ωω
1v2v
Преносниот однос, карактеризира измена на брзината наротација при пренос на ротацијата од одно тело кон другоодносот на аголната брзина на погонскот тркалокон аголната брзина на излезното: 1
2
2
1
21R
Ri ±±±±====±±±±====−−−− ω
ω49
50
Леонард Ојлер (1707 –1783) докажал дека брзината наротација на точка од тела можеда се определи од векторскиотпроизвод на аголната брзина ирадиус-векторот на таа точка.
Леонард Ојлер (1707 –1783) докажал дека брзината наротација на точка од тела можеда се определи од векторскиотпроизвод на аголната брзина ирадиус-векторот на таа точка.Во 19 година дошол во Русија,каде во 26 година станалакадемик на Руската Академијана Науки, после 15 години,заминал во Германија.
Во 19 година дошол во Русија,каде во 26 година станалакадемик на Руската Академијана Науки, после 15 години,заминал во Германија.
Се вратил пак во Русија кај Екатерина II и создал големаРуска школа по математикаСе вратил пак во Русија кај Екатерина II и создал големаРуска школа по математика
51
R1
R2
ω1ω2
1v2v
1
2
2
1
R
R=
ωω
Ременасти и верижни преносници –. Обемната брзина на погонскиот во контактсо точката на површината на запцитемора да е еднаква.Добиените соодносиостануваат реални и во случај навнатрешно спрегнување
R1R2
ω1ω2
1
2
2
1
z
z=
ωω
Радиусите на поделителните кругови сврзани се со чекорот назабите со соодносотите:
Со искористување на бројот на забите за секој од запчениците имаме:
hzR 112 =π hzR 222 =π
Запченици во спрега – бројот на запците на секој одзапчениците е пропорционален на радиусот назапченикот. Обемната брзина на погонскиот во контактсо точката на површината на запците мора да ееднаква.Добиените соодноси остануваат реални и вослучај на внатрешно спрегнување. Преносниот односпри внатрешна спрега има знак плус(+),а принадворешно знак минус(-)
52
Рамно(комплано) движење на тврдо тело – движение при кое секојаточка од телото се движи во рамнина паралелна со некоја неподвижнарамнина . Пресекот на телото со една од таквите рамнини е рамнинска фигуракоја останува во рамнина при движење на телото.
Теорема за комплано движење на круто тело компланодвижење на круто тело однозначно се карактеризира соопределување на движењето на рамнинска фигура, формирана со сечење на телото со една од паралелнитерамнини .Бираме две точки на произволни два пресека нателото, кои се наоѓаат на една нормала кон тие површини :
M1
M2
Спроведуваме кон секоја точка радиус-вектор од неподвижната точка O и ги поврзувамемеѓу себе со векторот M1M2:
O
1r
2r
21MM
2112 MMrr +=rr
При рамно движење на телото векторот M1M2 не се менува по големина, останувапаралелен сам на себе (се движи транслаторно) и точките на тој вектор опишуваатидентични траектории и имаат во секој момент еднакви брзини забрзувања:
. ; и , );M( ; 1221
2
22
2
122112 aa
dt
rd
dt
rdvvconstM
dt
rd
dt
rd rrrr
rrrr
=====
Така при рамно движење на тело движењето на секоја точка од една од рамните фигури гоопределува движењето на соодветните точки, кои се наоѓаат во другите со нив паралелнирамнини.
Последица: Во колку положбата на рамната фигура еднозначно е определена со положбатана нејзини две точки или отсечка(права), спроведена низ тие точки, тогаш рамнотодвижење на тврдото тело се определува со праволиниско движење на отсечката, којаприпаѓа на еден од пресеците на телата од паралелните рамнини.
52
53
Разложување на рамното(компланото) движење на рамнинскафигура на транслаторно и ротационо(вртливо) движење – рамнафигура или отсечок од права можно е да се пренесе од една во другаположба без многу пресметковни начини, со менување наизменично натранслаторно и вртливо(ротациононо) движење меѓу себе, а исто со бирањена различни траектории и точки на ротација(полови)во рамнината:
Равенка на движење на рамнинска фигура: Бираме запол било која точка , на пример, A, транслаторниот делна движење ќе биде опишан со равенки на движење натаа точка. Вртливото движење го опишуваме соравенки за промена на аголот на вртење во круг околуполот:
).(
);(
);(
t
tyy
txx
AA
AA
ϕϕ =
=
=
Равенката на движење на било која точка одрамнинската фигура , положбата која сезадава со координати на локалниот избрансистем за пресметка, поврзани со фигуратададен е со:
).(cos)(sin)(
);(sin)(cos)(
tytxtyy
tytxtxx
CCAC
CCAC
ϕϕ
ϕϕ′+′+=
′−′+=
На таков начин, компланото движење се состои од две движења: транслаторно и вртливо(ротационо), и секогаш може да се разложи наовие две движења. При тоа транслаторното зависи од изборот на полот итраекторијата на движење, а вртливото се карактеризира со ротација во кругза избраниот пол , не зависи од изборот на полот (за било кој пол големинатана аголот на вртење и насоката на вртење се еднакви).
53
A
B
B1
A2
A1
A
B
x
xA
y
yA
ϕ
y’
C
x’ C
y’ C
x’
xC
yC
54
A
B
СD
Независност на аголната брзина и аголното забрзување на рамнинскатафигура од изборот на полот – Избираме две произволни конечни прави коија одсликуваат положбата на рамнинската фигура и два пола(А и В ) направите:
Аглите на наклонот на правите кон хоризонталната оска серазлични и сврзани меѓу себе со изразот:ϕA
ϕB
ϕB
ϕA
α
.)()( αϕϕ += tt AB
Го диференцираме горниот израз :).( ,
)()(constα
dt
td
dt
td AB ==ϕϕ
Од каде следува дека аголните брзини на двете прависе еднакви:
.DBCA ωω =
После повторно диференцирање следува декааголното забрзување на двете прави е исто такаеднакво: .
dt
d
dt
d DBCA ωω= .DBCA εε =
На таков начин , аголната брзина и аголното забрзувањена рамнинската фигура не зависат од изборот на полот тиеможат да се представат во вид на вектори,нормални нарамнинската фигура:
kzrr
ωω =
kz
rrεε =
kr
z
На таков начин , брзината на точката B е рамна на геометриската(векторската) сума од брзината на полот A и брзината од ротацијата наточката B околу полот A. 54
55
Теорема за сложување на брзината – брзината на било која точка одрамнинската фигура рамна е на геометриската(векторската) сума одбрзините на рамнинската фигура и брзината од кружното движење наточката околу полот .
Радиус-векторите на точките A и B сврзани меѓу себе со соодносот:
).()()( trtrtr ABAB
rrr++++====
.)()()(
dt
trd
dt
trd
dt
trd ABAB
rrr
++++====
)(tvB
r)(tvA
r)(tvBA
r
Ја диференцираме горната равенка :
Второ сложување е на брзинатаод ротацијата во круг на точката B
околу полотA:
. );()()( constrtrttv ABABBA ====××××====rrrr
ω
На таков начин , брзината на точката B рамна е нагеометриската сума на брзината на полот A и брзината одротацијата на точката B окплу полот :
A
B
O
Brr
Arr
ABrr
Avr
BAvr
ω
Bvr
x1
.BAAABAB vvrvvrrrrrr
++++====××××++++==== ω
Avr
Последица 1 – Проекциите на брзините на точките на рамнинската фигурана оската,која проаѓа низ таа точка се еднакви .
Ја проектираме векторската равенка на оската x1:
).( , :)( 1111 xvvvx BAAxBx ⊥⊥⊥⊥====r
56
Последица 2 – Краевите на векторите на брзините на точките одрамнинската фигура, кои лежат на една права, исто така лежат на еднаправа и ја делат таа права на делови пропорционални на растојанијатамеѓу точките.
Краевите на векторите на брзините од ротација околу точките B и A лежат наедна права и ја делат на делови пропорционални на растојанијата меѓу точките:
Краевите на векторите на брзините на полот A и во точките B и C истотака лежат на една права.
. , ,Ab
Ac
AB
AC
v
vACvABv
BA
CACABA ==== ωω
A B C
Avr
Avr
Avr
BAvr
CAvr
b
c
Bvr
Cvr
Лесно се докажува дека од сличноста на триаголниците, што гиправат краевите на векторите на брзините на точките B и C коиисто така лежат на одна права , и ја делат таа права на делови,пропорционални на растојанијата меѓу точките.
57
Моментален пол на брзина (МПБ) – При движење на рамнинска фигура восекој временски момент постои точка, неподвижно (цврсто) сврзана сорамнинската фигура, за која брзината во секој момент е еднаква на нула.
Нека е позната брзината на една од точките на фигурата и аголнатабрзина при кружна ротација околу таа точка:
A
Avr
ωПишуваме векторски сооднос за брзината на некоја точка P
согласно теоремата за сложување на брзините: .PAAAPAP vvrvvrvrrrr
++++====××××++++==== ωЗадаваме големинa на брзината за точката P да е рамна на нула:
.0====PvrТогаш добиваме: .AAPPA vrv
rrrr−−−−====××××==== ω
Тоа ни дозволува да ја најдеме положбата на МПБ (на точката P), имено: МПБ треба да се наоѓа на нормалата кон брзината наточката A, со насока на аголната брзина , на растојание:
.ωAvAP =
P
PAvr
Т.е. Брзината од ротација на саканата точка треба да биде рамна по модул собрзината на точката A, паралелна со таа брзина и насочена на спротивнатастрана.
Ако е положбата на МПБ најдена, брзинатана било која точка од рамнинската фигураможе да биде лесно определена со помошна изборот на полот во МПБ . Во тој случајвекторскиот израз на теоремата засложување на брзините се изродува вопозната зависност на брзината одрастојанието до центарот на ротација :
; );0( ;
; );0( ;
CPvvvrvv
BPvvvrvv
CPCPPCPC
BPBPPBPB
⋅⋅⋅⋅============××××++++====
⋅⋅⋅⋅============××××++++====
ωω
ωωrrrvrr
rrrrrr
B
Bvr
ω
P
CCvr
57
58
Со други зборови може да потврдиме дека во секој временски моменттелото не прави никакво друго движење, освен ротационо движењево круг околу МПБ.
Примери за користење на МПБ за определување на брзината наточки од рамнинската фигура – Во колку при движење нарамнинска фигура во секој временски момент постои точка(МПБ), цврсто поврзанa со рамнинската фигура, во која брзинатае нула во секој момент, тогаш при определување на брзината тааточка ќе игра улога на центар на ротација во даден временскимомент.
Понатака објаснетата процедура ќе биде разгледана низ процедуриза определување на брзините на примери:
59
1 Дадено : vA, положбата наточките A, B, C.Да се најде:VBиVC
B
C
AAvr
1) МПБ се наоѓа во пресекот нанормалата на векторот vA со
подлогата.2) Ја определуваме аголнатабрзина:
.
;
CPv
BPv
C
B
⋅=
⋅=
ω
ω
.AP
vA=ω
ω
P
3) Со соединување на точките Ви C соМПБ ги определуваме брзините на тиеточки:
Cvr
Bvr
Стрелката на аголната брзинанасочена во насока на векторот налинеарната брзина vA .
Векторите на линеарните брзини наvB и vC насочени се во насока на стрелката нааголната брзина
2Дадено: vA и ω, положбата на точкитеA, B, C.Да се најде:VBи VC
1) МПБ се наоѓа на нормалaтa на векторот vA .
2) Го определуваме растојанието АP :
.
;
CPv
BPv
C
B
⋅=
⋅=
ω
ω
.ωAvAP =
3) Со соединување на точките В и C соМПБ ја определуваме брзините на тиеточки:
Стрелката на аголната брзина насочена вонасока на векторoт на линеарната брзина vA
.
Векторите на линеарните брзини vB и vC
насочени во насока на стрелката на аголнатабрзина .
ω
B
C
AAvr
P Cvr
Bvr
ω
60
3
1) МПБ се наоѓа во пресекот нанормалите на векторите vAи vB
2) Ја определувамеаголната брзина :
.CPvC ⋅= ω
Векторите на линеарнатабрзина vС насочена спремастрелката на аголната брзина
ωCv
B
C
A Av
Bv
P
.BP
v
AP
v BA ==ω
Лачната стрелка на аголната брзинанасочена спрема векторите налинеарните брзини на vA и vB.
3) Со соединување на точкaтa C
со МПБ ја определуваме брзината наточка С:
4
1) МПБ се наоѓа во пресекот на нормалата навекторот vА и нормалата на тангентата во В
2) Го определуваме растојаниетодо МПБ:
.CPv C ⋅= ω
Векторите на линеарнaт брзинa vС
насоченa спрема стрелката на аголнатабрзина.
ωCv
.AP
vA=ω
Лачната стрелка е дадена кружно околуМПБ во насока на vA..
3) Со соединување на точката C соМПБ ја определуваме брзината наточката:
B
C
A Av
P
Дадено: vAи vB, положбата на точките A, B, C,Да се најдe: vC
Дадено: vA,траекторија наточката В ,положбата наточките A, B, C.Да се најде: vC
61
Примери за користење на МПБ за определување на брзини на точки одрамнинска фигура
5Дадено: vA, vB, vAvB, положбата на точките A, B, C.Да се најде: vC
1) МПБ се наоѓа на пересекот на нормалите повлечени од векторитеvA и vB. Но како што се гледа пресекот е во бесконечност.
2) Аголната брзина при ротација е нула (моментална транслација):
.BAC vvvrrr
========
.0=∞
=∞
= BA vvω
3)Брзината на точката C рамна на геометриските брзини на точкитеA и B:
Векторот на брзината на точката C по правец паралелен со векторот набрзината на точките A и B (во иста насока ).
B
C
AAvr
Bvr
Cvr
61
62
6Дадено : vA, vB, vAvB, положба на точките A, B, C.Да се најде: vC
1) МПБ се наоѓа во пресекот на нормалите кон векторите на брзините vA и vB. Овие нормали се слеваат во една линија.
2) Ја определуваме положбата наМПБ(спроведуваме линија низ краевитена векторите vA и vB) и аглна брзина:
.CPvC ⋅= ω
.AB
vv
BP
v
AP
v
BA
BA
−=
===ω
3) Со соединување на точката C со МПБ ја определувамебрзината на таа точка:
Лачната стрелка нааголната брзина насоченаво насокана векторите налинеарните брзини vA ,vB.
Векторот на линеарната брзина vC насочен вонасока на стрелката на аголната брзина .
ω
BC
A Avr
Bvr
P
Cvr
Последица – Краевите на векторите на забрзувањата на точките од рамнинскатафигура,исто така лежат на една права, и ја делат неа на одсечки, пропорционални на растојанието меѓу точките.
A
B C
Aar
Aa Aar
BAar
CAar
Краевите на векторите назабрзување на точките aBA иaСAлежат на една права Abc ија делт неа на отсечкипропорционални наРастојанието меѓу точките:
.
,
42
42
ACa
ABa
CA
BA
ωε
ωε
+=
+=
Краевите на векторите на забрзување заполот A,кои дејствуваат во точките B и C, ист лежат на една права.
Bar
Car
ε
Лесно се докажува дека со сличност натријаголниците дека краевите на векторите на вкупнитезабрзувања на точките B и C исто така лежат на една праваи ја делат таа права на делови пропорционални на растојанијатамеѓу точките.
a
b
63
7 Дадено: vA, vB, vAvB, положбата на точките A, B, C.Да се најде: vC
1) МПБсе наоѓа во пресекот на нормалите на векторите vA и vB. Тие линии сеслеваат во една линија.
2) Ја определуваме положбата на МПБ(повлекуваме линија низкраевите на векторите на брзините vA и vB) и аголната брзина:
.CPvC ⋅= ω
.AB
vv
BP
v
AP
v
BA
BA
+=
===ω
3) Ја соединуваме точката C со МПБ и ја определуваме брзинатаНа таа точка:
Лачната(крива) стрелка на аголната брзина нацртана спрема вртењетона векторите на линеарните брзини vA ,vB.
Векторот на линеарната брзина vC насочена спремастрелката на аголната брзина .
B
C
A Avr
Bvr
Cvr
P
ω
63
64
Теорема за сложување на забрзувањата – забрзувањето на било којаточка од рамнинската фигура ќе биде рамна на геометриската сумана забрзувањето на полот и забрзувањата на тaa точкa за ротацијаво круг околу полот.
Брзината на точките A и B сврзани меѓу себе со векторската равенка:
.ABABAAB rvvvvrrrrrr
××××++++====++++==== ω
Ја диференцираме погорната равенка по времето t:
).( ABA
BAAB rdt
da
dt
vd
dt
vd
dt
vd rrrrrr
××××++++====++++==== ω
Второ збирно диференцирање го правиме како производ на две функции:
.)( BAAB
AB
ABAB vrdt
rdr
dt
dr
dt
d rrrrr
rrr
rr××××++++××××====××××++++××××====×××× ωεω
ωω
Го добивме збирот од тангенцијалното и нормалното забрзување заразгледуваната точка во однос на полот. На таков начин забрзувањето нарамнинска фигура ќе биде:
.NT
BAABABAAB aaaaaarrrrrr
++++====++++++++====
65
Моментален пол на забрзување (МПЗ) – При движење на рамнинска фигураво секој временски момент постои точка, неподвижно сврзана соповршината на фигурата, за која забрзувањето во секој момент е еднаквона нула.
Нека ни е познато забрзувањето за една од точките на еднафигура, аголната брзина и аголното забрзување при ротацијаоколу таа точка:
Формираме векторска равенка за забрзувањето на некоја точкаQ согласно теоремата за собирање на забрзувањата : .QAAQAAQAQ aavraa
rrrrrrrr++++====××××++++××××++++==== εω
За дадена вредност на забрзувањето на точката Q рамна нула: .0====Qar
Тогаш добиваме : .AQA aarr
−−−−====
Тоа ни дава можност да ја најдеме положбата на МПЗ (точката Q), имено: МПЗтреба да се наоѓа на правата, која прави агол β со векторот на забрзување наточката A, повлечена во насока нааголното забрзување , на растојание: .
42 ωε += Aa
AQ
Т.е. Забрзувањето на саканата точка при вртење во круг околу полоттреба да биде еднакво по модул со забрзувањето на точката A, паралелно на тоа забрзување и насочено во спротивна насока .
A
Aar
εω
Аголот меѓу векторот на вкупното забрзување на точкатапри ротација во однос на центарот(полот) е еднакво :
.2ω
εβ arctg=
Q
Aar
QAar
β
β
65
66
На таков начин, при определување на забрзувањата на точките одрамнинската фигура во даден временски момент може да се смета декателото прави вртливо движење во круг околу МПЗ.Забелешка: Во даден момент телото се врти во круг околу МПБ, чијаположба во општ случај не мора да се совпадне со положбата на МПЗ.
; );0( ;
; );0( ;
42
42
CQaaavraa
BQaaavraa
CQCQCQQCQC
BQBQBQQBQB
⋅+===×+×+=
⋅+===×+×+=
ωεωε
ωεωεrrrrrrrr
rrrrrrrr
BBar ε
Q
CCarβ
β
Ако е најдена положбата на МПЗ , забрзувањето на било која точка одрамнинската фигура може да биде лесно определено со помош на изборот наполот во МПЗ . Во тој случај векторскиот израз на теоремата за сложување назабрзувањата се изродува во извесна зависност на вкупното забрзување одрастојанието до центарот на ротација:
67
Примери за користење на МПЗ за определување на забрзувањата наточки од рамнински фигури
Дадено: aA, ε, ω, положбите на точките A, B.Дасе најде: aB
1
B
Aar
ε
A
Barβ
ε
βQ
1) МПЗ се наоѓа на правата која прави агол со векторот назабрзување на точката A, во насока на аголното забрзување, на растојание:
.2ω
εβ arctg=
2) Со соединување на точката B со МПЗ го определувамезабрзувањето во точкат В:
.42 ωε +
= AaAQ
.42 QBaB ωε +=
Ако е ε = 0 и ω ≠ 0, тогаш β = 0 и Забрзувањата на ситеточки ќе бидат насочени во точката Q (МПЗ).
.2ωAaAQ=
Ако е ε ≠ 0 и ω = 0, тогаш β = 90о иЗабрзувањата на сите точки ќе бидат нормални на отсечката која сесоединува со МПЗ и точката, и насочени спрема насоката на аголнотозабрзување.
.εAaAQ =
68
Bar
B
Aar
A
C
2 Дадено: aA, aB, положбите на точките A, B, C.Да се најде: aC
3) МПЗ се наоѓа во пресекот на правите, завртени за агол β од векторите назабрзувањата на точките A и B во насока на вртење на аголното
забрзување:
.CQ
a
BQ
a
AQ
a CBA ==
4) Со соединување на точката C со МПЗ и определување на забрзувањето натаа точка со еден од соодносите:
и со насочување на векторот на забрзување под агол β кон отсечката QC вонасока на аголното забрзување.
1) Ја запишуваме векторски теоремата за сложување назабрзувања .Го наоѓаме забрзувањето на точката B соротација во круг на површината околу A:
.BAAB aaarrr
++++====
2) Го определуваме аголот β меѓу векторот aBA и правата AB насочено вонасока на аголното забрзување:
BAar
Aar
β
Car
β
ε
Q ε
β
β
69
vA
BAAB vvvrrr
++++====√√√√√√√√√√√√
? vB?
⊥⊥⊥⊥BA
µµµµv((((m////s////mm))))-размеренразмеренразмеренразмерен коефициенткоефициенткоефициенткоефициент зазазазабрзинабрзинабрзинабрзина a
b
p
vB====µµµµv pb，，，，p→→→→b
vBA====µµµµvab，，，，a→→→→b
B
A
План на брзини
ω = константна
ω
⊥⊥⊥⊥BA
BAvr
Bvr
Avr
VA==== µµµµ v pa
70
B
AT
BA
N
BAAB aaaarrrr
++=aB
µµµµa ((((m////s2////mm))))-размерен коефициент за
забрзување
ωωωω2LAB √√√√√√√√
aB====µµµµa p′′′′b′′′′, p′′′′→→→→b′′′′
?
√√√√
aA
B→→→→A
?
⊥⊥⊥⊥BA
b′′′′
b″″″″ a′′′′
p′′′′
aBA====µµµµa a′′′′b′′′′,a′′′′→→→→b′′′′
aTBA====µµµµa b″″″″b′′′′, b″″″″→→→→b′′′′
n
BAa
План на забрзување
ω
NBAar
TBAar
Bar
Aar
BAaraN
BA=µµµµaa′′′′b″″″″
aA====µµµµa p′′′′a′′′′,
71
Сферно движење на круто тело – одна од точките на телото остануванеподвижна за време на движењето. Остатите точки се движат по сферичниповршини чии центри се совпаѓаат со неподвижната точка.
Ојлерови агли – се користат за опишување на сферното движење накрутото тело со помош на два координатни системи:
x
y
z
J ξξξξ
ηηηη
ζζζζ
Oxyz – неподвижен координатен систем со почеток вонеподвижната точка,Oξηζ - подвижен координатен систем, цврсто сврзансо телото со почеток во истата почетна точка.
O
Положбата на подвижниот координатен системможе да биде однозначно зададено со тритеагли:
1) ψ - агол на вртење на системот Oξηζ во кругоколу оската z – агол на прецесија;
2) θ – агол на вртење на системот Oξηζ во круг во нова положба сохоризонталната оска x (OJ) – агол на њутација;
3) φ - агол на вртење на системот Oξηζ во круг во нова положба со вертикалнатаоска z (Oζ) – агол на сопствена ротација .
ψψψψ
θ
φ
Равенките на сферното движење на круто тело:).(
);(
);(
t
t
t
ϕϕθθψψ
=
=
=
71
72
Теорема на Ојлер – Круто тело кое има една неподвижна точка, може да сепремести од една положба во друга со една ротација во круг околу некоја оскакоја проаѓа низ таа точка.
O
O1
C D
Разгледуваме лак од поголем круг AB, кој се наоѓа на сферната површина.Лакот на поголемиот круг –лакот на најмалата кривина на површината (дел од кружницата,добиен со пресекот на површинитекои проаѓаат , низ центарот). Понатаму ќе подразбираме, дека сите лаци се лаци на поголемиот круг.
A
B
Нека ∪AB се помести во положба ∪A1B1. Ги цртаме лаците ∪AA1 и ∪ВB1.
B1
A1
Од средините С и D на лаците ∪AA1 и ∪ВB1 спроведуваме лаци, нормални конлаците ∪AA1 и ∪ВB1.
Точката на пресекот на лаците ∪CO1 и ∪DO1 се појавува како неподвижна и јаопределува положбата на оската на ротација. Таа точка ја соединуваме сокраевите на лаците ∪AA1 и ∪ВB1.
Од добиените криволиниски тријаголници ∆AO1B и ∆A1O1B1 ја добивамеравенката: ∠ AO1B = ∠ A1O1B1. Ако на секој од тие агли додадеме еден ист агол ∠
BO1A1, тогаш добиените агли∠ AO1A1 и ∠ BO1B1ќе бидат исто така еднакви меѓу себе и ќе бидатагли на вртење на сите точки од телото во кругоколу оската OO1.
Точките A и B при преместување во положбите A1, B1,
во општ случај се движат условно по лаците наголемиот круг.За мал временски период ∆t точките
од една положба во друга ќе пројдат со вртење нателото во круг околу некоја оска на ротација за агол∆φ. При што кога ∆t →0 и оската на ротација се
нарекува Моментална оска на ротација на телото во даден момент.
73
Аголна брзина при сферно движење на круто тело – вектор во правец намоменталната оска на ротација чии модул е еднаков на:
.lim0 dt
d
∆t
∆∆t
ϕϕω ==
Аголно забрзување при сферно движење на круто тело –се карактеризира со промена на векторот на аголната брзина:
.lim0 dt
d
∆t
∆∆t
ωωε
rrr
==
Ω
O
ωr
;
;
11 ωωωω
rrr
r
∆∆ttt
t
+=⇒+=
⇒срε
ω rr
=∆t
∆ -средно аголно забрзување вовременски интервал ∆t,
ωr
∆
1ωr
срεr
Аголно забрзување во временски момент t :
Векторот на аголната брзина со почеток во неподвижната точкапри движење на телото се менува согласно радиус-векторот наточката,која се движи во просторот по некоја траекторија. Векторот на брзината
на таа точка насочен е по тангентата на траекторијата и се определува соизразот:
dt
rdv
rr
====
Траекторијата на крајот од векторот на аголната брзина со почеток вонеподвижната точка при движење на телото опишува крива,која ја нарекувамеодограф на векторот на аголната брзина .
Ω
O
ωr
Eεr
.dt
du
ωr
r=
Со изедначување на изразите за векторот на аголното забрзување на телото ивекторот на брзината на точката може да се констатира декааголното забрзување на телото геометриски е рамно на линеарната брзинана крајот од векторот на аголната брзина.Првата, по која е насочен векторот на аголното забрзување се нарекувамоментална оска на аголното забрзување (E).
73
74
Брзина на точка на круто тело при сферно движење – се определува какобрзина при ротација во круг околу моменталната оска:
Моменталната оска на ротација во даден момент – геометриско место на точкисо брзина нула.Равенката на моменталната оска се добива со прирамнување напроекциите на брзината на нула:
rvrrr
×=ω .),sin( Ωhvrv ⋅=⋅= ωωωrr
kxy
jzx
iyz
zyx
kji
rv
yx
xz
zy
zyx r
r
rrrr
rrr
)(
)(
)(
ωωωω
ωωωωωω
−+
+−+
+−
==×=
x
).(
);(
);(
xyv
zxv
yzv
yxz
xzy
zyx
ωωωωωω
−=
−=
−=
Проекциите на брзината на подвижните оски ξ, η, ζ имаат аналоген вид.
.0)(
;0)(
;0)(
=−=
=−=
=−=
xyv
zxv
yzv
yxz
xzy
zyx
ωωωωωω
.
;
;
xy
zx
yz
yx
xz
zy
ωωωωωω
=
=
=
Проекциите на брзината(формула на Ојлер):
.zyx
xyx
ωωω==
Забрзување на точка на круто
тело при сферно движење:
.)( NT
ΩE aavrdt
rdr
dt
dr
dt
d
dt
vda
rrrrrrr
rrrrr
r+=×+×=×+×=×== ωεω
ωω
Забрзувањето на точка е рамно на геометриската сума од забрзувзњетопри ротација во однос на оската на моменталното аголно забрзување (E)и нормалното забрзување во однос на моменталната оска на ротација (ΩΩΩΩ).
T ra E rrr×= ε )(N raΩ rrrr
××= ωωΩE aaa NT
rrr+=
Ω
O
ω
vr
r
Ωh
y
z
ω
ΩaN
r
EEh
EaT
r
εε
74
75
),cos(2)()( NTNT2
N2
TΩEΩEΩE aaaaaaa
r++=
Модулот на целоснотозабрзување рамен е на :
Модулот на нормалното забрзување рамен е на: кадеhΩ – должина на нормалата , во однос на моменталната оска на ротација Ω .Векторот на нормалното забрзување насочен по радиусот на ротација (hΩ) конмоменталната оска на ротација.
ΩΩ ha ⋅= 2N ω
Модулот на забрзувањето од ротацијата ќе биде рамен: кадеhE – должина на нормалата до оската на моменталното забрзување E.Векторот на забрзувањето од ротацијата насочен нормално на радиус наротација (hE) во насока на лачната стрелка на аголното забрзување.
EE ha ⋅= εT
76
Геометриско место на положбите на моменталните оски на ротација во односна неподвижниот координатен систем претставува една конусна површина соврв во точката О и се вика неподвижен аксоид,а геометриско место наположбите на моменталните оски на ротација во однос на подвижниоткоординатен систем претставува исто така,конусна површина со врв вонеподвижната точка О и се вика подвижен аксоид.
о
Ω
ωr Ар(подвижен аксоид)
Аn(неподвиженаксоид)
Теорема на Поансо:Ротација накруто тело околу неподвижнаточка може да се инерпретиракако тркалање без лизгање наподвижен аксоид кој е цврстоврзан за телото по неподвиженаксоид.
77
Општ случај на движење на круто тело – Положбата на тело во просторотеднозначно се определува со положбата на негови три точки, кои не лежатна една права. Со овие три точки може да се конструира тријаголник, којпонатаму ќе го претставува телото во просторот.
Разложување на движењето на слободно круто тело – Како и во случај на рамнодвижење постојат повеќе начини за
претставување на движења на слободно телово вид на две или повеќе прости движења.
На пример, може тело да се пренесе оддадена почетна во друга положба, означена
со тријаголникот ∆ABC, во
друга положба, која одговара на тријаголникот∆A1B1C1, со транслаторнопоместување во положба ∆A1B’C’, а потоа со завртување во круг околу некојаоска, кој проаѓа низ точката, избрана како пол, на пример, точката A1:
A
B
C
A1
B’
C’
ΩC1
B1
Или, напротив, во почетокот може да го заротираме тријаголникот ∆ABC во кругоколу некоја оска,која проаѓа низ точка, избрана како пол, на пример,точката A, како би страните на тријаголникот ∆ABC станале паралелни со страните натријаголникот ∆A1B1C1, а потоа го пренесуваме тријаголникот ∆AB’C со
транслаторно движење во положба ∆A1B1C1:
A
B
C
C’
Ω
B’
C1
B1
A1
На таков начин , движењето на слободното тело може да се претстави како збирна транслаторно движење и сферно движење во круг околу некоја точка, која лежина телото, избрана како пол:
77
78
A
B
y
z
x
z
O
J ξξξξ
ηηηη
ζζζζ
A
ψψψψ
θ
φ
xA yAzA
).( );(
);( );(
( );(
ttzz
ttyy
ttxx
AA
AA
AA
ϕϕ
θθ
ψψ
==
==
==
Равенка на движење наслободното тело:
Брзина на точка на слободно тело – Брзината на било која точка одтелото рамна е на геометриската сума на брзината од полот ибрзината која таа точка ја има при сферно движење во круг околуполот.
O
Br
Ar
ABr Av
BAv
ω
Av
Bv
Радиус-векторите на точките A и B сврзани семеѓусебно со соодносот:
Го диференцираме овој сооднос:
).()()( trtrtr ABAB
rrr+=
.)()()(
dt
trd
dt
trd
dt
trd ABAB
rrr
+=
)(tv B
r)(tvA
r
Втората компонента е брзината наточката B при сферно движење вокруг околу полот A: )(tvΩ
BA
r
. );()()( constrtrttv ABAB
Ω
AB =×=rrrr
ω
x
Ω
ω
.ABA
Ω
BAAB rvvvvrrrrrr
×+=+= ω Добиениот сооднос вопотполност се совпаѓа сотеоремата за сложување набрзини за рамно движење. Разликата се состои само вотоа, што не се користи нејзиниотцентар на ротација туку оскатана моменталната ротација Ω.
hΩ
79
Независност на векторите на аголните брзини и аголните забрзувања одизборот на поот. Ја запишуваме теоремата за сложување на брзините заедна иста точка A со користење на различни полови O1 и O2:Ω1 Ω2
1ω 2ω
O2O1
A
1r 2r
1Ov
2Ov
Av
(b) ;
(a) ;
222
111
rvv
rvv
OA
OArrrr
rrrr
×+=
×+=
ω
ω
Ги поврзуваме половите O1 и O2 со радиус-векторот r12 и јаизразуваме брзината на вториот пол со брзината на првиот:
.
;
12112
2121
rvv
rrr
OO
rrrr
rrr
×+=
+=
ω12r
Го претставуваме овој израз во формула (b)(c) .)( 221211 rrvv OA
rrrrrr×+×+= ωω
Ги прирамнуваме десните делови на (a) и (c), и сопомош на соодносите меѓу радиус-векторите:
.)( 222111111 rrrvrv OO
rrrrrrrrr×+−×+=×+ ωωω
.22211111 rrrrrrrrrrrr
×+×−×=× ωωωω
После некој кратења и преобразувања добиваме:.2221 rr
rrrr×=× ωω
Од каде следат равенки за аголните брзини: .21 ωωrr
=
Со диференцирање на добиената равенка имаме: ,21
dt
d
dt
d ωωrr
= .21 εεrr
=
E1
E21ε
2ε
И така, векторот на аголната брзина и аголното забрзување не зависат одизборот на полот. Изборот на полот влијае само на големина на векторот набрзината при транслаторно движење при разложување на движењето наслободното тело. 79
80
Забрзување на точка при слободно тело – Забрзувањето на било којаточка на тело рамна е на геометриската сума на забрзувањето наполот и забрзувањето на таа точка од сферното движење во кругоколу полот.
x
A
B
y
z
O
ωΩ
ω
hΩ
Ја запишуваме теоремата за сложување на брзини:.ABAB rvv
rrrr×+= ω
ABr Av
BAv
Bv
Со диференцирање на соодносот добиваме: .)(dt
rdr
dt
d
dt
vdr
dt
d
dt
vd
dt
vd ABAB
AAB
AB
rrr
rrrr
rr
×+×+=×+= ωω
ω
Или .Ω
BAABAB vraarrrrrr
×+×+= ωε
Тука векторот aA – забрзување на полот.
Aa
E
BAar
E
EE
BA ha ⋅= εr
hE
ε
εE
BAa
Втората компонента – забрзување при ротација(тангенцијално) на точката B при сферно движење вооднос на полот A.
Трета компонента – нормалнозабрзување на точката B при сфернодвижење во однос на полот A.
Ω
BAar
ΩΩ
BA ha ⋅= 2ωr
Ω
BAa
Геометриската сума на тангенцијалното и нормалното забрзување на точкатапри сферно движење е вкупното забрзување на точката при сверно движење вокруг околу полот: Ω
BA
E
BABA aaarrr
+=сф
На тој начин: .сф
BABA aa +=rrr
80
81
Сложeно движење на точкаСложeно движење на точка
1. Теорема за сложување набрзините
2. Теорема за сложување назабрзувањата (теорема наКориолис)
3. Правило на Жуковски
82
Сложено движење на точкаСложено движење на точка
Движење на подвижниоткоординатен систем (ОХYZ) вооднос на неподвижниот(О1Х1Y1Z1) – преносно движење. Поместувањето ,брзината изабрзувањето ќе бидат:
Движење на подвижниоткоординатен систем (ОХYZ) вооднос на неподвижниот(О1Х1Y1Z1) – преносно движење. Поместувањето ,брзината изабрзувањето ќе бидат:
Движење кое го прави (·)М во однос накоординатниот систем (ОХYZ), го нарекувамерелативно движење.Поместувањето,брзината и забрзувањето ќе бидат:
Движење кое го прави (·)М во однос накоординатниот систем (ОХYZ), го нарекувамерелативно движење.Поместувањето,брзината и забрзувањето ќе бидат:
Х1Х1
Y1Y1
Z1Z1
O1O1ХХ
YY
ZZ
OO
MM
ρρ
ρ0ρ0
rrr Vr, αrr Vr, αr
ρ0, Vр, αрρ0, Vр, αр
83
Движење кое го прави (·)М вооднос на неподвижниотсистем (О1Х1Y1Z1) гонарекуваме апсолутно, илисложено, движење.Поместувањето ,брзината изабрзувањето ќе бидат:
Движење кое го прави (·)М вооднос на неподвижниотсистем (О1Х1Y1Z1) гонарекуваме апсолутно, илисложено, движење.Поместувањето ,брзината изабрзувањето ќе бидат:
ρ, Vа, αаρ, Vа, αа
rOа
rrrr++++======== ρρρ rOа
rrrr++++======== ρρρ (1)(1)
Х1Х1
Y1Y1
Z1Z1
O1O1ХХ
YY
ZZ
OO
MM
ρρ
ρ0ρ0
rr
84
ω
vrvр
vа
Prikaz na sloжeno
dviжewe
85
∆rр∆rр
сложување на брзинитесложување на брзините
(·)M—> (·)M1(·)M—> (·)M1
При сложување на движењата апсолутната брзина наточка е еднаква на сумата од релативната и преноснатабрзина
При сложување на движењата апсолутната брзина наточка е еднаква на сумата од релативната и преноснатабрзина
Х1Х1
Y1Y1
Z1Z1
O1O1 АА
ВВ
М,mМ,m
А1А1
B1B1 M1M1
m1m1
aVr
aVr
pVr
pVr
rVr
rVr
M’M’
∆rr∆rr ∆rа∆rаφφ
(2)(2)
t
Mm
t
Mm
t
MM
ttt ∆∆∆ ∆∆∆
11
00
1
0limlimlim 1
→→→→→→→→→→→→++++====
t
Mm
t
Mm
t
MM
ttt ∆∆∆ ∆∆∆
11
00
1
0limlimlim 1
→→→→→→→→→→→→++++====
111 mMMmMM ++++==== 111 mMMmMM ++++====
86
prа VVVrrr
++++====
y1
z1
x1
o1
m1М
М1
m
M’аVr
rVr
pVr
ϕcos222
рrрrа VVVVV ++++++++====r
φ
(2)(2)
87
(((( ))))dt
Vda
рр
р
r
r====
(((( ))))dt
Vda
рр
р
r
r====
2. сложување на забрзувањата(теорема на Кориолис)
2. сложување на забрзувањата(теорема на Кориолис)
Го диференцираме изразот (2)Го диференцираме изразот (2)
dt
Vd
dt
Vd
dt
Vd rра
rrr
++++====dt
Vd
dt
Vd
dt
Vd rра
rrr
++++========aar ====aar
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))dt
Vd
dt
Vd
dt
Vd
dt
Vdrrрrrррр
rrrr
++++++++++++====(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
dt
Vd
dt
Vd
dt
Vd
dt
Vdrrрrrррр
rrrr
++++++++++++====
(((( ))))dt
Vda rr
r
r
r====
(((( ))))dt
Vda rr
r
r
r====
( ) ( )dt
Vd
dt
Vda
рrrр
cor
rr
r+=
( ) ( )dt
Vd
dt
Vda
рrrр
cor
rr
r+=
88
Големината , која се карактеризира со промена на релативната
брзина на (·) при преносно движење и переносната брзина на(·) при нејзино релативно движење,се нарекуваротационо(завртувачко), или Кориолисово, забрзување на (·)
Големината , која се карактеризира со промена на релативната
брзина на (·) при преносно движење и переносната брзина на(·) при нејзино релативно движење,се нарекуваротационо(завртувачко), или Кориолисово, забрзување на (·)
При сложено движење забрзувањето на (·) = векторскиотзбир од трите забрзувања: релаивното, преносното иКориолисовото
При сложено движење забрзувањето на (·) = векторскиотзбир од трите забрзувања: релаивното, преносното иКориолисовото
corrра aaaarrrr
++= corrра aaaarrrr
++=
rрcor Varrr
×⋅= ω2 rрcor Varrr
×⋅= ω2
⋅⋅⋅=
∧
rрrрcor VVarrrrr
,sin2 ωω
⋅⋅⋅=
∧
rрrрcor VVarrrrr
,sin2 ωω
89
Сложено движење на точка (втор начин) – такво движење, при кое точкатаучествува истовремено во две или неколку движења.
Примери на сложено движење на точка (тело): чамец со кој се препливува река;човек кој оди по движечки ескалатор и др.
За опишување на сложеното движење на точка илипретставување на движењето во вид на сложено сеслужиме(користиме) со неподвижен систем O1x1y1z1сврзан цврсто со било какво условно неподвижно тело, на пример, со Земјата, и подвижен систем Oxyz сврзансо било какво движечко тело.
z
y1
x1O1
x
y
M
x
y
z
i
rr
jr
kr
ρr
Oρr
O
Апсолутно движење ( a ) – движење на точка, разгледувано во однос нанеподвижен координатен систем. Релативно движење ( r ) - движење на точка, разгледувано во однос наподвижен координатен систем.Преносно движење ( р ) - движење на подвижен систем , разгледувано вооднос на неподвижен координатен систем.
0vr
rvr
pvr
avr
89
z1
90
Апсолутна брзина (забрзувзње)на точка vа ( aа ) - брзина (забрзување) наточка, пресметана во однос на неподвижен координатен систем.Релативна брзина (забрзување) на точка vr ( ar ) – брзина (забрзување) наточка, пресметана во однос на подвижен координатен систем.Преносна брзина (забрзување) на точка vp ( ap ) – брзина (забрзување) наточка, која припаѓа на подвижен координатен систем или на круто тело, со коее цврсто сврзан подвижниот координатен систем, совпаднувајќи се соразгледувањето на подвижната точка во даден временски момент ипресметана во однос на неподвижниот координатен систем.
91
z
ξξξξ
ηηηη
ζζζζ
O1
x
y
M
x
y
z
i
rr
jkr
ρr
Oρr
O
Теорема за сложување на брзините – апсолутната брзина наточката рамна на геометриската сума од релативната ипреносната брзина на точката.Во било кој временски моментспроведлив е соодносот:
.kzjyixr OO
rrrrrrr+++=+= ρρρ
Го диференцираме овој соодност по времето имајќи во вид декаортовите i, j, k ја менуваат својата насока во општ случај надвижење на слободното тело, со кое е сврзан подвижниоткоординатен систем:
.dt
kdz
dt
jdy
dt
idxk
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
d
dt
rd
dt
d
dt
d OO
rrrrrr
rrrr
++++++=+=ρρρ
Ovr rv
rТука првиот собирок е (vо) – брзина на полот O;Следните три – релативана брзина на точката(vr).
Од последниот трет собирок се определуваизводот по времето од ортовите i, j, k:
).(
);(
);(
kdt
kd
jdt
jd
idt
id
p
p
p
rrr
rrr
rrr
×=
×=
×=
ω
ω
ω
Тука искористена е векторската формулаза линеарна брзина на точка во однос наоската на ротација:
).( rdt
d
dt
rdp
rrr
×= ω
pωr
Ω ωp
.)(
)()()(
rkzjyix
kzjyix
pp
ppp
rrrrrr
rrrrrr
×=++×=
=×+×+×
ωω
ωωω
Ги претставуваме векторските изводи воследните три собирци:Сумата на првиот и последниотсобирок – брзина на точка одслободно тело е преносна брзина наточка (vр): .0 rvv pp
rrrr×+= ω
На таков начин знаејќи дека изводот по времето на радиус-векторот ρρρρ е апсолутна брзина, добиваме: .pra vvv
rrr+=
Ovr
rvr
rrr
×ωpvr
avr
Модулoт на векторот наапсолутната брзина: .),sin(2
22
prprpra vvvvvvvrrrrrrr
++=
92
Теорема за сложување на забрзувањето (теорема на Кориолис)-апсолутното забрзување на точка рамно е на геометриската сума од
релативното,преносното и кориолисовото забрзување на точката.Од поранобеше добиен изразот за брзината:
.0
dt
kdz
dt
jdy
dt
idxkzjyix
dt
d
dt
drrr
r&
r&
r&
rr
++++++=ρρ
Го диференцирамеовој израз по времетоУште еднаш:
.2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dt
kdz
dt
jdy
dt
idx
dt
kdz
dt
jdy
dt
idx
dt
kdz
dt
jdy
dt
idxkzjyix
dt
d
dt
d O
rrrr
&
r
&
r
&
r
&
r
&
r
&r&&
r&&
r&&
rr
++++++++++++=ρρ
0ar
rar
Тука првиот собирок е (aO) –забрзување на полотO;следните трисобирци се – релативно забрзување на точката (ar).
).()(
);()(
);()(
2
2
2
2
2
2
kkdt
dk
dt
d
dt
kd
jjdt
dj
dt
d
dt
jd
iidt
di
dt
d
dt
id
pp
p
p
pp
p
p
pp
p
p
rrrrr
rrr
rrrrr
rrr
rrrrr
rrr
××+×=×=
××+×=×=
××+×=×=
ωωω
ω
ωωω
ω
ωωω
ω
).(
)(
)(
)(
rr
kzkzdt
d
jyjydt
d
ixixdt
d
ppp
pp
p
pp
p
pp
p
rrrrr
rrrrr
rrrrr
rrrrr
××+×=
=××+×+
+××+×+
+××+×
ωωε
ωωω
ωωω
ωωω
).(0 rraa pppp
rrrrrrr××+×+= ωωε
Сумата од првиот и добиените два собирци –претставува забрзување наточка од слободно тело или Преносно забрзување на точката (ap):
За последните три собирци ги определуваме вторитеизводи по времето на ортовите од подвижниоткоординатен систем i, j, k:
Ги заменуваме овие изрази во последните трисобирци и ги групираме:
93
).(2 ppcor varrr
×= ω
Добиената компонента на забрзувањето претставува Кориолисовотозабрзување (acor):
[ ] ).(2)()()(22 rpppp vkzjyixdt
kdz
dt
jdy
dt
idx
rrrr&
rr&
rr&
r
&
r
&
r
& ×=×+×+×=
++ ωωωω
На таков начин знаејќи дека вториот извод по времето на радиус-векторотρρρρ е апсолутно забрзување , добиваме:
.corpra aaaarrrr
++=
Остануваат да се сложат уште шесте членови ,заменуваме за првите изводи навекторите по времето од ортовите и групираме:
Големината , која се карактеризира со промена на релативната брзина на (·) припреносно движење и преносната брзина на (·) при нејзино релативнодвижење,се нарекува завртувачко или Kориолисово забрзување на (·)
( ) ( )dt
Vd
dt
Vda
рrrр
cor
rr
r+=
( ) ( )dt
Vd
dt
Vda
рrrр
cor
rr
r+=
94
Густав Гаспар Кориолис(Coriolis G.G., 21.05.1792 – 19.09.1843)Густав Гаспар Кориолис(Coriolis G.G., 21.05.1792 – 19.09.1843)
Родeн е во Париз. Во 1810 г. завршил Политехничка школа, аво 1812 г. школа за мостови ипатишта. Од 1816 г. Почнал дапредава на Политехничкаташкола, каде брзо станалпрофесор, а 1831 г. – директорна некои делови од школата.Предавал исто во Централнаташкола и во школа за мостови ипатишта. Во 1836 г. бил избранво Париската академија на науки
Родeн е во Париз. Во 1810 г. завршил Политехничка школа, аво 1812 г. школа за мостови ипатишта. Од 1816 г. Почнал дапредава на Политехничкаташкола, каде брзо станалпрофесор, а 1831 г. – директорна некои делови од школата.Предавал исто во Централнаташкола и во школа за мостови ипатишта. Во 1836 г. бил избранво Париската академија на науки
95
Големина и насока на Кориолисовото забрзување:Модул на векторот на Кориолисовото забрзување:Кориолисовото забрзување е нула во два случаја:
1. Кога аголната брзина на преносното движење е рамна нула (транслаторнопреносно движење).
2. Кога векторот на аголната брзина е паралелен со векторот на релативнатабрзина (синус од аголот меѓу векторите е нула ).
).,sin(2 rprp
cor vvarrr
ωω=
Насока на векторот на кориолисовото забрзување:Се определува по едно од трите правила:1. По определување на векторскиот производ.2. По правило на десната рака.3. По правило на Жуковски:
a) Го проектираме векторот на релативната брзина нарамнината , нормална на векторот на аголната брзина.
б) Ја завртуваме проекцијата на векторот на релативната брзина заправ агол (900) во насока на лачната стрелка на аголната брзина .
rv1
r
corar
pωrvr
pωr
96
3. Правило на Жуковски3. Правило на ЖуковскиJa проектираме Vr на рамнина, ḻ на ωр, и ја завртувамепроекцијата во таа рамнина за агол од 90° во насока наротација определена со ωр – тоа ќе биде насоката наКориолисовото забрзување.
Ja проектираме Vr на рамнина, ḻ на ωр, и ја завртувамепроекцијата во таа рамнина за агол од 90° во насока наротација определена со ωр – тоа ќе биде насоката наКориолисовото забрзување.
НиколаJй ЕгоJровичЖукоJвский-роден (17(5-постаро) јануари 1847 с. Орехово, Владимирска област –до 17 март 1921, Москва).Јаформирал како наукааеродинамиката
НиколаJй ЕгоJровичЖукоJвский-роден (17(5-постаро) јануари 1847 с. Орехово, Владимирска област –до 17 март 1921, Москва).Јаформирал како наукааеродинамиката
97
Пример. За реализирање на транслаторно движење кајмашините се применуваат механизми составени одпранслаторен стап АВ и ротирен ОА(кулиса) соконстантна аголна брзина ω така што φ = ωt. Пакулисата прави ротација со иста аголна брзина вообратна насока. Осцилаторот (каменот) А ротиразаедно со кулисата и едновремено може да сепоместува по должина на кулисата . Лостот АВ, зглобно соединет со каменот се движи вохоризонтален правец правејќи повратно-транслаторно движење. Да се определи брзината изабрзувањето при транслаторното движење знаејќиго растојанието ℓ от зглобот О до правата АВ
Пример. За реализирање на транслаторно движење кајмашините се применуваат механизми составени одпранслаторен стап АВ и ротирен ОА(кулиса) соконстантна аголна брзина ω така што φ = ωt. Пакулисата прави ротација со иста аголна брзина вообратна насока. Осцилаторот (каменот) А ротиразаедно со кулисата и едновремено може да сепоместува по должина на кулисата . Лостот АВ, зглобно соединет со каменот се движи вохоризонтален правец правејќи повратно-транслаторно движење. Да се определи брзината изабрзувањето при транслаторното движење знаејќиго растојанието ℓ от зглобот О до правата АВ
Два типа на задачи:Два типа на задачи:
2. Познати се преносното и апсолутното движење на (·). Требада се определат кинематичките карактарестики нарелативното движење
2. Познати се преносното и апсолутното движење на (·). Требада се определат кинематичките карактарестики нарелативното движење
1. Познати се преносното и релативното движење на (·). Треба да се определат кинематичките карактарестики наапсолутното движење
1. Познати се преносното и релативното движење на (·). Треба да се определат кинематичките карактарестики наапсолутното движење
98
Движење на точката А:преносно движење – ротација на кулисата ОА; релативно – прволиниско движење по должина накулисата ОА
Движење на точката А:преносно движење – ротација на кулисата ОА; релативно – прволиниско движење по должина накулисата ОА
ω⋅⋅⋅⋅==== ОАV Аp ω⋅⋅⋅⋅==== ОАV Аp
OO
ААВВ
ХХ
YY
φφ
t
t
ω
ω⋅ω−
2sin
cosl
t
t
ω
ω⋅ω−
2sin
cosl
(((( ))))
========
tdt
d
dt
OAdV Аr ωsin
l(((( ))))
========
tdt
d
dt
OAdV Аr ωsin
l
ℓℓ
ϕω⋅
=sin
l
ϕω⋅
=sin
l
VрVр
VrVr
VаVа
ω
ω+ω−=
t
t2
2
sin
cos1l
ω
ω+ω−=
t
t2
2
sin
cos1l
2,
sin t
ω= −
ωl
2,
sin t
ω= −
ωl
tVtVV rра ωω cossin ++++−−−−====
99
αcorαcor
ω = const, тогашω = const, тогаш
Правецот наапсолутнотозабрзување сесовпаѓа сооската Х
Правецот наапсолутнотозабрзување сесовпаѓа сооската Х
OO
ААВВ
ХХ
YY
φφ
2ω⋅⋅⋅⋅==== ОАaАр
2ω⋅⋅⋅⋅==== ОАaАр
(((( )))) tataaa corrра ωω sincos ++++++++−−−−==== (((( )))) tataaa corrра ωω sincos ++++++++−−−−====
°°°°==== 90sin2 rАcor Va ω °°°°==== 90sin2 rАcor Va ω(((( )))) (((( ))))
t
t
dt
Vda rАr
ω
ωω3
22
sin
cos1++++========l(((( )))) (((( ))))
t
t
dt
Vda rАr
ω
ωω3
22
sin
cos1++++========l
ℓℓ
ϕω⋅
=sin
2l
ϕω⋅
=sin
2l
t
t
ω
ωω=
3
2
sin
cos2l
t
t
ω
ωω=
3
2
sin
cos2l
t
t
ω
ωω=
2
2
sin
cos2 l
t
t
ω
ωω=
2
2
sin
cos2 l
αrαr
αрαр
аааа
100
Причини за појава на Кориолисовото забрзување: Формално Кориолисовотобеше изведено со групирање и сложување на производи кои ,содржат проекции на релативната брзина и изводи по времето од ортовитена подвижен координатен систем . Притоа се доби удвоен број на таквисобирци.За појаснување на физичките причини на појавата наКориолисовото забрзување ќе разгледуваме пример, во кој специјално ќеобрнеме внимание на постојаноста на векторот на релативната брзина (воподвижен координатен систем) и векторот на аголната преносна брзина(ротација на подвижниот координатен систем во однос на релативнонеподвижна оска):
ωP
pvr
rvr
ωp
pvr
rvr
Во некој временски момент положбата на точката и векторот на релативната ипреносната брзина се такви како на сликата:
После некое време точката се оддалечила одоската на ротација и телото се завртува занекој агол.Како резултат имаме:
1) релативната брзина се менува понасока и за позната преносна аголнабрзина и
2) Преносната линеарна брзина сепроменува по големина и за познатарелативна брзина , се променуварастојанието на точката до оската наротација.
100
101
Примери за определување на насоката на Кориолисовото забрзувањезгодно е да се разгледаат за случаи на различни положби на движењана точки по површината на Земјата, ротирајќи во однос на својата оска:
pωr
rvr
rvr
rvr
rvr
rvr
corar
corar
corar
101
).(2 rpcor varrr
×= ω
На таков начин , може да се види дека постојат две причини за појава наКориолисовото забрзување:
1) Преносната аголна брзина влијае на релативната брзина , a2) Релативната брзина очигледно влијае на преносната линеарна брзина. Тоа
помага да го запаметиме коефициентот,еднаков на два, во формулата која гоопределува Кориолисовото забрзување.
102
Сложено движење на круто тело – такво движење , при кое телотоучествува истовремено во две или неколку движења.Сите определувања , во врска со компонентите на движење кои беа дадени засложено движење на точка, остануваат по правило да се спроведат и за крутитела.Кинематиката на сложено движење на точка се користи и тука за добивање нанови соодноси, опишувајќи сложено движење на крути тела.Сложување на транслаторни движења на крути тела – При транслаторнодвижење сите точки на крутото тело имаат иста брзина , што дозволувакористење на теоремата за сложување на брзините на точка за сложенодвижење:
На таков начин, апсолутната брзина на тело, иста е со брзината на една одточките од тоа тело,рамна на геометриската сума на преносната ирелативната брзина на тоа тело.
.pra vvvrrr
+=
Сложување на вртливи движења (ротација) на крути тела – овде ќеразгледаме два случаи на различни положби на оската на ротација:Оските на ротација паралелни и оските на ротација се сечат.
102
103
Оските на ротација се паралелни – диск се врти релативно во однас на својата оска која проаѓа низточката O1, со аголна брзина ωωωωr, оската на дискот се движи по кржна траекторија во круг околу оскакоја проаѓа низ неподвижната точка O, со аголна брзина ωωωωp:
O O1
Pωr
Pω
rΩ
rωr
PΩ
Произволна точка A која лежи на дискот прави сложено движење (движење по кружна траекторија воподвижна рамнина ,цврсто сврзана со кривајата OO1) и апсолутна брзина на таа точка се определува соизразот: .pA
r
A
a
A vvvrrr
+=
A
a
Avr
r
Avr
P
Avr
Задачата на определенување на брзини на било која точка од дискот може да се упрости ако се најдеположбата на моменталниот центар на ротација (точка чија брзина во даден момент рамна на нула):
.0=+= P
K
r
K
a
K vvvrrr Од каде: .rK
P
K vvrr
−=Тоа значи дека точката K лежи на кривајата OO1 и ја дели на деловиобратно пропорционални на аголната брзина :
P
Kvr
r
Kvr
K KOOKvv rP
r
K
p
K 1 , ωω ======== OK
KO
r
P 1====ωω
За определување на апсолутната аголна брзина ја разгледуваметочката O1, која не учествува во релативното движење иопределување на нејзината брзина двапати (во преносно движење иво апсолутно движење). Таа брзина треба да биде еднаква:
. , 1111KOOOvv aP
a
O
P
O ωω ========
a
O
P
O vv11
rr=
aω rω
Ако ја претставиме отсечката OO1, како сума од одсечкии отсечката OK ја изразиме преку O1K добиваме:
.)()()( 11111 KOKOKOKOKOOK aPr
P
r
PP ωωωωω
ωω ====++++====++++====++++Од каде: .rPa ωωω ++++====
Во случај на противположни по насока ротации може да се покаже дека делење на отсечката OO1 ќебиде исто обратно пропорционално на аголната брзина но само од внатрешна страна (точката K ќе лежина таа линија во отсечката OO1 на страната со поголем вектор на аголната брзина). Тогаш:и апсолутната аголна брзина ќе биде рамна на разликата на аголните брзини:
KOKOOO −= 11
.rPa ωωω −−−−====Двата соодноси може да се обединат во еден векторски соодност: .rPa ωωω
rrr+=
aωr
aΩ
104
На таков начин апсолутната аголна брзина е еднаква на геометрискатасума на релативната и преносната аголна брзина .Има целосна аналогијамеѓу сложување на векторите на аголните брзини и сложување на двепаралелни сили.При сложување на такви сили резултантата приложена воточката која ја дели на растојанија меѓу силите на отсечки,обратнопропорционални на силите .
105
Кинематичка спрега – При сложување на две паралелни сили еднакви поголемина и противположно насочени меѓу себе ,резултантата на тие сили енула (систем на такви сили не се сведува на резултанта) и тие сили образуваатквалитетно нов попрост систем, наречен спрег на сили. Притоа дејството наспрегот се карактеризира со момент на спрегот.
Совршено аналогно при сложување на два паралелни вектори на аголни брзини,еднакви по големина и противположно насочени меѓу себе, ја нарекувамекинематичка спрега, резултантната аголна брзина и тука е нула . Какорезултат се добива транслаторно движење, брзината која ја определуваголемината на моментот на кинематичката спрега ќе биде:
)( ωωrrrr
−= mv dv ⋅= ω
ωω ====P ωω =r
d
vr
vr
ωωrr
=P
ωωrr
−=r
106
Векторот на брзината на транслаторното движење на круто тело се јавувакако слободен вектор (може да се преместува паралелно сам на себе)Во тоа време како вектори на аголна брзина се јавуваат како лизгачкивектори, кој можат да се преместуваат само по линија на дејствување.
На таков начин, две ротации со аголни брзини , еднакви по големина ипротивположни по насока, можат да бидат заменети со еднотранслаторно движење.Исто така можна е и обратната процедура –претставување на транслаторното движење во вид на кинематичка спрега.
107
Сложување на ротации на круто тело во случај кога оските на ротација сесечат – телото ротира со аголна брзина ωωωωr во однос на својата оска, проаѓајќи низ точката О на пресекување со друга оска на ротација . Во односна втората оска првата оска ротира со аголна брзина ωωωωP:
O
pωr
rΩ
pΩ
rωr
Во колку точката на пресекот на оските на ротација имаат брзина нула, тогаш таае неподвижна точка во просторот, ја пресметуваме брзината за произволна точкаM по теоремата за сложување на брзини:
.)()()( rrrvvv PrPr
P
M
r
M
a
M
rrrrrrrrrr×+=×+×=+= ωωωω
M
Векторската сума на аголните брзини, добиена во загради , претставуварезултантна аголна брзина, определувајќи една ротација на телото во круг околунекоја моментална оска (види. Сферно движење), која може да се разгледува како
апсолутна аголна брзина : .)( rrv aPr
a
M
rrrrrr×=×+= ωωω
На таков начин, апсолутната аголна брзина е рамна нагеометриската сума на релативната и преносната аголнабрзина : .rPa ωωω
rrr+=
pωr
rωr
aΩ
aωr
При сложување на ротациони движења повеќе од дверезултантниот вектор на аголната брзина рамен е нагеометриската сума од векторите на сите аголни брзини коиучествуваат во сложеното движење: .∑= iωω
rr
rr
107
108
Сложувње на транслаторно и ротационо движење на круто тело – телоучаствува во ротационо движење со аголна брзина ωωωω и во транслаторнодвижење со брзина v. Аголот α меѓу векторите на аголните брзини итранслаторната брзина произволни.
ωr
vr Го разложуваме векторот на брзината при транслаторното
двжење на два взаемно нормални вектори така, што еден сесовпаѓа со векторот на аголната брзина : .1
* vvvrrr
+=O
*vr
1vr
Векторот на брзината v1 го претставуваме во вид накинематичка спрега со аголни брзини , еднакви на зададенатааголна брзина на ротационото движење:
. ),( 1111 ωωωωrrrrrr
=−= mv
.sin1
ωα
ωvv
OA ==
A
1ωr
1ωr
Векторот од транслаторното движење со брзина v* , како слободен вектор го пренесувамево точката A, а двата вектора на аголни те брзини во точката O, може да се тргнатбидејќи се еднакви по големина насоќени еден спрема друг во противоложни страни:
0)(1 =−+=+ ωωωωrrrr
*vr
Растојанието OA го наоѓаме од равенката:
На таков начин,добивме кружна ротација со зададена аголна брзина ωωωω околу оска, која проаѓа низ точката A,и транслаторно движење со брзина v*. Таквакомбинација повеќе не може да биде упростена и претставува кинематичказавојница(винт), реализирајќи завојно движење на цврстото тело. Оската која , проаѓа низ точката A,по чија должина е усмерен векторот на аголната брзина, сенарекува моментална завојна ( винтова) оска.
.sin ;cos 1* αα vvvv ==
α
108
109
Брзина на точка од круто тело при завојно (винтово) движење – телотоучаствува во ротационо движење со аголна брзинз ωωωω1 ,која претставуварелативно движење, и транслаторно движење со брзина v*, коепретставува преносно движење.
1ωr
*vr
A
rr
M
.*vv P rr=.1 rv r rrr
×= ω Апсолутната брзина на точката M: .1
*rvvvv
rPa rrrrrr×+=+= ω
*vr
ωh
Точката M се движи по спирална траекторија за која еден вртеж се дели совремето T:
.2
1ωπ
=T
За време T точката М се преместува во насока на преносната брзина за големинаh (чекор на винтот-завојницата): .
2
1
**
ωπ
vTvh ==
Односот на транслаторната брзина со аголната брзина се појавува какокарактеристика на завојното движење и се нарекува параметар на винтот:
.1
*
ωv
p =
Со користење на параметрите на винтотчекор на винтот ќе биде:
.2 ph ⋅= π
.)()( 2
1
2*
ωω hvv a +=r
Модулот на апсолутната брзина на точката M со користење напараметрите на винтот: .)()( 22
1
2
1
2
1 ωω ωωω hphpv a +=+=r
Во посебен случај, при α =900 (векторот на транслаторната брзинанормален на векторот на аголната брзина)движењето се сведувакон една кружна ротација околу оска,која проаќа низ точката A:
.0cos* == αvv
110
Општ случај на сложено движење на круто тело – нека телото учествуваво n ротациони движења и m транслаторни движења.
Избираме пол A и кон него ги приложувамевекторите на аголните брзини:
1ω
2ω
nω
1v
2v
3v
A
. ;
....................................
; ;
; ;
'''
2
''
22
'
2
1
''
11
'
1
nnnn ωωωω
ωωωω
ωωωω
rrrr
rrrr
rrrr
−==
−==
−==
'1ω
''1ω
'2ω
''2ω
'nω
''nω
Добиваме севкупност на спрегови и вектори на аголнибрзини и тие да се сечат во една точка.
),(
.............
);,(
);,(
''
''
22
''
11
nn ωω
ωω
ωω
rr
rr
rr
Вкупната ротација може да се замени со едена ротација : .1 1
'* ∑ ∑==n n
ii ωωω
Секој спрег може да се замени соедно транслаторно движење: ),( ''
jjj mv ωωrrrr
−=
Сите транслации ги заменуваме со еднавкупна транслација:
.)(1
''
111
∑∑∑∑ −+=+=m
jj
n
i
m
j
n
iA mvvvv ωωrrrrrrr
Добиваме во општ случај една ротација со кружна аголна брзина ω* околуоска,која проаѓа низ полот A, и транслаторно движење со брзина vA( A – точкана сведување(редукција)), што води кон кинематички винт, разгледан погоре вотекстот.
Аголната брзина ω* не зависи од изборот на полот и таа е прва(векторска) инваријанта:
.1
1
* Jn
i
rrr== ∑ωω
*ω
),( ''111 ωωmv =
),( ''222 ωωmv =
),( ''nnn mv ωω=
Av
110
111
Брзината на транслаторното движење зависи од изборот на полот, нопостои скаларна големина, сврзана со транслаторната брзина, инваријантна кон изборот на полот. Ја запишуваме теоремата засложување на брзините , сврзувајќи ја линеарната (транслаторна) брзина, пресметана за различни точки на сведување:
.rvv AM
rrrr×+= ω
Ги множиме двете страниод скаларната равенкаскаларно со векторот на аголната брзина : .)( ωωωω
rrrrrrr⋅×+⋅=⋅ rvv AM
Втората компонента во првиот дел рамна на нула,така да брзината одротацијата ќе биде нормална на векторот на аголната брзина.Понатамускаларниот производ на векторот на транслаторната брзина се пресметуваза различни точки на сведување, и векторот на аголната брзина рамен е на:
0вр =⋅ωrr
v2Jvv AM =⋅=⋅ ωω
rrrr
- вторa (скалaрнa) инвариантa.
Со преуредување на скаларниот производ добиваме:
*),cos(),cos( vvvvv AAMM == ωωrrrr
),,cos(),cos( ωωωωrrrr
AAMM vvvv ⋅⋅=⋅⋅
- минимална транслаторна брзина .
112
И така , аголните брзини во кинематиката се составуваат како сили востатиката (тие вектори се појавуваат како лизга~ки вектори).Транслаторните брзини во кинематиката се составуваат исто, какоспрегови во статиката (тие вектори се слободни вектори). Сите на~ини за преобразување на сили и спрегови во статиката сеподобни и за преобразување на брзните на цврсто тело вокинематиката.И во статиката, и во кинематиката при сведување на систем во општслучај се добива завојно движење (динама), и соодветно кинематичкивинт. Како во статиката, така и во кинематиката постојат соодветниинваријантни големини.(главен минимален момент и минималнатранслаторна брзина).
