VEKTOR

Adri Priadana

ilkomadri.com

Pengertian

Dalam Fisika dikenal dua buah

besaran, yaitu

1. Besaran Skalar

2. Besaran Vektor

Pengertian

• Besaran Skalar adalah suatu besaran

yang hanya mempunyai nilai dan

dinyatakan dengan suatu bilangan tunggal

disertai dengan sistem satuan yang

digunakan.

Contoh :

• Massa mobil 500 kg

• Tinggi menara 20 m

Pengertian

• Besaran Vektor adalah suatu besaran

yang mempunyai nilai dan arah.

• Contoh: sebuah mobil bergerak dengan

kecepatan 20 meter/detik ke selatan.

Pengertian

= notasi untuk vektor

• Titik pangkal di A

• Titik ujung di B

• Arah vektor dari A menuju B

• Besar vektor ditunjukan oleh panjang garis AB = |AB|

A

BA B

A B

Pengertian

Notasi Vektor

• Huruf kapital, A atau

• Vektor juga dapat ditulis dalam huruf kecil

tebal (a, k, v, w, dan x), sedangkan Skalar

ditulis dengan huruf kecil miring ( a, k, v,

w, dan x)

• huruf kecil diberi tanda garis di atas huruf

, huruf kecil diberi tanda garis di bawah

huruf

a

a

Vektor Di Ruang R2

• Vektor di dalam dimensi dua (R2)

• Untuk menyatakan posisi dari sebuah titik A(a1,a2)

21 a,aOAa

2

1

a

aa

Vektor posisi dari A

X

A

a1

a2

O

Y

Vektor Di Ruang R2

Vektor basis di ruang R2 pada sumbu X dinyatakan dgn i, vektor satuan pada sumbu Y dinyatakan dgn j

X

j = (0,1)

Y

i = (1,0)

Contoh Vektor a = 2i + 5j artinya sama dengan

a = = [2, 5] = 2 (1,0) + 5(0,1) = 2 + 5

5

2

0

1

1

0

Vektor Di Ruang R3

• Vektor di dalam dimensi tiga (R3)

• Untuk menyatakan posisi dari sebuah titik A(a1,a2,a3)

321 a,a,aOAa

3

2

1

a

a

a

a

Vektor posisi dari A

Y

Z

A

a1

a3

X

a2O

Vektor Di Ruang R3

Vektor basis di ruang R3 pada sumbu X dinyatakan dgn i, vektor satuan pada sumbu Y dinyatakan dgn j, sedangkan vektor dalam sumbu Z dinyatakan dgn kY

k = (0,0,1)

Z

j = (0,1,0)

Xi = (1,0,0)

Contoh Vektor a = 2i + 5j + 3k artinya sama dengan

a = = [2,5,3] = 2 (1,0,0) + 5 (0,1,0) + 3(0,0,1) = 2 + 5 + 3

352

001

010

100

Vektor Di Ruang Rn

• Vektor a di ruang Rn dinyatakan sebagai

a = [a1, a2, a3, ....., an]

• Panjang sebuah vektor a disebut norma a dinyatakan dgn

• Vektor satuan dalam arah a adalah

22

3

2

2

2

1 .... naaaaa

a

aaaae

na

],....,,,[ 321

Vektor Di Ruang Rn

• Contoh

Tentukan panjang vektor a = i + 2j – 3k dan vektor satuan dalam arah a !

14)3(21 222 a

14

3,

14

2,

14

1

14

]3,2,1[ae

Jarak Euclidean

Antara Dua Vektor

• Jarak vektor a = [a1,a2,a3,...,an] dan

vektor b = [b1,b2,b3,....,bn] dinyatakan

sebagai

22

33

2

22

2

11 ..... nn babababaab

Contoh

Jarak Euclideannya vektor a = i + 2j - 3k dan

vektor b = 2i + 5j - 4k adalah

Jarak Euclidean

Antara Dua Vektor

11191)4(35221222

ab

Operasi – Operasi pada Vektor

• Kesamaan Dua Buah Vektor

Dua buah vektor a dan b dikatakan sama jika

keduanya memiliki besar dan arah yang sama, dan ditulis a = b

a b

Operasi – Operasi pada Vektor

• Negatif Sebuah Vektor

Vektor (-a) adalah vektor yang mempunyai

arah berlawanan dengan vektor a tetapi

panjangnya sama dengan panjang vektor a.

a -a

Operasi – Operasi pada Vektor

• Penjumlahan atau Resultan VektorJumlah atau resultan dari dua vektor a dan b adalah

sebuah vektor c yang dibentuk dengan menempatkan

titik awal dari b pada titik terminal dari a dan kemudian

menghubungkan titik awal dari a dengan titik terminal

dari b

Maka resultan dari a + b = c

a ab

b

a + b = c

Operasi – Operasi pada Vektor

• Pengurangan Vektor

Selisih dari dua vektor a dan b ditulis a – b adalah

vektor c yang apabila ditambahkan pada bmenghasilkan vektor a. Secara ekuivalen dapat

ditulis a – b = a + (- b)

a b

- ba – b

Operasi – Operasi pada Vektor

• Perkalian Vektor dgn Skalar

Hasil kali vektor a dengan skalar m adalah sebuah

vektor ma yang besarnya |m| kali besar vektor a dan

arahnya

– searah dengan a jika m > 0

– berlawanan arah dengan a jika m < 0

– tak tentu jika m = 0

Sifat pada Operasi Vektor

1. a + b = b + a (komutatif)

2. (a + b) + c = a + (b + c) (asosiatif)

3. k(a + b) = ka + kb (distributif)

4. a + 0 = a

5. a +(- a) = 0

Dot Product / Inner Product

• Dot Product atau Perkalian Titik antara dua

vektor menghasilkan skalar.

• Bila dan adalah vektor-vektor

di Rn, θ adalah sudut antara a dan b (0 ≤ θ ≤ )

na

aa

a:2

1

nb

bb

b:2

1

π

na

aa

a:2

1

nb

bb

b:2

1

θ

ba

Dot Product / Inner Product

maka dot product/inner product dari a dan b, disajikan sebagai a ● b adalah suatu skalar yg didefinisikan sbg berikut:

a ● b = a1b1 + a2b2 + ..... +anbn

dimana sudut antara dua vektor tersebut :

Dengan merupakan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor

• bila tumpul

• bila lancip

• bila saling tegak lurus

ba

ba cos

0ba

0ba

0ba

Dot Product / Inner Product

Contoh:

Diketehui : vektor a = [2,-2,1] dan b = [1,3,5],

berapa cosinus sudut antara kedua vektor tsb?

391)2(2 222 a

35531 222 b 353

1 cos

ba

ba

Jawab

a ● b = 2.1 + (-2).3 + 1.5 = 1

Cross Product (Perkalian Silang)

Jika a = (a1 , a2 ,a3)

dan b = (b1 , b2 , b3) adalah vektor di

ruang R3, maka hasil kali silang a x b adalah vektor c yang tegak lurus

terhadap a dan b yg didefinisikan

θ

a

b

c

oleh determinan berikut

a x b = =

a x b = (a2 b3 – a3 b2 , -a1 b3 – a3 b1 , a1 b2 – a2 b1 )

i j k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

21

21

31

31

32

32,,

bb

aa

bb

aa

bb

aa

Cross Product (Perkalian Silang)

i j k

1 2 -2

3 0 1

Contoh

Carilah a x b di mana a = [1, 2, -2] dan

b = [3, 0, 1]

03

21,

13

21,

10

22Jawab

maka a x b =

= [2, -7, -6]

Proyeksi

Jika a dan b adalah vektor-vektor ruang-2 atau ruang-3,

dan jika ≠ 0, maka proyeksi vektor a sepanjang b adalah

(komponen vektor a sepanjang b )

b

bb

baa

2b

Proyeksi

Contoh

a = (2, -1, 3) b = (4, -1, 2)

Carilah komponen vektor a sepanjang b !

212)1(4 2222b

)7

10,

7

5,

7

20()2,1,4(

21

15

2b

b

b

baa

Jawab

a ● b = (2)(4) + (-1)(-1) + (3)(2) = 15

Vektor Orthogonal

dan Orthonormal

Vektor a dan b dikatakan orthogonal jika kedua

vektor tersebut saling tegak lurus. Ini berlaku

persamaan berikut

a ● b = 0

Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika

besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku

persamaan berikut

1a

Vektor Orthogonal

dan Orthonormal

Contoh

Berikut adalah contoh himpunan vektor yang

saling tegak lurus (orthogonal)

karena dan dan

Ketiga vektor di atas hanya saja yg orthonormal,

karena panjangnya 1

300

020

001

0020

.001

0300

.001

0020

.300

001

Matur Nuwun