VEKTOR - ilkomadri.com · vektor menghasilkan skalar. •Bila dan adalah vektor-vektor di Rn,...
of 30
/30
Embed Size (px)
Transcript of VEKTOR - ilkomadri.com · vektor menghasilkan skalar. •Bila dan adalah vektor-vektor di Rn,...
VEKTOR
Adri Priadana
ilkomadri.com
Pengertian
Dalam Fisika dikenal dua buah
besaran, yaitu
1. Besaran Skalar
2. Besaran Vektor
Pengertian
Besaran Skalar adalah suatu besaran
yang hanya mempunyai nilai dan
dinyatakan dengan suatu bilangan tunggal
disertai dengan sistem satuan yang
digunakan.
Contoh :
Massa mobil 500 kg
Tinggi menara 20 m
Pengertian
Besaran Vektor adalah suatu besaran
yang mempunyai nilai dan arah.
Contoh: sebuah mobil bergerak dengan
kecepatan 20 meter/detik ke selatan.
Pengertian
= notasi untuk vektor
Titik pangkal di A
Titik ujung di B
Arah vektor dari A menuju B
Besar vektor ditunjukan oleh panjang garis AB = |AB|
A
BA B
A B
Pengertian
Notasi Vektor
Huruf kapital, A atau
Vektor juga dapat ditulis dalam huruf kecil
tebal (a, k, v, w, dan x), sedangkan Skalar
ditulis dengan huruf kecil miring ( a, k, v,
w, dan x)
huruf kecil diberi tanda garis di atas huruf
, huruf kecil diberi tanda garis di bawah
huruf
a
a
Vektor Di Ruang R2
Vektor di dalam dimensi dua (R2)
Untuk menyatakan posisi dari sebuah titik A(a1,a2)
21 a,aOAa
2
1
a
aa
Vektor posisi dari A
X
A
a1
a2
O
Y
Vektor Di Ruang R2
Vektor basis di ruang R2 pada sumbu X dinyatakan dgn i, vektor satuan pada sumbu Y dinyatakan dgn j
X
j = (0,1)
Y
i = (1,0)
Contoh Vektor a = 2i + 5j artinya sama dengan
a = = [2, 5] = 2 (1,0) + 5(0,1) = 2 + 5
5
2
0
1
1
0
Vektor Di Ruang R3
Vektor di dalam dimensi tiga (R3)
Untuk menyatakan posisi dari sebuah titik A(a1,a2,a3)
321 a,a,aOAa
3
2
1
a
a
a
a
Vektor posisi dari A
Y
Z
A
a1
a3
X
a2O
Vektor Di Ruang R3
Vektor basis di ruang R3 pada sumbu X dinyatakan dgn i, vektor satuan pada sumbu Y dinyatakan dgn j, sedangkan vektor dalam sumbu Z dinyatakan dgn kY
k = (0,0,1)
Z
j = (0,1,0)
Xi = (1,0,0)
Contoh Vektor a = 2i + 5j + 3k artinya sama dengan
a = = [2,5,3] = 2 (1,0,0) + 5 (0,1,0) + 3(0,0,1) = 2 + 5 + 3
352
001
010
100
Vektor Di Ruang Rn
Vektor a di ruang Rn dinyatakan sebagai
a = [a1, a2, a3, ....., an]
Panjang sebuah vektor a disebut norma a dinyatakan dgn
Vektor satuan dalam arah a adalah
22
3
2
2
2
1 .... naaaaa
a
aaaae
na
],....,,,[ 321
Vektor Di Ruang Rn
Contoh
Tentukan panjang vektor a = i + 2j 3k dan vektor satuan dalam arah a !
14)3(21 222 a
14
3,
14
2,
14
1
14
]3,2,1[ae
Jarak Euclidean
Antara Dua Vektor
Jarak vektor a = [a1,a2,a3,...,an] dan
vektor b = [b1,b2,b3,....,bn] dinyatakan
sebagai
22332
22
2
11 ..... nn babababaab
Contoh
Jarak Euclideannya vektor a = i + 2j - 3k dan
vektor b = 2i + 5j - 4k adalah
Jarak Euclidean
Antara Dua Vektor
11191)4(35221 222 ab
Operasi Operasi pada Vektor
Kesamaan Dua Buah Vektor
Dua buah vektor a dan b dikatakan sama jika keduanya memiliki besar dan arah yang sama, dan ditulis a = b
a b
Operasi Operasi pada Vektor
Negatif Sebuah Vektor
Vektor (-a) adalah vektor yang mempunyai arah berlawanan dengan vektor a tetapi panjangnya sama dengan panjang vektor a.
a -a
Operasi Operasi pada Vektor
Penjumlahan atau Resultan VektorJumlah atau resultan dari dua vektor a dan b adalah sebuah vektor c yang dibentuk dengan menempatkan titik awal dari b pada titik terminal dari a dan kemudian menghubungkan titik awal dari a dengan titik terminal dari b
Maka resultan dari a + b = c
a ab
b
a + b = c
Operasi Operasi pada Vektor
Pengurangan Vektor
Selisih dari dua vektor a dan b ditulis a b adalah vektor c yang apabila ditambahkan pada bmenghasilkan vektor a. Secara ekuivalen dapat ditulis a b = a + (- b)
a b
- ba b
Operasi Operasi pada Vektor
Perkalian Vektor dgn Skalar
Hasil kali vektor a dengan skalar m adalah sebuah vektor ma yang besarnya |m| kali besar vektor a dan arahnya
searah dengan a jika m > 0
berlawanan arah dengan a jika m < 0
tak tentu jika m = 0
Sifat pada Operasi Vektor
1. a + b = b + a (komutatif)
2. (a + b) + c = a + (b + c) (asosiatif)
3. k(a + b) = ka + kb (distributif)
4. a + 0 = a
5. a +(- a) = 0
Dot Product / Inner Product
Dot Product atau Perkalian Titik antara dua
vektor menghasilkan skalar.
Bila dan adalah vektor-vektor
di Rn, adalah sudut antara a dan b (0 )
na
aa
a:2
1
nb
bb
b:2
1
na
aa
a:2
1
nb
bb
b:2
1
ba
Dot Product / Inner Product
maka dot product/inner product dari a dan b, disajikan sebagai a b adalah suatu skalar yg didefinisikan sbg berikut:
a b = a1b1 + a2b2 + ..... +anbndimana sudut antara dua vektor tersebut :
Dengan merupakan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor
bila tumpul
bila lancip
bila saling tegak lurus
ba
ba cos
0ba
0ba
0ba
Dot Product / Inner Product
Contoh:
Diketehui : vektor a = [2,-2,1] dan b = [1,3,5],
berapa cosinus sudut antara kedua vektor tsb?
391)2(2 222 a
35531 222 b 353
1 cos
ba
ba
Jawab
a b = 2.1 + (-2).3 + 1.5 = 1
Cross Product (Perkalian Silang)
Jika a = (a1 , a2 ,a3)
dan b = (b1 , b2 , b3) adalah vektor di
ruang R3, maka hasil kali silang a x b adalah vektor c yang tegak lurus terhadap a dan b yg didefinisikan
a
b
c
oleh determinan berikut
a x b = =
a x b = (a2 b3 a3 b2 , -a1 b3 a3 b1 , a1 b2 a2 b1 )
i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
21
21
31
31
32
32,,
bb
aa
bb
aa
bb
aa
Cross Product (Perkalian Silang)
i j k
1 2 -2
3 0 1
Contoh
Carilah a x b di mana a = [1, 2, -2] dan
b = [3, 0, 1]
03
21,
13
21,
10
22Jawab
maka a x b =
= [2, -7, -6]
Proyeksi
Jika a dan b adalah vektor-vektor ruang-2 atau ruang-3, dan jika 0, maka proyeksi vektor a sepanjang b adalah
(komponen vektor a sepanjang b )
b
bb
baa
2b
Proyeksi
Contoh
a = (2, -1, 3) b = (4, -1, 2)
Carilah komponen vektor a sepanjang b !
212)1(4 2222
b
)7
10,
7
5,
7
20()2,1,4(
21
15
2b
b
b
baa
Jawab
a b = (2)(4) + (-1)(-1) + (3)(2) = 15
Vektor Orthogonal
dan Orthonormal
Vektor a dan b dikatakan orthogonal jika kedua vektor tersebut saling tegak lurus. Ini berlaku
persamaan berikut
a b = 0
Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku
persamaan berikut
1a
Vektor Orthogonal
dan Orthonormal
Contoh
Berikut adalah contoh himpunan vektor yang
saling tegak lurus (orthogonal)
karena dan dan
Ketiga vektor di atas hanya saja yg orthonormal,
karena panjangnya 1
300
020
001
0020
.001
0300
.001
0020
.300
001
Matur Nuwun
