VEKTOR - ilkomadri.com · vektor menghasilkan skalar. •Bila dan adalah vektor-vektor di Rn,...

of 30 /30
VEKTOR Adri Priadana ilkomadri.com

Embed Size (px)

Transcript of VEKTOR - ilkomadri.com · vektor menghasilkan skalar. •Bila dan adalah vektor-vektor di Rn,...

VEKTOR

Adri Priadana

ilkomadri.com

Pengertian

Dalam Fisika dikenal dua buah

besaran, yaitu

1. Besaran Skalar

2. Besaran Vektor

Pengertian

Besaran Skalar adalah suatu besaran

yang hanya mempunyai nilai dan

dinyatakan dengan suatu bilangan tunggal

disertai dengan sistem satuan yang

digunakan.

Contoh :

Massa mobil 500 kg

Tinggi menara 20 m

Pengertian

Besaran Vektor adalah suatu besaran

yang mempunyai nilai dan arah.

Contoh: sebuah mobil bergerak dengan

kecepatan 20 meter/detik ke selatan.

Pengertian

= notasi untuk vektor

Titik pangkal di A

Titik ujung di B

Arah vektor dari A menuju B

Besar vektor ditunjukan oleh panjang garis AB = |AB|

A

BA B

A B

Pengertian

Notasi Vektor

Huruf kapital, A atau

Vektor juga dapat ditulis dalam huruf kecil

tebal (a, k, v, w, dan x), sedangkan Skalar

ditulis dengan huruf kecil miring ( a, k, v,

w, dan x)

huruf kecil diberi tanda garis di atas huruf

, huruf kecil diberi tanda garis di bawah

huruf

a

a

Vektor Di Ruang R2

Vektor di dalam dimensi dua (R2)

Untuk menyatakan posisi dari sebuah titik A(a1,a2)

21 a,aOAa

2

1

a

aa

Vektor posisi dari A

X

A

a1

a2

O

Y

Vektor Di Ruang R2

Vektor basis di ruang R2 pada sumbu X dinyatakan dgn i, vektor satuan pada sumbu Y dinyatakan dgn j

X

j = (0,1)

Y

i = (1,0)

Contoh Vektor a = 2i + 5j artinya sama dengan

a = = [2, 5] = 2 (1,0) + 5(0,1) = 2 + 5

5

2

0

1

1

0

Vektor Di Ruang R3

Vektor di dalam dimensi tiga (R3)

Untuk menyatakan posisi dari sebuah titik A(a1,a2,a3)

321 a,a,aOAa

3

2

1

a

a

a

a

Vektor posisi dari A

Y

Z

A

a1

a3

X

a2O

Vektor Di Ruang R3

Vektor basis di ruang R3 pada sumbu X dinyatakan dgn i, vektor satuan pada sumbu Y dinyatakan dgn j, sedangkan vektor dalam sumbu Z dinyatakan dgn kY

k = (0,0,1)

Z

j = (0,1,0)

Xi = (1,0,0)

Contoh Vektor a = 2i + 5j + 3k artinya sama dengan

a = = [2,5,3] = 2 (1,0,0) + 5 (0,1,0) + 3(0,0,1) = 2 + 5 + 3

352

001

010

100

Vektor Di Ruang Rn

Vektor a di ruang Rn dinyatakan sebagai

a = [a1, a2, a3, ....., an]

Panjang sebuah vektor a disebut norma a dinyatakan dgn

Vektor satuan dalam arah a adalah

22

3

2

2

2

1 .... naaaaa

a

aaaae

na

],....,,,[ 321

Vektor Di Ruang Rn

Contoh

Tentukan panjang vektor a = i + 2j 3k dan vektor satuan dalam arah a !

14)3(21 222 a

14

3,

14

2,

14

1

14

]3,2,1[ae

Jarak Euclidean

Antara Dua Vektor

Jarak vektor a = [a1,a2,a3,...,an] dan

vektor b = [b1,b2,b3,....,bn] dinyatakan

sebagai

22332

22

2

11 ..... nn babababaab

Contoh

Jarak Euclideannya vektor a = i + 2j - 3k dan

vektor b = 2i + 5j - 4k adalah

Jarak Euclidean

Antara Dua Vektor

11191)4(35221 222 ab

Operasi Operasi pada Vektor

Kesamaan Dua Buah Vektor

Dua buah vektor a dan b dikatakan sama jika keduanya memiliki besar dan arah yang sama, dan ditulis a = b

a b

Operasi Operasi pada Vektor

Negatif Sebuah Vektor

Vektor (-a) adalah vektor yang mempunyai arah berlawanan dengan vektor a tetapi panjangnya sama dengan panjang vektor a.

a -a

Operasi Operasi pada Vektor

Penjumlahan atau Resultan VektorJumlah atau resultan dari dua vektor a dan b adalah sebuah vektor c yang dibentuk dengan menempatkan titik awal dari b pada titik terminal dari a dan kemudian menghubungkan titik awal dari a dengan titik terminal dari b

Maka resultan dari a + b = c

a ab

b

a + b = c

Operasi Operasi pada Vektor

Pengurangan Vektor

Selisih dari dua vektor a dan b ditulis a b adalah vektor c yang apabila ditambahkan pada bmenghasilkan vektor a. Secara ekuivalen dapat ditulis a b = a + (- b)

a b

- ba b

Operasi Operasi pada Vektor

Perkalian Vektor dgn Skalar

Hasil kali vektor a dengan skalar m adalah sebuah vektor ma yang besarnya |m| kali besar vektor a dan arahnya

searah dengan a jika m > 0

berlawanan arah dengan a jika m < 0

tak tentu jika m = 0

Sifat pada Operasi Vektor

1. a + b = b + a (komutatif)

2. (a + b) + c = a + (b + c) (asosiatif)

3. k(a + b) = ka + kb (distributif)

4. a + 0 = a

5. a +(- a) = 0

Dot Product / Inner Product

Dot Product atau Perkalian Titik antara dua

vektor menghasilkan skalar.

Bila dan adalah vektor-vektor

di Rn, adalah sudut antara a dan b (0 )

na

aa

a:2

1

nb

bb

b:2

1

na

aa

a:2

1

nb

bb

b:2

1

ba

Dot Product / Inner Product

maka dot product/inner product dari a dan b, disajikan sebagai a b adalah suatu skalar yg didefinisikan sbg berikut:

a b = a1b1 + a2b2 + ..... +anbndimana sudut antara dua vektor tersebut :

Dengan merupakan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor

bila tumpul

bila lancip

bila saling tegak lurus

ba

ba cos

0ba

0ba

0ba

Dot Product / Inner Product

Contoh:

Diketehui : vektor a = [2,-2,1] dan b = [1,3,5],

berapa cosinus sudut antara kedua vektor tsb?

391)2(2 222 a

35531 222 b 353

1 cos

ba

ba

Jawab

a b = 2.1 + (-2).3 + 1.5 = 1

Cross Product (Perkalian Silang)

Jika a = (a1 , a2 ,a3)

dan b = (b1 , b2 , b3) adalah vektor di

ruang R3, maka hasil kali silang a x b adalah vektor c yang tegak lurus terhadap a dan b yg didefinisikan

a

b

c

oleh determinan berikut

a x b = =

a x b = (a2 b3 a3 b2 , -a1 b3 a3 b1 , a1 b2 a2 b1 )

i j k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

21

21

31

31

32

32,,

bb

aa

bb

aa

bb

aa

Cross Product (Perkalian Silang)

i j k

1 2 -2

3 0 1

Contoh

Carilah a x b di mana a = [1, 2, -2] dan

b = [3, 0, 1]

03

21,

13

21,

10

22Jawab

maka a x b =

= [2, -7, -6]

Proyeksi

Jika a dan b adalah vektor-vektor ruang-2 atau ruang-3, dan jika 0, maka proyeksi vektor a sepanjang b adalah

(komponen vektor a sepanjang b )

b

bb

baa

2b

Proyeksi

Contoh

a = (2, -1, 3) b = (4, -1, 2)

Carilah komponen vektor a sepanjang b !

212)1(4 2222

b

)7

10,

7

5,

7

20()2,1,4(

21

15

2b

b

b

baa

Jawab

a b = (2)(4) + (-1)(-1) + (3)(2) = 15

Vektor Orthogonal

dan Orthonormal

Vektor a dan b dikatakan orthogonal jika kedua vektor tersebut saling tegak lurus. Ini berlaku

persamaan berikut

a b = 0

Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku

persamaan berikut

1a

Vektor Orthogonal

dan Orthonormal

Contoh

Berikut adalah contoh himpunan vektor yang

saling tegak lurus (orthogonal)

karena dan dan

Ketiga vektor di atas hanya saja yg orthonormal,

karena panjangnya 1

300

020

001

0020

.001

0300

.001

0020

.300

001

Matur Nuwun