07/11/2015

1

NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN

Yang dipelajari….

1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya

2. Masalah Pendiagonalan

Referensi :

Kolman & Howard Anton.

IlustrasiMisalkan t : Rn Rn dengan definisi

t(x) = A.x , utk setiap x Rn

dengan A adalah matriks ukuran nxn.Masalah :

Dapatkah ditentukan vektor x s.d.h x dan Axsejajar?

Pertanyaan ini jika dituliskan secara matematismenjadi :Dapatkah ditentukan x sedemikian hingga

Ax = x , utk suatu skalar .

07/11/2015

2

• Perhatikan gambar berikut:

• Masalah yang dikemukakan di atas merupakan awal munculnya

istilah “Nilai Eigen” dan “Vektor Eigen”

• Masalah diatas merupakan permasalahan yang sering muncul di

bidang selain matematik, misalnya dibidang fisika (fisika nuklir dan

elastisitas), teknik (elektro dan kimia), biologi, mekanika kuantum.

Definisi 1

Misalkan A adalah matriks ukuran nxn. Suatu skalar yang memenuhipersamaan

A.x = x

disebut nilai eigen dari matriks A, danvektor x Rn disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen .

07/11/2015

3

1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya

• Masalah Nilai eigen :

Masalah mencari penyelesaian persamaanA.x = .x, dimana A adalah matriks sebarangukuran nxn (diketahui), x vektor di Rn dan

adalah sebarang skalar di R (dicari).

Ilustrasi

• Misalkan

• Maka

yang berarti dan = ½ .

1

1

1

12

1

21

21

A

02

12

10

A

1

1x

07/11/2015

4

Gambarnya….

21

21

Ax

1

1x

Definisi 1

Jika A adalah matriks berukuran nxn, makanilai eigen dari A adalah akar-akar daripersamaan karakteristik matriks A.

07/11/2015

5

Definisi 2

• Misalkan A = [aij] adalah matriks berukuran nxn. Polinomial Karakteristik dari A adalah

p() = (det(In – A)) =

Persamaan karakteristik dari A adalah

det(In – A) = 0

Penyelesaian dari persamaan diatas disebut akar-akarkarakteristik dari matriks A.

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

...

::::

...

...

21

22221

11211

Catatan:

• Polinomial karakteristik dari matriksberukuran nxn merupakan polinomialberderajad n, dan bisa dituliskan :

p() = ( - a11) ( - a22)… ( - ann)

= n + c1 n-1 + c2

n-2 + … + cn

07/11/2015

6

Contoh 1:

Misalkan

Tentukan polinomial karakteristik dan akar-akarkarakteristik dari A.

Penyelesaian:

25

47A

25

47det)( 2

AIp

32652

3,20 p

Contoh 2

Untuk nilai eigen 1 = 2 :

dibentuk SPL

(2I2 – A)x = 0

Jadi vektor eigen:

x1 = 4/5x2

0

0

45

45

2

1

x

x

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks pada contoh 1.

Penyelesaian:

1

5/41v

Utk nilai eigen 2 = 3 :

dibentuk SPL

(3I2 – A)x = 0

Jadi vektor eigen:

0

0

55

44

2

1

x

x

x1 = x2

1

12v

07/11/2015

7

Teorema

Jika A adalah sebuah matriks berukuran nxn dan λadalah sebuah bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekivalen.

1. λ adalah sebuah nilai eigen dari A2. Sistem persamaan (λI-A)x = 0, mempunyai solusi

nontrivial3. Terdapat sebuah vektor taknol x pada Rn

sedemikian rupa sehingga Ax=λx4. λ adalah sebuah solusi dari persamaan

karakteristik det (λI-A) = 0

Teorema

Jika k adalah bilangan bulat positif, λ adalah nilai eigen dai suatu matriks A, dan x adalah vektor eigen yang terkait dengan λ, maka λk adalah nilai eigen dari Ak dan x adalah vektor eigen yang terkait dengannya.

07/11/2015

8

Contoh 3

Dapatkan nilai eigen dan vektor eigen dari A3

dengan A seperti contoh 2.

Nilai eigen dari matriks A berdasarkan contoh 2 adalah 1 = 2 dan 2 = 3. Maka berdasarkan

Teorema, nilai eigen dari A3 adalah 13 = 23 = 8

dan 23 = 33 = 27 dengan vektor eigen sama

seperti pada contoh 2.

Nilai eigen dan keterbalikan (invers)

Teorema:

Sebuah matriks bujursangkar A dapat dibalik ( mempunyai invers) jika dan hanya jika c = 0 bukan merupakan nilai eigen dari A.

Contoh 4:

Pada contoh 2 matriks A mempunyai invers karena nilai eigen tidak nol.

07/11/2015

9

Soal latihanDapatkan nilai eigen dan vektor eigen dari soal berikut serta apakah matris tersebut mempunyai invers:

72

21.4

20

02.3

301

121

200

.2

01

32.1

D

C

B

A

24

01.8

20

14.7

300

120

112

.6

18

03.5

D

C

B

A

Anita T. Kurniawati

MASALAH PENDIAGONALAN

07/11/2015

10

MATRIKS SIMILAR

Definisi

Diberikan matriks A dan B berukuran nxn.

Matriks B dikatakan similar dengan matriks A jikaada matriks P sedemikian sehingga

B = P-1AP

Contoh 1:

Misalkan

Misalkan juga

Maka :

Jadi B similar dengan A.

11

121

P

42

11A

21

11P

30

021APPB

07/11/2015

11

Masalah Pendiagonalan ?

Diberikan matriks A ukuran nxn.

Apakah ada matriks s.d.h matriks A similar

dengan matriks diagonal ?

Definisi

• Suatu matriks Anxn dikatakan dapatdidiagonalkan (diagonalizable) jikaada matriks s.d.h. P-1AP = D, denganD adalah matriks diagonal.

07/11/2015

12

Teorema 1

• Suatu matriks Anxn dapat didiagonalkan(diagonalizable) jika dan hanya jika A mempunyai n vektor eigen yang bebas linier.

Contoh 2:Diketahui matriks

Nilai eigen dari A : 1 = 2 dan 2 = 3.

Vektor eigen yang bersesuaian dengan 1 dan 2 adalah :

dan

Dapat dibuktikan bahwa x1 dan x2 bebas linier.

Selanjutnya, A dapat didiagonalkan, dengan

(Lihat contoh 1)

42

11A

11

1

1px

22

2

1px

21

11P

07/11/2015

13

Prosedur Pendiagonalan Matriks

Misalkan A adalah matriks ukuran nxn dan mempunyai n vektor eigen yang bebas linier.

Langkah 1

Carilah n vektor eigen yang bebas linier, misalkan v1, v2, … , vn.

Langkah 2

Susunlah vektor-vektor vi menjadi suatu matriks P.

Langkah 3

Kalikan P-1AP, maka A akan similar dengan matriksdiagonal D.

Contoh 3:

Diagonalkan matriks

Penyelesaian:

Persamaan karakteristik:

Vektor eigen yang bersesuaian dengan = 1 :

588

8118

441

A

031935223

2

2

1

1v

07/11/2015

14

Vektor eigen yang bersesuaian dengan = -3 adalah

Dapat dibuktikan bahwa {v1, v2, v3 } adalah bebas linier (coba cek).

Selanjutnya bentuk matriks P :

dan dapat dihitung bahwa

1

0

1

,

0

1

1

32vv

102

012

111

P

300

030

0011

APP

Teorema 2

Jika v1, v2, …, vk adalah vektor2 eigen yangbersesuaian dengan nilai-nilai eigen 1, 2,… , k, maka {v1, v2, …, vk } adalah bebas linier.

Teorema 3

Jika A adalah matriks ukuran nxn danmempunyai n nilai eigen real yang berbeda(tanpa pengulangan), maka A (pasti) dapatdidiagonalkan.

07/11/2015

15

Misalnya….

• Pada Contoh 1, matriks A2x2 mempunyai 2 nilaieigen yang berbeda, maka A dapatdidiagonalkan.

• Pada Contoh 3, matriks A3x3 mempunyai 2 nilaieigen berbeda (dengan = -3 adalahpengulangan), maka A dapat didiagonalkankarena A mpy 3 vektor eigen yang bebas linier (Teorema 1)

Contoh 4:

Diberikan matriks

Persamaan karakteristik dari A : p() = ( - 1)2 = 0Shg nilai eigen dari A : 1 = 0 dan 2 = 3 = 1.Vektor eigen yang bersesuaian dengan = 0 :

vektor yang bersesuaian dengan = 1 :

Jadi menurut Teorema 1, A tidak dapat didiagonalkan.

100

210

100

A

0

0

1

0

1

0

07/11/2015

16

Soal LatihanJika mungkin, diagonalkanlah

matriks berikut:

12

30.4

13

32.3

566

010

334

.2

102

68.1

D

C

B

A