Vektoren, Tensoren, Operatoren

TensorenRang 0 Skalar p, ρ, T, . . .

Rang 1 Vektor ~F ,~v, ~I, . . .Rang 2 Dyade ¯σ︸︷︷︸

Spannungstensor, ¯τ , . . .

Differential-Operatoren

Nabla -Operatorin kartesischenKoordinaten

∂/∂x∂/∂y∂/∂z

1

Vektoren, Tensoren, Operatoren

Divergenz (div): div~v = ∇ · ~v = ∂u∂x + ∂v

∂y + ∂w∂z (inneres Produkt)

Gradient (grad): grad p = ∇p = (∂p∂x, ∂p

∂y,∂p∂z)T

Rotation (rot): rot~v = ∇× ~v =

∂w∂y − ∂v

∂z∂u∂z − ∂w

∂x∂v∂x − ∂u

∂y

(außeres Produkt)

2

Vektoren, Tensoren, Operatoren

LAPLACE-Operatorin kartesischenKoordinaten

∆ = ∇2 = ∇·∇ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

∆p = ∇2p =∂2p

∂x2+

∂2p

∂y2+

∂2p

∂z2

∆~v =

∂2u∂x2 + ∂2u

∂y2 + ∂2u∂z2

∂2v∂x2 + ∂2v

∂y2 + ∂2v∂z2

∂2w∂x2 + ∂2w

∂y2 + ∂2w∂z2

3

Rechenregeln

1. Skalar - Vektor −→ Vektor

a~b = a

bxbybz

=

a bxa bya bz

= ~c

2. Vektor - Vektor −→ Skalar (inneres Produkt)

~a ·~b = (ax, ay, az) ·

bxbybz

= axbx + ayby + azbz = c

3. Vektor - Vektor −→ Vektor (außeres Produkt)

~a ×~b =

∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~kax ay az

bx by bz

∣∣∣∣∣∣

=

aybz − azbyazbx − axbzaxby − aybx

= ~c

4

Rechenregeln

4. Vektor - Vektor −→ Dyade (dyadisches Produkt)

~a ⊗~b =

ax

ay

az

(bx, by, bz) =

axbx axby axbzaybx ayby aybzazbx azby azbz

= ¯c

5. Vektor - Dyade −→ Vektor

~a · ¯b = (ax, ay, az) ·

bxx bxy bxz

byx byy byz

bzx bzy bzz

=

axbxx + aybyx + azbzx

axbxy + aybyy + azbzy

axbxz + aybyz + azbzz

5

Identit aten

rot (grad a) = ∇× (∇a) = ~0div (rot~v) = ∇ · (∇× ~a) = 0

~v × (rot~v) =

uvw

×

∂w∂y − ∂v

∂z∂u∂z − ∂w

∂x∂v∂x − ∂u

∂y

= 12∇~v2 − (~v · ∇)~v

6

Partielle Ableitungen

Totales Differential einer Funktion f (x, y, z)

df =∂f

∂xdx +

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz

Das totale Differential beschreibt den Zuwachs einer Funktion

~v = ~v(t, x, y, z)

d~v =∂~v

∂tdt +

∂~v

∂xdx +

∂~v

∂ydy +

∂~v

∂zdz

∣∣∣∣

: dt

d~v

dt=

∂~v

∂t+

∂~v

∂x

dx

dt︸︷︷︸u

+∂~v

∂y

dy

dt︸︷︷︸v

+∂~v

∂z

dz

dt︸︷︷︸w

7

Substantielle Ableitung

d~v

dt︸︷︷︸substantiell

=

lokal︷︸︸︷∂~v

∂t+ u

∂~v

∂x+ v

∂~v

∂y+ w

∂~v

∂z︸ ︷︷ ︸

konvektive Beschleunigung

8

Zusammenfassung: Vereinfachungen

station ar: ∂∂t = 0 nicht d

dt = 0

inkompressibel: ρ = konst.

Symmetrie: Normalkomponente der Geschwindigkeit = 0∂∂θ = 0

reibungsfrei η = 0 (λ = 0 (Warmeleitfahigkeit))

9

Zusammenfassung: Vereinfachungen

2-dimensional Verminderung der Anzahl der GleichungenVerringerung der Anzahl der Ableitungen

ausgebildete Str omung ∂∂x = 0

Kontinuitat−→ ∂u

∂x + ∂w∂z = 0

−→ w = 0, wegen w = 0 an der Wand

10

3.1

u

t=0 t<0t>0

1

2

3

x

Bahnlinie

Stromlinie

11

3.1

ruhende Umgebung, konstante Geschwindigkeit u

−→ instationare Stromung fur den festen Beobachterstationare Stromung fur den mitbewegten Beobachter

Stromlinien: Tangential zum monentanen GeschwindigkeitsfeldBahnlinien: Trajektorien eines Fluidpartikels in einem Zeitintervall

−→ In einer stationaren Stromung verlaufen dieBahnlinien entlang der Stromlinien.

instationare Stromung: Bahnlinie 6= Stromliniestationare Stromung: Bahnlinie = Stromlinie

12

4.2

a) Ein Kolben bewegt sich mit der Geschwindigkeit vKolben(t) in ei-nem unendlich langen Rohr mit konstanten Querschnitt A. Das Fluidinnerhalb des Rohres besitzt eine konstante Dichte.

Bestimmen Sie die substantielle Beschleunigung des Fluids in demRohr.

13

4.2

b) Ein Fluid mit konstanter Dichte stromt mit der konstanten Ge-schwindigkeit v = v0 in einen Diffusor, dessen Querschnitt durchA(x) beschrieben sei. Bestimmen Sie die substantielle Beschleuni-gung des Fluids entlang der Koordinatenachse x.

14

4.2

a) substantielle Ableitung:dv

dt=

∂v

∂t+ v

∂v

∂x

Kontinuitat: A · v = konst. mit A = konst.

−→∂v

∂x= 0

aber∂v

∂t=

∂vKolben

∂t−→

dv

dt=

∂vKolben

∂tnur lokale Beschleunigung

15

4.2

b) wieder: dvdt = ∂v

∂t + v∂v∂x

konstante Einstromgeschwindigkeit: v = v0 −→∂v∂t = 0

Kontinuitat: A(x) · v(x) = konst.

1. Ableitung: ∂A(x)∂x · v(x) + A(x) ·

∂v(x)∂x = 0

∂v(x)

∂x= −

v(x)

A(x)·∂A(x)

∂x

−→dv

dt= −

v2(x)

A(x)

∂A(x)

∂x

wegen: V = v0 · A0 = v(x)A(x)

−→ v(x) =v0A0

A(x)

dv

dt= −

v20A

20

A3(x)

∂A

∂x

16

4.4

Ein inkompressibles Fluid mit der Zahigkeit η stromt laminar undstationar zwischen zwei parallelen Scheiben.

Die Stromung sei nur radial nach außen gerichtet.

17

4.4

Die bestimmenden Differentialgleichungen, gegeben in Polarkoordi-naten, sind:

1

r

∂(ρ r vr)

∂r+

1

r

∂(ρ vΘ)

∂Θ+

∂(ρ vz)

∂z= 0

ρ

(

vr∂vr

∂r+

vΘ

r

∂vr

∂Θ−

v2Θ

r+ vz

∂vr

∂z

)

= −∂p

∂r+ η

(∂

∂r

(1

r

∂(r vr)

∂r

)

+1

r2

∂2 vr

∂Θ2−

2

r2

∂vΘ

∂Θ+

∂2 vr

∂z2

)

Vereinfachen Sie diese Gleichungen fur obiges Stromungsproblem.

18

4.4

1

r

∂(ρ r vr)

∂r+

1

r

∂(ρ vΘ)

∂Θ+

∂(ρ vz)

∂z= 0

ρ = konst. radiale radiale StromungSymmetrie parallele Platten

−→∂(r vr)

∂ r= 0 Kontinuitat

19

4.4

����

radial

����

Symmetrie

����

radial

�����

parallel����

Kontinuitat

����

Symmetrie�

���

Symmetrie

ρ

(

vr∂vr

∂r+

vΘ

r

∂vr

∂Θ−

v2Θ

r+ vz

∂vr

∂z

)

= −∂p

∂r+ η

(∂

∂r

(1

r

∂(r vr)

∂r

)

+1

r2

∂2 vr

∂Θ2−

2

r2

∂vΘ

∂Θ+

∂2 vr

∂z2

)

−→ ρvr∂vr

∂r= −

∂p

∂r+ η

∂2 vr

∂z2radiale Impulsgleichung

20

4.6

Gegeben sind die Navier-Stokes Gleichungen fur instationare, in-kompressible Stromungen in einem Schwerefeld ~g:

∇ · ~v = 0

ρd~v

dt= −∇p + η∇2~v + ρ~g

Formulieren Sie die Gleichungen fur eine stationare, reibungsfreiezweidimensionale Stromung in den kartesischen Koordinatenrich-tungen (x, y).

Kontinuitat: ∇ · ~v = (∂

∂x,

∂

∂y)(

uv

) =∂u

∂x+

∂v

∂y= 0

21

4.6

Impuls: reibungsfrei: η = 0

x-Richtung: ρdu

dt= −

∂p

∂x+ ρgx

ρ(∂u

∂t|=0 + u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y) = −

∂p

∂x+ ρgx

y-Richtung: ρdv

dt= −

∂p

∂y+ ρgy

ρ(∂v

∂t|=0 + u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y) = −

∂p

∂y+ ρgy

22

4.5

Gegeben sind die Navier-Stokes Gleichungen fur rotationssymme-trische, instationare, inkompressible Stromungen in Zylinderkoordi-naten:

1

r

∂(r · vr)

∂r+

∂vz

∂z= 0

ρ

(∂vr

∂t+ vr

∂vr

∂r+ vz

∂vr

∂z

)

= −∂p

∂r+ η

[∂

∂r

(1

r

∂

∂r(rvr)

)

+∂2vr

∂z2

]

ρ

(∂vz

∂t+ vr

∂vz

∂r+ vz

∂vz

∂z

)

= −∂p

∂z+ η

[1

r

∂

∂r

(

r∂vz

∂r

)

+∂2vz

∂z2

]

ρcp

(∂T

∂t+ vr

∂T

∂r+ vz

∂T

∂z

)

=dp

dt+ λ

[1

r

∂

∂r

(

r∂T

∂r

)

+∂2T

∂z2

]

+2η

{(∂vr

∂r

)2

+(vr

r

)2

+

(∂vz

∂z

)2}

+ η

(∂vz

∂r+

∂vr

∂z

)2

23

4.5

Betrachtet wird eine stationare, laminare, ausgebildete, inkompres-sible Rohrstromung mit zeitlich und raumlich veranderlicher Tempe-raturverteilung.

Vereinfachen Sie die Gleichungen fur diesen Fall.

24

4.5

stationare Stromung∂vr

∂t=

∂vz

∂t= 0

ausgebildete Stromung∂vr

∂z=

∂vz

∂z= 0

inkompr. Stromung ρ = konst

Kontinuitatsgl.:∂(rvr)

∂r= 0 =⇒ vr = 0

Impulsgl.:∂p

∂r= 0

−∂p

∂z+

η

r

∂

∂r

(

r∂vz

∂r

)

= 0

Energiegl.:

ρcp

(∂T

∂t+ vz

∂T

∂z

)

= vz∂p

∂z+ λ

(

1

r

∂

∂r

(

r∂T

∂r

)

+∂2T

∂z2

)

+ η

(∂vz

∂r

)2

25