• Beberapa kasus yang akan lebih mudah penyelesaiannya denganmenggunakan koordinat tabung dan bola

• Sebagai contoh, persoalan kabel yang menggunakan koordinat silindrisdan persoalan antena yang memiliki penyelesaian menggunakan koordinatbola.

• Ilustrasi :Titik P dapat digambarkan dalam 3 buah koordinatKoordinat cartesian = (x, y, z)Koordinat silindris = (ρ, , z )Koordinat bola = (r,,)

Sistem koordinat

Pendefinisian Variabel-Variabel Koordinat dalam Tiga Sistem Koordinat

Bentuk komponen dari sebuah vektor dalam ketiga sistemkoordinat :A = Axax + Ayay + Azaz (Cartesian)A = Aρaρ + Aa + Azaz (Silindris)A = Arar + Aa + Aa(Bola)

Z

Y

Xx

y

z

A (x, y, z)

Z

X

z

Yρ

Z

X

z

Y

r

A (r, φ, z)A (ρ, , z) A (r, ,θ)

Komponen Koordinat Cartesian

Komponen Koordinat Silinder

Komponen Koordinat Bola

Arah vektor satuan untuk tiga sistem koordinat

Masing-masing vektor satuan adalah normal terhadap bidangpermukaan koordinatnya dan memiliki arah di manakoordinatnya bertambah.

Semua sistem merupakan sistem tangan kanan:ax x aY = aZ     aρx a = az      ar x a = a

Koordinat cartesian – koordinat silinder

Transformasi Koordinat Cartesian - Silinder

vektor dalam Cartesian :

A = Axax + Ayay + Azaz

Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z;

vektor dalam Silinder :

zazAaAaAA Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;

Maka komponen variabel koordinat cartesian (x,y,z) dapat ditransformasike koordinat silinder (ρ, θ,z) atau sebaliknya dengan persamaan:

cartesian ⇨silinder silinder ⇨cartesian

Sedangkan komponen vektor dapat ditransformasikan dengn menggunakan tabel perkalian titik sebagai berikut:

aρ aΦ az

ax. cos Φ -sin Φ 0

ay. Sin Φ cos Φ 0

az. 0 0 1

Aρ = (Axax + Ayay + Azaz) • aρ

AΦ = (Axax + Ayay + Azaz)• aΦ

Az = (Axax + Ayay + Azaz) • az

Contoh soal 1:

Transformasi koordinat cartesian - bolaKoordinat cartesian – koordinat bola

vektor dalam Cartesian :A = Axax + Ayay + Azaz

Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z;

vektor dalam Silinder :

aAaArarAA

Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;

Maka komponen variabel koordinat cartesian (x,y,z) dapatditransformasi ke koordinat bola (r, θ,z) atau sebaliknya denganpersamaan:

cartesian ⇨ bola bola ⇨ cartesian

Dengan cara yang sama  maka transformasi komponen vektor dapat dilakukan dengan perkalian titik seperti pada tabel berikut:

ar a az

ax. Sin θ Cos Cos θ Cos -Sin

ay. Cos θ Sin Cos

az. Cos θ -Sin θ 0

Ar = (Axax + Ayay + Azaz) • ar

A = (Axax + Ayay + Azaz)• a

A θ = (Axax + Ayay + Azaz) • a θ

Sin θ sin

Contoh soal 2:

Diferensial volume pada tiga sistem koordinat

Sebagai contoh, dalam koordinat bola, elemen diferensial permukaan yang tegakterhadap ar adalah,

dS = (r d)(r sin d) = r2 sin dElemen diferensial garis, dl, adalah diagonal melalui P. Jadi,

dl2 = dx2 + dy2 + dz2 (Cartesian)d12 = dr2 + r2d2 + dz2 (Silindris)d12 = dr2 + r2d2 + r2 sin2 d2 (Bola)

Hitunglah jarak antara (5,3/2,0) dan (5,/2,10) dalam koordinatsilindris!

Penyelesaian :Pertama carilah posisi Cartesian dari vektor A dan b

Panda gambar diperoleh:A = -5ay,B = 5ay + 10az

Contoh Soal 3

Selanjutnya, B – A = 10ay + 10az, dan jarak ekuivalenantara kedua titik

210|| AB

Gunakanlah sistem koordinat bola untuk memperoleh luas area darisebuah lembaran tipis pada selubung bola dengan jari‐jari r = r (Gambar 1‐9).Berapakah luas area yang diperoleh jika = 0 dan = ?

Penyelesaian :Diferensial elemen permukaan adalah[ lihat Gambar diferensial volume pada tiga sistem koordinat Bola ]

dS = r02 sin d d

Selanjutnya,

2

0

20

20 )cos(cos2sin rddrA

sehingga saat = 0 dan = , A = 4r02, yang merupakan luas permukaan bola.

Contoh Soal 4