Fungsi-fungsi khusus:Fungsi gamma, beta, error;Integral dan fungsi Eliptik

1. Fungsi FaktorialIntegral berikut ini (untuk > 0) dapat dihitung dengan cara yang biasa (Kalkulus)

Dari pembahasan pada BAB 4 buku BOAS, integral dapat didiferensialkan, yaitu

…… (4.12.9)sehingga integral di atas bila didiferensialkan terhadap akan memberikan(ingat pers 12.10:

Artinya

Dan bila prosesnya diulangi:

yang berarti

yang berarti

Secara umum dapat dinyatakan

Untuk nilai = 1, maka diperoleh

(definisi fungsi faktorial)Untuk n = 0 akan diperoleh

2. Fungsi GammaFungsi Gamma didefinisikan sebagai

p tidaklah harus berupa bilangan bulat.Untuk bilangan bulat n bila digunakan integral yang telah diperoleh pada bagian terdahulu, maka

Diperoleh

Bila persamaan tersebut diintegralkan (menggunakan metoda integral parsial dengan menggunakanxp = u dan e-x dx = dv maka

Yang menghasilkan hubungan rekursif (perulangan) untuk fungsi Gamma:

Nilai fungsi Gamma umumnya telah ditabelkan untuk 1 <p< 2. Hubungan tersebut dapat digunakan untuk mencari nilai fungsi Gamma untuk p tertentu yang tidak ditabelkan.

Misalnya:(5/ 2) (3/ 2 1) (3/ 2)(3/ 2)(7 / 2) (5 / 2 1) (5 / 2)(5/ 2) (5/ 2)(3/ 2)(3/ 2)

Sehingga

Contoh lain:

→ Tabel fungsi Gamma

→ Tabel fungsi Gamma

3. Fungsi Gamma untuk Bilangan Negative.Dengan cara yang sama dapat dicari nilai fungsi Gamma untuk nilai p negative

Dan

Karena (1) = 1 dan dari hubungan tersebut di atas, maka dapat dinyatakan:

jika p → 0

4. Beberapa Rumus Penting yg Melibatkan Fungsi Gamma.

{ definisi fungsi Gamma untuk p = 0,5}dengan mengubah variabelnya menggunakan √t = y → t = y2 ; dt = 2ydy, maka (1/2) dapat dinyatakan menjadi

→ dapat pula dituliskan

Bila keduanya dikalikan

dan diselesaikan dengan menggunakan sistem koordinat polar, maka didapat

Sehingga

Contoh plot fungsi gamma

Tabel Nilai Fungsi Gamma

5. Fungsi BetaFungsi Beta didefinisikan sebagai

Bentuk-bentuk lainnya dari fungsi Beta dapat diperoleh dengan mengganti variabel-variabelnya. Misalnya dengan menggunakan variabel baru y = ax yang berarti x = y/a, maka akan diperoleh dx dy / a

Batas integralpun harus diubah. Jika x = 0 maka y = 0 dan untuk x = 1 maka y = a. Fungsi Beta B(p,q) dituliskan kembali dalam bentuk:

yang akan memberikan:

Untuk mendapatkan bentuk fungsi Beta dalam variabel sudut (trigonometri), lakukan substitusi x = sin2yang memberikan dx = 2sincosd.

Lakukan substitusi untuk batas integral. Untuk x = 0 berarti = 0 sedangkan jika x = 1 berarti = /2. Dengan demikian fungsi Beta B(p,q) dituliskan dalam variabel baru menjadi:

Bentuk lainnya misalkan yang melibatkan batas integral dari 0 sampai . Lakukan substitusi dengan variabel baru y di mana x = y/(1 + y) dengan variabel baru tersebut dapat dinyatakan:

Dan

Maka

Fungsi Beta dapat dihitung dengan menggunakan hubungannya dengan fungsi Gamma yang beberapa nilainya telah ditabelkan.

Fungsi gamma untuk p dinyatakan sebagai

Jika digunakan variabel baru y di mana t = y2 maka fungsi Gamma tersebut menjadi

Jika variabel dummy dalam integral diubah menjadi variabel lain, dapat dituliskan:

Bila kedua integral tersebut dikalikan dan digunakan sistem koordinat polar maka akan diperoleh

Sedangkan

Sehingga .

Dengan demikian fungsi Beta dapat dinyatakan dalam fungsi Gamma

Dengan hubungan tersebut, bentuk integral yang dinyatakan dalam fungsi Beta dapat diperoleh nilainya dengan menggunakan tabel fungsi Gamma.Misalkan untuk menghitung integral

Integral tersebut dapat dinyatakan dalam fungsi Beta dengan p = 4 dan q = 1. Dan menggunakan fungsi Gamma dapat dituliskan:

Contoh PenggunaanSuatu pendulum sederhana dengan panjang tali l dan massa m. Telah pernahdibahas bahwa energi kinetik sistem tersebut dapat dinyatakan

Sedangkan energi potensialnyaV = - mgl cosθLagrangian sistem tersebut adalah

dan persamaan Lagrangenya adalah

Biasanya dianalisa untuk gerak dengan sudut simpangan yang kecil yang memberikan solusi berupa gerak harmonik sederhana. Namun untuk sudut simpangan yang tidak kecil, penggunaan fungsi Beta akan dapat membantu. Jika persamaan differensial di atas dikalikan dengan d/dt maka akan diperoleh

Misalkan untuk gerak dengan dari -/2 sampai +/2 untuk keadaan ini pada = 90 sehingga const = 0 maka diperoleh

Untuk dari 0 sampai /2 dapat dinyatakan

atau periodanya adalah

Integral tersebut dapat dinyatakan sebagai fungsi Beta:

Fungsi ErrorFungsi Error menyatakan luas daerah di bawah kurva . Fungsi Error didefinisikan dalam bentuk

Definisi tersebut adalah definisi standard fungsi Error, meskipun demikian terdapat beberapa bentuk integral yang dapat dinyatakan dalam fungsi Error.

Misalkan t = u√(2) maka t2 = 2u2 dan dt = √(2) du, maka

Suku kedua dapat dinyatakan sebagai fungsi Error

sedangkan suku pertama karena merupakan integral dari suatu fungsi genap maka dapat dituliskan sebagai

Sehingga

Fungsi (x) dikenal sebagai fungsi distribusi normal standard = fungsi distribusi kumulatif Gauss (Gaussian cumulative distribution function) yang banyak dijumpai dalam persoalan statistika.Ada juga fungsi yang disebut sebagai fungsi error pelengkap (complementary error function) yang dinyatakan dengan erfc(x). Definisinya adalah

Bila integral tersebut diuraikan, dapat dinyatakan

Sehingga dapat dinyatakan

Dengan menggunakan definisi fungsi error, maka dapat dinyatakan

Untuk nilai x yang kecil fungsi erf(x) dapat dinyatakan dengan deret:

Fungsi error imajiner (imaginary error function) yang dinyatakan dengan erfi(x) didefinisikan sebagai