Fungsi Beberapa Variabel (Perubah)

Contoh2 : - Volume silinder (V) sebagai fungsi dari jari-jari ( r ) dan

tinggi (h): V = r2 h.

- f merupakan fungsi dari 2 variabel(perubah) x dan y: f(x,y) = x + y, x, y, f(x,y) R

- Fungsi 4 perubah: Sejumlah panas (A) dilepaskan ke udara pada waktu t=0 dalam suatu medium dg difusi k, maka suhu (T) di titik (x,y,z) pada saat t > 0 adalah

konstanta dan ,

4exp

4),,,(

222

2/3kA

kt

zyx

kt

AtzyxT

Definisi:Fungsi dua variabel terdefinisi pada bidang domain D adalah suatu aturan pemetaan dimana setiap titik (x,y) di dalam D berasosiasi dengan satu bilangan real(nyata) z=f(x,y) R.

Contoh1:Tentukan domain fungsi

2225),( yxyxf 25|),( 222 yxRyxD

1

2),(

y

xyxf }1{,0|),( RyxyxD

Soal: Gambarkanlah pd bidang-xy domain dari

Menentukan domain:- hindari akar bilangan negatif- hindari pembagian dengan 0

Range dari fungsi dua perubah membentuk

suatu permukaan.

)2)(1(),(.3

sin),(.2

/),(.1

2

yx

xyyxh

yxyxg

xyxyyxf

Fungsi2 dua variable umum diketahui dan dikenal:Tekanan atmosfir disekitar suatu pulau

adalah fungsi dari longitudinal dan ketinggian di atas permukaan air laut.

Pada senar gitar, posisi suatu titik sejauh x pada saat t dapat dimodelkan untuk selang waktu singkat sebagai

f(x,t)=A sin(x) cos(t)

Visualisasi fungsi dua variabel sulit, dibutuhkan tehnik2 sistematis.

Fungsi dua variable dapat dimengerti melalui Tabel Plot daripada peta kontur Plot daripada irisan kurva permukaan Plot kurva permukaan

Peta Kontur

Misalkan f(x,y) fungsi dg dua perubah; dan c adl konstanta. Himpunan semua titik (x,y) dimana fgs bernilai c:

{(x,y)| f(x,y) = c}

disebut kurva tingkat dari fungsi f. Himpunan kurva2 tingkat disebut peta kontur.

Kontur dari f(x,y) = x + y

Soal:

Gambarlah kurva

tingkat z = k untuk

nilai2 k yang diberikan:

4,3,2,1,0,22 kyxz

Grafik 3-D dari 4,3,2,1,0,22 kyxz

Permukaan paraboloid z = g(x,y) = x2 + y2 dan peta konturnya

Review Turunan

Untuk fungsi satu variabel f(x), turunan di titik x0 didefinisikan

Secara geometri f’(x), adalah kemiringan dari garis tangen (grs. singgung) f di x0

h

xfhxfxf

dx

dfh

xx

)()(lim)(' 00

00

0

Turunan Parsial

Misalkan z = f(x,y) fungsi 2 variabel yg terdefinisi disekitar titik (x,y). Turunan parsial dari f terhadap x adalah turunan z terhdp x dimana hanya variabel x saja yg diasumsikan berubah, dan y tetap konstan. Mengukur kecepatan perubahan z thdp x sementara y konstan.

Turunan parsial z = f(x,y) terhdp x ditulis

didefinisikan sbb.

h

yxfyhxfyxfyxf

x hx

),(),(lim),(),(

0

),(),( yxfyxfx

zx x

Turunan parsial z = f(x,y) terhdp y ditulis

didefinisikan sbb.

Contoh:

),(),( yxfyxfy

zy y

k

yxfkyxfyxfyxf

y ky

),(),(lim),(),(

0

.22lim2

lim

][])[(lim

),(),(lim),(

x

:Lengkapnya

.2maka),(

0

2

0

2222

00

22

xhxh

hxh

h

yxyhx

h

yxgyhxgyxg

xzx

yxyxgz

hh

hh

Misalkan z = f(x,y) merupakan suatu permukaan. Persamaan y = b merepresentasikan bidang vertikal sejajar bidang xz, dan memotong permukaan z, garis potongnya membentuk kurva z= f(x,b) disebut kurva-x.

Nilai dari turunan parsial fx(a,b) adalah gradien/kemiringan dari garis tangen di titik P(a,b,c) pada kurva-x yang melalui P pada permukaan z = f(x,y).

Hal yg sama, fy(a,b) adalah gradien/kemiringan dari garis tangen di titik P(a,b,c) pada kurva-y yang melalui P pada permukaan z = f(x,y).

Menentukan bidang tangen pada permukaan

Untuk fungsi dua variable, bidang tangen pada z=f(x,y) di titik (x0, y0) adalah bidang yg melalui(menyinggung) titik (x0, y0 , f (x0, y0 )), bidang tsb. menyentuh permukaan z hanya di satu titik.

Definisi: Bidang tangen di titik P(a,b) pada permukaan z = f(x,y) adalah bidang yg melalui P dan memuat garis-garis tangen di P pada kurva-x dan kurva-y.

Syarat: turunan parsial fx(x,y), fy(x,y) kontinu di daerah (cakram) sekitar (a,b).

Persamaan bidang tangen pada permukaan z = f(x,y) di titik P(a,b, f(a,b)) adalah

z – f(a,b) = fx(a,b) (x-a) + fy(a,b) (y-b)

Soal:

Tulis persamaan bidang tangen pada paraboloida z = 5 – 2x2 – y2 di titik P(1,1,2)

fx(x,y)= ? fy(x,y)= ?

Solusi: z – 2=-4(x-1)-2(y-1)

Fungsi tiga atau lebih perubah (variabel)

Turunan parsial orde-tinggi

fDfDfx

f

x

xxxfxf

ii xixi

i

n

: variable terhadapparsialTurunan

),,,()( 21

.)(

.)( .)(

2

2

2

2

2

xy

f

x

f

yff

y

f

y

f

yff

x

f

x

f

xff

xyyx

yyyyxxxx

Titik ekstrim lokal

Syarat perlu untuk ekstrim lokal

Mis. f(x,y) mempunyai nilai lokal maximum atau nilai lokal minimum di titik (a,b) dan kedua turunan parsial fx(a,b) dan fy(a,b) ada. Maka

Titik (a,b) disebut titik kritis

),(0),( bafbaf yx

Contoh

Cari titik tertinggi pada permukaan: z = f(x,y) = 2/3 x3 + 4y3 – x4 – y4

Jadi kemungkinan titik2 nya adalah: (0,0) atau (0,3) atau (2,0) atau (2,3). z(0,0) = 0; z(0,3) = 27 z(2,0) = 16/3; z(2,3) = 97/3 maksimum

3atau 0 0)3(4412

2atau 0 0)2(448

232

232

yyyyyyy

z

xxxxxxx

z

Cari biaya minimum membuat kotak dengan volume 48 cm3 jika untuk sisi depan dan belakang biayanya Rp100/cm2, sisi atas dan bawah Rp 200/cm2, dan dua sisi samping Rp 300/cm2.

volume: V = xyz = 48

Biaya membuat kotak:

Selesaikan kedua persamaan ini

y = 2, x = 6, z = 4

yxxyyxB

960028800400),(

096

4100 , 0288

410022

yx

y

B

xy

x

B

x y

z

Mencari nilai maksimum dan minimum absolut dari f(x,y) di bidang R :

1. Tentukan titik2 kritis

2. Cari nilai2 ekstrim yg mungkin pada batas kurva C

3. Bandingkan nilai2 fungsi pada titik2 yg diperoleh dari langkah 1 dan 2

Cari nilai maksimum dan minimum global dari fungsi f(x,y) = xy – x – y + 3 dititik2 daerah segitiga R pada bidang-xy dg titik2 sudut (0,0), (2,0) dan (0,4)

1;1 xfyf yx

R

x (0,0)

(0,4)

y

1. Titik kritis hanya satu: (1,1)2. Periksa di titik2 pada batas kurva:- sepanjang tepi y = 0: f(x,0) = 3 - x, 0 x 2 Fungsi turun ttk ekstrim di x = 0 dan x = 2.- Sepanjang tepi x= 0: f(0,y) = 3 – y, 0 y 4 Fungsi turun ttk ekstrim di (0,0) dan (0,4)- Sepanjang tepi miring y = 4 - 2x z = -2x2+5x –1, 0 x 2 z’ = -4x + 5 =0 x = 5/4. Titik2 ekstrim: (0,4), (5/4,3/2),(2,0)

PR:

Cari titik tertinggi atau terendah dari permukaan z = f(x,y) berikut

Cari nilai max. dan min. fungsi f(x,y) pada daerah bidang R yg diberikan

)exp()1( .2

22 .1222

422

yxxz

yyxxz

1. lingkaran adalah R ;2),( 2.

(0,2)dan (2,0)(0,0),

sudut titik2dg segitigaadalah R ,2),( .1

22

22

yxxyyxf

xyxyxf

Syarat cukup bhw f(x,y) memp. titik ekstrim lokal.

Mis. A = fxx(a,b) B = fxy(a,b) C = fyy(a,b) = AC – B2 (diskriminan)Teorema: f(x,y) mempunyai turunan orde-2 yg kontinu

disekitar titik kritis (a,b) dimana fx(a,b) = 0 = fy(a,b). Maka:

f(a,b) adl lokal min. f jika A > 0 dan > 0;f(a,b) adl lokal max f jika A < 0 dan > 0;f(a,b) bukan keduanya jika < 0, f(a,b) disebut titik sadel.Jika = 0, maka tes gagal, tdk ada kesimpulan.

Contoh: f(x,y) = 3x –x3 –3xy2

(Ttk2 kritis: (1,0), (-1,0), (0,1) (0,-1) )

Aturan Rantai

Misalkan x = g(t) dan y = h(t) fungsi terdeferensial, terdefinisi di t dan misalkan z = f(x,y) mempunyai turunan parsial orde-satu yg kontinu. Maka z = f(x(t), y(t)) terdefinisi di t dan terdeferensial

Contoh:

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

?

; 32

dt

dw

tytxew xy

Mis. Z = f(u, v, x, y) dimana u dan v masing2 fungsi dari x dan y. Disini x dan y sebagai variabel antara dan variabel bebas.

Aturan rantai menghasilkan:

x

f

dx

dv

v

f

dx

du

u

f

dx

dy

y

f

dx

dx

x

f

dx

dv

v

f

dx

du

u

f

dx

dz