Fungsi Gamma Beta Print.ppt - Gunadarma Gamma... · PDF fileTabel Nilai Fungsi Gamma 4.1....

Click here to load reader

  • date post

    06-Feb-2018
  • Category

    Documents

  • view

    290
  • download

    33

Embed Size (px)

Transcript of Fungsi Gamma Beta Print.ppt - Gunadarma Gamma... · PDF fileTabel Nilai Fungsi Gamma 4.1....

  • KALKULUS 4

    Dr. D. L. Crispina Pardede, SSi., DEA.

    SARMAG TEKNIK MESIN

  • 1. Deret Fourier

    1.1. Fungsi Periodik

    1.2. Fungsi Genap dan Ganjil,1.3. Deret Trigonometri,1.4. Bentuk umum Deret Fourier,1.5. Kondisi Dirichlet,1.6. Deret Fourier sinus atau cosinus separuh jangkauan.

    2. Integral Fourier

    KALKULUS 4 - SILABUS

    2. Integral Fourier

    3. Transformasi Laplace

    3.1. Definisi dan sifat Transformasi Laplace3.2. Invers dari transformasi Laplace3.3. Teorema Konvolusi3.4. Penerapan transformasi Laplace dalam penyelesaian P. D.

    dengan syarat batas.4. Fungsi Gamma dan Fungsi Beta

    4.1. Fungsi Gamma

    4.2. Fungsi Beta4.3. Penerapan fungsi Gamma dan fungsi Beta

  • Tabel Nilai Fungsi Gamma

    4.1. Fungsi Gamma

    n (n)

    1,00 1,0000

    1,10 0,9514

    1,20 0,9182 1,20 0,9182

    1,30 0,8975

    1,40 0,8873 1,50 0,8862

    1,60 0,8935

    1,70 0,9086

    1,80 0,9314

    1,90 0,9618 2,00 1,0000

  • Grafik Fungsi Gamma

    4.1. Fungsi Gamma

  • FUNGSI GAMMA : (n)

    4.1. FUNGSI GAMMA

    ==

    bx1nx1ndxexlimdxex)n(

    konvergen untuk n>0

    ==0

    b0

    dxexlimdxex)n(

  • Contoh:

    4.1. Fungsi Gamma

    dxexlim

    dxex)1(

    bx11

    x

    0

    11

    =

    =

    [ ] [ ] 1 ee lim e lim

    dxelim

    dxexlim

    0b

    b

    b

    0

    x

    b

    b

    0

    x

    b

    0

    x11

    b

    =+==

    =

    =

  • Contoh:

    4.1. Fungsi Gamma

    dxexlim

    dxex)2(

    bx1

    x

    0

    12

    =

    =

    ..........

    dxexlim 0

    x1

    b

    =

    =

  • Rumus Rekursi dari Fungsi Gamma

    (n+1) = n (n)

    dimana (1) = 1

    4.1. Fungsi Gamma

    Contoh:1. (2) = (1+1) = 1 (1) = 1.

    2. (3) = (2+1) = 2 (2) = 2.

    3. (3/2) = ( +1) = ().

  • Bila n bilangan bulat positif

    (n+1) = n!

    dimana (1) = 1

    4.1. Fungsi Gamma

    Contoh:1. (2) = (1+1) = 1! = 1.2. (3) = (2+1) = 2! = 2.3. (4) = (3+1) = 3! = 6.

  • Contoh:Hitunglah

    4. (6)

    5. (5)/

    4.1. Fungsi Gamma

    5. (5)/(3)6. (6)/2(3)

  • Bila n bilangan pecahan positif

    (n) = (n-1) . (n-2) . ( )

    dimana 0 < < 1

    4.1. Fungsi Gamma

    Contoh:1. (3/2) = (1/2) (1/2)

    2. (7/2) = (5/2)(3/2)(1/2)(1/2)

    3. (5/3) = (2/3)(2/3).

  • Bila n bilangan pecahan negatif

    4.1. Fungsi Gamma

    n

    )1n()n(

    +=

    atau

    )...1n(n

    )mn()n(

    +=

    m bilangan

  • Contoh:

    4.1. Fungsi Gamma

    +

    =

    =

    +

    =

    13

    12

    1

    3

    2

    1

    3

    12

    3

    2

    3

    =

    =

    4

    3

    2

    1

    2

    1

    2

    3

    2

    1

    2

    1

    2

    3

    2

    3

    2

    32

  • Contoh:

    4.1. Fungsi Gamma

    +

    =

    =

    +

    =

    11

    2

    3

    2

    5

    12

    3

    2

    5

    2

    3

    2

    5

    12

    5

    2

    5

    =

    =

    +

    =

    =

    8

    15

    2

    1

    2

    1

    2

    3

    2

    5

    2

    1

    2

    1

    2

    3

    2

    5

    12

    1

    2

    3

    2

    5

    2

    1

  • Beberapa hubungan dalam fungsi gamma

    4.1. Fungsi Gamma

    = )( 21

    )!1n()n( = )!1n()n( =

    n

    )1n()n(

    +=

    =

    nsin)n1()n(

  • Contoh Soal:

    4.1. Fungsi Gamma

    ( )( )

    ( ) ( )

    21

    25

    .3

    ( )

    ( )1 .2

    2

    5 .1

    ( ) ( )

    ( )

    ( )( )

    325

    386

    .5

    5,5

    5,23 .4

    ( )

    ( )( )

    21

    21

    .3

    21 .2

  • Penggunaan Fungsi Gamma

    ==

    ==

    0y maka 0, x bila

    dy dx y 2x Misalkan

    :awabJ

    21

    4.1. Fungsi Gamma

    0

    x26dxex Hitung .1

    ==

    ==

    y maka , x bila

    0y maka 0, x bila

    8 45

    2

    6! (7) )(

    dyey )( dyey )(

    dyey)( dye)y( dxex

    7

    7

    21

    0

    y1-77

    21

    0

    y67

    21

    0

    y67

    21

    0

    21

    y6

    21

    0

    x26

    ===

    ==

    ==

  • 4.1. Fungsi Gamma

    =

    0

    x y substitusidengan dye y Hitung .233y

    ==

    ==

    ==

    y maka , x bila

    0y maka 0, x bila

    dy 3y dx x y Misalkan :awabJ23

    ===

    ==

    =

    =

    3

    1)(

    3

    1dx e x

    3

    1

    dx e x3

    1 dx e x

    3

    1

    dxx 3

    1 e xdx

    x 3

    1 e x dye y

    21

    x-

    0

    121

    x-

    0

    21

    x-

    0

    32

    61

    x-

    0

    61

    23

    1

    x-

    0

    31

    03

    2

    3y

  • 4.1. Fungsi Gamma

    u ln x substitusidengan

    ln x-

    dx

    Hitung .3

    1

    0

    =

    0 u maka ,1 x bila dan u maka 0, x Bila

    due- xd e x u ln x Misalkan

    :awabJu-u-

    ====

    ===

    0 u maka ,1 x bila dan u maka 0, x Bila ====

    ===

    ==

    )( du e u

    du )e( u u

    due-

    ln x-

    dx

    21

    0

    001

    0

    u-

    u--u

    21

    21

  • FUNGSI BETA dinyatakan sebagai

    4.2. FUNGSI BETA

    =

    1

    0

    1n1mdx)x1(x)n,m(B

    konvergen untuk m > 0 dan n > 0.

    Sifat: B(m,n) = B(n,m)

    Bukti:

    0

  • Bukti:

    4.2. Fungsi Beta

    dx)y()y1(

    dx)x1(x)n,m(B

    11n1m

    1

    0

    1n1m

    =

    =

    Terbukti

    )m,n(B

    dx)y1()y(

    dx)y()y1(

    1

    0

    1m1n

    0

    =

    =

    =

  • HUBUNGAN Fungsi Beta dengan Fungsi Gamma

    4.2. Fungsi Beta

    )n( )m()n,m(B

    =

    )nm(

    )n( )m()n,m(B

    +

    =

  • Contoh:1. Hitung B(3,5).Jawab:

    4.2. Fungsi Beta

    )5( )3()5( )3( ......

    )8(

    )5( )3(

    )53(

    )5( )3()5,3(B =

    =

    +

    =

  • Contoh:2. Hitung B(5 , 2).Jawab:

    3. Hitung B(3/ , 2).

    4.2. Fungsi Beta

    3. Hitung B(3/2 , 2).Jawab:

    4. Hitung B(1/3 , 2/3).

    Jawab:

  • Penggunaan Fungsi Beta

    4.2. Fungsi Beta

    1

    0

    34dx)x1(x Hitung .1

    :Jawab11

    280

    1

    !8

    !3 !4

    4) (5

    (4) (5)

    )4,5(B

    dx)x1(x dx)x1(x

    1

    0

    141-51

    0

    34

    =

    =+

    =

    =

    =

  • 4.2. Fungsi Beta

    2

    0

    2

    x2

    dxx Hitung .2

    du 2 dx 2u x Misalkan :Jawab ==

    ...)(3,B 24

    du)u1(u 24 u1

    duu

    2

    8

    u12

    duu8

    u22

    du2)u2(

    x2

    dxx

    21

    1

    0

    21

    0

    2

    1

    0

    21

    0

    22

    0

    2

    21

    ==

    =

    =

    =

    =

  • Penggunaan Fungsi Beta

    4.2. Fungsi Beta

    dy yay Hitung .3

    a

    0

    224

  • LATIHAN

    dx e x Hitung .3

    dx e x Hitung .2

    x4

    0

    x4

    )(

    )()3( b).

    )3()4(2

    )7( a). Hitung .1

    29

    23

    dx e x Hitung .3

    0

    x4

    du u)-4( u Hitung .6

    dx )x1( x Hitung .5

    42/53/2

    132

    0

    0

    )32,3

    12

    3 (B b). 2) ,(B a). Hitung .4