Limit dan Turunan Fungsi Dua Peubah

2/13/2019

Limit Fungsi Dua Peubah

Definisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y) mendekati (a,b) ditulis

Jika ε > 0 > 0

L)y,x(flim)b,a()y,x(

=→

berlaku( ) ( ) −−−22

byax0 −L)y,x(f

x

y

z

(a,b)

Z =f(x,y)

L

L+ε

L–ε

2/13/2019

Catatan

L)y,x(flim)b,a()y,x(

=→

ada jika L)y,x(flim)b,a()y,x(

=→

kurva yang melalui (a,b).

untuk sembarang

Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R2 yang melalui

kurva, maka dikatakan )y,x(flim)b,a()y,x( →

berbeda untuk masing-masing)y,x(flim)b,a()y,x( →

(a,b) dengan nilai

tidak ada.

. (a,b)

2/13/2019

Contoh

Buktikan bahwa limit 22)0,0(),(lim

yx

xyyx +→

Jawab

22),(

yx

xyyxf

+= terdefinisi di Df = R2 – {(0,0)}

Di sepanjang garis y = 0, kecuali x = 0, maka nilai f adalah

00

0.)0,(

22=

+=x

xxf

Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = 0 adalah

00

0.lim)0,(lim

22)0,0()0,()0,0()0,(=

+=

→→ x

xxf

xx

berikut tidak ada

2/13/2019

Contoh (Lanjutan)

Di sepanjang garis y = x, maka nilai f adalah

2

1.),(

22=

+=

xx

xxxxf

Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = x adalah

2

1.lim),(lim

22)0,0(),()0,0(),(=

+=

→→ xx

xxxxf

xxxx

Karena ),(lim)0,(lim)0,0(),()0,0()0,(

xxfxfxxx →→

maka

22)0,0(),(lim

yx

xyyx +→

tidak ada

2/13/2019

Latihan

1.22

22

)0,0()y,x( yx

yxlim

+

−

→

2.24

2

)0,0()y,x( yx

yxlim

+→

Buktikan bahwa limit berikut tidak ada

3.62

43

)0,0()y,x( yx

yxlim

+

+

→

2/13/2019

KekontinuanDefinisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jika

ada)y,x(flim)b,a()y,x( →

i. f(a,b) terdefinisi

ii.

)b,a(f)y,x(flim)b,a()y,x(

=→

iii.

Teorema:

1. Polinom dengan m peubah kontinu di Rm

2. Fungsi rasional m peubah f(x,y) = p(x,y)/q(x,y) kontinu pada Df asalkan q(x,y) ≠ 0

3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f fungsi satu peubah kontinu di g(a,b), maka f0g kontinu di (a,b), didefinisikan f0g (x,y) = f(g(x,y))

2/13/2019

Contoh KekontinuanSelidiki kekontinuan fungsi berikut:

1. f(x,y) =)x4y(

y3x22 −

+

2. f(x,y) = )yxy4xcos( 22 +−

Kontinu dimana-mana (R2) kecuali di parobola y2=4x

Misal g(x,y) = x2-4xy+y2 (Polinom) → g kontinu dimana-mana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R.Maka f(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang

2/13/2019

Turunan Parsial

Definisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi duapeubah x dan y.

1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagaiberikut

h

)y,x(f)y,hx(flim)y,x(f

0hx

−+=

→

2. Turunan parsial pertama dari f terhadap y (x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut

h

)y,x(f)hy,x(flim)y,x(f

0hy

−+=

→

2/13/2019

Contoh:

1. 23 xy4yx)y,x(f +=

Tentukan fx dan fy

Jawab

fx(x,y) = 3 x2 y + 4 y2

fy(x,y) = x3 + 8 xy

2. )yxcos(y)y,x(f 22 +=

3. =y

xdttsinln)y,x(f

Jawab

fx(x,y) = –2xy sin(x2 + y2)

fy(x,y) = cos(x2+y2)– 2y2 sin(x2+y2)

Jawab

fx(x,y) = – ln(sinx)

fy(x,y) = ln(siny)

2/13/2019

Latihan1.

2.

3( , ) cos( ) sin(2 )f x y x x y y xy= + +

=y

x

tdteyxf cos),(

Tentukan fx dan fy

1. xzzyxyzyxf 3),,( 2 ++=

2. xyzyxzyxf 2)cos(),,( +−=

Tentukan fx, fy dan fz

2/13/2019

Turunan Parsial Kedua

2

2

),(x

f

x

f

xyxfxx

=

=

2

2

),(y

f

y

f

yyxfyy

=

=

xy

f

x

f

yyxfxy

=

=

2

),(

yx

f

y

f

xyxfyx

=

=

2

),(

2/13/2019

Contoh

1. f(x,y)= x y3 + y3x2

Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx

Jawab

fx(x,y) = y3 + 2xy3

fy(x,y) = 3xy2 + 3x2y2

fxx(x,y) = 2y3

fxy(x,y) = 3y2 + 6xy2

fyy(x,y) = 6xy + 6x2y

fyx(x,y) = 3y2 + 6xy2

2/13/2019

Contoh

2. f(x,y) = xy sin(x2+2xy+y3)

Jawab

fx(x,y) = y sin(x2+2xy+y3) + xy(2x+2y) cos(x2+2xy+y3)

fy(x,y) = x sin(x2+2xy+y3)+xy(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3)

fxx(x,y) =y(2x+2y)cos(x2+2xy+y3)+(4xy+2y2)cos(x2+2xy+y3)

fxy(x,y) = sin(x2+2xy+y3)+y(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3)

fyy(x,y) =(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)+(2x2+9xy2)sin(x2+2xy+y3)

fyx(x,y) = sin(x2+2xy+y3)+x(2x+2y)cos(x2+2xy+y3)

– xy(2x+2y)2 sin(x2+2xy+y3)

+(2x2+4xy)cos(x2+2xy+y3)–xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)

–xy(2x+3y2)2 sin(x2+2xy+y3)

+(4xy+3y3)cos(x2+2xy+y3)–xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)

2/13/2019

LatihanTentukan fxx, fyy ,fxy, fyx

1. f(x,y) = x cos(xy) + xy ex+y

2. f(x,y) = ln(x2 + 2 xy + y3)

3. f(x,y) = tan-1(y2/x)

4. f(x,y) =ln(x2+2xy+y2)

5. f(x,y) = (2x-y)/(xy)

2/13/2019

Arti Geometri Turunan Parsial

Perpotongan bidang y = b dengan fungsipermukaan f(x,y) berupa sebuah kurva(lengkungan s) pada permukaan tersebut.

Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x di titik(a,b) merupakan gradien garis singgungterhadap kurva s pada titik (a,b,f(a,b)) dalamarah sejajar sumbu x.

z

x

y

(a, b)

s

y konstan

0 0( , )x gs

zf x y m

x

= =

2/13/2019

Arti Geometri Turunan Pertama (2)

Perpotongan bidang x = a dengan fungsipermukaan f(x,y) berupa sebuah kurva(lengkungan s) pada permukaan tersebut.

Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y di titik(a,b) merupakan gradien garis singgungterhadap kurva s pada titik (a,b,f(a,b)) dalamarah sejajar sumbu y.

z

x

y(a, b)

s

x konstan

0 0( , )y gs

zf x y m

y

= =

2/13/2019

2/13/2019

Soal 1Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan

36 z= 4x2 + 9y2 dengan x = 3 di titik (3,2,2)

Jawab:

yy

zyxfy

2

1),( =

=

Turunan parsial terhadap y adalah

Sehingga didapat 1)2,3( =

=y

zfy

. Bilangan ini adalah

menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurvatersebut di (3,2,2)yaitu 1/1.

Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) dan melalui titik (3,2,2), sehinggapersamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah

x = 3, y = 2 + t , z = 2 + t

Soal 2

Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan

2z =(9x2+9y2-36) dengan bidang y=1 di titik (2, 1,(3/2))

Jawab:

36992

9

36994

18),(

2222 −+=

−+=

=

yx

x

yx

x

x

zyxfx

Turunan parsial terhadap x adalah

Sehingga didapat (2,1) 3x

zf

x

= =

. Bilangan ini adalah

menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurvatersebut di (2,1,(3/2)) yaitu 3/1.

Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan melalui titik (2,1,(3/2)), sehinggapersamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah

x = 2+t, y = 1 , z = 3/2 + 3 t

2/13/2019

Latihan

1. Permukaan 3z = 36 − 9𝑥2 − 4𝑦2 dengan bidang x = 1 di titik (1, 2, 11/3)

2. Permukaan 4z =5 16−x2 dengan bidang y=3 di titik (2, 3, 5 3/4)

Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurva

perpotongan

2/13/2019

Vektor GradienMisalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D R2

• Definisi

Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) D, didefinisikan sebagai

j)y,x(fi)y,x(f)y,x(f yx +=

adalah vektor satuan di arah sumbu x,y positif

Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y)

j,i

Definisi

Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah

k)z,y,x(fj)z,y,x(fi)z,y,x(f)z,y,x(f zyx ++=

adalah vektor satuan di arah sumbu x,y,z positifk,j,i

2/13/2019

Contoh

Tentukan ),( yxf

dan )1,1( −−f

dari xyexyxf =),(

xyxyx xyeeyxf +=),(

Jawab

xyy exyxf 2),( =

eeefx 2)1,1( =+=−−

efy =−− )1,1(

( ) jexixyeeyxf xyxyxy ˆˆ),( 2++=

jeief ˆˆ2)1,1( +=−−

Sehingga diperoleh:

2/13/2019

Latihan

I. Tentukan f

dari

1.yx

yxyxf

+=

2

),(

2. 22ln),( yxyxf +=

3. ( )yxyxf 23sin),( =

4. )ln(),( yxxyyxf +=

II. Tentukan f

di titik yang diberikan

1. 22),( xyyxyxf −=

2. )4ln(),( 323 yxyxyxf +−=

3.y

xyxf

2

),( =

di P (– 2,3)

di P (– 1, 1)

di P (2, –1)

5. zxeyxzyxf −= 2),,( 6. 2( , , ) secyf x y z xe z−=

2/13/2019

Aturan RantaiMisalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t

dan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t))

Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan

didefinisikan sebagaidz z dx z dy

dt x dt y dt

= +

Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka

( )iz z x z y

s x s y s

= +

( )iiz z x z y

t x t y t

= +

2/13/2019

Contoh

1. Misalkan w = x2 y3 dengan x = t3 dan y = t2, tentukandt

dw

Jawab:

dw w dx w dy

dt x dt y dt

= +

= 2x y3 (3t2)+3 x2 y2(2t)

= 2t3 (t2)3 (3t2)+3 (t3)2 (t2)2(2t)

= 2t3. t6. 3t2+3 t6. t4. 2t

= 6t11+6 t11 = 12 t11

2/13/2019

Contoh

2. Misalkan z = 3x2 – y2 dengan x = 2s +7t dan y = 5st,

z

t

Jawab:

z z x z y

t x t y t

= +

= 42 (2s +7t) – 50 s2t

= 6x.7 + (–2y) 5s

tentukanz

s

dan

z z x z y

s x s y s

= +

= 12 (2s+7t) – 50 st2

= 6x.2 + (–2y) 5 t

2/13/2019

Latihan

1. Tentukandt

dw(dalam t)

a. w = x2 y – y2x ; x = cos t, y = sin t

b. w = ex siny – eysin x ; x = 3t, y = 2t

c. w = sin(xyz2) ; x = t3, y = t2 , z =t

2. Tentukant

w

(dalam t dan s)

a. w = x2 – y lnx ; x = s/t, y = s2 t

b. w = ; x = s sin t, y = t sin s22 yxe +