Rangkuman MA2072: Matematika Teknik 1Kalkulus Diferensial VektorAdvance Engineering Mathematics, ch. 9 Adji Gunhardi 13210015

Vektor dan Medan Skalar Operasi vektor standar Diberikan Vektor Vektor Konstanta c Penjumlahan: Perkalian skalar: Panjang vektor:

Dot Product Vektor

abp|p| = a b

adalah sudut antara vektor a dan vektor b Sehingga, Sifat distributif: Sifat simetris: Arti fisis dot product:a b adalah panjang vektor proyeksi vektor a pada vektor b.

Cross Product Vektor

Prinsip cross product (aturan tangan kanan)

Tidak bersifat simetris Arti fisis cross product:

adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor a pada vektor b.

Triple skalar product

Vektor Kalkulus(dari rangkuman Kalkulus 2A bab 12) Jika , maka Nilai Limit: Turunannya: Integralnya Tak Terbatas: Terbatas:

Persamaan Parameter Vektor(dari rangkuman Kalkulus 2A bab 12) Jika diketahui garis yang melalui titik P(x0, y0, dan z0) mempunyai vektor arah maka persamaan parameter dari garis tersebut

Dan persamaan simetriknya

Vektor Singgung Kurva

Jika diketahui kurva , maka garis singgung kurva tersebut mempunyai vektor arah. Dalam vektor satuan, vektor singgung satuan,

Aturan rantai (baca juga kalkulus 2A bab 12)

wuyxzv Jika kontinu dan mempunyai turunan parsial pertama yang kontunu dalam R3. Jika , , dan juga merupakan fungsi yang kontinu dan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu. Maka

Gradien dan operator nabla. Gradien : Operator nabla: Representasi fisik gradien sebagai vektor normal pada permukaan Hasil gradien adalah sebuah vektor.

Turunan Berarah.(dari rangkuman Kalkulus 2A bab 12) Jika f dapat didiferensialkan di p, maka f mempunyai turunan berarah di p dengan arah sesuai dengan vektor satuan : Hasil gradien adalah sebuah skalar/bilangan. Warning: u harus berupa vektor satuan. Jika bukan vektor satuan, maka harus dibuat menjadi vektor satuan dulu. . Arti fisis: perubahan rata-rata nilai f pada arah tertentu Laju Perubahan Maksimum Nilai f meningkat sangat cepat di p dengan arah sama dengan arah gradien. Nilai f menurun sangat cepat di p dengan arah berlawanan dengan arah gradien. Besar lajunya adalah

Panjang lintasan fungsi berparameter r(t)

Medan Vektor Divergensi Jika diberikan sebuah medan vektor

Hasil divergensi adalah sebuah fungsi skalar dalam x, y, z. Arti fisis divergensi: Mengukur besar perubahan dari sebuah daerah (kompresi dan ekspansi).Dalam bahasa Inggris: the divergences measures outflow minus inflow.

Curl Jika diberikan sebuah medan vektor

Hasil divergensi adalah sebuah fungsi vektor

Hubungan gradien, divergensi, dan curl

Medan vektor F konservatif Medan vektor dikatakan konservatif jika curl F = 0, sehingga ada sebuah fungsi medan skalar f sedemikian sehingga . Warning: jangan dibalik, tidak berarti kalo curl F = 0 maka medan vektor F konservatif.

Rangkuman MA2072: Matematika Teknik 1Kalkulus Integral VektorAdvance Engineering Mathematics, ch. 10 Adji Gunhardi 13210015

Dimensi Dua Integral garis Jika , maka integral garis dari sebuah fungsi vektor F

Sifat integral garis

Path Independence / bebas lintasan Nilai dari integral garis pada kurva C tidak bergantung pada lintasan (hanya bergantung oleh titik awal dan titik akhir) jika:

F = grad f sehingga , , dan Jika nilai integral tertutup pada domain yang sama = 0. Curl F = 0.

Diketahui F adalah medan vektor dan f adalah medan skalar . Jika curl F = 0 maka F = grad f, maka nilai integral garis dari F dari titik A ke titik B adalah

Integral lipat dua.

Aplikasi integral lipat dua: mencari luas/volume.

Mengubah variabel pada integral lipat dua

Jacobian:

Pengubahan umum: koordinat Cartesian koordinat polar

R adalah daerah pada bidang xy dan R* adalah daerah pada bidang r

Teorema green pada bidang

Jika R adalah sebuah daerah tertutup pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Jika dan merupakan fungsi kontinu, dan mempunyai turunan parsial yang kontinu pada daerah R, maka

Menghitung luas area dengan teorema Green Jika F1 = 0 dan F2 = x maka

Jika F1 = -y dan F2 = 0 maka

Maka, luas daerah dapat dinyatakan:

Lebih lanjut lagi, dalam koordinat polar, luas daerah dapat dinyatakan

Teorema divergensi Gauss untuk bidang

n adalah vektor normal satuan dari C . . T adalah vektor singgung satuan. Arti fisis: fluks dari medan vektor F yang melalui permukaan terbuka yang dilingkupi oleh kurva C, sama dengan integral pada daerah R dari rata-rata div F.

Dimensi Tiga / Permukaan Permukaan

Direpresentasikan sebagai atau Dalam fungsi parameter:

Persamaan bidang Jika diketahui 3 titik tidak segaris maka didapatkan sebuah persamaan bidang. Koefisien a, b, dan c didapatkan dengan melakukan SPL pada 3 persamaan hasil subtitusi 3 titik tersebut.

Mencari bidang singung dan vektor normal satuan Jika diketahui: persamaan permukaan S: titik singgung Maka mencari persamaan bidang singgung: Cari fungsi/vektor parameter dari persamaan permukaan. Bisa dengan memisalkan x = u dan v = y. Maka vektor parameter akan menjadi . Cari nilai u dan v agar Cari fungsi vektor parameter bidang singgung

Sehingga hasil menjadi dan dapat dicari fungsi parameternya : , , dan . Kemudian dapat dicari persamaan kartesiannya. Mencari vektor normal

, dimana N adalah . Tambahan,

Pada gambar dan

Luas permukaan

Dengan D adalah daerah definisi dari r pada bidang uv.

Integral permukaan (contoh: Flux pada permukaan)

Dengan S adalah permukaan bidang xy dan R daerah pada bidang uv.

Teorema divergensi Gauss untuk permukaan Jika T adalah sebuah ruang (daerah di ruang) tertutup dengan batas permukaan S dan merupakan fungsi/medan vektor berlaku hubungan

(integral permukaan integral lipat tiga) Arti fisis: fluks dari medan vektor F yang melalui permukaan tertutup yang dilingkupi oleh permukaan F, sama dengan integral pada daerah T dari div F.

Teorema Stokes Jika C merupakan lintasan penutup permukaan S dan merupakan medan vektor yang bekerja maka