DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA -...

20
DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA Pertemuan 11

Transcript of DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA -...

Page 1: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANAPertemuan 11

Page 2: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

1. HAKEKAT DERIVATIF DAN DIFERENSIAL

2. DERIVATIF DARI DERIVATIF

3. HUBUNGAN ANTAR FUNGSI DAN DERIVATIFNYA

Page 3: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

HAKEKAT DERIVATIF DAN DIFERENSIAL

โ€ข Kuesion diferensial ฮ”๐‘ฆ

ฮ”๐‘ฅadalah lereng sesungguhnya (the true slope)

3. Kuesion Diferensial

2. Derivatif

1. Diferensial

โ€ข Suku ๐‘‘๐‘ฆ diferensial dari y, mencerminkan taksiran perubahan pada variabel terikat y berkanaan dengan perubahan sangat kecil pada variabel bebas x.

โ€ข Suku ๐‘‘๐‘ฅ diferensial dari x, yang mencerminkan perubahan sangat kecil pada variabel bebas x.

โ€ข Derivatif ๐‘‘๐‘ฆ

๐‘‘๐‘ฅadalah lereng taksiran (approximated slope) dari kurva y = f(x)

โ€ข Lereng taksiran bisa > atau < atau = lereng sesungguhnya (the true slope).

Page 4: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

Untuk fungsi ๐’š = ๐’‡(๐’™) yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya (berapa pun โˆ†๐’™). Maka derivatif fungsi linear = kuosien

diferensialnya ๐’…๐’š

๐’…๐’™=

๐šซ๐’š

๐šซ๐’™

๐’š = ๐’‡(๐’™)

โˆ†๐’™ = ๐’…๐’™

โˆ†๐’š = ๐’…๐’š

R

P

Q

Perubahan ๐‘ฅ = โˆ†๐‘ฅPerubahan y = โˆ†๐‘ฆDiferensial ๐‘ฅ = ๐‘‘๐‘ฅDiferensial y = ๐‘‘๐‘ฆ

Kuosien diferensial =ฮ”๐‘ฆ

ฮ”๐‘ฅ

Derivatif =๐‘‘๐‘ฆ

๐‘‘๐‘ฅ

๐’…๐’š

๐’…๐’™=๐šซ๐’š

๐šซ๐’™

x

y

0

Page 5: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

x

y

0

Untuk fungsi y = f(x) yang non-linear,

โ€ข Semakin besar โˆ†๐‘ฅ semakin besar pula perbedaan antara lereng taksiran (Derivatif , ๐‘‘๐‘ฆ

๐‘‘๐‘ฅ)

dan lereng sesungguhnya (Kuosien diferensial, ฮ”๐‘ฆ

ฮ”๐‘ฅ).

โ€ข Dengan โˆ†๐‘ฅ yang semakin besar, semakin besar pula perbedaan antara dy dan โˆ†๐‘ฆ,

sehingga semakin besar pula perbedaan ๐’…๐’š

๐’…๐’™dan

๐šซ๐’š

๐šซ๐’™

โ€ข Begitu juga sebaliknya.

Page 6: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

x

y

0

Gambar di atas,(a) Menunjukkan lereng taksiran > lereng sesungguhnya.

dy > โˆ†๐‘ฆ sehingga ๐’…๐’š

๐’…๐’™>

๐šซ๐’š

๐šซ๐’™(derivatif > kuosien difrensial)

(b) Menunjukkan lereng taksiran < lereng sesungguhnya.

dy < โˆ†๐‘ฆ sehingga ๐’…๐’š

๐’…๐’™<

๐šซ๐’š

๐šซ๐’™(derivatif < kuosien difrensial)

๐‘„๐‘… = โˆ†๐‘ฆ๐‘„๐‘† = ๐‘‘๐‘ฆ

S

P

R

Q

โˆ†๐‘ฅ = ๐‘‘๐‘ฅ

(a) x

y

0

๐‘„๐‘… = ๐‘‘๐‘ฆ๐‘„๐‘† = โˆ†๐‘ฆ

S

P

R

Q

โˆ†๐‘ฅ = ๐‘‘๐‘ฅ

(b)

Page 7: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

DERIVATIF DARI DERIVATIF

Setiap fungsi bisa diturunkan lebih dari satu kali

Fungsi awal : y = f(x)

Turunan pertama : ๐‘ฆโ€ฒ โ‰ก ๐‘“โ€ฒ(๐‘ฅ) โ‰ก๐‘‘๐‘ฆ

๐‘‘๐‘ฅโ‰ก

๐‘‘๐‘“(๐‘ฅ)

๐‘‘๐‘ฅ

Turunan kedua : ๐‘ฆโ€ฒโ€ฒ โ‰ก ๐‘“โ€ฒโ€ฒ(๐‘ฅ) โ‰ก๐‘‘2๐‘ฆ

๐‘‘๐‘ฅ2โ‰ก

๐‘‘2๐‘“(๐‘ฅ)

๐‘‘๐‘ฅ2

Turunan ketiga : ๐‘ฆโ€ฒโ€ฒโ€ฒ โ‰ก ๐‘“โ€ฒโ€ฒโ€ฒ(๐‘ฅ) โ‰ก๐‘‘3๐‘ฆ

๐‘‘๐‘ฅ3โ‰ก

๐‘‘3๐‘“(๐‘ฅ)

๐‘‘๐‘ฅ3

Turunan ke-n : ๐‘ฆ๐‘› โ‰ก ๐‘“๐‘›(๐‘ฅ) โ‰ก๐‘‘๐‘›๐‘ฆ

๐‘‘๐‘ฅ๐‘›โ‰ก

๐‘‘๐‘›๐‘“(๐‘ฅ)

๐‘‘๐‘ฅ๐‘›

Page 8: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

Contoh:๐‘ฆ = ๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ3 โˆ’ 4๐‘ฅ2 + 5๐‘ฅ โˆ’ 7

๐‘ฆโ€ฒโ€ฒ =๐‘‘2๐‘ฆ

๐‘‘๐‘ฅ2= 6๐‘ฅ โˆ’ 8

๐‘ฆโ€ฒ =๐‘‘๐‘ฆ

๐‘‘๐‘ฅ= 3๐‘ฅ2 โˆ’ 8๐‘ฅ + 5

๐‘ฆโ€ฒโ€ฒโ€ฒ =๐‘‘3๐‘ฆ

๐‘‘๐‘ฅ3= 6

๐‘ฆโ€ฒ๐‘ฃ =๐‘‘4๐‘ฆ

๐‘‘๐‘ฅ4= 0

Page 9: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

HUBUNGAN ANTAR FUNGSI DAN DERIVATIFNYA

Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun

โ€ข Derivatif pertama dapat menentukan apakah kurva dari fungsi tsb menaik atau menurun.

โ€ข Derivatif pertama dapat pula menunjukkan titik ekstrem sebuah fungsi non linear.

1. Jika derivatif pertama ๐’‡โ€ฒ ๐’‚ > ๐ŸŽ (lereng kurvanya positif pada x = a), maka y = f(x) adalah fungsi menaik pada kedudukan x = a.

2. Jika derivatif pertama ๐’‡โ€ฒ ๐’‚ < ๐ŸŽ (lereng kurvanya negatif pada x = a), maka y = f(x) adalah fungsi menurun pada kedudukan x = a.

Page 10: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

Lereng nol

y=f(x)Lereng negatifFungsi menurun

Lereng positifFungsi menaik

Lereng nol

y

x0

๐‘“โ€ฒ ๐‘Ž > 0, ๐‘ฆ = ๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘š๐‘’๐‘›๐‘Ž๐‘–๐‘˜

๐‘“โ€ฒ ๐‘Ž < 0, ๐‘ฆ = ๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘š๐‘’๐‘›๐‘ข๐‘Ÿ๐‘ข๐‘›

Page 11: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

Uji Tandaโ€ข Jika derivatif pertamanya f โ€™(x) = 0, berarti y = f(x) berada di titik

ekstrimnya.

Untuk menentukan apakah titik ekstrim tsb merupakan titik maksimum atau titik minimum, perlu diuji tanda terhadap f โ€™(a)=0.โ€ข Jika f โ€™(x) > 0 untuk x < a dan fโ€™(x) < 0 untuk x > a, maka titik

ekstrimnya adalah titik maksimum.โ€ข Jika fโ€™(x) < 0 untuk x < a dan fโ€™(x) >0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya

adalah titik minimum.

Page 12: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

Contoh:Tentukan apakah ๐‘ฆ = ๐‘“ ๐‘ฅ =

1

3๐‘ฅ3 โˆ’ 4๐‘ฅ2 + 12๐‘ฅ โˆ’ 5 merupakan fungsi menaik

ataukah fungsi menurun pada x = 5 dan x = 7. Selidiki pula untuk x = 6

๐‘“โ€ฒ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ2 โˆ’ 8๐‘ฅ + 12

๐‘“โ€ฒ 5 = 52 โˆ’ 8 5 + 12 = โˆ’3 (< 0), berarti y = f(x) menurun pada x = 5๐‘“โ€ฒ 7 = 72 โˆ’ 8 7 + 12 = 5(> 0), berarti y = f(x) menaik pada x = 7๐‘“โ€ฒ 6 = 62 โˆ’ 8 6 + 12 = 0, berarti y = f(x) berada pada di titik ekstrim pada x = 6

Karena f โ€™(x) < 0 untuk x < 6 dan f โ€™(x) > 0 untuk x > 6, titik ekstrim pada x = 6 ini adalah titik minimum.

Page 13: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

Titik Ekstrim Fungsi Parabolik

Pada fungsi parabolik,โ€ข Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik

ekstrimnya.โ€ข Derivatif kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrimnya

Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada yโ€™=0 Jika ๐‘ฆโ€ฒโ€ฒ < 0 : Bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya

adalah titik maksimum. Jika ๐‘ฆโ€ฒโ€ฒ > 0 : Bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya

adalah titik minimum.

Page 14: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

Contoh:๐’š = ๐’‡ ๐’™ = ๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ–๐’™ + ๐Ÿ๐Ÿ

๐’šโ€ฒ = ๐’‡โ€ฒ ๐’™ = ๐Ÿ๐’™ โˆ’ ๐Ÿ–

๐’šโ€ฒโ€ฒ = ๐’‡โ€ฒโ€ฒ ๐’™ = ๐Ÿ

Parabola ๐’š = ๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ–๐’™ + ๐Ÿ๐Ÿโ€ข Letak titik ekstrimnya pada turunan pertama yโ€™=0. Pada yโ€™=0, nilai variabel bebas x = 4

dan nilai y = - 4 โ€ข Jenis titik ekstrimnya adalah titik minimum yang berarti bentuk parabolanya terbuka ke

atas karena turunan kedua yโ€> 0

Page 15: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

(4, -4)

๐‘ฆ = ๐‘ฅ2 โˆ’ 8๐‘ฅ + 12

๐‘ฆโ€ฒ = 2๐‘ฅ โˆ’ 8

๐‘ฆโ€ฒโ€ฒ = 2

12

2

6

4

8

10

-4

-8

-2

-6

2 4 6 8

Page 16: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik

Pada fungsi kubik,โ€ข Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik-titik

ekstrimnya.โ€ข Derivatif kedua berguna untuk mengetahui jenis titik-titik

ekstrimnya dan menentukan titik beloknya.

Fungsi kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada yโ€™=0 Jika ๐‘ฆโ€ฒโ€ฒ < 0 ๐‘๐‘Ž๐‘‘๐‘Ž ๐‘ฆโ€ฒ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum Jika ๐‘ฆโ€ฒโ€ฒ > 0 ๐‘๐‘Ž๐‘‘๐‘Ž ๐‘ฆโ€ฒ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada yโ€=0

Page 17: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

Contoh:

๐’š = ๐’‡ ๐’™ =๐Ÿ

๐Ÿ‘๐’™๐Ÿ‘ โˆ’ ๐Ÿ‘๐’™๐Ÿ + ๐Ÿ–๐’™ โˆ’ ๐Ÿ‘

๐’šโ€ฒ = ๐’‡โ€ฒ ๐’™ = ๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ”๐’™ + ๐Ÿ–

๐’šโ€ฒโ€ฒ = ๐’‡โ€ฒโ€ฒ ๐’™ = ๐Ÿ๐’™ โˆ’ ๐Ÿ”

Jika ๐’šโ€ฒ = ๐ŸŽ,

๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ”๐’™ + ๐Ÿ– = ๐ŸŽ(๐ฑ โˆ’ ๐Ÿ)(๐’™ โˆ’ ๐Ÿ’) = ๐ŸŽ๐’™๐Ÿ = ๐Ÿ ๐’…๐’‚๐’ ๐’™๐Ÿ = ๐Ÿ’

Untuk ๐ฑ = ๐’™๐Ÿ = ๐Ÿ

๐’š =๐Ÿ

๐Ÿ‘(๐Ÿ)๐Ÿ‘โˆ’๐Ÿ‘ ๐Ÿ ๐Ÿ + ๐Ÿ– ๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ‘ = ๐Ÿ‘, ๐Ÿ”๐Ÿ•

[Fungsi kubik y=f(x) berada di titik ekstrim maksimum]

๐’šโ€ฒโ€ฒ = ๐Ÿ ๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ” = โˆ’๐Ÿ < ๐ŸŽ[Derivatif kedua negatif]

Untuk ๐ฑ = ๐’™๐Ÿ = ๐Ÿ’

๐’š =๐Ÿ

๐Ÿ‘(๐Ÿ’)๐Ÿ‘โˆ’๐Ÿ‘ ๐Ÿ’ ๐Ÿ + ๐Ÿ– ๐Ÿ’ โˆ’ ๐Ÿ‘ = ๐Ÿ, ๐Ÿ‘๐Ÿ‘

[Fungsi kubik y=f(x) berada di titik ekstrim minimum]

๐’šโ€ฒโ€ฒ = ๐Ÿ ๐Ÿ’ โˆ’ ๐Ÿ” = ๐Ÿ > ๐ŸŽ[Derivatif kedua positif]

Page 18: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

Lanjutan...

๐’š = ๐’‡ ๐’™ =๐Ÿ

๐Ÿ‘๐’™๐Ÿ‘ โˆ’ ๐Ÿ‘๐’™๐Ÿ + ๐Ÿ–๐’™ โˆ’ ๐Ÿ‘

๐’šโ€ฒ = ๐’‡โ€ฒ ๐’™ = ๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ”๐’™ + ๐Ÿ–

๐’šโ€ฒโ€ฒ = ๐’‡โ€ฒโ€ฒ ๐’™ = ๐Ÿ๐’™ โˆ’ ๐Ÿ”

Jika ๐’šโ€ฒโ€ฒ = ๐ŸŽ,2๐’™ โˆ’ ๐Ÿ” = ๐ŸŽ๐’™ = ๐Ÿ‘

Untuk ๐ฑ = ๐Ÿ‘

๐’š =๐Ÿ

๐Ÿ‘(๐Ÿ‘)๐Ÿ‘โˆ’๐Ÿ‘ ๐Ÿ‘ ๐Ÿ + ๐Ÿ– ๐Ÿ‘ โˆ’ ๐Ÿ‘ = ๐Ÿ‘

[Fungsi kubik y=f(x) berada di titik belok]

๐’šโ€ฒ = ๐Ÿ‘๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ” ๐Ÿ + ๐Ÿ– = โˆ’๐Ÿ < ๐ŸŽ[Derivatif pertama berada di titik ekstrim, dalam hal ini titik minimum]

Jadi fungsi kubik ๐‘ฆ =1

3๐‘ฅ3 โˆ’ 3๐‘ฅ2 + 8๐‘ฅ โˆ’ 3 berada di:

โ€ข Titik maksimum pada koordinat (2; 3,67)โ€ข Titik belok pada koordinat (3; 3)โ€ข Titik minimum pada koordinat (4; 2,33)

Page 19: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

2 4

2

4

6

8

6

-2

-4

-6

(2; 3,67)

(3, -1)

(4; 2,33)

(3, 3)๐‘ฆ =

1

3๐‘ฅ3 โˆ’ 3๐‘ฅ2 + 8๐‘ฅ โˆ’ 3

๐‘ฆโ€ฒโ€ฒ = 2๐‘ฅ โˆ’ 6๐‘ฆโ€ฒ = ๐‘ฅ2 โˆ’ 6๐‘ฅ + 8

y

x

Page 20: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - danjunisme.comdanjunisme.com/.../2018/11/Pertemuan-11-Diferensial-Fungsi-Sederhana.pdfUntuk fungsi =๐’‡( )yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya

Terima Kasih