DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA -...

Click here to load reader

  • date post

    11-Aug-2019
  • Category

    Documents

  • view

    226
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA -...

  • DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANAPertemuan 11

  • 1. HAKEKAT DERIVATIF DAN DIFERENSIAL

    2. DERIVATIF DARI DERIVATIF

    3. HUBUNGAN ANTAR FUNGSI DAN DERIVATIFNYA

  • HAKEKAT DERIVATIF DAN DIFERENSIAL

    โ€ข Kuesion diferensial ฮ”๐‘ฆ

    ฮ”๐‘ฅadalah lereng sesungguhnya (the true slope)

    3. Kuesion Diferensial

    2. Derivatif

    1. Diferensial

    โ€ข Suku ๐‘‘๐‘ฆ diferensial dari y, mencerminkan taksiran perubahan pada variabel terikat y berkanaan dengan perubahan sangat kecil pada variabel bebas x.

    โ€ข Suku ๐‘‘๐‘ฅ diferensial dari x, yang mencerminkan perubahan sangat kecil pada variabel bebas x.

    โ€ข Derivatif ๐‘‘๐‘ฆ

    ๐‘‘๐‘ฅadalah lereng taksiran (approximated slope) dari kurva y = f(x)

    โ€ข Lereng taksiran bisa > atau < atau = lereng sesungguhnya (the true slope).

  • Untuk fungsi ๐’š = ๐’‡(๐’™) yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya (berapa pun โˆ†๐’™). Maka derivatif fungsi linear = kuosien

    diferensialnya ๐’…๐’š

    ๐’…๐’™=

    ๐šซ๐’š

    ๐šซ๐’™

    ๐’š = ๐’‡(๐’™)

    โˆ†๐’™ = ๐’…๐’™

    โˆ†๐’š = ๐’…๐’š

    R

    P

    Q

    Perubahan ๐‘ฅ = โˆ†๐‘ฅPerubahan y = โˆ†๐‘ฆDiferensial ๐‘ฅ = ๐‘‘๐‘ฅDiferensial y = ๐‘‘๐‘ฆ

    Kuosien diferensial =ฮ”๐‘ฆ

    ฮ”๐‘ฅ

    Derivatif =๐‘‘๐‘ฆ

    ๐‘‘๐‘ฅ

    ๐’…๐’š

    ๐’…๐’™=๐šซ๐’š

    ๐šซ๐’™

    x

    y

    0

  • x

    y

    0

    Untuk fungsi y = f(x) yang non-linear,

    โ€ข Semakin besar โˆ†๐‘ฅ semakin besar pula perbedaan antara lereng taksiran (Derivatif , ๐‘‘๐‘ฆ

    ๐‘‘๐‘ฅ)

    dan lereng sesungguhnya (Kuosien diferensial, ฮ”๐‘ฆ

    ฮ”๐‘ฅ).

    โ€ข Dengan โˆ†๐‘ฅ yang semakin besar, semakin besar pula perbedaan antara dy dan โˆ†๐‘ฆ,

    sehingga semakin besar pula perbedaan ๐’…๐’š

    ๐’…๐’™dan

    ๐šซ๐’š

    ๐šซ๐’™

    โ€ข Begitu juga sebaliknya.

  • x

    y

    0

    Gambar di atas,(a) Menunjukkan lereng taksiran > lereng sesungguhnya.

    dy > โˆ†๐‘ฆ sehingga ๐’…๐’š

    ๐’…๐’™>

    ๐šซ๐’š

    ๐šซ๐’™(derivatif > kuosien difrensial)

    (b) Menunjukkan lereng taksiran < lereng sesungguhnya.

    dy < โˆ†๐‘ฆ sehingga ๐’…๐’š

    ๐’…๐’™<

    ๐šซ๐’š

    ๐šซ๐’™(derivatif < kuosien difrensial)

    ๐‘„๐‘… = โˆ†๐‘ฆ๐‘„๐‘† = ๐‘‘๐‘ฆ

    S

    P

    R

    Q

    โˆ†๐‘ฅ = ๐‘‘๐‘ฅ

    (a) x

    y

    0

    ๐‘„๐‘… = ๐‘‘๐‘ฆ๐‘„๐‘† = โˆ†๐‘ฆ

    S

    P

    R

    Q

    โˆ†๐‘ฅ = ๐‘‘๐‘ฅ

    (b)

  • DERIVATIF DARI DERIVATIF

    Setiap fungsi bisa diturunkan lebih dari satu kali

    Fungsi awal : y = f(x)

    Turunan pertama : ๐‘ฆโ€ฒ โ‰ก ๐‘“โ€ฒ(๐‘ฅ) โ‰ก๐‘‘๐‘ฆ

    ๐‘‘๐‘ฅโ‰ก

    ๐‘‘๐‘“(๐‘ฅ)

    ๐‘‘๐‘ฅ

    Turunan kedua : ๐‘ฆโ€ฒโ€ฒ โ‰ก ๐‘“โ€ฒโ€ฒ(๐‘ฅ) โ‰ก๐‘‘2๐‘ฆ

    ๐‘‘๐‘ฅ2โ‰ก

    ๐‘‘2๐‘“(๐‘ฅ)

    ๐‘‘๐‘ฅ2

    Turunan ketiga : ๐‘ฆโ€ฒโ€ฒโ€ฒ โ‰ก ๐‘“โ€ฒโ€ฒโ€ฒ(๐‘ฅ) โ‰ก๐‘‘3๐‘ฆ

    ๐‘‘๐‘ฅ3โ‰ก

    ๐‘‘3๐‘“(๐‘ฅ)

    ๐‘‘๐‘ฅ3

    Turunan ke-n : ๐‘ฆ๐‘› โ‰ก ๐‘“๐‘›(๐‘ฅ) โ‰ก๐‘‘๐‘›๐‘ฆ

    ๐‘‘๐‘ฅ๐‘›โ‰ก

    ๐‘‘๐‘›๐‘“(๐‘ฅ)

    ๐‘‘๐‘ฅ๐‘›

  • Contoh:๐‘ฆ = ๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ3 โˆ’ 4๐‘ฅ2 + 5๐‘ฅ โˆ’ 7

    ๐‘ฆโ€ฒโ€ฒ =๐‘‘2๐‘ฆ

    ๐‘‘๐‘ฅ2= 6๐‘ฅ โˆ’ 8

    ๐‘ฆโ€ฒ =๐‘‘๐‘ฆ

    ๐‘‘๐‘ฅ= 3๐‘ฅ2 โˆ’ 8๐‘ฅ + 5

    ๐‘ฆโ€ฒโ€ฒโ€ฒ =๐‘‘3๐‘ฆ

    ๐‘‘๐‘ฅ3= 6

    ๐‘ฆโ€ฒ๐‘ฃ =๐‘‘4๐‘ฆ

    ๐‘‘๐‘ฅ4= 0

  • HUBUNGAN ANTAR FUNGSI DAN DERIVATIFNYA

    Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun

    โ€ข Derivatif pertama dapat menentukan apakah kurva dari fungsi tsb menaik atau menurun.

    โ€ข Derivatif pertama dapat pula menunjukkan titik ekstrem sebuah fungsi non linear.

    1. Jika derivatif pertama ๐’‡โ€ฒ ๐’‚ > ๐ŸŽ (lereng kurvanya positif pada x = a), maka y = f(x) adalah fungsi menaik pada kedudukan x = a.

    2. Jika derivatif pertama ๐’‡โ€ฒ ๐’‚ < ๐ŸŽ (lereng kurvanya negatif pada x = a), maka y = f(x) adalah fungsi menurun pada kedudukan x = a.

  • Lereng nol

    y=f(x)Lereng negatifFungsi menurun

    Lereng positifFungsi menaik

    Lereng nol

    y

    x0

    ๐‘“โ€ฒ ๐‘Ž > 0, ๐‘ฆ = ๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘š๐‘’๐‘›๐‘Ž๐‘–๐‘˜

    ๐‘“โ€ฒ ๐‘Ž < 0, ๐‘ฆ = ๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘š๐‘’๐‘›๐‘ข๐‘Ÿ๐‘ข๐‘›

  • Uji Tandaโ€ข Jika derivatif pertamanya f โ€™(x) = 0, berarti y = f(x) berada di titik

    ekstrimnya.

    Untuk menentukan apakah titik ekstrim tsb merupakan titik maksimum atau titik minimum, perlu diuji tanda terhadap f โ€™(a)=0.โ€ข Jika f โ€™(x) > 0 untuk x < a dan fโ€™(x) < 0 untuk x > a, maka titik

    ekstrimnya adalah titik maksimum.โ€ข Jika fโ€™(x) < 0 untuk x < a dan fโ€™(x) >0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya

    adalah titik minimum.

  • Contoh:Tentukan apakah ๐‘ฆ = ๐‘“ ๐‘ฅ =

    1

    3๐‘ฅ3 โˆ’ 4๐‘ฅ2 + 12๐‘ฅ โˆ’ 5 merupakan fungsi menaik

    ataukah fungsi menurun pada x = 5 dan x = 7. Selidiki pula untuk x = 6

    ๐‘“โ€ฒ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ2 โˆ’ 8๐‘ฅ + 12

    ๐‘“โ€ฒ 5 = 52 โˆ’ 8 5 + 12 = โˆ’3 (< 0), berarti y = f(x) menurun pada x = 5๐‘“โ€ฒ 7 = 72 โˆ’ 8 7 + 12 = 5(> 0), berarti y = f(x) menaik pada x = 7๐‘“โ€ฒ 6 = 62 โˆ’ 8 6 + 12 = 0, berarti y = f(x) berada pada di titik ekstrim pada x = 6

    Karena f โ€™(x) < 0 untuk x < 6 dan f โ€™(x) > 0 untuk x > 6, titik ekstrim pada x = 6 ini adalah titik minimum.

  • Titik Ekstrim Fungsi Parabolik

    Pada fungsi parabolik,โ€ข Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik

    ekstrimnya.โ€ข Derivatif kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrimnya

    Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada yโ€™=0 Jika ๐‘ฆโ€ฒโ€ฒ < 0 : Bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya

    adalah titik maksimum. Jika ๐‘ฆโ€ฒโ€ฒ > 0 : Bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya

    adalah titik minimum.

  • Contoh:๐’š = ๐’‡ ๐’™ = ๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ–๐’™ + ๐Ÿ๐Ÿ

    ๐’šโ€ฒ = ๐’‡โ€ฒ ๐’™ = ๐Ÿ๐’™ โˆ’ ๐Ÿ–

    ๐’šโ€ฒโ€ฒ = ๐’‡โ€ฒโ€ฒ ๐’™ = ๐Ÿ

    Parabola ๐’š = ๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ–๐’™ + ๐Ÿ๐Ÿโ€ข Letak titik ekstrimnya pada turunan pertama yโ€™=0. Pada yโ€™=0, nilai variabel bebas x = 4

    dan nilai y = - 4 โ€ข Jenis titik ekstrimnya adalah titik minimum yang berarti bentuk parabolanya terbuka ke

    atas karena turunan kedua yโ€> 0

  • (4, -4)

    ๐‘ฆ = ๐‘ฅ2 โˆ’ 8๐‘ฅ + 12

    ๐‘ฆโ€ฒ = 2๐‘ฅ โˆ’ 8

    ๐‘ฆโ€ฒโ€ฒ = 2

    12

    2

    6

    4

    8

    10

    -4

    -8

    -2

    -6

    2 4 6 8

  • Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik

    Pada fungsi kubik,โ€ข Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik-titik

    ekstrimnya.โ€ข Derivatif kedua berguna untuk mengetahui jenis titik-titik

    ekstrimnya dan menentukan titik beloknya.

    Fungsi kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada yโ€™=0 Jika ๐‘ฆโ€ฒโ€ฒ < 0 ๐‘๐‘Ž๐‘‘๐‘Ž ๐‘ฆโ€ฒ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum Jika ๐‘ฆโ€ฒโ€ฒ > 0 ๐‘๐‘Ž๐‘‘๐‘Ž ๐‘ฆโ€ฒ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada yโ€=0

  • Contoh:

    ๐’š = ๐’‡ ๐’™ =๐Ÿ

    ๐Ÿ‘๐’™๐Ÿ‘ โˆ’ ๐Ÿ‘๐’™๐Ÿ + ๐Ÿ–๐’™ โˆ’ ๐Ÿ‘

    ๐’šโ€ฒ = ๐’‡โ€ฒ ๐’™ = ๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ”๐’™ + ๐Ÿ–

    ๐’šโ€ฒโ€ฒ = ๐’‡โ€ฒโ€ฒ ๐’™ = ๐Ÿ๐’™ โˆ’ ๐Ÿ”

    Jika ๐’šโ€ฒ = ๐ŸŽ,

    ๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ”๐’™ + ๐Ÿ– = ๐ŸŽ(๐ฑ โˆ’ ๐Ÿ)(๐’™ โˆ’ ๐Ÿ’) = ๐ŸŽ๐’™๐Ÿ = ๐Ÿ ๐’…๐’‚๐’ ๐’™๐Ÿ = ๐Ÿ’

    Untuk ๐ฑ = ๐’™๐Ÿ = ๐Ÿ

    ๐’š =๐Ÿ

    ๐Ÿ‘(๐Ÿ)๐Ÿ‘โˆ’๐Ÿ‘ ๐Ÿ ๐Ÿ + ๐Ÿ– ๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ‘ = ๐Ÿ‘, ๐Ÿ”๐Ÿ•

    [Fungsi kubik y=f(x) berada di titik ekstrim maksimum]

    ๐’šโ€ฒโ€ฒ = ๐Ÿ ๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ” = โˆ’๐Ÿ < ๐ŸŽ[Derivatif kedua negatif]

    Untuk ๐ฑ = ๐’™๐Ÿ = ๐Ÿ’

    ๐’š =๐Ÿ

    ๐Ÿ‘(๐Ÿ’)๐Ÿ‘โˆ’๐Ÿ‘ ๐Ÿ’ ๐Ÿ + ๐Ÿ– ๐Ÿ’ โˆ’ ๐Ÿ‘ = ๐Ÿ, ๐Ÿ‘๐Ÿ‘

    [Fungsi kubik y=f(x) berada di titik ekstrim minimum]

    ๐’šโ€ฒโ€ฒ = ๐Ÿ ๐Ÿ’ โˆ’ ๐Ÿ” = ๐Ÿ > ๐ŸŽ[Derivatif kedua positif]

  • Lanjutan...

    ๐’š = ๐’‡ ๐’™ =๐Ÿ

    ๐Ÿ‘๐’™๐Ÿ‘ โˆ’ ๐Ÿ‘๐’™๐Ÿ + ๐Ÿ–๐’™ โˆ’ ๐Ÿ‘

    ๐’šโ€ฒ = ๐’‡โ€ฒ ๐’™ = ๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ”๐’™ + ๐Ÿ–

    ๐’šโ€ฒโ€ฒ = ๐’‡โ€ฒโ€ฒ ๐’™ = ๐Ÿ๐’™ โˆ’ ๐Ÿ”

    Jika ๐’šโ€ฒโ€ฒ = ๐ŸŽ,2๐’™ โˆ’ ๐Ÿ” = ๐ŸŽ๐’™ = ๐Ÿ‘

    Untuk ๐ฑ = ๐Ÿ‘

    ๐’š =๐Ÿ

    ๐Ÿ‘(๐Ÿ‘)๐Ÿ‘โˆ’๐Ÿ‘ ๐Ÿ‘ ๐Ÿ + ๐Ÿ– ๐Ÿ‘ โˆ’ ๐Ÿ‘ = ๐Ÿ‘

    [Fungsi kubik y=f(x) berada di titik belok]

    ๐’šโ€ฒ = ๐Ÿ‘๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ” ๐Ÿ + ๐Ÿ– = โˆ’๐Ÿ < ๐ŸŽ[Derivatif pertama berada di titik ekstrim, dalam hal ini titik minimum]

    Jadi fungsi kubik ๐‘ฆ =1

    3๐‘ฅ3 โˆ’ 3๐‘ฅ2 + 8๐‘ฅ โˆ’ 3 berada di:

    โ€ข Titik maksimum pada koordinat (2; 3,67)โ€ข Titik belok pada koordinat (3; 3)โ€ข Titik minimum pada koordinat (4; 2,33)

  • 2 4

    2

    4

    6

    8

    6

    -2

    -4

    -6

    (2; 3,67)

    (3, -1)

    (4; 2,33)

    (3, 3)๐‘ฆ =

    1

    3๐‘ฅ3 โˆ’ 3๐‘ฅ2 + 8๐‘ฅ โˆ’ 3

    ๐‘ฆโ€ฒโ€ฒ = 2๐‘ฅ โˆ’ 6๐‘ฆโ€ฒ = ๐‘ฅ2 โˆ’ 6๐‘ฅ + 8

    y

    x

  • Terima Kasih