DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA -...
Transcript of DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA -...
DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANAPertemuan 11
1. HAKEKAT DERIVATIF DAN DIFERENSIAL
2. DERIVATIF DARI DERIVATIF
3. HUBUNGAN ANTAR FUNGSI DAN DERIVATIFNYA
HAKEKAT DERIVATIF DAN DIFERENSIAL
โข Kuesion diferensial ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅadalah lereng sesungguhnya (the true slope)
3. Kuesion Diferensial
2. Derivatif
1. Diferensial
โข Suku ๐๐ฆ diferensial dari y, mencerminkan taksiran perubahan pada variabel terikat y berkanaan dengan perubahan sangat kecil pada variabel bebas x.
โข Suku ๐๐ฅ diferensial dari x, yang mencerminkan perubahan sangat kecil pada variabel bebas x.
โข Derivatif ๐๐ฆ
๐๐ฅadalah lereng taksiran (approximated slope) dari kurva y = f(x)
โข Lereng taksiran bisa > atau < atau = lereng sesungguhnya (the true slope).
Untuk fungsi ๐ = ๐(๐) yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya (berapa pun โ๐). Maka derivatif fungsi linear = kuosien
diferensialnya ๐ ๐
๐ ๐=
๐ซ๐
๐ซ๐
๐ = ๐(๐)
โ๐ = ๐ ๐
โ๐ = ๐ ๐
R
P
Q
Perubahan ๐ฅ = โ๐ฅPerubahan y = โ๐ฆDiferensial ๐ฅ = ๐๐ฅDiferensial y = ๐๐ฆ
Kuosien diferensial =ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ
Derivatif =๐๐ฆ
๐๐ฅ
๐ ๐
๐ ๐=๐ซ๐
๐ซ๐
x
y
0
x
y
0
Untuk fungsi y = f(x) yang non-linear,
โข Semakin besar โ๐ฅ semakin besar pula perbedaan antara lereng taksiran (Derivatif , ๐๐ฆ
๐๐ฅ)
dan lereng sesungguhnya (Kuosien diferensial, ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ).
โข Dengan โ๐ฅ yang semakin besar, semakin besar pula perbedaan antara dy dan โ๐ฆ,
sehingga semakin besar pula perbedaan ๐ ๐
๐ ๐dan
๐ซ๐
๐ซ๐
โข Begitu juga sebaliknya.
x
y
0
Gambar di atas,(a) Menunjukkan lereng taksiran > lereng sesungguhnya.
dy > โ๐ฆ sehingga ๐ ๐
๐ ๐>
๐ซ๐
๐ซ๐(derivatif > kuosien difrensial)
(b) Menunjukkan lereng taksiran < lereng sesungguhnya.
dy < โ๐ฆ sehingga ๐ ๐
๐ ๐<
๐ซ๐
๐ซ๐(derivatif < kuosien difrensial)
๐๐ = โ๐ฆ๐๐ = ๐๐ฆ
S
P
R
Q
โ๐ฅ = ๐๐ฅ
(a) x
y
0
๐๐ = ๐๐ฆ๐๐ = โ๐ฆ
S
P
R
Q
โ๐ฅ = ๐๐ฅ
(b)
DERIVATIF DARI DERIVATIF
Setiap fungsi bisa diturunkan lebih dari satu kali
Fungsi awal : y = f(x)
Turunan pertama : ๐ฆโฒ โก ๐โฒ(๐ฅ) โก๐๐ฆ
๐๐ฅโก
๐๐(๐ฅ)
๐๐ฅ
Turunan kedua : ๐ฆโฒโฒ โก ๐โฒโฒ(๐ฅ) โก๐2๐ฆ
๐๐ฅ2โก
๐2๐(๐ฅ)
๐๐ฅ2
Turunan ketiga : ๐ฆโฒโฒโฒ โก ๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) โก๐3๐ฆ
๐๐ฅ3โก
๐3๐(๐ฅ)
๐๐ฅ3
Turunan ke-n : ๐ฆ๐ โก ๐๐(๐ฅ) โก๐๐๐ฆ
๐๐ฅ๐โก
๐๐๐(๐ฅ)
๐๐ฅ๐
Contoh:๐ฆ = ๐ ๐ฅ = ๐ฅ3 โ 4๐ฅ2 + 5๐ฅ โ 7
๐ฆโฒโฒ =๐2๐ฆ
๐๐ฅ2= 6๐ฅ โ 8
๐ฆโฒ =๐๐ฆ
๐๐ฅ= 3๐ฅ2 โ 8๐ฅ + 5
๐ฆโฒโฒโฒ =๐3๐ฆ
๐๐ฅ3= 6
๐ฆโฒ๐ฃ =๐4๐ฆ
๐๐ฅ4= 0
HUBUNGAN ANTAR FUNGSI DAN DERIVATIFNYA
Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun
โข Derivatif pertama dapat menentukan apakah kurva dari fungsi tsb menaik atau menurun.
โข Derivatif pertama dapat pula menunjukkan titik ekstrem sebuah fungsi non linear.
1. Jika derivatif pertama ๐โฒ ๐ > ๐ (lereng kurvanya positif pada x = a), maka y = f(x) adalah fungsi menaik pada kedudukan x = a.
2. Jika derivatif pertama ๐โฒ ๐ < ๐ (lereng kurvanya negatif pada x = a), maka y = f(x) adalah fungsi menurun pada kedudukan x = a.
Lereng nol
y=f(x)Lereng negatifFungsi menurun
Lereng positifFungsi menaik
Lereng nol
y
x0
๐โฒ ๐ > 0, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ ๐๐๐๐๐๐
๐โฒ ๐ < 0, ๐ฆ = ๐ ๐ฅ ๐๐๐๐ข๐๐ข๐
Uji Tandaโข Jika derivatif pertamanya f โ(x) = 0, berarti y = f(x) berada di titik
ekstrimnya.
Untuk menentukan apakah titik ekstrim tsb merupakan titik maksimum atau titik minimum, perlu diuji tanda terhadap f โ(a)=0.โข Jika f โ(x) > 0 untuk x < a dan fโ(x) < 0 untuk x > a, maka titik
ekstrimnya adalah titik maksimum.โข Jika fโ(x) < 0 untuk x < a dan fโ(x) >0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya
adalah titik minimum.
Contoh:Tentukan apakah ๐ฆ = ๐ ๐ฅ =
1
3๐ฅ3 โ 4๐ฅ2 + 12๐ฅ โ 5 merupakan fungsi menaik
ataukah fungsi menurun pada x = 5 dan x = 7. Selidiki pula untuk x = 6
๐โฒ ๐ฅ = ๐ฅ2 โ 8๐ฅ + 12
๐โฒ 5 = 52 โ 8 5 + 12 = โ3 (< 0), berarti y = f(x) menurun pada x = 5๐โฒ 7 = 72 โ 8 7 + 12 = 5(> 0), berarti y = f(x) menaik pada x = 7๐โฒ 6 = 62 โ 8 6 + 12 = 0, berarti y = f(x) berada pada di titik ekstrim pada x = 6
Karena f โ(x) < 0 untuk x < 6 dan f โ(x) > 0 untuk x > 6, titik ekstrim pada x = 6 ini adalah titik minimum.
Titik Ekstrim Fungsi Parabolik
Pada fungsi parabolik,โข Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik
ekstrimnya.โข Derivatif kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrimnya
Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada yโ=0 Jika ๐ฆโฒโฒ < 0 : Bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya
adalah titik maksimum. Jika ๐ฆโฒโฒ > 0 : Bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya
adalah titik minimum.
Contoh:๐ = ๐ ๐ = ๐๐ โ ๐๐ + ๐๐
๐โฒ = ๐โฒ ๐ = ๐๐ โ ๐
๐โฒโฒ = ๐โฒโฒ ๐ = ๐
Parabola ๐ = ๐๐ โ ๐๐ + ๐๐โข Letak titik ekstrimnya pada turunan pertama yโ=0. Pada yโ=0, nilai variabel bebas x = 4
dan nilai y = - 4 โข Jenis titik ekstrimnya adalah titik minimum yang berarti bentuk parabolanya terbuka ke
atas karena turunan kedua yโ> 0
(4, -4)
๐ฆ = ๐ฅ2 โ 8๐ฅ + 12
๐ฆโฒ = 2๐ฅ โ 8
๐ฆโฒโฒ = 2
12
2
6
4
8
10
-4
-8
-2
-6
2 4 6 8
Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik
Pada fungsi kubik,โข Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik-titik
ekstrimnya.โข Derivatif kedua berguna untuk mengetahui jenis titik-titik
ekstrimnya dan menentukan titik beloknya.
Fungsi kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada yโ=0 Jika ๐ฆโฒโฒ < 0 ๐๐๐๐ ๐ฆโฒ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum Jika ๐ฆโฒโฒ > 0 ๐๐๐๐ ๐ฆโฒ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada yโ=0
Contoh:
๐ = ๐ ๐ =๐
๐๐๐ โ ๐๐๐ + ๐๐ โ ๐
๐โฒ = ๐โฒ ๐ = ๐๐ โ ๐๐ + ๐
๐โฒโฒ = ๐โฒโฒ ๐ = ๐๐ โ ๐
Jika ๐โฒ = ๐,
๐๐ โ ๐๐ + ๐ = ๐(๐ฑ โ ๐)(๐ โ ๐) = ๐๐๐ = ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ = ๐
Untuk ๐ฑ = ๐๐ = ๐
๐ =๐
๐(๐)๐โ๐ ๐ ๐ + ๐ ๐ โ ๐ = ๐, ๐๐
[Fungsi kubik y=f(x) berada di titik ekstrim maksimum]
๐โฒโฒ = ๐ ๐ โ ๐ = โ๐ < ๐[Derivatif kedua negatif]
Untuk ๐ฑ = ๐๐ = ๐
๐ =๐
๐(๐)๐โ๐ ๐ ๐ + ๐ ๐ โ ๐ = ๐, ๐๐
[Fungsi kubik y=f(x) berada di titik ekstrim minimum]
๐โฒโฒ = ๐ ๐ โ ๐ = ๐ > ๐[Derivatif kedua positif]
Lanjutan...
๐ = ๐ ๐ =๐
๐๐๐ โ ๐๐๐ + ๐๐ โ ๐
๐โฒ = ๐โฒ ๐ = ๐๐ โ ๐๐ + ๐
๐โฒโฒ = ๐โฒโฒ ๐ = ๐๐ โ ๐
Jika ๐โฒโฒ = ๐,2๐ โ ๐ = ๐๐ = ๐
Untuk ๐ฑ = ๐
๐ =๐
๐(๐)๐โ๐ ๐ ๐ + ๐ ๐ โ ๐ = ๐
[Fungsi kubik y=f(x) berada di titik belok]
๐โฒ = ๐๐ โ ๐ ๐ + ๐ = โ๐ < ๐[Derivatif pertama berada di titik ekstrim, dalam hal ini titik minimum]
Jadi fungsi kubik ๐ฆ =1
3๐ฅ3 โ 3๐ฅ2 + 8๐ฅ โ 3 berada di:
โข Titik maksimum pada koordinat (2; 3,67)โข Titik belok pada koordinat (3; 3)โข Titik minimum pada koordinat (4; 2,33)
2 4
2
4
6
8
6
-2
-4
-6
(2; 3,67)
(3, -1)
(4; 2,33)
(3, 3)๐ฆ =
1
3๐ฅ3 โ 3๐ฅ2 + 8๐ฅ โ 3
๐ฆโฒโฒ = 2๐ฅ โ 6๐ฆโฒ = ๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 8
y
x
Terima Kasih