1. Definicion: L{f(t)}(s) = 0es tf(t) dt.

2. Linealidad: L{ f(t) + g(t)}(s) = L{f}(s) + L{g}(s).3. Translacion: si u(s) = L{u(t)}(s) entonces u(s a) = L{eatu(t)}(s).4. Translacion y truncamiento: L{H(t a)u(t a)}(s) = easL{u}(s).5. Derivada n-esima:

L{f (t)}(s) = sL{f}(s) f(0+).L{f (t)}(s) = s2L{f}(s) s f(0+) f (0+).L{f (n)(t)}(s) = snL{f}(s) sn1 f(0+) sn2f (0+) f (n1)(0+).

6. Transformada de la integral:

L{ t

af(r) dr

}(s) = 1

sL{f}(s) 1

s

a0f(t) dt.

L

t0

t0

n-veces

f(t)dt . . . dt

(s) = 1snL{f}(s).sL{u}() d = L{u(t)

t} (s) .

7. Producto y convolucion

L{u}L{v} = L{ t0u(t y)v(y) dy}.

L{u v} = L{u}L{v} , donde (u v)(t) = t0u(t y)v(y) dy.

8. Transformada de una funcion periodica f(s) con perodo p > 0

L{f(t)}(s) = p0es tf(t) dt1 ep s .

9. Propiedades varias

L{eatf(t)}(s) = L(f)(s a).L{tnf(t)}(s) = (1)n dn

dsnL{f}(s).

L{H(t a)g(t)}(s) = easL{g(t+ a)}(s).L{f(t)

t}(s) =

sL{f}ds , si lmt0+ f(t)t existe.

Resumen

1 Transformada de Laplace

1. Linealidad de la transformad inversa:

L1{ f(t) + g(t)} = L1{f}+ L1{g}.

2. Translacion:L1{v(s a)} = easL1{v}.

3. Derivada de la transformada inversa:

L1{ dn

dsnv(s)} = (1)ntnL1{v}.

4. Integral

L1{v(s)s} = t

0L1{v}(r) dr.

L1 {sv(r) dr

}= 1

tL1{v}.

5. Convolucion:L1{v(s)w(s)} = L1{v} L1{w}.

A continuacion presentamos una breve tabla de las transformadas de Laplace dealgunas funciones

L{1} = 1s

, L{(t)} = 1L{eat} = 1

sa , L{(t a)} = easL{tn} = n!

sn+1, L{ tn1eat

(n1)! } = 1(sa)n (n 1)L{sen at} = a

s2+a2, L{ 1

2a3(sen at at cos at)} = 1

(s2+a2)2

L{cos at} = ss2+a2

, L{ 12a3

(sen a t+ a t cos a t)} = s2a2(s2+a2)2

L{senh at} = as2a2 , L{

t0

t2nL1[ 1

(s2+a2)n] dt} = 1

(s2+a2)n+1

L{cosh at} = ss2a2 , L{ t2nL1[ 1(s2+a2)n ]} = s(s2+a2)n+1

Nota:La funcion (t t0) es la funcion Delta de Dirac definida como sigue

(t t0) ={ si t = t0

0 si t 6= t0y ademas

(t t0) dt = 1.

2 Transformada inversa de Laplace