3.1 La Transformada de Laplace (Rev b)

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Diapositivas sobre la transformada de Laplace

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  • 1La transformada de Laplace

  • 2Frecuencia compleja

    Considerese la siguiente funcin senoidal exponencialmente amortiguada

    donde

    tjjm

    tjjm

    tm

    eeVeeVtf

    teVtf

    )()(

    21

    21)(

    )cos()(

    + +=

    +=

    *1221

    *1221

    ;21;

    21

    ssjsjs

    KKeVKeVK jmj

    m

    ==+====

  • 3Frecuencia compleja

    La parte real de est asociada con la variacin exponencial; si es negativa, la funcin decrece conforme t aumenta, si es positiva aumenta, y si es cero, la amplitud de la senoidal es constante. Mientras mayor sea la magnitud de la parte real de , mayor ser la rapidez del aumento o disminucin exponencial.

    s

    s

  • 4Frecuencia compleja

    La parte imaginaria de describe la variacin senoidal; especficamente, representa la frecuencia angular. Una magnitud grande de la parte imaginaria indica una variacin ms rpida respecto al tiempo. Por lo tanto, valores mayores de la magnitud de , indican una variacin ms rpida respecto al tiempo.

    s

    s

  • 5Frecuencia compleja

    Se denota por a la parte real, y por a la parte imaginaria:

    es la frecuencia compleja, es la frecuencia neperiana y es la frecuencia angular.

    js +=

    s

  • 6La transformada de Laplace

    La transformada de Laplace se presentarcomo un desarrollo o evolucin de la transformada de Fourier, aunque se podra definir directamente. El objetivo es hacer que la variacin en el tiempo sea de la forma

    tje )( +

  • 7La transformada de Laplace

    Para lograrlo se considerar la transformada de Fourier de en vez de , haciendo entonces

    y su respectiva transformada de Fourier

    )(tfe t

    )(tf

    )()( tfetg t=

    +

    == dttfedttfeejG tjttj )()()( )(

  • 8La transformada de Laplace

    tomando la transformada inversa de Fourier se obtiene

    +=+= dttfejFjG tj )()()( )(

    +

    +=

    +=

    +==

    djFetf

    djFetfe

    djFedjGetg

    tj

    tjt

    tjtj

    )(21)(

    )(21)(

    )(21)(

    21)(

    )(

  • 9La transformada de Laplace

    Ahora se sustituye por la variable compleja , y como es constante,

    donde la constante real se incluye en los lmites para garantizar la convergencia de la integral impropia. En trminos de

    +

    =

    j

    j

    st dssFej

    tf0

    0

    )(21)(

    j+s jdds =

    0

    s

    = dttfesF st )()(

  • 10

    La transformada de Laplace

    La ecuaciones anteriores definen el par de la transformada bilateral de Laplace.Puede pensarse que la transformada bilateral de Laplace expresa a como la sumatoria (integral) un nmero infinito de trminos infinitesimalmente pequeos cuya frecuencia compleja es

    )(tf

    js +=

  • 11

    La transformada de Laplace

    La transformada de Laplace que se toma con lmite inferior

    define la transformada unilateral de Laplace, la transforma inversa sigue inalterada, pero slo es vlida para

    =0t

    =0

    )()( dttfesF st

    0>t

  • 12

    La transformada de Laplace

    Tambin se puede usar el smbolo para indicar la transformada directa o inversa de Laplace:

    L

    { }{ })()(

    )()(1 sF

    sF=

    =LL

    tftf

  • 13

    La transformada de Laplace

    Linealidad de Laplace

    { } { } )()()( sAFtfAtAf == LL{ } { } { } )()()()()()( 212121 sFsFtftftftf +=+=+ LLL

  • 14

    La transformada de Laplace

    Funcin exponencial

    0;)(0;0)(=

  • 15

    La transformada de Laplace

    Funcin escaln

    )()(0;)(0;0)(

    tAutftAtfttf

    =>=

  • 16

    La transformada de Laplace

    Funcin rampa

    0;)(0;0)(>=

  • 17

    La transformada de Laplace

    Funciones de la forma

    ( )!1)(1

    =

    ntAtfn

    { } nsAtf == )()( LsF

  • 18

    La transformada de Laplace

    Funcin senoidal

    0);()(0;0)(

    =

  • 19

    La transformada de Laplace

    Funcin cosenoidal

    0);cos()(0;0)(

    =

  • 20

    La transformada de Laplace

    Funciones desplazadas en el tiempo

    0;0);()( ttutf{ }

    { } sesFtutftfsF

    ==

    )()()()()(

    LL

  • 21

    La transformada de Laplace

    Funcin pulso

    )()()(

    ;0;0)(

    0;)(

    000

    0

    00

    ttutAtu

    tAtf

    ttttf

    tttAtf

    =>

  • 22

    La transformada de Laplace

    Funcin impulso

    )()(;0;0)(

    0;0

    )(

    0

    0

    00

    0

    ttAtgttttg

    ttt

    tAlim

    tg

    =>

  • 23

    La transformada de Laplace

    Funciones desplazadas en la frecuencia

    )()( tfetg t=

    { } { } )()()()( +=== sFtfetgG tLLs

  • 24

    La transformada de Laplace

    Cambio de la escala de tiempo

    )( sFtf =

    L

  • 25

    La transformada de Laplace

    Teorema de diferenciacin real

    )0()()( fssFtfdtd =

    L

    )1()2(21 )0()0()0()0()()( =

    nnnnn

    n

    n

    fsffsfssFstfdtd "L

  • 26

    La transformada de Laplace

    Teorema del valor final

    Si f(t) y su derivada se pueden transformar por el mtodo de Laplace, y si existe el limite de f(t) cuando t tiende a infinito.

    )(0

    )( ssFslimtf

    tlim

    =

  • 27

    La transformada de Laplace

    Teorema del valor inicial

    Si f(t) y su derivada se pueden transformar por el mtodo de Laplace, y si existe el limite de sF(s) cuando s tiende a infinito.

    )()0( ssFslimf =

  • 28

    La transformada de Laplace

    Teorema de integracin real

    ssFdttf

    t )()(0

    =

    L

  • 29

    La transformada de Laplace

    Teorema de diferenciacin compleja

    [ ] )()( sFdsdttf =L

    [ ] ...3,2,1);()1()( == nsFdsdtft n

    nnnL

  • 30

    La transformada de Laplace

    Integral de convolucin

    dftftftft =0

    2121 )()()(*)(

    { } )()()(*)( 2121 sFsFtftf =L

  • 31

    La transformada de Laplace

    Transformada inversa de Laplace

    aIntegral de conversinaTablasaFracciones parciales

  • 32

    La transformada de Laplace

    Fracciones parciales con polos distintos

    Considere F(s) escrita en la forma factorizada

    para m

  • 33

    La transformada de Laplace

    Si F(s) slo involucra polos distintos, puede expandirse en una suma de fracciones parciales simples de la siguiente manera:

    n

    n

    psa

    psa

    psa

    sAsBsF ++++++== "2

    2

    1

    1

    )()()(

  • 34

    La transformada de Laplace

    en donde ak(k=1,2,...,n) son constantes y se denominan como el residuo del polo en s=-pk. El valor de ak se encuentra multiplicando ambos miembros de la ecuacin anterior por (s+pk) y suponiendo que s=-pk, esto nos lleva a

    kps

    kn

    nk

    k

    kk

    psk apsps

    apsps

    apsps

    asAsBps

    kk

    =

    ++++++++++=

    +==

    )()()()()()(

    1

    1 ""

  • 35

    La transformada de Laplace

    Se observa que todos los trminos expandidos se cancelan con excepcin de ak. Por lo tanto el residuo ak se encuentra a partir de

    kpskk sA

    sBpsa=

    +=)()()(

  • 36

    La transformada de Laplace

    Encontrar la transformada inversa de Laplace de

    )2)(1(3)( ++

    +=ss

    ssF

    )2()1()2)(1(3)( 21 +++=++

    +=sa

    sa

    ssssF

    113

    )2)(1(3)2(

    223

    )2)(1(3)1(

    222

    111

    =

    ++=

    ++++=

    =

    ++=

    ++++=

    ==

    ==

    ss

    ss

    ss

    ssssa

    ss

    ssssa

  • 37

    La transformada de Laplace

    [ ]

    ++

    +== 21

    12)()( 111

    sssFtf --- LLL

    0;2)( 2 = teetf tt

  • 38

    La transformada de Laplace

    Fracciones parciales con polos mltiples Se usar un ejemplo para demostrar como obtener la expansin en fracciones parciales de F(s)

    3

    2

    )1(32)( +

    ++=s

    sssF

    33

    221

    )1()1(1)( +++++= s

    bsb

    sbsF

  • 39

    La transformada de Laplace[ ] [ ]

    [ ] 2)32()()1()1()1()()1(

    12

    13

    3

    1322

    113

    =++=+=++++=+

    ==

    ==

    ss

    ss

    sssFsb

    bsbsbsFs

    [ ] [ ][ ] [ ] 0)22(32)()1(

    )1(2)()1(

    112

    13

    2

    213

    =+=++=+=

    ++=+

    === sss sssdsdsFs

    dsdb

    bsbsFsdsd

    [ ] [ ][ ] [ ] 1)2(

    2132

    21)()1(

    21

    2)()1(

    12

    2

    2

    13

    2

    2

    1

    13

    2

    2

    ==++=+=

    =+

    == ss ssdsdsFs

    dsdb

    bsFsdsd