TRANSFORMADA DE LAPLACEcee.uma.pt/people/faculty/amandio.azevedo/... · A expressão da...

9

TRANSFORMADA DE LAPLACE

9.1 INTRODUÇÃO

A transformada de Fourier permite representar qualquer sinal físico pela soma, finita ou infinita, das suas componentes, segundo um referencial em que a variável ω da base é real. Tal representação de sinais desempenha um papel importante no estudo de sistemas lineares e invariantes, nomeadamente na resposta em frequência dos sistemas, filtragem de sinais, modulação de sinais, etc.

Porém, em muitos casos, revela-se útil lidar com uma frequência complexa s=σ+jω. Deixamos de considerar a passagem de um sinal para um domínio a uma variável (caso da transformada de Fourier) e passamos a exprimir a função num domínio a duas variáveis através da frequência complexa s, o que conduz a uma generalização da transformada de Fourier, conhecida por transformada de Laplace. Esta transformada não só fornece novas ferramentas de análise de sistemas, como pode ser aplicada a sistemas em que não se pode utilizar a transformada de Fourier. Um desses casos é a aplicação a sistemas instáveis, permitindo a análise dos mesmos. Uma outra aplicação da transformada de Laplace é na resolução de equações diferenciais ordinárias, quando são lineares e de coeficientes constantes.

2 Teor ia Vector ial do Sinal

9.2 TRANSFORMADA DIRECTA

A transformada de Laplace permite obter a representação de um sinal num referencial com frequência complexa. Enquanto que na transformada de Fourier um sinal representado num referencial a uma variável real passava a ser representado noutro referencial, mas também a uma variável real, na transformada de Laplace um sinal representado num referencial a uma variável real passa a ser representado num referencial a duas variáveis reais: a variável σ e a variável ω. Portanto, este novo referencial tem mais uma dimensão que o original.

ωσ js += (9.1)

A transformada de Laplace é definida por

∞

∞−

−= dtetusU st)()( (9.2)

De modo a seguir a abordagem que tem sido utilizada até aqui, vejamos como aplicar o procedimento geral de decomposição de funções.

A verificação da ortogonalidade ou não ortogonalidade dos vectores de base no domínio de Laplace ultrapassa o âmbito deste livro. No entanto, podemos efectuar a transformação de Laplace segundo o processo geral de decomposição se, como na transformada de Fourier, considerarmos o referencial ortogonal tje ω . Para isso, iremos fazer a decomposição, não da função a transformar u(t), mas dessa função pesada por te σ− , como mostra a figura 9.1.

0

u(t)e-σt

ejωt

C(σ,ω)ejωt0

u(t)e-σt

ejωt

C(σ,ω)ejωt

Fig. 9.1 – Componente de um sinal pesado por e-σt na direcção das cissóides.

O coeficiente de correlação, obtido pela projecção da função pesada por te σ− na direcção tje ω , é definido por

)0(2

)(

)0(2

)(

),(

),)((),(

)(

πδ

πδ

ωσ

ωσ

ωσ

ωω

ωσ

∞

∞−

+−

∞

∞−

−−

−

=

=

=

dtetu

dteetu

ee

eetuC

tj

tjt

tjtj

tjt

(9.3)

Transformada de Laplace 3

Os coeficientes de correlação dependem, agora, de duas variáveis. O numerador desta expressão identifica-se com a transformada de Fourier, com a variável ω substituída por σ+jω, donde

πωωσωσ

2)(),(d

jUC += (9.4)

Desta forma,

[ ] )()( ωσσ jUtue t +=− (9.5)

em que

∞

∞−

+−=+ dtetujU tj )()()( ωσωσ (9.6)

Fazendo a mudança de variável s=σ+jω, nesta última expressão obtém-se a definição de transformada de Laplace, apresentada em (9.2).

Utilizando a notação fasorial das exponenciais, verifica-se que, para a transformada de Fourier, tje ω está sempre sobre o círculo unitário, como mostra a figura 9.2a), enquanto que, para a transformada de Laplace, tjtst eee ωσ= segue uma espiral, como se vê pela figura 9.2b), para σ>0.

Im

-ω

a) b)

Re

ω

Im

Re1 1

ejωt

e-jωt

est

e-st

Im

-ω

a) b)

Re

ω

Im

Re1 1

ejωt

e-jωt

est

e-st

Fig. 9.2 – Diagrama fasorial: a) Fourier; b) Laplace.

A evolução da exponencial complexa no tempo pode ser determinada pelas partes real ou imaginária de ste ,

)(sen)cos(

)(

tjete

eett

tjst

ωω σσ

ωσ

+== +

(9.7)

A figura 9.3 apresenta a parte real para σ<0. A evolução das componentes de ste no tempo corresponde a uma situação concreta muito comum no mundo físico (movimento oscilatório amortecido), nomeadamente a situação de circuitos


ressonantes, em electricidade, e à dos movimentos com um grau de liberdade, em mecânica.

t

cos(ωt) eσtcos(ωt)

t

cos(ωt) eσtcos(ωt)

Fig. 9.3 – Evolução da parte real da exponencial.

A expressão da transformada de Laplace, que se acabou de apresentar, também é conhecida por transformada de Laplace bilateral, uma vez que considera a variável tempo a evoluir desde menos a mais infinito. Contudo, existe uma outra definição em que o integral da transformada só contém a parte positiva do eixo temporal,

∞ −−

=0

)()( dtetusU st (9.8)

conhecida por transformada de Laplace unilateral. Esta definição deve-se ao facto dos sinais e sistemas físicos, onde a transformada de Laplace será muito usada, serem sempre causais. Notar que para sinais causais, as duas definições de transformada de Laplace dão o mesmo resultado. Uma aplicação desta última será na resolução de equações diferenciais, de coeficientes constantes, com condições iniciais diferentes de zero. O limite inferior 0- serve para enfatizar que no caso de u(t) conter impulsos de Dirac na origem, estes serão incluídos na transformação.

Se multiplicarmos qualquer sinal pelo degrau de Heaviside, hH(t), que só toma valores diferentes de zero para t≥0, é indiferente utilizar a bilateral ou a unilateral.

A relação que a transformada de Laplace estabelece entre u(t) e a sua imagem U(s) será representada por

[ ])()(

)()(

tusU

sUtu =

→← (9.9)

para a transformada bilateral, ou

[ ])()(

)()(

I

I

tusU

sUtu =

→← (9.10)

para a transformada unilateral.


9.3 TRANSFORMADA INVERSA

Para efectuar a mudança de referencial inversa, designada por transformada de Laplace inversa, basta utilizar um dos “planos” que passam pelo sinal, de modo a recuperar o sinal num referencial bidimensional, partindo da representação desse sinal num espaço tridimensional.

A abordagem anterior permite obter a expressão da transformada de Laplace inversa. De facto, como se projectou o sinal tetu σ−)( nas direcções ortogonais tje ω , esse sinal é recuperado somando as componentes segundo todas as direcções, de forma semelhante ao realizado na transformada de Fourier. Como a soma contínua transforma-se num integral, tem-se

∞

∞−

− = tjt eCetu ωσ ωσ ),()( (9.11)

ficando

∞

∞−

+

∞

∞−

+

∞

∞−

+

+=

+=

=

ωωσπ

πωωσ

ωσ

ωσ

ωσ

ωσ

dejU

ed

jU

eCtu

tj

tj

tj

)(

)(

)(

)(2

12

)(

),()(

(9.12)

Considerando a mudança de variável s=σ+jω, dω=ds/j, a transformada de Laplace inversa fica

∞+

∞−=

j

j

st dsesUj

tuσ

σπ)(

2

1)( (9.13)

Notar novamente que a transformada de Fourier inversa é um caso particular da de Laplace fazendo s= jω.

Da expressão (9.13), verifica-se que a função nos tempos também é obtida pelos coeficientes de correlação, C(σ,ω), nas direcções ste , da mesma forma como foi realizado na transformada de Fourier com os coeficientes C(ω) e as direcções tje ω . Assim, na transformada de Fourier uma componente no espectro era representada como mostra a figura 9.4a), ou seja, a componente k na direcção tj ke ω é Ak. Na transformada de Laplace, Bk é a componente na direcção tske , como se vê pela figura 9.4b), com sk=σk+jωk. Neste caso, existem duas variáveis para definir o sinal nas frequências complexas.


plano seixo ω

ωωk

Ak

ω

σ

σk

ωk

Bk

a) b)plano seixo ω

ωωk

Ak

ω

σ

σk

ωk

Bk

a) b)

Fig. 9.4 – Componentes do sinal nas transformadas: a) Fourier; b) Laplace.

A transformada inversa pode ter outra expressão, tendo em conta a teoria da análise de funções complexas de variável complexa. Para isso, seja o plano s da figura 9.5, onde estão representadas as singularidades da função U(s) (ponto singular é um ponto onde a função toma um valor infinito). Consideremos um percurso fechado que inclui todas as singularidades. Este percurso, designado por contorno equivalente de Bromwich, é definido por uma recta de abcissa constante e por um arco de semi-circunferência, de raio infinito, que une as extremidades da recta.

σ

jω

c

Γ

σ

jω

c

Γ

Fig. 9.5 – Contorno equivalente de Bromwich.

Se integrarmos U(s)est/2πj ao longo do percurso fechado apresentado na figura 9.5, obtém-se

Γ

∞+

∞−+= dsesU

jdsesU

jdsesU

jstj

j

stst )(2

1)(

2

1)(

2

1

πππσ

σ (9.14)

Utilizando o lema de Jordan,

0)(lim =

Γ∞→ΓdsesU st (9.15)

de (9.14), retira-se que


=

=∞+

∞−

dsesUj

dsesUj

tu

st

j

j

st

)(2

1

)(2

1)(

π

πσ

σ

(9.16)

A relação para a transformada de Laplace inversa é definida por

[ ])()( 1 sUtu −= (9.17)

para a transformada bilateral, ou

[ ])()( 1 sUtu I−= (9.18)

para a transformada unilateral.

9.4 REGIÃO DE CONVERGÊNCIA

Para que a transformada de Laplace exista é necessário que o integral (9.2) tenha um valor diferente de infinito. Este integral é finito sempre que seja absolutamente convergente, isto é, sempre que exista o integral do seu módulo,

∞<

≤

=

∞

∞−

−

∞

∞−

−

dtetu

dtetusU

t

st

σ)(

)()(

(9.19)

Aos valores da variável s, para os quais se verifica a condição de existência de transformada de Laplace, designam-se por região de convergência da transformada de Laplace (usualmente designada por ROC: Region Of Convergence).

♦ Exemplo 9.1: Determinar a transformada de Laplace do degrau de Heaviside, hH(t).

Aplicando (9.2),

ss

ee

s

e

dte

dtethsH

TjT

T

st

st

stHH

−−

−=

−

=

=

=

−−

∞→

∞−

∞ −

∞

∞−

−

1lim

)()(

0

0

ωσ

(9.20)

Se σ>0 (ou Re[s]>0), então


0lim =−

−−

∞→ s

ee TjT

T

ωσ

(9.21)

Com este resultado, (9.20) fica

[ ] 0Re ,1

)( >= ss

sH H (9.22)

Desta forma, a ROC consiste em valores de s em que Re[s]>0, como mostra a figura 9.6.

0

jω

σ0

jω

σ

Fig. 9.6 – Região de convergência para o degrau de Heaviside.

♦

♦ Exemplo 9.2: Determinar a transformada de Laplace do sinal:

0 ),()( >= − αα thetu Ht (9.23)

A transformada de Laplace é

[ ] αα

α

α

−>+

=

=

=

∞ +−

∞ −−

ss

dte

dteesU

ts

stt

Re ,1

)(

0

)(

0

(9.24)

A respectiva ROC está representada na figura 9.7.


0

jω

σ-α 0

jω

σ-α

Fig. 9.7 – Região de convergência para o sinal do exemplo 9.2.

♦


0 ),()( >−−= − αα thetu Ht (9.25)

A transformada de Laplace fica

[ ] αα

α

α

α

−<+

=

−=

−=

−=

∞ +

∞−

+−

∞−

−−

ss

dte

dte

dteesU

ts

ts

stt

Re ,1

)(

0

)(

0 )(

0

(9.26)

A respectiva ROC está representada na figura 9.8.

0

jω

σ-α 0

jω

σ-α

Fig. 9.8 – Região de convergência para o sinal do exemplo 9.3.

♦



0

1

tT

u(t)

0

1

tT

u(t)

Fig. 9.9 – Impulso rectangular descentrado.

A transformada de Fourier do sinal da figura 9.9 é

s

e

s

e

dtesU

Ts

Tst

T st

−

−

−

−=

−=

=

1

)(

0

0

(9.27)

A ROC consiste em todo o plano s, o que significa que a função converge em todo o domínio, com excepção da origem.

♦

É de salientar que a região de convergência é de extrema importância no cálculo da transformada de Laplace, dado que existem zonas do domínio s onde a transformada não existe. Existem casos em que a função para a transformada de Laplace é a mesma e a diferença reside na região de convergência, como se pode comprovar pelos exemplos 9.2 e 9.3. Desta forma, no cálculo da transformada de Laplace deve-se sempre especificar a região de convergência.

Dos exercícios apresentados retiram-se algumas conclusões referentes à região de convergência, que podem ser generalizadas, tais como:

1 – A ROC é uma faixa paralela ao eixo imaginário do plano s. Só a parte real é responsável pela ROC.

2 – A ROC não contém quaisquer singularidades. Esta propriedade pode ser vista pelos exemplos 9.1, 9.2 e 9.3, onde as singularidades s=0 e s=-α não pertencem à ROC.

3 – Se o sinal u(t) é limitado à esquerda, ou seja, x(t)=0 para t<t0, a ROC cai numa faixa para a direita da descontinuidade. O exemplo 9.1 e 9.2 mostra este caso.

4 – Se o sinal u(t) é limitado à direita, ou seja, x(t)=0 para t>t0, a ROC cai numa faixa para a esquerda da descontinuidade. O exemplo 9.3 mostra este caso.

5 – Se u(t) tem duração finita, e se a transformada converge pelo menos num valor de s, então a ROC consiste em todo o plano s, com possível excepção da origem ou do infinito.


9.5 PROPRIEDADES

De seguida, apresentar-se-ão as propriedades da transformada de Laplace. Em muitos casos, servir-nos-emos destas propriedades, e de algumas transformadas básicas, para se obter com facilidade as transformadas directa e inversa de Laplace de um qualquer sinal, em vez de realizar o cálculo dos integrais definidores das transformadas.

É importante acentuar que as transformadas apareceram, em última análise, para simplificar cálculos, nomeadamente os de integrais e de equações integro-diferenciais no domínio dos tempos. Não fazendo sentido, portanto, recorrer às fórmulas integrais definidoras da transformada de Laplace na quase totalidade dos casos práticos.

Para a transformada de Fourier foram evidenciadas um conjunto de propriedades consideradas fundamentais, por, com elas, se poder estabelecer axiomaticamente a definição da transformada, distinguindo-a de qualquer outra. O mesmo acontece para a transformada de Laplace.

Como iremos ver, embora existam duas definições de transformada de Laplace, na maior parte dos casos as propriedades da transformada unilateral são semelhantes às da bilateral. Quando não for referida qual a definição de transformada, a propriedade é válida para as duas.

9.5.1 L inear idade

Se o sinal u1(t) tem por transformada de Laplace U1(s), com ROC1, e o sinal u2(t) tem por transformada U2(s), com ROC2, então

212121 ROCROC contém ROC )()()()( ∩+→←+ sbUsaUtbutau (9.28)

Para demonstrar esta propriedade, consideremos a definição de transformada de Laplace bilateral,

[ ])()(

)()()()()()(

21

212121

sbUsaU

dtetubdtetuadtetbutautbutau ststst

+=

+=+→←+ ∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

−

(9.29)

Se fosse utilizada a definição da transformada de Laplace unilateral teríamos o mesmo resultado.

A região de convergência inclui, pelo menos, a intercepção da região de convergência de u1(t) com u2(t). Isto significa que, se a intercepção for nula, a soma não tem transformada de Laplace.

♦ Exemplo 9.5: Determinar a transformada de Laplace de

( ) )()( theetu Hbtat += (9.30)

A transformada de Laplace é


( )

[ ] [ ]

[ ] [ ] bsasabsbas

bas

bsasbsas

dtedte

dteeesU

tbstas

stbtat

>>++−

−−=

>>−

+−

=

+=

+=

∞ −−∞ −−

∞ −

Re e Re ,)(

2

Re e Re ,11

)(

2

0

)(

0

)(

0

(9.31)

A região de convergência dá Re[s]>a se a<b e Re[s]>b se a>b. Pela propriedade da linearidade obtém-se o mesmo resultado.

♦

9.5.2 Mudança de Escala

Se u(t) tem por transformada de Laplace U(s), com ROC=ROCu, e a é um número real, então

aa

sU

aatu uROC

ROC ||

1)( =

→← (9.32)

em que a é positivo para a definição da transformada de Laplace unilateral e pode ser qualquer para a bilateral. Sendo semelhante à transformada de Fourier, a demonstração desta propriedade segue o mesmo procedimento. No entanto, vejamos o que acontece para a transformada de Laplace unilateral. Fazendo a mudança de variável t´=at, tem-se que

=

′′=→← ∞ −∞ −

−−

a

sU

a

tdetua

dteatuatut

a

sst

1

)(1

)()(00

(9.33)

Como se pode verificar, para a definição da transformada unilateral, se a fosse negativo, os limites do integral seriam de -∞ a 0, o que não pode ser, dado que deixaria de ser esta a definição da transformada. Assim, (9.32) é válida para as duas definições, sendo a positivo para a transformada unilateral.

Quanto à região de convergência, qualquer valor de s estará na ROC se o valor s/a estiver na ROCu.

♦ Exemplo 9.6: Determinar a transformada de e-παthH(t), α>0.

Do exemplo 9.2 tem-se que

[ ] παπα

πα −>+

→←− ss

the Ht Re ,

1)( (9.34)


Aplicando a propriedade da mudança de escala,

[ ] α

παπ

πππαπα −>

+→←= −− s

sthethe H

tH

t Re ,

11)()( (9.35)

Simplificando este resultado,

[ ] παπα

πα −>+

→←− ss

the Ht Re ,

1)( (9.36)

É de salientar a forma como foi definida a região de convergência. ♦

9.5.3 Translação nos Tempos

Se u(t) tem por transformada de Laplace U(s), com ROC=ROCu, então

ustesUttu ROCROC )()( 0

0 =→←− − (9.37)

A demonstração é semelhante à da transformada de Fourier.

♦ Exemplo 9.7: Determinar a transformada de Laplace do impulso de Dirac atrasado de t0.

A transformada de Laplace do impulso de Dirac é

1)()( =→← ∞

∞−

− dtett stδδ (9.38)

com ROC todo o domínio s.

Para o impulso de Dirac atrasado tem-se

0)( 0stett −→←−δ (9.39)

com a mesma ROC que a transformada do impulso de Dirac. ♦

♦ Exemplo 9.8: Utilizando a propriedade da translação nos tempos, determinar a transformada do sinal apresentado no exemplo 9.4.

O sinal da figura 9.9 pode ser decomposto pela soma da figura 9.10.

0 0= +0

1

tT

u(t)

Tt t

u1(t) u2(t)1

-10 0= +0

1

tT

u(t)

Tt t

u1(t) u2(t)1

-1


Fig. 9.10 – Decomposição do impulso rectangular em funções mais simples.

Tendo em conta a figura 9.10, a função u(t) é definida por

)()()( Tththtu HH −−= (9.40)

Pelas propriedades da linearidade e da translação nos tempos, e da transformada do degrau de Heaviside, apresentada em (9.22), a transformada de u(t) é

s

esU

sT−−= 1)( (9.41)

A ROC consiste em todo o domínio s, com a excepção da origem, visto que, pela propriedade 5 da região de convergência, uma função limitada tem por região de convergência todo o domínio s. Embora a transformada de hH(t) e hH(t-T) tenham a região de convergência Re[s]>0, a propriedade da linearidade diz que a região de convergência contém pelo menos a intersecção das regiões de convergência das duas funções. Isto significa que pode ser maior, como é o caso deste exemplo.

♦

Esta propriedade foi considerada anteriormente como uma das fundamentais no estudo das transformadas. Além disso, é básica no processamento de sinal e representa um ideal na Engenharia de Telecomunicações, onde se pretende que um sistema propague um sinal sem introduzir distorção, ou seja, pretende-se obter à saída do sistema um sinal igual ao da entrada a menos de um atraso e de um factor de escala.

9.5.4 Translação nas Frequências


[ ]00 ReROCROC )()( 0 sssUetu uts +=−→← (9.42)

A região de convergência da função U(s-s0) é igual à região de convergência de U(s), deslocada para a direita de um valor igual a Re[s0].

♦ Exemplo 9.9: Utilizando a propriedade da translação nas frequências, determinar a transformada do sinal do exemplo 9.2.

A função exponencial decrescente pode ser vista como um degrau de Heaviside multiplicado por e-αt. A transformada do degrau de Heaviside dá 1/s, com a ROC carcaterizada por Re[s]>0. Pela propriedade da translação nas frequências, a transformada de e-αthH(t) é 1/(s+α), com a ROC definida por Re[s]+Re[α]>0, ficando Re[s]>-α, resultado igual ao obtido no exemplo 9.2.

♦

♦ Exemplo 9.10: Obter a transformada de Laplace dos seguintes sinais:

)()cos( thte Ht βα− (9.43)


)()(sen thte Ht βα− (9.44)

Utilizando a fórmula de Euler e a propriedade da translação nas frequências, obtém-se para o sinal de (9.43),

)(2

)(2

)(2

)()cos(

thee

thee

thee

ethte

Ht

tj

Ht

tj

H

tjtjt

Ht

αβ

αβ

ββαα β

−−

−

−−−

+=

+=

(9.45)

Com a translação nas frequências, respectiva transformada dá

=++

++−

→←−

αβαββα

jsjsthte H

t 1

2

11

2

1)()cos(

[ ] αβα

α −>++

+= ss

sRe ,

)( 22 (9.46)

Para (9.44) tem-se

[ ] αβα

ββα −>++

→←− ss

thte Ht Re ,

)()()(sen

22 (9.47)

tendo sido obtido de forma semelhante ao sinal anterior. ♦

9.5.5 Der ivação nos Tempos

Se u(t) tem por transformada de Laplace U(s), com ROC=ROCu, então, para a transformada de Laplace bilateral,

un

n

n

sUsdt

tudROC contém ROC )(

)( →← (9.48)

e, para a transformada de Laplace unilateral,

unnnn

n

n

uusussUsdt

tudROC contém ROC )0(...)0()0()(

)( )1(21I −−−−−− −−′−−→←

(9.49)

onde u(n-1)(0-) é a derivada de ordem n-1 de u(t) em t=0-.

Ao contrário das anteriores, a propriedade da derivação nos tempos dá resultados diferentes para as duas definições de transformada. Tal acontece, porque na transformada unilateral o integral vai de 0- a mais infinito. Se o sinal for causal, as duas definições dão o mesmo resultado. No entanto, para um sinal com condições iniciais, que pode ser considerado como tendo valores diferentes de zero para


tempos negativos, então a propriedade da derivação não se converte apenas na multiplicação por s.

Como a transformada unilateral tem uma grande importância na resolução de equações diferenciais com condições iniciais diferentes de zero, é de todo o interesse determinar a transformada de Laplace unilateral para funções nestas condições.

Para demonstrar o resultado para a transformada bilateral, utilizando a definição de transformada de Laplace inversa, retira-se que

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

=

=

=

j

j

st

j

j

st

j

j

st

dsessUj

dsdt

desU

j

dsesUjdt

d

dt

tdu

σ

σ

σ

σ

σ

σ

π

π

π

)(2

1

)(2

1

)(2

1)(

(9.50)

Desta forma, a transformada inversa de sU(s) consiste na derivada da função u(t).

A região de convergência de sU(s) inclui a região de convergência de U(s) e pode ser maior, se U(s) tiver um pólo1 em s=0 que é cancelado pela multiplicação por s.

Quanto à transformada unilateral, utilizando a integração por partes, tem-se para a primeira derivada de u(t):

[ ]

)0()(

)()()(

000

−

∞ −∞−∞ −

−=

+= −

−−

ussU

dtetusetudtedt

tdu ststst

(9.51)

Procedendo do mesmo modo para a segunda derivada de u(t),

[ ])0()0()(

)0()()0(

)()()(

2

00

0 2

2

−−

−−

∞ −∞

−∞ −

′−−=−+′−=

+ = −

−−

ususUs

ussUsu

dtedt

tduse

dt

tdudte

dt

tud ststst

(9.52)

Aplicando sucessivamente este procedimento demonstra-se (9.49).

♦ Exemplo 9.11: Obter a transformada de Laplace das derivadas do impulso de Dirac.

Sabendo que a transformada do impulso de Dirac é a unidade, tem-se, segundo a propriedade da derivação, que

1 Enquanto que um zero é um valor da variável independente que torna a função nula, um pólo é um valor da variável independente que a torna infinita.


st →←′ )(δ (9.53)

e a segunda derivada do impulso de Dirac,

2)( st →←′′δ (9.54)

Generalizando,

nn st →←)()(δ (9.55)

A derivada de ordem n do impulso de Dirac corresponde à potência de ordem n da variável de Laplace.

♦

♦ Exemplo 9.12: Obter a transformada de Laplace da derivada do sinal e-αthH(t), com α>0.

A figura 9.11 mostra o sinal e a respectiva derivada.

u(t)

t0

u´(t)

t0

1 1

-α

u(t)

t0

u´(t)

t0

1 1

-α

Fig. 9.11 – Exponencial decrescente e o respectivo sinal da derivada.

Tendo em conta que

)()()( thettu Htααδ −−=′ (9.56)

utilizando os resultados da transformada do impulso de Dirac, (9.38), e da exponencial decrescente, (9.24),

[ ] ααα

α −>+

=+

−→←′ ss

s

stu Re ,

11)( (9.57)

Utilizando a propriedade da derivação nos tempos tem-se

[ ] αα

−>+

=→←′ ss

sssUtu Re ,)()( (9.58)

Notar que em (9.57) utilizou-se a propriedade da linearidade, o que dá a região de convergência indicada.


Pode-se utilizar este exemplo para verificar que na propriedade da linearidade a região de convergência inclui pelo menos a intercepção das regiões de convergência dos dois sinais e pode ser maior. Fazendo α=1, o sinal u1(t)=e-thH(t) tem por transformada de Laplace 1/(s+1), com Re[s]>-1. Por outro lado, a transformada da derivada deste sinal, u2(t)=δ(t)-e-thH(t), dá s/(s+1), também com Re[s]>-1. Se somarmos u1(t) com u2(t) obtém-se o impulso de Dirac, cuja transformada é 1 e a região de convergência consiste em todo o domínio s, embora a intercepção das respectivas regiões de convergência dos dois sinais seja Re[s]>-α.

♦

9.5.6 Der ivação nas Frequências


un

nn

ds

sUdtut ROC ROC

)()()( =→←− (9.59)

Considerando a definição da transformada unilateral,

∞ −

∞ −

−

−

−=

=

0

0

)()(

)()(

dtetut

dtetudt

d

ds

sdU

st

st

(9.60)

Aplicando sucessivamente este procedimento, demonstra-se a relação apresentada em (9.59). Pode-se verificar que para a transformada bilateral chega-se ao mesmo resultado.

♦ Exemplo 9.13: Obter a transformada de Laplace do sinal:

)()( thettx Htn α−= (9.61)

De (9.24), e pela propriedade da derivação nas frequências, retira-se que

[ ] αα

α −>

+−→←− s

sds

dthet

n

nn

Htn Re ,

1)1()( (9.62)

Derivando até ordem n, obtém-se

1)(

!)1(

1++

−=

+ nn

n

n

s

n

sds

d

αα (9.63)

Com este resultado, a transformada de (9.61) é

[ ] α

αα −>

+→← +

− ss

nthet

nHtn Re ,

)(

!)(

1

(9.64)


em que n! significa o factorial de n, ou seja, n×(n-1) × (n-2) ×...×2×1. ♦

9.5.7 Integração nos Tempos


[ ] 0ReROC contém ROC )(

)( >∩→←

∞−s

s

sUdu u

t ττ (9.65)

[ ] 0ReROC contém ROC )(

)( I

0>∩→←

−

s s

sUdu u

t ττ (9.66)

Como se pode verificar, as duas definições dão resultados semelhantes. A integração introduz um pólo na origem que altera a região de convergência.

Para demonstrar (9.65) e (9.66), consideremos

∞ −→←x

stt

x

t

xdtedudu ττττ )()( (9.67)

em que x=-∞ para a transformada bilateral e x=0- para a unilateral. Utilizando a integração por partes, obtém-se

=−

− −

→←−∞− t

x

st

x

stt

x

t

xdt

s

etu

s

edudu )()()( ττττ

[ ]

s

sU

sdtetus

t

x

st

)(

0Re )(1

0

=

>+= −

(9.68)

♦ Exemplo 9.14: Utilizar a propriedade da integração para obter a transformada de Laplace de

)()( thttx Hn= (9.69)

Sabendo que a transformada do degrau de Heaviside, hH(t), é 1/s, com Re[s]>0, a transformada de thH(t) é

20

111)()(

sssdhtth

t

HH =→←= ττ (9.70)

De um modo geral,


10

1 111)(

)!1(

1)(

!

1+

− =→←−

= nn

t

Hn

Hn

sssdh

ntht

nτττ (9.71)

ficando que

[ ] 0Re !

)(1

>→← + ss

ntht

nHn (9.72)

Este resultado pode ser comprovado com o obtido em (9.64), fazendo α=0. ♦

9.5.8 Convolução nos Tempos


212121 ROCROC contém ROC )()()()( ∩→←⊗ sUsUtutu (9.73)

em que para a transformada de Laplace unilateral u1(t) e u2(t) são nulos para t<0. A convolução de dois sinais no domínio dos tempos transforma-se na multiplicação das transformadas dos sinais no outro domínio.

Quanto à região de convergência, esta inclui pelo menos a intercepção das regiões de convergência dos dois sinais e pode ser maior, caso haja cancelamento de pólos com zeros.

Vamos demonstrar (9.73) para a transformada unilateral. Como foi referido, essa expressão é válida desde que os sinais sejam causais. Nesta situação, a convolução é dada por

τττ dtuututu ∞−

−=⊗0 2121 )()()()( (9.74)

Aplicando a transformada unilateral, obtém-se

[ ] ∞ −∞∞ −− −− −=⊗

0 0 210 21 )()()()( dtedtuudtetutu stst τττ (9.75)

Fazendo a mudança de variável t´=t-τ, dt´=dt, esta expressão fica

[ ]

)()(

)()(

)()(

)()()()(

12

0 12

0 0 21

0

)(

0 210 21

sUsU

deusU

dtdetueu

tdedtuudtetutu

s

tss

tsst

=

=

′′=

′ ′=⊗

∞ −

∞ ′−∞−

∞ +′−∞∞ −

−

− −

− −−

ττ

ττ

ττ

τ

τ

τ

(9.76)


Notar que na segunda passagem do cálculo anterior fez-se a troca das integrações. Se os sinais não fossem causais, o que implicaria um limite inferior do integral da convolução igual a menos infinito, o resultado não seria o obtido.

A demonstração de (9.73) para a transformada bilateral segue o mesmo procedimento que o apresentado para a unilateral, mas com os limites inferiores dos integrais iguais a menos infinito.


u(t)

t0

1

T 2T

u(t)

t0

1

T 2T

Fig. 9.12 – Sinal para o exemplo 9.15.

O sinal u(t) pode ser visto como convolução de dois impulsos rectangulares no intervalo 0≤t≤T/2 e de amplitude T-1/2. Do resultado obtido em (9.27), e tendo em conta a propriedade da convolução, obtém-se

( )

2

2

2

1

11)(

Ts

e

s

e

TsU

Ts

Ts

−

−

−=

−=

(9.77)

♦

9.5.9 Convolução nas Frequências


212121 ROCROC contém ROC )()(2

1)()( ∩⊗→← sUsU

jtutu

π (9.78)

sendo

∞+

∞−−=⊗

j

jdppsUpUsUsU

σ

σ)()()()( 2121 (9.79)

Para demonstrar a propriedade, fazendo a transformada inversa do segundo membro de (9.78),


∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞− −=

−= ⊗

j

j

j

j

st

j

j

stj

j

j

j

st

dpdsepsUj

pUj

dsedppsUpUjj

dsesUpUjj

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

ππ

ππππ

)(2

1)(

2

1

)()(2

1

2

1)()(

2

1

2

1

21

2121

(9.80)

Fazendo a mudança de variável s'=s-p, e ds'=ds, a expressão anterior fica

)()(

)(2

1)(

)()(2

1

)(2

1)(

2

1)(

2

1)(

2

1

12

12

21

21)(

21

tutu

dpepUj

tu

dptuepUj

dpsdesUj

epUj

dpsdesUj

pUj

j

j

pt

j

j

pt

j

j

j

j

tsptj

j

j

j

tps

=

=

=

′′= ′′

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

′∞+

∞−

∞+

∞−

+′

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

π

π

ππππ

(9.81)

9.6 TEOREMAS DOS VALORES FINAL E INICIAL

Para sinais causais, sem impulsos ou singularidades de mais alta ordem na origem, é possível calcular o seu valor inicial e final, nos tempos, a partir da sua transformada de Laplace. Desta forma, pode-se determinar o valor inicial e final de um sinal desconhecido, conhecendo-se apenas a sua transformada.

9.6.1 Teorema do Valor I nicial

O valor que o sinal tem, no domínio dos tempos, quando t tende para a origem é igual ao valor da transformada multiplicada por s, quando s tende para infinito,

)(lim)(lim)0(0

ssUtuust ∞→→

+ == (9.82)

Dado que o sinal é causal, é possível utilizar qualquer definição de transformada de Laplace para demonstrar este teorema. Considerando a definição unilateral, a transformada da derivada do sinal dá

∞ −+

∞ −−+

∞ −−∞ −

+

+

+

−

+

+

−−

+=

+=

+=

0

0

0

0

0

0

00

)()0(

)()()0(

)()()(

dtedt

tduu

dtedt

tdudtetu

dtedt

tdudte

dt

tdudte

dt

tdu

st

stst

ststst

δ

(9.83)


Por outro lado, pela propriedade da derivação, e tendo em conta que u(0-)=0, tem-se

)()(

0ssUdte

dt

tdu st = ∞ −

− (9.84)

Igualando os dois resultados, retira-se que

∞ −++

+=0

)()0()( dte

dt

tduussU st (9.85)

Fazendo o limite de s a tender para infinito,

[ ]

)0(

)()0(lim)(lim

0

+

∞ −+

∞→∞→

=

+= +

u

dtedt

tduussU st

ss (9.86)

9.6.2 Teorema do Valor Final

O valor que o sinal tem, no domínio dos tempos, quando t tende para o infinito é igual ao valor da transformada multiplicada por s, quando s tende para zero,

)(lim

)(lim)(

0ssU

tuu

s

t

→

∞→

=

=∞

(9.87)

Se fizermos s tender para zero em (9.85), o resultado é

[ ]

[ ]

)(

)0()()0(

)()0(

)()0(

)()0(lim)(lim

0

0

000

∞=−∞+=

+=

+=

+=

++

∞+

∞+

∞ −+

→→

+

+

+

u

uuu

tuu

dtdt

tduu

dtedt

tduussU st

ss

(9.88)

demonstrando a propriedade.

Este teorema permite analisar a resposta em regime permanente de um sistema, ou seja, a resposta para a qual tende a saída do sistema quando o tempo tende para infinito.


9.7 CASOS PARTICULARES DE INTERESSE

9.7.1 Inversão da Transformada de Laplace

Para o cálculo da transformada inversa pode-se utilizar as expressões (9.13) ou (9.16), mas isso implica o recurso à teoria da análise complexa. O cálculo da transformada inversa consiste na determinação de um integral ao longo de um contorno fechado no plano complexo. Como iremos restringir o cálculo ao caso em que a transformada é uma função racional, a transformada inversa pode ser determinada de uma forma simples.

A equação algébrica, que se apresenta na forma de quociente de dois polinómios em s, é dada por U(s)=N(s)/D(s). Como estamos interessados na expressão temporal dessa relação, haverá que proceder à sua inversão, u(t)= -1[U(s)].

Vamos procurar decompor U(s) em fracções simples e, com ajuda das propriedades e tabelas de transformadas conhecidas, obter u(t) a partir dessas fracções.

9.7.1.1 Método dos Resíduos

Consideremos F(s) uma função analítica numa região do plano complexo (livre de singularidades), excepto num número finito de pólos, e C um contorno fechado nessa região. Da teoria da análise complexa, o cálculo do integral ao longo de um percurso fechado C é igual à soma dos integrais à volta de cada singularidade individual,

=

=N

kkC

RjdssF1

2)( π (9.89)

com

=kCk dssF

jR )(

2

1

π (9.90)

em que Ck é o contorno fechado que inclui o pólo k. A equação anterior define o designado teorema dos resíduos. Pelos integrais de Cauchy, o resíduo num pólo simples (pólos todos diferentes), sk, é dado por

[ ]))((lim kssk sssFRk

−=→

(9.91)

Quando existem pólos múltiplos (pólos iguais), os resíduos são obtidos por

[ ]

−

−= −

−

→

nkn

n

ssk sssF

ds

d

nR

k

))((lim)!1(

11

1

(9.92)


De seguida será analisada outra forma de se obter a transformada de Laplace inversa quando U(s) é uma função racional. Iremos ver em que medida as expressões (9.91) e (9.92) estão relacionadas com essa abordagem.

9.7.1.2 Cálculo da Transformada Inversa por Decomposição em Fracções Simples

No caso da transformada U(s) ser uma fracção racional, pode-se decompor em fracções simples pelo método conhecido por decomposição de Heaviside. Assim,

01

11

011

1

...

...)(

asasasa

bsbsbsbsU

NN

NN

MM

MM

++++++++

= −−

−− (9.93)

onde, para casos físicos, o grau do denominador é menor do que o do denominador (M<N). Se assim não for (sendo U(s) uma fracção imprópria), basta fazer a divisão de polinómios, resultando

)(

)()()( 1

sD

sNsQsU += (9.94)

e será própria a componente N1(s)/D(s). Encontrando as raízes do denominador e factorizando-o,

))...()...(()(

)()(

21 Nk ssssssss

sNsU

−−−−= (9.95)

os valores s1, s2, ..., sk, ... sN, são os pólos de U(s), ou seja, as raízes do denominador.

9.7.1.3 A Transformada Inversa da Fracção Racional de Pólos Simples

Se a fracção racional tem pólos simples, isto é, se as raízes do denominador são diferentes, torna-se particularmente fácil e rápido determinar a transformada inversa. A decomposição fica

N

N

k

k

ss

A

ss

A

ss

A

ss

AsU

−++

−+

−+

−= ......)(

2

2

1

1 (9.96)

ou, na forma mais compacta,

= −

=N

k k

k

ss

AsU

1

)( (9.97)

Dada a propriedade da linearidade e a transformada apresentada no exemplo 9.2,

( ) )(......)( 121

21 theAeAeAeAtu Hts

Nts

ktsts Nk +++++= (9.98)


Vejamos como calcular o valor dos coeficientes A1, A2, ..., Ak, ... AN, chamados resíduos dos pólos s1, s2, ..., sk, ... sN, respectivamente, sem necessidade de recorrer ao usual processo de igualização dos coeficientes2, trabalhoso e moroso.

Se multiplicarmos U(s) por (s-sk), retira-se que

≠= −

−+=

−−

++−

−++

−−

+−−

=−

N

kii i

kik

N

kN

k

kkkkk

ss

ssAA

ss

ssA

ss

ssA

ss

ssA

ss

ssAsssU

1

2

2

1

1

)(

)(...

)(...

)()())((

(9.99)

Se fizermos s=sk, vê-se que no lado direito só fica Ak, donde

[ ]ksskk sssUA

=−= ))(( (9.100)

por serem todas as parcelas nulas, excepto a do resíduo Ak. Comparando esta expressão com a (9.91), para determinação dos resíduos, verifica-se que elas são semelhantes. Por conseguinte, designar-se-á este procedimento de determinação dos coeficientes por técnica dos resíduos.

Se substituíssemos a expressão de U(s) em que só o denominador é factorizado, obter-se-ia,

kss

kNk

k ssssssssss

sNA

=

−−−−−

= )())...()...()((

)(

11

(9.101)

uma vez que o termo (s-sk), o único que se anula para s=sk, é comum ao numerador e ao denominador. Assim,

))...()()...()((

)(

1111 Nkkkkkkk

kk ssssssssss

sNA

−−−−−=

+− (9.102)

Pode-se enunciar a seguinte regra prática: Para determinar o valor de qualquer resíduo Ak basta substituir s por sk na expressão de U(s), depois de eliminar no seu denominador o factor correspondente (s-sk).

Se existirem pólos complexos, aparecem sempre em pares conjugados e, se o sinal for real, os respectivos coeficientes Ak serão também complexos conjugados.

♦ Exemplo 9.16: Obter a transformada de Laplace inversa da seguinte função:

23

812)(

2 +−−=ss

ssU (9103)

Factorizando e decompondo em fracções simples, U(s) fica

2- Conhecido por Método dos Coeficientes Indeterminados


21

)2)(1(

812)(

21

−+

−=

−−−=

s

A

s

A

ss

ssU

(9.104)

O coeficientes são determinados por

161

812

42

812

22

11

=−−=

−=−−=

=

=

s

s

s

sA

s

sA

(9.105)

Substituindo os coeficientes em (9.104), obtém-se

2

16

1

4)(

−+

−−=

sssU (9.106)

A transformada inversa referente a esta função é

[ ] )(164)( 2 theetu Htt −− +−= (9.107)

♦

9.7.1.4 A Transformada Inversa da Fracção Racional de Pólos Múltiplos

Se existirem pólos múltiplos, isto é, se

( ) )(

)()(

1 sDss

sNsU

rm−

= (9.108)

é necessário para cada um deles (sm) fazer a decomposição:

( ) ( ) ( ) m

rm

rm

mr

m

mr

mss

A

ss

A

ss

A

ss

sN

−++

−+

−=

−−

−)1(

110 ...

)( (9.109)

Para a determinação de Am0 pode-se usar a técnica anterior,

[ ]mss

rmm sssUA

=−= ))((0 (9.110)

Porém, para os outros coeficientes, o mesmo processo levaria a infinito em ambos os membros, ficando o coeficiente por determinar. Se derivarmos U(s)(s-sm)r em ordem a s,

[ ] ...)(2))(( 21 +−+=− mmmr

m ssAAsssUds

d (9.111)


fazendo s=sm, dá

[ ]mss

rmm sssU

ds

dA

=

−= ))((1 (9.112)

Repetindo o processo, a expressão para determinar cada coeficiente é

[ ]mss

rmk

k

mk sssUds

d

kA

=

−= ))((

!

1 (9.113)

com k=0, 1, 2, ..., r-1. Este resultado é semelhante à expressão (9.92) utilizada para a determinação dos resíduos.

♦ Exemplo 9.17: Calcular a transformada de Laplace inversa de

485

4)(

23 +++=

sss

ssU (9.114)

Factorizando e decompondo em fracções simples,

2)2(1

)2)(1(

4)(

212

201

2

++

++

+=

++=

s

A

s

A

s

A

ss

ssU

(9.115)

Os coeficientes são:

41

4

81

4

4)2(

4

2

21

220

121

=

+

=

=+

=

−=+

=

−=

−=

−=

s

s

s

s

s

ds

dA

s

sA

s

sA

(9.116)

Usando a linearidade e os resultados

asthe

stth

Hat

H

+→←

→←

− 1)(

1)(

2

(9.117)

vem que

[ ] )(4)48()( 2 theettu Htt −− −+= (9.118)


♦

9.7.2 Distr ibuição de Cauchy e a Sua Transformada I nversa

Vai-se definir a distribuição de Cauchy, por analogia com a de Dirac, estendendo-a para o plano complexo, por

)(21

00

ssjss

−=−

γπ (9.119)

Tendo em conta a expressão (6.48), a que chamámos transformada de Dirac, poder-se-ia deduzir a expressão da transformada directa de Laplace com base na expressão anterior e nas propriedades da linearidade e da transformada do impulso de Dirac atrasado. De facto,

[ ] [ ]

∞

∞−

−

∞

∞−

=

−=

ττ

ττδτ

τ deu

dtutu

s)(

)()()(

(9.120)

é a expressão da transformada directa de Laplace na variável τ, que pode ser substituída por t.

Por analogia com o conceito de distribuição de Dirac e generalizando-o para o plano complexo s, vamos também definir a distribuição de Cauchy como a distribuição γ(s) que verifica o integral:

−= dssssUsU )()()( 00 γ (9.121)

que inclui a definição de impulso de Dirac, se s for real e se o integral de circulação só tiver valor diferente de zero para um percurso sobre uma recta de números reais. De (9.119), tem-se que

−

= dsss

sU

jsU

00

)(

2

1)(

π (9.122)

que é o teorema de Cauchy, válido desde que U(s) seja regular dentro do contorno considerado. Este facto legitima a generalização efectuada para a distribuição de Cauchy. Partindo da expressão (9.121), e trocando as variáveis s e s0,

−= 000 )()()( dssssUsU γ (9.123)

Tomando que γ(s-s0)=γ(s0-s), (9.122) fica

−

= 00

0)(

2

1)( ds

ss

sU

jsU

π (9.124)


A transformada inversa de Laplace é obtida considerando as propriedades da linearidade e sabendo que )/(1)( 0

0 sseth tsH −→← , Re[s]>Re[s0],

[ ]

=

=

−

=

=

−

−

dsesUj

dsesUj

dsss

sUj

sUtu

st

ts

)(2

1

)(2

1

1)(

2

1

)()(

00

00

10

1

0

π

π

π

(9.125)

que é a definição de transformada inversa de Laplace apresentada em (9.16).

Viu-se, assim, que a linearidade e as transformadas directa e inversa do impulso de Dirac, juntamente com a definição de impulso de Dirac, poderiam ter constituído axiomas definidores da transformada de Laplace.

9.7.3 Sér ie de Laplace

Apresentada a cissóide de frequência complexa, introduziu-se a generalização da série de Fourier, obtendo-se um sinal temporal a partir de cissóides complexas, segundo a expressão

∞−∞=

=k

tsk

keCtu )( (9.126)

expressão a que chamaremos série de Laplace. Esta contém como caso particular a série de Fourier. Da transformada de Laplace pode-se obter os coeficientes da série de Laplace. Do teorema de Cauchy,

=

−ts

k

stkeds

ss

e

jπ2

1

(9.127)

substituindo este resultado na expressão da série de Laplace,

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

−=

−=

−=

k

st

k

k

k

st

k

k

k k

st

k

dsess

C

j

dsess

C

j

dsss

eC

jtu

π

π

π

2

1

2

1

2

1)(

(9.128)

Da definição da transformada inversa retira-se a relação


∞

−∞= −=

k k

k

ss

CsU )( (9.129)

9.7.4 Operador de Repetição

Seja o sinal periódico causal apresentado na figura 9.13.

uP(t)

t0

…

T0

uP(t)

t0

…

T0

Fig. 9.13 – Função periódica causal.

A função periódica causal uP(t), com um período definido por u0(t), pode ser representada por

∞

=−=

000 )()(

kP kTtutu (9.130)

Sendo U0(s) a transformada de Laplace u0(t), a transformada da função uP(t) pode ser calculada pelas propriedades da linearidade e da translação nos tempos, o que dá

∞

=

−∞

=

− =→←0

00

000 )()()(

k

skT

k

skTP esUesUtu (9.131)

Resolvendo o somatório, obtém-se

sTP

e

sUtu

01

)()( 0

−−→← (9.132)


uP(t)

t0

1

1 2

…

uP(t)

t0

1

1 2

…

Fig. 9.14 – Sinal para o exemplo 9.18.

A transformada de um período do sinal pode ser obtida utilizando o resultado do exemplo 9.15. No entanto, vejamos outra forma de se obter a transformada, que é


útil quando o sinal pode ser definido por funções mais simples, como mostra a figura 9.15.

+t0

m=-2

1+ t0

m=1

2t=0 1

1

2 t0

m=1

u0(t)

+t0

m=-2

1+ t0

m=1

2t=0 1

1

2 t0

m=1

u0(t)

Fig. 9.15 – Decomposição do sinal em funções mais simples.

Da figura 9.15, vê-se que o sinal u0(t) pode ser representado por

)2()2()1()1(2)()(0 −−+−−−= thtthttthtu HHH (9.133)

cuja transformada é, de (9.72),

2

2

220 21

)(s

e

s

e

ssU

ss −−

+−= (9.134)

A transformada de uP(t) fica

( )s

ss

Pes

eesU

22

2

1

21)( −

−−

−+−=

(9.135)

uma vez que T0=2. ♦

9.7.5 Análise de Sistemas Utilizando a Transformada de Laplace

Uma das principais utilizações da transformada de Laplace é na análise de sistemas lineares e invariantes no tempo, sendo o método clássico utilizado para se obter a resposta dos mesmos. Como o sistema normalmente é definido por uma equação diferencial, a transformada de Laplace é particularmente útil para se determinar a solução de equações diferenciais lineares, de coeficientes constantes.

Com a introdução desta transformada, Laplace simplificou a resolução dos problemas em que estão envolvidas as equações diferenciais, e, com elas, simplificou a resolução dos problemas das mecânicas e de outros capítulos da Física.

9.7.5.1 Função de Transferência do Sistema

Uma equação diferencial de ordem N é caracterizada por


)()(

...)(

)()(

...)()(

01011

1

1 txbdt

tdxb

dt

txdbtya

dt

tdya

dt

tyda

dt

tyda

N

M

MN

N

NN

N

N +++=++++ −

−

−

(9.136)

ou

==

=M

nn

n

n

N

nn

n

ndt

txdb

dt

tyda

00

)()( (9.137)

Uma forma de representar o sistema, definido por uma equação diferencial, baaeia-se no diagrama de blocos. Como na prática é preferível implementar um integrador em vez de um diferenciador, se a expressão (9.136) for integrada N vezes,

+++=

=++++

−−

−−

)(0)1(1)(

)(0)1(11

)()(...)(

)()(...)()(

NNMNM

NNNN

dttxbdttxbdttxb

dttyadttyadttyatya (9.138)

resolvendo em ordem a y(t), obtém-se

−−−−

+++=

−−

−−

)(0)1(11

)(0)1(1)(

)()(...)(

)()(...)(1

)(

NNN

NNMNMN

dttyadttyadttya

dttxbdttxbdttxba

ty (9.139)

A figura 9.16 mostra o respectivo diagrama de blocos, supondo M=N.

+ +

x(t) y(t)

b0

1/aN

bN

b1

-a0

-a1

-aN-1bN-1

+ +

x(t) y(t)

b0

1/aN

bN

b1

-a0

-a1

-aN-1bN-1

Fig. 9.16 – Diagrama de blocos de um sistema definido por uma equação diferencial.

Utilizando as técnicas matemáticas de resolução de equações diferenciais, o sinal y(t) consiste na solução da equação homogénea mais a solução particular da


equação. Para um sistema linear, causal e invariante no tempo, tem-se que y(t)=0 para t≤0. Assim, para t>0 a resposta é determinada utilizando a equação diferencial com condições iniciais nulas.

Tendo em conta a propriedade da derivação nos tempos, em que

)()(

sYsdt

tyd kk

k

→← (9.140)

a determinação da solução da equação diferencial pode ser muito mais facilmente efectuada utilizando a transformada de Laplace. Deste modo, qualquer equação integro-diferencial nos tempos pode ser transformada numa equação algébrica. Obtida a solução em s, a solução nos tempos é calculada pela transformada inversa.

Sabendo que a saída de um sistema LIT pode ser caracterizada pela convolução do sinal de entrada do sistema, x(t), pela resposta impulsional do mesmo, h(t), tem-se que

)()()()()()( sXsHsYtxthty =→←⊗= (9.141)

A função H(s) é a transformada de Laplace da resposta impulsional do sistema e designa-se por função de transferência. De (9.137), retira-se que a função de transferência do sistema pode ser definida por

=

===N

n

nn

M

n

nn

sa

sb

sX

sYsH

0

0

)(

)()( (9.142)

O sistema, como foi caracterizado pelo diagrama de blocos na figura 2.33, pode ser caracterizado por H(s), como mostra a figura 9.17.

H(s)x(t) y(t)

H(s)x(t) y(t)

Fig. 9.17 – Representação do sistema pela sua função de transferência.

Portanto, pode-se determinar a resposta a uma entrada, x(t), fazendo a transformada inversa de Laplace do produto entre a transformada de Laplace de entrada, X(s), e a função de transferência, H(s),

[ ])()()( 1 sHsXty −= (9.143)

Desta forma, a transformada de Laplace permite calcular a convolução de outro modo mais simples, o que aliás já tinha acontecido com a transformada de Fourier.


9.7.5.2 Estabilidade do Sistema

Como se viu na secção anterior, um sistema pode ser caracterizado na transformada de Laplace pela sua função de transferência, H(s). A região de convergência de H(s) permite fornecer dados importantes sobre o respectivo sistema, como seja a causalidade e a estabilidade.

Pela regra 3 da região de convergência, para um sistema causal a ROC cai numa faixa para a direita da descontinuidade. Se existirem várias descontinuidades, a faixa da ROC cai para a direita do pólo mais à direita no plano s.

Para que um sistema seja estável, a sua transformada de Fourier deve existir. Como a transformada de Fourier é definida, no plano s, pelo eixo jω, este eixo deve estar dentro da região de convergência. Assim, um sistema causal e estável deve ter todos os pólos no semi-plano esquerdo do plano s (figura 9.18). Se algum pólo cai no semi-plano direito o sistema é instável.

0×

×

×

jω

σ0×

×

×

jω

σ

Fig. 9.18 – Sistema causal e estável.

9.7.5.3 Exemplos

Uma aplicação importante na Engenharia Electrotécnica é a análise de circuitos com qualquer entrada. Da teoria básica de circuitos, viu-se que a transformada de Steinmetz era bastante útil para análise de circuitos com entradas sinusoidais. Para qualquer sinal à entrada, a transformada de Laplace é uma poderosa ferramenta de cálculo, possibilitando obter a resposta do circuito.

De seguida, serão apresentados alguns exemplos que mostram como utilizar a transformada de Laplace na análise de circuitos.

♦ Exemplo 9.19: Analisar a resposta do circuito RC da figura 9.19, quando na entrada se tem um degrau de Heaviside de amplitude V.

R

C

i(t)

vi(t) vo(t)

R

C

i(t)

vi(t) vo(t)

Fig. 9.19 – Circuito RC.


A tensão vo(t) nos terminais do condensador é dada por

= dttiC

tvo )(1

)( (9.144)

A respectiva transformada de Laplace é

s

sI

CsVo

)(1)( = (9.145)

A equação da malha do circuito é definida por

+= dttiC

tRitvi )(1

)()( (9.146)

cuja transformada é

sC

sIsRIsVi

)()()( += (9.147)

Notar que se obtém o mesmo resultado utilizando a representação da figura 9.20, ou seja, a impedância da resistência é R e a impedância do condensador é 1/sC. Ao utilizar estes valores de impedância pode-se fazer uma análise do circuito, utilizando os processos já conhecidos da teoria dos circuitos.

R

sC1

Vi(s) Vo(s)

R

sC1

Vi(s) Vo(s)

Fig. 9.20 – Definição, em Laplace, do circuito RC.

Tendo em conta a figura 9.20, tem-se que

)(1

1

)(1

1

)(

sV

RCs

RC

sVR

sC

sCsV

i

io

+=

+=

(9.148)

Como a transformada do sinal de entrada é V/s, a expressão anterior fica


RCs

V

s

V

RCss

RC

V

s

V

RCs

RCsVo

1

11

1

1

)(

+−=

+=

+=

(9.149)

cuja transformada inversa é

)(1)(1

theVtv H

tRC

o

−=−

(9.150)

A figura 9.21 mostra o resultado.

t0

V

vo(t)

t0

V

vo(t)

Fig. 9.21 – Resposta do circuito da figura 9.19.

O pólo da função de transferência, s=–1/RC, cai no semi-plano esquerdo do plano s, sendo o circuito um sistema estável. A expressão (9.150) é a equação de carga de um condensador. O sinal de entrada é caracterizado por duas zonas, uma descontínua, onde a variação do sinal é máxima, e uma constante, cuja variação é mínima. Como o conteúdo espectral de um sinal está ligado à variação do mesmo, a máxima variação do sinal corresponde a altas frequências, e a mínima a baixas frequências. Desta forma, da figura 9.21 vê-se que o circuito RC da figura 9.19 pode ser visto como um filtro passa-baixo aproximado, uma vez que corta as altas frequências e deixa passar as baixas.

♦

♦ Exemplo 9.20: Se no circuito da figura 9.20 trocarmos a posição da resistência e do condensador, obtém-se o circuito da figura 9.22. Analisar a resposta de saída deste circuito.


vi(t) vo(t)

C

Rvi(t) vo(t)

C

R

Fig. 9.22 – Circuito RC.

A função de transferência do circuito da figura 9.22 é

RCs

sRCsC

R

R

sV

sV

i

o

1

1)(

)(

+=

+=

(9.151)

Para um degrau de Heaviside à entrada tem-se a saída

)()(1

thVetv H

tRC

o

−= (9.152)

A figura 9.23 apresenta o resultado. Dada a posição do pólo no plano s, confirma-se a estabilidade do sistema. Verifica-se que o circuito RC da figura 9.23 pode ser visto como um filtro passa-alto aproximado, uma vez que deixa passar as altas frequências e corta as baixas.

t0

V

vo(t)

t0

V

vo(t)

Fig. 9.23 – Resposta do circuito da figura 7.19.

♦

♦ Exemplo 9.21: Seja o circuito RLC, apresentado na figura 9.24, alimentado por uma fonte de tensão contínua. Determinar a forma da corrente que circula no circuito após ligar o interruptor.

R

+-

V

L Ci(t) R

+-

V

L Ci(t)

Fig. 9.24 – Circuito RLC.


Como já foi referido, pode-se determinar a impedância do circuito na transformada de Laplace e aplicar as regras já conhecidas da teoria de circuitos, como mostra 9.25.

sC1

R sL

Vi(s)

I(s) sC1

R sL

Vi(s)

I(s)

Fig. 9.25 – Circuito RLC em Laplace.

Sendo o sinal vi(t) um degrau de Heaviside de amplitude V, que representa uma fonte de tensão contínua ligada ao circuito em t=0, a expressão da corrente nas transformadas é

LCs

L

Rs

L

V

sV

LCs

L

Rs

L

ssC

sLR

sVsI

i

i

1

)(1

1)(

)(

2

2

++=

++=

++=

(9.153)

Determinando as raízes do denominador, obtém-se

−−+

−++

=

LC

LR

L

Rs

LC

LR

L

Rs

L

V

sI

2

4

22

4

2

)(22

(9.154)

Dependendo dos valores dos parâmetros do circuito, poderemos ter três situações para as raízes: duas raízes reais iguais, duas raízes reais diferentes e duas raízes complexas conjugadas. Dada a posição dos pólos no plano s, o sistema é sempre estável.

A primeira situação é obtida quando R=2√(L/C). Neste caso, os pólos são iguais e (9.154) fica


2

2

)(

+=

L

Rs

L

V

sI (9.155)

A transformada inversa, obtida tendo em conta (9.64), dá

)()( 2 thteL

Vti H

tL

R−= (9.156)

A figura 9.26a) apresenta a forma da corrente no circuito em função do tempo. Pode-se verificar que existe um tempo transitório em que a corrente flui no circuito, mas esta é nula em regime permanente, ou seja, quanto t tende para infinito.

Para a segunda situação dos pólos, se R>2√(L/C), estes são diferentes e reais. Aplicando o método dos resíduos,

LC

LR

L

Rs

C

LR

V

LC

LR

L

Rs

C

LR

V

sI

2

4

2

4

2

4

2

4

)(2

2

2

2

−++

−−

−−+

−= (9.157)

A transformada inversa referente a esta expressão é

)(4

)( 2

4

2

4

2

2

22

theee

C

LR

Vti H

tL

C

LR

tL

C

LR

tL

R

−

−=

−−

−−

(9.158)

A figura 9.26b) mostra a evolução da corrente no circuito ao longo do tempo.

Para a terceira situação dos pólos, se R<2√(L/C), estes são complexos conjugados. Neste caso, é mais fácil partir de (9.153) para transformar a função numa que seja semelhante a (9.46) ou (9.47). Assim,


2

22

2

2

2

22

2

4

1

2

1

44

1)(

L

R

LCL

Rs

L

VLCL

R

L

Rs

L

Rs

L

VLC

sL

Rs

L

V

sI

−+

+

=

+−++=

++=

(7.159)

Comparando com (9.47), a expressão anterior pode ser posta na forma,

2

2

22

2

2

2

2

4

1

2

4

1

4

1)(

−+

+

−

−

=

L

R

LCL

Rs

L

R

LC

L

R

LC

L

V

sI (9.160)

A transformada inversa é

)(4

1sen

4

)(2

22

2tht

L

R

Le

R

C

L

Vti H

tL

R

−

−

=−

(9.161)

A figura 9.26c) mostra a evolução da corrente no circuito ao longo do tempo. Esta consiste numa função oscilatória com amortecimento.


t0 t0

t0

i(t) i(t)

i(t)

a) b)

c)

t0 t0

t0

i(t) i(t)

i(t)

a) b)

c)

Fig. 9.26 – Corrente num circuito RLC: a) para pólos do sistema reais e iguais; b) para pólos do sistema reais e diferentes; c) para pólos do sistema complexos conjugados.

♦

Como se pode verificar pelos vários exemplos, após a representação das impedâncias de um circuito eléctrico na transformada de Laplace, a análise do mesmo consiste em aplicar as regras já conhecidas de análise de circuitos.

9.7.6 Resolução de Equações Diferenciais com Condições Iniciais

Existem situações em que o sinal de entrada de um determinado sistema não começa em repouso, mas tem um comportamento passado que pode ser desconhecido. Neste caso, para análise da resposta de saída do sistema é necessário não só o comportamento do sinal após o início, mas também o estado inicial do mesmo.

Já foi referido que um sistema pode ser descrito por uma equação diferencial. No entanto, para sistemas com condições iniciais, a informação desta equação não é suficiente para descrever todo o sistema. A informação passada do sistema pode ser representada pelos valores de saída do mesmo e pelas respectivas derivadas no instante inicial.

A definição de transformada de Laplace unilateral, e das suas derivadas, é usada para se obter a solução de equações diferenciais de coeficientes constantes quando as condições iniciais são diferentes de zero. Vejamos este processo, supondo, por simplicidade, a aplicação da transformada de Laplace a um sistema de segunda ordem,

)()()(

)()()(

012

2

2012

2

2 txbdt

tdxb

dt

txdbtya

dt

tdya

dt

tyda ++=++ (9.162)


em que as condições iniciais são y(0-) e y´(0-). Estas condições inicias são o resultado do historial passado do sistema. Dado o sinal de entrada, x(t), pretende-se obter a resposta de saída, y(t), para t>0. Aplicando a propriedade da derivação nos tempos a (9.162),

[ ] [ ]

[ ] [ ] )()0()()0()0()(

)()0()()0()0()(

012

2

012

2

sXbxssXbxsxsXsb

sYayssYaysysYsa

+−+′−−=

=+−+′−−−−−

−−−

(9.163)

Aplicando a transformada de Laplace fica

[ ]

[ ]

012

2

1212

012

2

22

012

2

1212

012

2

22

012

2

012

2

)0()0()0()0(

)0()0()()(

)0()0()0()0(

)0()0()()(

asasa

xbxbyaya

asasa

xbyassXsH

asasa

xbxbyaya

asasa

xbyassX

asasa

bsbsbsY

++−′−+′

+

+++

−+=

++−′−+′

+

+++

−+

++++

=

−−−−

−−

−−−−

−−

(9.164)

A resposta de saída consiste em duas partes. A primeira corresponde ao sinal de entrada para t>0, multiplicado pela função de transferência do sistema, H(s). A segunda parte depende dos valores de saída e entrada em t=0-.

Para ordem N da equação diferencial, aplica-se o mesmo procedimento, em que as condições iniciais são y(0-), y´(0-), ..., y(N-1)(0-).

♦ Exemplo 9.22: Seja o circuito RC, apresentado na figura seguinte. Considerando que o condensador está carregado com uma tensão V0, determinar a corrente que circula no circuito, após fechar o interruptor.

C R

i(t)

C R

i(t)

Fig. 9.27 – Circuito para descarga do condensador.

A corrente que passa na resistência é a mesma que passa no condensador. Desta forma, considerando v(t) a tensão nos terminais da resistência, tem-se que

dt

tdvC

R

tv )()( −= (9.165)

A equação diferencial que rege o circuito é


0)()( =+ tv

dt

tdvRC (9.166)

Estando o condensador carregado, a condição inicial da tensão é v(0-)=V0. Assim, a transformada de Laplace é

[ ] 0)()0()( =+− − sVvssVRC (9.167)

Resolvendo em ordem a V(s),

RCs

VRC

s

vsV

1

1)0(

)(

0

+=

+=

−

(9.168)

A transformada inversa dá

)()(1

0 theVtv H

tRC

−= (9.169)

e a corrente

)(

)()(

10 the

R

V

R

tvti

H

tRC

−=

=

(9.170)

Obteve-se, como era de esperar, a equação de descarga do condensador. ♦

9.7.7 Resposta Indicial

A resposta indicial corresponde à saída do sistema quando à entrada se introduz um degrau de Heaviside. Deste modo, considerando à entrada de um sistema, caracterizado pela resposta impulsional h(t), um degrau de Heaviside, a figura 9.28 apresenta a saída correspondente.

h(t) y(t)H(s)

s

1

s

sH )(

h(t) y(t)H(s)

s

1

s

sH )(

Fig. 9.28 – Resposta indicial.


Os teoremas do valor inicial e do valor final mostram que o limite da resposta indicial quando t tende para zero é igual ao limite da resposta impulsional quando s tende para infinito e vice-versa. A demonstração é deixada como exercício.

9.8 RESUMO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Segue-se um resumo das relações, propriedades e sinais mais usados na transformada de Laplace.

9.8.1 Definição

• Transformada bilateral:

∞+

∞−

∞

∞−

−

=

=

j

j

st

st

dsesUj

tu

dtetusU

σ

σπ)(

2

1)(

)()(

[ ][ ])()(

)()(1 sUtu

tusU−=

=

• Transformada unilateral:

∞+

∞−

∞ −

=

=−

j

j

st

tj

dsesUj

tu

dtetusU

σ

σ

ω

π)(

2

1)(

)()(0

[ ][ ])()(

)()(1 sUtu

tusU

I

I

−=

=

9.8.2 Transformadas de Alguns Sinais

• 1)( →←tδ

• [ ] 0Re ,1

)( >→← ss

thH

• [ ] 0Re ,)()(sen22

>+

→← ss

tht H βββ

• [ ] 0Re ,)()cos(22

>+

→← ss

stht H β

β

• s

eTtP

sT

T

−−→←

− 1

2

• ... ,2 ,1 ,)()( =→← sst nnδ


• [ ] αα

α −>+

→←− ss

the Ht Re ,

1)(

• [ ] αα

α −<+

→←−− − ss

the Ht Re ,

1)(

• [ ] 0Re ,!

)(1

>→← + ss

ntht

nHn

• [ ] αα

α −>+

→← +− s

s

nthet

nHtn Re ,

)(

!)(

1

• [ ] αβα

ββα −>++

→←− ss

thte Ht Re ,

)()()(sen

22

• [ ] αβα

αβα −>++

+→←− ss

sthte H

t Re ,)(

)()cos(22

• ( ) [ ] [ ] bsasbsas

sthaebe

ab Hatbt −>−>

++→←−

−−− Re e Re ,

))(()(

1

•

[ ] as

bas

s

a

bthbte

b

baH

at

−>++

+→←

−

=++− −

Re

,)(

arctan),()(sen)(

22

22 αα

φφα

9.8.3 Propr iedades

• 212121 ROCROC contém ROC )()()()( ∩+→←+ sbUsaUtbutau

• aa

sU

aatu uROC

ROC ||

1)( =

→←

• u

stesUttu ROCROC )()( 00 =→←− −

• [ ]00 ReROCROC )()( 0 sssUetu u

ts +=−→←

• ussUdt

tduROC contém ROC )(

)( →←

• uussUdt

tduROC contém ROC )0()(

)(I −−→←


• uds

sdUttu ROC ROC

)()( =→←−

• [ ] 0ReROC contém ROC )(

)( >∩→←

∞−s

s

sUdu u

t ττ

• [ ] 0ReROC contém ROC )(

)( I

0>∩→←

−

s s

sUdu u

t ττ

• 212121 ROCROC contém ROC )()()()( ∩→←⊗ sUsUtutu

• 212121 ROCROC contém ROC )()(2

1)()( ∩⊗→← sUsU

jtutu

π

• )(lim)(lim)0(

0ssUtuu

st ∞→→

+ ==

• )(lim)(lim)(

0ssUtuu

st →∞→==∞


9.9 EXERCÍCIOS

9.9.1 Calcule, pela definição, a transformada de Laplace dos sinais:

a) 0 ),()( >= − αα thAetu Ht

b) )()( ttu δ=

c) )()( thtu H=

d) )()cos()( 0 thttu Hω=

9.9.2 Determine a transformada de Laplace das funções:

a) )()( tAthtu H=

b) )()( thtu H −=

c) )()1cos()( thtttu H−=

d) )()(sen)( 02 thtttu Hω=

e) [ ] )()(cos)(sen)( 02

02 thtbtatu Hωω +=

f)

>≤≤

<=

Tt

TtTA

Tt

u(t)

30

3

0

g) )()cos()cosh()( thatattu H=

9.9.3 Indique a razão das seguintes funções não poderem ter transformada de Laplace:

a) Atu =)(

b) )(1

)( tht

tu H=

9.9.4 Demonstre as propriedades apresentadas:

a) [ ] [ ])()( 00 tuettu st −=−

b) [ ] [ ])()( tuds

dttu −=

9.9.5 Considere o sinal:


0

A

tT

u(t)

0

A

tT

u(t)

a) Calcule a transforma de Laplace utilizando a propriedade da sobreposição.

b) Calcule a transforma de Laplace utilizando a propriedade da derivação.

c) Usando o resultado da alínea a), calcule a transformada de Laplace do impulso de Dirac, fazendo tender T para zero e A=1/T.

9.9.6 Considere o sinal representado na figura:

0

1

t

u(t)2

-11 2 30

1

t

u(t)2

-11 2 3

Determine a transformada de Laplace de u(t), usando:

a) A decomposição da função num somatório de funções degrau de Heaviside.

b) A propriedade da integração.

9.9.7 Calcule a transformada de Laplace dos sinais u1(t) e u2(t):

0

1

t

u1(t)2

1 2 0

1

t

u2(t)

1 20

1

t

u1(t)2

1 2 0

1

t

u2(t)

1 2

9.9.8 Calcule a transformada de Laplace inversa das funções apresentadas, por decomposição em fracções simples:

a) )3)(1(

2)(

+++=

sss

ssU

b) )2)(1(2

43)(

2

++++=

ss

sssU


c) )34(

)4)(2()(

2 ++++=

sss

sssU

d) )2)(1(

795)(

23

+++++=

ss

ssssU

e) )1(

)(2

2

++=

−

sss

esU

s

f) 22 )23(

1)(

sss

ssU

++−=

g) 2)2)(1(

3)(

+++=ss

ssU

h) )2()1(

1)(

3 ++=

sssU

9.9.9 Determine o valor inicial e final dos sinais:

a) )102(

)2(3)(

2 +++=sss

ssU

b) )10)(13(

3)(

2 −+++=

sss

ssU

9.9.10 Determinar a transformada de Laplace dos sinais:

a)

t

u(t)

…

0 t0

A

T t

u(t)

…

0 t0

A

T

b)

u(t)

t0

…

e-t+1

2 4

u(t)

t0

…

e-t+1

2 4

9.9.11 Nos bipolos das figuras pretende-se encontrar a resposta para dois tipos de sinal de entrada: um com a forma de um impulso de Dirac e o outro com a forma de um degrau de Heaviside. Se o sinal de entrada for uma corrente, pretende-se uma expressão da tensão nos terminais; se o sinal de entrada for


a f.e.m. nos terminais, pretende-se uma expressão da corrente que entra no bipolo. Considere R=1 Ω, L=1 H e C=1 F.

Ra)

L C

R

LC

b)

R

L

C

R C

L

c)

d)

Ra)

L C

R

LC

b)

R

L

C

R C

L

c)

d)

9.9.12 Para os quadripolos da figura encontre a relação entre a tensão de saída e a f.e.m. de entrada, esta com a forma de degrau de Heaviside.

R

L

vi vo

C

R

vi vo

C

Rvi vo

L

R

vi vo

a)

b)

c)

d)

R

L

vi voR

L

vi vo

C

R

vi voC

R

vi vo

C

Rvi vo

C

Rvi vo

L

R

vi voL

R

vi vo

a)

b)

c)

d)

Interprete o resultado obtido focando as situações em que os circuitos realizam uma integração aproximada, uma derivação aproximada ou uma fidelidade na transmissão.

9.9.13 O circuito eléctrico apresentado na figura abaixo tem os seguintes valores para os componentes: R=1 KΩ, L=50 mH e C=100µF:

R

L

C vo(t)vi(t)

R

L

C vo(t)vi(t)


a) Calcule a função de transferência do sistema e esboce os pólos e zeros no plano complexo.

b) Determine a saída do circuito, se à entrada tiver o sinal.

0

1

t5

vi(t)

0

1

t5

vi(t)

9.9.14 Considere a seguinte equação diferencial referente a um sistema com saída y(t) e entrada x(t):

)()(

3)(2)(

5)(

3

3

txdt

tdxty

dt

tdy

dt

tyd −=+−

a) Determine a função de transferência H(s) e diga se o sistema é estável.

b) Obtenha a saída do sistema para um impulso de Dirac à entrada.

9.9.15 Um sistema físico tem a seguinte função:

)()(5)(

3)(

2

2

txtydt

tdy

dt

tyd =++

Para um degrau de Heaviside à entrada, resolva a equação diferencial se o sistema tiver as condições iniciais: y(0)=0; y´(0)=2.

TRANSFORMADA DE LAPLACEcee.uma.pt/people/faculty/amandio.azevedo/... · A expressão da...

Documents

Transcript of TRANSFORMADA DE LAPLACEcee.uma.pt/people/faculty/amandio.azevedo/... · A expressão da...