RESUMEN Parte 1 -...

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RESUMEN Parte 1

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RESUMEN Parte 1

Ondas de Materia

La Luz:Su partícula asociada es el fotón, cuya energía y momentum son funciones de sus parámetros ondulatorios (frecuencia o longitud de onda)

,E

E h p kcγ

γ γν ω= = = =

Donde:,

2h k

π= =

Dualidad ONDA PARTÍCULA

La Materia: particulas subatómicas (electrones, protones, ...)

{ },E h p kν ω= = =Hipótesis de De Broglie (1924)La relación general

Relacion entre las caracteristicas corpusculares y las ondulatorias .( , )E p ( , )kω

{ },E h p kν ω= = =La relación de De Broglie :

La relación entre E y p dependerá de la masa de la partícula.En el caso de los fotones, la masa es cero:

0m E pc= → =

202

m pEv c m≠⎧ ⎫

→ =⎨ ⎬⎩ ⎭

Para las partículas materiales:

La longitud de onda que corresponde a la partícula es:hp

λ = Longitud de onda de De Broglie2p k πλ

= =

Prueba experimental: C. Davisson, L.Germer y G.P. Thompson, en 1927, realizaron experimentos, en los cuales se observaron patrones de difracción para un haz de electrones al pasar por una red cristalina, similares a los que producia un haz de rayos X.

¿A qué cantidad física corresponde la función de onda?

En 1926, Max Born, le dio una interpretación estadística. En el caso de movimiento en una dimensión, la cantidad:

( ) 2,x t dx dPΨ =

…corresponde a la probabilidad de encontrar la partícula en el intervalo [x,x+dx] del espacio.

Se puede hacer una generalización para movimiento en tres dimensiones:

( ) 2, , ,x y z t dxdydz dPΨ =

dV dxdydz=…corresponde a la probabilidad de encontrar la partícula en el volumen:

Relaciones de Incertidumbre de Heisenberg (Werner Heisenberg, 1925)

Incertidumbre entre Posición-Momentum: x p∆ ∆ ≥i

Incertidumbre Tiempo-Energía.

Observando que la duración temporal del paquete al pasar de un punto del

espacio es , se obtiene:

x p V t pE tpE p V p

m

∆ ∆ ≥ → ∆ ∆ ≥ ⎫⎪→ ∆ ∆ ≥⎬

∆ = ∆ = ∆ ⎪⎭

i ii

xtV∆

∆ = V

x∆

Interpretación Física de las relaciones de Incertidumbre.

{ },x p E t→ ∆ ∆ ≥ ∆ ∆ ≥i iRelaciones de Incertidumbre:

Interpretación Física:

::::

xptE

∆⎧⎪∆⎪⎨∆⎪⎪∆⎩

Error en la determinación de la posición de la partícula.

Error en la determinación del momentum de la partícula.Incertidumbre en el tiempo de medición (duración).Error en la determinación de la energía de la partícula.

La mejor precisión posible, en una medición, permite simultáneamente las incertidumbres:

,x p E t∆ ∆ ∆ ∆i ∼ i ∼

Principio de Incertidumbre de Heisenberg:

(I) No se pueden determinar simultáneamente la coordenada x y el momentum p de una partícula con una precisión arbitraria.

(II) No se puede determinar la energía E de una partícula con precisión arbitraria por medio de una medición durante un tiempo finito.

Consecuencias.

(I) La partícula no sigue una trayectoria definida. Si se supiera cuál es la trayectoria x=x(t), se podría determinar simultáneamente y sin incertidumbre el momentum p=m(dx(t)/dt) de la partícula. Ello contradice el Principio de Incertidumbre de Heisenberg.

( )( )

{ }0

0

x x t xx p

p mx t p

= → ∆ =⎧ ⎫⎪ ⎪⇒⇐ ∆ ∆ ≥⎨ ⎬= → ∆ =⎪ ⎪⎩ ⎭

i

CONTRADICCIÓN

(II) La energía de un sistema puede fluctuar alrededor del valor E impuesto por la conservación de la energía, dentro del rango: con E t∆ ∆∼

e

e

+

Fluctuaciones en el vacío:

Vacío Vacío

22 eE m c∆ = [ ]202 10

2 e

t sm c

−∆ ≈∼

Et

∆∆

E

E E± ∆

Dinámica Cuántica. Ecuación de Schrödinger.¿Cuál es la ecuación de determina a la Función de Onda ?

Así como en Mecánica Clásica F=ma y en Electromagnetismo están las Ecuaciones de Maxwell, se postula que la función de onda satisface la llamada

( ),r tΨ

Ecuación de Schrödinger (Erwin Schrödinger, 1926).

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2 2 , , , ,2

r t U r t r t i r tm x y z t⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

− + + Ψ + Ψ = − Ψ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠…donde m y U son la masa y la energía potencial de la partícula.

Normalización, la probabilidad total de encontrar a la partícula en el espacio:

( )( )

2 31 ,Todo elEspacio

r t d r= Ψ∫

…lo anterior se debe a que si la partícula existe, entonces es una certeza que se encuantre en algún lugar.

Continuidad, tanto la función de onda, como sus primeras derivadas (respecto a las coordenadas espaciales) son funciones continuas (siempre, que el potencial no tenga discontinuidades de magnitud infinita).

( ), , , ,r t Continuasx y z

⎧ ⎫∂Ψ ∂Ψ ∂ΨΨ ←⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎩ ⎭

Estudiaremos el movimiento unidimensional y con potenciales no dependientes del tiempo, con lo cual la ecuación es más simple.

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 , , ,2

x t U x x t i x tm x t

∂ ∂− Ψ + Ψ = − Ψ

∂ ∂

( ) 21 ,x t dx

+∞

−∞

= Ψ∫

Ecuación de Schrödinger Independiente del Tiempo.

Al ser U = U(x) independiente del tiempo:

( )

( ) ( ) ( )

0

,

K

Eit i t

EU E E U x constt

x t e x e xω

ω

ψ ψ− −

∂= → = + = → =

∂↓

Ψ = =

Al sustituir esta forma de la función de onda en la Ecuación de Schrödinger, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )22

22x

U x x E xm x

ψψ ψ

∂− + =

que es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

Ejemplos de solución de la Ecuación de Schrödinger

(1) Partícula Libre:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22

22 2

22

0 02

2

x xU x E x k x

m x xmEk

ψ ψψ ψ

∂ ∂= → − = → + =

∂ ∂⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

Base de soluciones :

( ) ( ) ( ) ( ),x A exp ikx x B exp ikxψ ψ+ −= ⋅ = ⋅ −

Solución general:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x A exp ikx B exp ikxψ ψ ψ+ −= + = ⋅ + ⋅ −

Función de Onda completa:

( ) ( ), i tx t x e ωψ −Ψ =

La interpretación física de las soluciones base, es que representan ondas planas que se propagan con una dirección definida: “hacia la derecha” o “hacia la izquierda”.

( ) ( ) ( ) ( ), , ,i tx t x e x t x tωψ −−+Ψ = = Ψ + Ψ

( ) ( ) ( ), i tx t x e Aexp i kx tωψ ω−−−Ψ = = − −⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( ), i tx t x e Aexp i kx tωψ ω−++Ψ = = −⎡ ⎤⎣ ⎦

La energía y el momentum son:

( )0 0

0x

U xx>⎧ ⎫

= ⎨ ⎬∞ ≤⎩ ⎭

(2) Pared infinita de Potencial:

La partícula no puede penetrar en ella.( )0x U x≤ → = ∞→ ( ) 0xψ→ =Zona

( )0 0x U x> → = →Zona La partícula es libre.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )reflejada incidente

x x x Aexp ikx Bexp ikxψ ψ ψ+ −→ = + = + −

2 2

,2

kE p km

= =

Aplicando como condición de contorno que la función de onda sea continua en x=0:

( ) ( )0 0ψ ψ− +=

( ) ( )0 0 0 0 0A Bψ ψ− += ⇒ = ⇒ + =Se desprende de lo anterior:

La función de onda resultante sería:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2x A exp ikx exp ikx iAsen kx Csen kxψ = − − = =⎡ ⎤⎣ ⎦

Conclusión: La partícula puede tener cualquier energía E, la cual es, en si, una condición inicial.

La interpretación física es que si se lanza a la partícula con una energía E, cualquiera, en contra de la pared, ella va a rebotar con la misma energía cinética.

3. Pozo de potencial infinito:

( ) ( )0 0

0,x a

U xx a< <⎧ ⎫

= ⎨ ⎬∞ ∉⎩ ⎭

( )0 0x a U x< < → = →Zona: La partícula es libre.

( ) ( ) ( )1 2interior x A exp ikx A exp ikxψ = + −

( ) ( )( )

0,

0exterior

Sí x a U x

∉ → = ∞

⇒ =

No hay partícula fuera del pozo.

Con energía y momentum relacionados por:

2 ,mEk p k= =

Al aplicar las condiciones de contorno en los extremos de la caja:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 1

0 0 0 0,

2

A A

x A exp ikx exp ikx iA sen kx Csen kx

ψ ψ

ψ

+ −= = ⇒ + =

→ = − − = =⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( ){ }0 0

1,2,3,...

a a Csen ka

ka n n

ψ ψ

π

− += = ⇒ =

→ = =

2 22

22nE nmaπ

→ =Nótese que la imposición de la condición de contorno cuantiza las posibles energías del sistema.

( )( )

0

0 0,n

nCsen x x aax

x a

πψ

⎧ ⎫⎛ ⎞ < <⎪ ⎪⎜ ⎟→ = ⎝ ⎠⎨ ⎬⎪ ⎪∉⎩ ⎭

Si normalizamos la función de onda…

( ) 2

0

21a

n x dx Ca

ψ = → =∫

(3) Peldaño de potencial:( )

0

0 00x

U xU x

<⎧ ⎫= ⎨ ⎬≤⎩ ⎭

( )0 0x U x< → = → la partícula es libre.Zona:

( ) ( ) ( )0 I Rx A exp ikx A exp ikxψ→ < = + −

( ) ( ) ( ) ( )22

0 0202

xx U x U E U x

m xψ

ψ∂

≥ → = → − = −∂

Zona:

( ) ( ) ( )0 Tx A exp ik x Bexp ik xψ ′ ′→ ≥ = + −La solución es:

( )02,

m E Uk p k

−′ ′= =Con:

Hay que considerar los casos en que la energía total es mayor o menor que la altura de la barrera en forma separada.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

00

2: :" "

0 T

m E UA E U k Real

x A exp ik x Bexp ik xψ

−′> → =

′ ′→ ≥ = + −

La partícula pasa el peldaño y se propaga como una partícula libre, con la energía cinética y el momentum:

( )0 ,KE E U p k′= − =

( ) ( )00

2: :" "

m U EB E U k i ik Imaginario Puro

−′< → = =

En Teoría Clásica, la partícula no puede existir en la zona a la derecha del escalón (pues tendría energía cinética negativa).

0 0 0K KE E U E E U′ ′= + → = − <

En teoría cuántica, esta no es una zona prohibida, sino una zona permitida suprimida.

La función de onda es ahora una suma de exponenciales reales:

( ) ( ) ( )0 Tx A exp kx Bexp kxψ ≥ = − + +

Para cumplir con el requerimiento de normalización, es necesario que B=0, pues representa una exponencial infinitamente creciente y se haría imposible conseguir:

( ) 21x dxψ

−∞

=∫La partícula no atravieza indefinidamente al peldaño, sino que penetra en él con una probabilidad que decrece en forma muy rápida a medida que avanza.

***Revisemos con más cuidado el caso (A): E > Uo***

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20 ;I R

I R I RmEx A exp ikx A exp ikx x x k

ψ ψ

ψ ψ ψ< = + − = + =

( ) ( ) ( )020 ;

T

T

m E Ux A exp ik x k

ψ

ψ−

′ ′≥ = =

Al colocar las condiciones de contorno, en x=0, las cuales son la continuidad de la función de onda y de su primera derivada:

( ) ( )( ) ( )0 0 ...

0 0 ...

I R T

I R T

A A A

ikA ikA ik A

ψ ψ

ψ ψ

− +

− +

⎧ ⎫= → → + =⎪ ⎪⎨ ⎬

′ ′ ′= → → − =⎪ ⎪⎩ ⎭

Con lo cual los coeficientes serán:

2;R I T Ik k kA A A Ak k k k

′−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Conclusión: La solución describe a ondas que al incidir pueden reflejarse o transmitirse, con probabilidades bien definidas.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

I I

R R

T T

x A exp ikxx A exp ikxx A exp ik x

ψψψ

= →⎧⎪ = −⎨⎪ ′= →⎩

Incidente

Transmitida

→ Reflejada

Hay solo una constante libre Ai la cual es determinada por el flujo incidente de partículas (u ondas):

2IJ Aα=

Ejemplo 5. Barrera de potencial finita (E < Uo). Efecto Túnel.

( ) 0

0 00

0

xU x U E x a

a x

<⎧ ⎫⎪ ⎪= > ≤ ≤⎨ ⎬⎪ ⎪<⎩ ⎭

( )0 0x U x< → = → La partícula es libre.Zona:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20 ;I R

I R I RmEx A exp ikx A exp ikx x x k

ψ ψ

ψ ψ ψ< = + − = + =

( ) 00 x a U x U≤ ≤ → = → ( ) ( ) ( )22

022x

E U xm x

ψψ

∂− = −

∂Zona:

La solución es:

( ) ( ) ( ) ( )01 2

20 ;

m U Ex a B exp k x B exp k x kψ

−′ ′ ′≤ ≤ = + − =

( ) 0a x U x< → = → La partícula es libre.Zona:

( ) ( ) ( )¿ ?

2;I R

transmitido Reflejado

mEa x A exp ikx A exp ikx kψ ′< = + − =

Notemos que en el lado derecho de la barrera, existe solo la onda que se propaga a la derecha.

( ) ( )0R IA a x A exp ikxψ′ = → < =

Los significados de las ondas parciales son:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

I I

R R

T T

x A exp ikxx A exp ikxx A exp ik x

ψψψ

= →⎧⎪ = −⎨⎪ ′= →⎩

Incidente

Transmitida

→ Reflejada

Nuevamente queda una constante libre , la cual tiene que ver con el flujo de partículas incidente.

IA

Al imponer las condiciones de contorno en x=0 y x=a:

( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2

0 :

0 0 ...

0 0 ...

I R

I R

x

A A B B

ikA ikA k B k B

ψ ψ

ψ ψ

− +

− +

=

= → → + = +

′ ′ ′ ′= → → − = +

( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2

:

...

...

k a k a ikaT

k a k a ikaT

x a

a a B e B e A e

a a k B e k B e ikA e

ψ ψ

ψ ψ

′ ′− + −

′ ′− + −

=

= → → + =

′ ′ ′ ′= → → − =

Hay 5 parámetros desconocidos y 4 ecuaciones, por lo cual pueden despejarse 4 de ellas en términos de una sola:

{ }1 2, , ,T T IA A B B A∼

Una cantidad interesante es el coeficiente de transmisión, el cual representa la probabilidad que una partícula incidente atraviese la barrera y siga su curso a la derecha. 2

2T

I

AT

A=

( ) ( ) ( )1200

0

21 1;

4m U EUT senh k a k

E U E

−−⎛ ⎞

′ ′= + < =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Revisemos un caso extremos que nos permita hacer algunas aproximaciones:

020

0

216; 1 ;a mUEU E k a T eU

η η−′ → ≈ =

El Átomo de Hidrógeno

El Modelo de Bohr (Niels Bohr 1912)

Este considera que el electrón se comporta como una onda, cuya longitud de onda es la que predice la relación de De Broglie. La hipótesis que se incluye, es que la onda del electrón es continua, es decir el radio de la orbita es igual a un múltiplo entero de su longitud de onda.

2 eR nπ λ= ; 1,2,3,...n=Es decir:

20

24;

e

hm eπεβ =e Rλ β→ =Como se vio antes

Combinando lo anterior, se obtiene una cuantización del radio de la órbita:

20 2; 0.053

4R nmβ

π⎡ ⎤⎣ ⎦= ≈2

0R R n→ =

...donde el mínimo valor para el radio de la órbita, es el llamado Radio de Bohr y ocurre cuando n = 1.

...hay otras cantidades que también se encuentran cuantizadas en el átomo de hidrógeno.

Cuantización de la Energía:

2 02

0...8

EeE R nπε=− = =−2

00 0

; 8eE Rπε=

0min 13,6E E eV⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

=− ≈− Mínima energía posible del átomo (electrón y núcleo ligados)

Transiciones Cuánticas

02=−n

EEn

E

Transiciones Cuánticas

Emisión de Energía: ifn n< Absorción de Energía: ifn n>

0 2 21 1

ifi f

E E E En n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∆ = − = −

0 2 21 1;i f

ifE E h h E

n nν ν

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= + = − ; 0 2 21 1

i fi f

E h E h En n

ν ν⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ = = −

1 ,i fn nLa energía de Ionización sería la de la siguiente transición (absorción):

= →∞ 0 02 21 11ionE E E⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= − =∞

0 2 21 1

i fif

E E E En n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∆ = − = −

Ejemplo.

1n=

2n=

1n=

2n=

12 0 02 21 1 3 10,241 2

E E E eV⎛ ⎞

⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦

⎝ ⎠

∆ = − = ≈

¿?γ

12 10,2E E eVγ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

<∆ ≈

Ejemplo.

1n=

2n=

1n=

2n=

12 0 02 21 1 3 10,241 2

E E E eV⎛ ⎞

⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦

⎝ ⎠

∆ = − = ≈

¿?γ

12 10,2E E eVγ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

<∆ ≈

γ

E Eγ δ−

Ejemplo.

1n=

2n=

1n=

2n=

12 0 02 21 1 3 10,241 2

E E E eV⎛ ⎞

⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦

⎝ ⎠

∆ = − = ≈

¿?γ

12 10,2E E eVγ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

∆ ≈≥

Ejemplo.

1n=

2n=

1n=

2n=

12 0 02 21 1 3 10,241 2

E E E eV⎛ ⎞

⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦

⎝ ⎠

∆ = − = ≈

¿?γ

12 10,2E E eVγ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

≥∆ ≈

γ

12E Eγ −∆

El átomo de Hidrógeno en Mecánica Cuántica.

El estado de un electrón en un presencia del potencial eléctricodel núcleo, está determinado por su función de onda:

( ), ,r x y zψ ψ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

La cual debe ser una solución de la Ecuación de Schrödinger (ES):

2 22 e

r U r r E rm ψ ψ ψ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− ∇ + =

El potencial debido al núcleo resulta ser esféricamente simétrico (no depende de la dirección):

2 2 2 2

2 2 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )2 e

x y z U x y z x y z E x y zm x y z

ψ ψ ψ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

− + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2

04eU r rπε

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=−

Por lo que resulta conveniente aprovechar la simetría del problema, al intentar resolverloen coordenadas esféricas.

r r=( )U r

r

Planteamiento del problema en coordenadas esféricas.

Cambiamos a coordenadas esféricas:

( ), , , ,x y z r θ φ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Por medio de la transformación:

x rsen cosy rsen senz rcos

θ φθ φθ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

===

La cual es invertible si se satisface:

0 , 0 , 0 2r θ π φ π≤ <∞ ≤ < ≤ <

Resumen:

Las funciones de onda que son solución de la ecuación de Schrödinger, forman un conjunto y las identificamos por los índices (n,l,m)

, ,nlm rψ θ φ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Las energías posibles son:

002 , 13,6n

EE E eVn

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

=− ≈−

Todo ello determinado por tres índices, a los que llamaremos Números Cuánticos:

1,2,3,...

0 1

n

l n

l m l

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

= →

≤ ≤ − →

− ≤ ≤+ →

Número Cuántico Principal.

Número Cuántico Angular.

Número Cuántico Magnético.

Así habrán estados diferentes para un nivel de energía .2n nE

¿ Cuál es el significado físico de los Números Cuánticos l y m ?

La respuesta se encuentra en el formalismo de la Mecánica Cuántica, con ella se puede mostrar lo siguiente:

(I) El número cuántico determina cual es la magnitud del momento angular(orbital) del electrón, este vale:

1L L l l⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= = +

0,1,2,3,...l =

zL m=

(II) El número magnético determina cual es la proyección del momento angular sobre el

eje Z:l m l− ≤ ≤+ estados2 1l+con

m

(III) Las otras proyecciones son indefinidas ( no se puede conocer completamente cual es el momento angular):

¿...? , ¿...?x yL L⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

= =

L r p= ×

p

r Definición del momento angular

¿Cómo puede intuirse lo que pasa con las otras componentes (x e y) del momento angular?Hay que pensar que se conoce una componente (z) y la magnitud. Así que podríamos imaginarnos que el vector momento angular baila como si fuera un trompo:

El SpinEl momento angular orbital es una cantidad cuantizada:

22 21 , 0,1,2,...

, 0, 1, 2,...,z l l

L L l l l

L m m l

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≡ = + =

= = ± ± ±Las particulas (electrones) pueden poseer un momento angular adicional, al que llamaremos Spín, este es intrínseco a la partícula. S I rMVω α= = ⋅

( 1)s sSV crM rM rMα α

+= = >

⋅ ⋅∼

El radio de la partículaSe requiere el tratamieno

relativista

Los experimentos muestran que el electrón es prácticamente un punto. El problema con el que nos enfrentamos al considerar spín, es que clásicamente un punto no puede tener momento angular (de rotación en torno a si mismo).

El Spín es el momento angular intrínseco de las partículas elementales “puntuales”. Tiene propiedades cuánticas de momento angular:

22 2 11 , 0, ,1,...2

, , 1 ,..., 1 ,z S S

S S s s s

S m m s s s s

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≡ = + =

= =− − − −

El spín es una propiedad fundamental de las partículas elementales, como lo son sus masas y sus cargas eléctricas. No es el resultado de ningún tipo de rotación.

La explicación para la existencia de esta propiedad proviene de la Teoría Cuántica Relativista, establecida en la llamada Ecuación de Dirac.

Las partículas elementales se dividen en dos grupos, de acuerdo con su spín.

Fermiones: s=1/2, 3/2,… entre ellos encontramos al electrón, muón, neutrón,...

Bosones: s=0,1,2,... el fotón, el -mesón...π

Ejemplos:

1/ 2s = 1/ 2, 1/ 2zm = + −Electrón:

, 1 ,..., 1 ,Sm s s s s⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=− − − −

Los estados electrónicos en el átomo de hidrógeno.

Ya que el electrón puede tener dos posibilidades para su número cuántico de spín, hay que considerarlo en la función de onda como otro número cuántico.

, ,Sln lm m rψ θ φ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1,2,3,...

0 1

1 1,2 2

l

S

n

l n

l m l

m

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪⎩

→=

→≤ ≤ −

− ≤ ≤+ →

+ −= →

Número cuántico principal.

Número cuántico angular.

Número cuántico magnético.

Número cuántico de spín.

Así habrán estados diferentes para un nivel de energía .22 n× nE

Átomos con Muchos Electrones

Resumen de la Teoría del átomo de hidrógeno.

Los estados de un electrón de un átomo de hidrógeno estan descritos por lasfunciones de onda determinadas por 4 números cuánticos:

, ,Sln lm m rψ θ φ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1,2,3,...

0 1

1 1,2 2

l

S

n

l n

l m l

m

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪⎩

→=

→≤ ≤ −

− ≤ ≤+ →

+ −= →

Número cuántico principal.

Número cuántico angular.

Número cuántico magnético.

Número cuántico de spín.

Átomos con muchos Electrones.Hay aproximadamente 90 elementos químicos que existen naturalmente. Hay otros cuantos más que solo pueden ser obtenidos en laboratorio, debido a que sus vidas medias son muy cortas para que existan abundantemente en condiciones naturales. Los átomos, o mejor dicho los elementos químicos poseen propiedades que varían de uno a otro; así como también hay grupos de elementos que pueden tener características muy parecidas.

Caracteristicas principales de los Atomos:

Número Atómico (Z) = La carga eléctrica del núcleo = eZ= el número de electrones (en los átomos neutros).= (número de de protones en el núcleo).

La actividad química de un elemento es determinada por los electrones más externos del

átomo, llamados electrones de valencia.

Los átomos muestran cierta periodicidad en sus propiedades químicas y físicas con respecto a su numero atómico Z.

Hay seis periodos completos:...

1 2

3 ... 10

11 ... 18

GasesMetalesPeriodoNoblesAlcalinos

I H Z He Z

II Li Z Ne Z

III Na Z Ar Z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =

= =

= =

...etc ...etc ...etc ...etc

Este es un extracto de la tabla periódica. Su descubridor fue Mendeleyev, más tarde fue corregida por Moseley.

¿Hay algún fundamento para explicar la periodicidad de la tabla periódica?

Teoría Cuántica de los Elementos.

Todas las propiedades de los átomos con Z electrones, se pueden extraer de la Función de Onda:

La cual satisface la Ecuación de Schrödinger, para el potencial debido a la interacción electrón-electrón e interacción

electrón-núcleo:

1,..., Zr rψ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2 21 1 1 1

1,..., ,..., ,..., ,...,2

Zi Z e N Z Ze e Z

ir r U r r r r rU E rm ψ ψ ψ ψ

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

−−=

− ∇ + + =∑

e−e− e−N +

2 2

,10 0

1 1;4 8

i jZe N i i ji i j

e eZe eU r r r

Uπε πε

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

−=

−= =−

∑ ∑Donde:

Esta ecuación es muy difícil de resolver. En lugar de tratar con ella, se hacen algunas aproximaciones.

Los estados atómicos.

Los resultados claves del analisis de la ecuación de Schrödinger para los atomos con muchos electrones:

La función de onda dice cual el estado del átomo. Ella está especificada por el estado de cada uno de sus electrones. Se considera lo siguiente:

El estado de cada electrón al igual que en el átomo de hidrógeno depende de 4 números cuánticos:

El estado del átomo se especifica por el conjunto:

1 2 31 2 3

, , , , , , , , , , , , ..., , , ,S S S Sl l l l ZeZe e e

n l m m n l m m n l m m n l m m⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La energía de cada electrón depende, aproximadamente, solo de los números cuánticos .

Los electrones que tengan los mismos números cuánticos se dirá que pertenecen a la subcapa de energía .

, , , Sln l m m

( , )n l( , )n l

( , )n l nlE

e−

( , )n lSubcapa ( , )n l nlEe−

10 mínE E=(1,0)e−

1

Zimin k

E átomo E e⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠==∑

El estado fundamental de un átomo corresponde al mínimo de la suma de las energías

de todos los electrones:

¿Como se realiza el estado fundamental? ¿Es posible que todos se encuentren en el estado de mínima energía?( , )n l

mínE

2E

e−

1E ¿?

No es posible

El Principio de Exclusión de Pauli.(W. Pauli, 1925)

El Principio de Exclusión elimina la posibilidad de tener dos electrones con el mismo conjunto de números cuánticos , , , Sln l m m

0, 1,..., 2 12 2 1

1 1, 22 2

l

S

l m l l valoresl

m valores

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎨ ⎬ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

→ = ± ± → +→ +

− += →

La cantidad máxima de electrones que pueden haber en una subcapa se denomina el número de

los estados electrónicos desponibles en de la subcapa

El Principio de Exclusion limita el número de electrones con misma energía , que corresponde al número de electrones en una subcapa .

nlE( , )n l

( , )n l

( , )n l nlEe−

Los estados: ( , , , )Sln l m m

( , )l sm m

Los estadosdisponibles

Dentro de la subcapa varian

, 2 1

1,0 1 2

2,0 2 2

2,1 2 6

3,0 3 2

3,1 3 6

3,2 3 10...

2Subcapa Nombre Estados

n l l

s

s

p

s

p

detc

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+

↓ ↓ ↓

1l n≤ −

A los estado de número cuántico con valor 0, 1, 2, 3, se les llama estado s, p, d, f,... respectivamente

l

Tabla Periodica de los Elementos

Las propiedades químicas y físicas de los elementos se determinan por sus electrones de valencia, que son electrones en las subcapas de mas alta energía.

La periodicidad de las propiedades químicas y físicas de los átomos con diferentes números atómicos Z es una consecuencia de la periodicidad que se encuentra en el número de los electrones de valencia.

Se puede revelar esta periodicidad analizando:

Configuraciones electrónicas de los átomos = El número N de los electrones en las subcapas ( , )n l

NnlNotación de configuración electrónica:

0, 1, 2, 3,..., , , ,...

ls p d f

=

32 pEj. La subcapa 2, 1n l= =Tres electrones con

1s

2s2 p

3s3p

4s3d4 p

5s4d5p

2

6

10

2

2

2

210

6

6

6

E

Número deLos estados

Construcción de la tabla periódica.

Dos puntos claves:

La estructura de niveles de energía (subcapas) es parecida en todos los átomos

En el estado fundamental de un átomo sus electrones se distribuyen de modo que ocupen los estados vacantes de menor energía .

1s

2s2 p

3s3p

4s3d4 p

5s4d5p

2

6

10

2

2

2

210

6

6

6

EElemento Simbolo Z Configuración

electrónica

2

2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 3

2 2 4

2 2 5

2 2 6

2 2 6

1 12 1

3 1 24 1 25 1 2 26 1 2 27 1 2 28 1 2 29 1 2 2

10 1 2 2

11 1 2 2 3...............

18

Hidrógeno H sHe s

Li s sBerilio Be s sBoro B s s pCarbono C s s pNitrógeno N s s pOxígeno O s s pFlúor F s s p

Ne s s p

N

Liti

Helio

Neón

A

o

Sodio

rgó

a s p

n

s s

Ar 2 2 6 2 61 2 2 3 3s s p s p

HHe

LiBeBCNOFNe

Na

Número deLos estados

Actividad Química.

Se determina por la energía de enlace de los electrones de valencia. Podemos aplicar un modelo simple (tipo Bohr): Modelo de Apantallamiento.

Se basa en las siguientes aproximaciones:

• La carga eléctrica de las capas (inferiores) llenas puede tratarse como si estuviera distribuida de forma esféricamente simétrica.

• Puede considerarse que los electrones de valencia no interaccionan entre ellos.

20

, 2

( )efn l

E Z lE

n= −La energía de los electrones

de valencia

( ) valef eZ l N≈

efQ

electronesde valencia

( )int( ) ( )val valef ef e e ee e eQ Z l Z eN Z Z N N e= ≈ − = − − =

Actividad Química.

Se determina por la energía de enlace de los electrones de valencia.

Ejemplo del 2do Periodo:A valion eE E= −Energía de ionización:

2

62

E

20 0

2

1( 3)

4

ef

Li efion

ZLi Z E Z EE

n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

== →

≈ =

20

02

2( 4)

4

ef

Be efion

ZBe Z E Z

E En

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

== →

≈ =HHe

LiBeNe

2s2 p

1s

20

02

8( 10)

16

ef

Ne efion

ZNe Z E Z

E En

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

== →

≈ =

Los Gases Nobles (He, Ne, Ar, Kr, Xe, Ar,...) No tienen tendencia a compartir sus electrones con otros átomos. Normalmente son gases monoatómicos.

Los Metales Alcalinos (Li, Na, K,...) Comparten muy fácilmente su electrón de valencia para formar enlaces.

Los Halógenos (F, Cl, Br, ...) En ellos hay un espacio vacante en la capa electrónica de valencia. Aceptan muy fácilmente un electrón.

Un ejemplo es la sal fluoruro de litio(enlace iónico, la verdad es que no existen moléculas independientes de LiF, sino que se forma una estructura periódica tridimensional):

Moléculas

Una molécula es estable solamente si su energía es menor a la de sus átomos constituyentes en estado libre.

i Mi

E E>∑

M ee pot eN pot NN pote N cincinE EE E E E

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + + +La energía total de una molécula:

Mecanismos Basicos de Formación de Moléculas

Enlace Iónico: fusion de los átomos alcalinos con los halogenos.

Enlace Covalente: fusión de los átomos identicos o parecidos.

Combinación de Enlace Iónico y Covalente.

Enlace Iónico

En forma pura se da entre átomos de dos diferentes tipos:

SalAlcalino + Halogeno

Ej. Formación del cloruro de sodio .

Se puede tomar como cero la energía de interacción entre sus dos átomos cuando están separados por una distancia muy grande:

NaCl

átomos cuando están separados

por una distancia muy grande: Na ClE E+

NR →∞

Ej. Formación del cloruro de sodio .

Se puede tomar como cero la energía de interacción entre sus dos átomos cuando están separados por una distancia muy grande:

NaCl

átomos cuando están separados

por una distancia muy grande:0Na ClE E+ =

NR →∞

Energía de referencia

Al acercarse Na dona su electrón de valencia a Cl:

1,53E eV⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

∆ ≈E+−

:Na Cl Na Cl+ −+ →

Na ClE + −

Na ClE E E E E+ − +− +−= ∆ + =∆ −

Energía del sistema final. Energía de atracción coulombiana entre los iones.

La energía de intercambio por electrón:

energía de enlace del electrón en Cl y Na.

2 1 3,61 5,14 1,53E E E eV eV eV⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠∆ = − =− − − ≈

La energía total del sistema Na+Cl-

1,53E eV⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

∆ ≈

E+−Atracción de Coulomb entre Na+ y Cl-

Na ClE E E E E+ − +− +−= ∆ + =∆ −

Na ClE + −

Na+Cl−

Atracción

La energía total del sistema Na+Cl-

1,53E eV⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

∆ ≈

E+−Atracción de Coulomb entre Na+ y Cl-

Na ClE E E E E+ − +− +−= ∆ + =∆ −

Na ClE + −

Repulción

En conclusión, se formaría un estado ligado NaCl(gas) con las características:

La energía total del sistema Na+Cl-

1,53E eV⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

∆ ≈

Na ClE + −

E+−

Repulsión

de la nube electrónicay entre los nucleos

Atracción de Coulomb entre Na+ y Cl-ME

rea pN ClE E E EE E+ − +− +−= ∆ + =∆ − +

Na ClE + −

Radio de equilibrio: 2,36 ºR Aα⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

≈ 4,26M disE eV E⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

≈− =−Energía:

Edis es la energía necesaria para disociar la molécula:

MdisE E+

Na Cl Na Cl+ − → +

0E =

disE

0;MdisE E+ =

Enlace iónico en la Red Cristalina.

Los enlaces iónicos entre muchos átomos forman estructuras cristalinas. La sal NaCl, en condiciones normales es cristalina cúbica.Las sales de haluros alcalinos, consisten en arreglos 3D de iones, donde

el átomo metálico (alcalino) pierde su electrón de valencia y el átomo halógeno lo gana. Ambos quedan con capas electrónicas llenas.

Formación de moléculas de los átomos idénticos o semejantesmediante compartimiento de los electrones de valencia.

La función de onda tiene la posibilidad de ser simétrica o antisimétrica, con respecto al centro de la molécula:

r rψ ψ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+−= −

o

o

o

Enlace Covalente

2H +Ej. molécula

r

2 2r rψ ψ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= −

El electrón en la molécula tiene igual probabilidad de encontrarse en ambos pozos de potencial Vp, debido a la simetría con respecto al centro de la molécula(pues los núcleos son idénticos).

2H +La distribución del electrón en la molécula

2Sψ

2Aψ

20 0Aψ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Consecuencias.

Para FNe>FNN hay atracción y se formará la molécula.

Se puede interpretar como si se tratara de dos nubes separadas de carga eléctrica. Cada nube tendría un protón y medio electrón, Q=(+1)e-(1/2)e= (1/2)e. Las nubes se repelerían entre si y entonces no se formaría la molécula.

Energía y Formación de la molécula H2+

eTot NNEE E= +Energía de la molécula:

Energía debida a la repulsiónentre los protones(núcleos).

Energía del electrón

(I) En el estado simétrico, la energía electrónica es función de la separación entre los núcleos. Los casos límite son:

0e eNE R E H E⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠→∞ = =−

20 00 4e eNE R E He Z E E⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= = =− =−

( )NeE R

20

2eE ZE

n=−

1Z =

2Z =

1n =

1n =

De la ecuación de Schrödinger sigue:

... se resuelve en forma numérica.

La energía total para el estado simétrico en de la molécula H2+ es: eTot NNEE E= +

1NN

NE R≈

1010R mα ⎡ ⎤⎣ ⎦

−≈ Radio de equilibrio.

Repulcíon de Coulomb

eE

TotE

NR

Energía electronica

Conclusiones:

Existe el estado ligado, la molécula H2+

La energía de enlace (necesaria para disociarle) es:

0 ( ) 2,6MbE E E eV⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

=− − − ≈,0( )Mb EE E+ − =−

El radio de equilibrio (tamaño de la molécula) es:

1010R mα ⎡ ⎤⎣ ⎦

−≈