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Sinais e Sistemas - 1

Rogério Largo – Setúbal 1999 1

Transformada de Laplace

A Transformada de Laplace é uma importante ferramenta para a

resolução de equações diferenciais. Também é muito útil na representação e análise de sistemas.

É uma transformação que faz um mapeamento do domínio do tempo para o domínio S com s = σ+jw (complexo).

A transformada de Laplace existe em duas variantes: unilateral e bilateral. A transformada unilateral é útil na análise de sistemas com condições iniciais. A transformada bilateral tem uso para estudar certas características dos sistemas.

A principal aplicação da transformada de Laplace no âmbito da engenharia é a análise de resposta temporal e da estabilidade de sistemas.



Definição

Seja est uma exponencial complexa. s = σ+jw é uma frequência complexa. Podemos escrever est como um sinal de valor complexo:

est = eσt cos(wt) + j eσt sin(wt)

A parte real de est é um coseno exponencialmente amortecido e a parte

imaginária um seno exponencialmente amortecido (assumindo σ negativo).



Transformada de Laplace bilateral:

( ) ( ) stX s x t e dt∞ −

−∞= ∫ Transformada de Laplace (bilateral)

Transformada de Laplace unilateral:

Sinais causais têm uma origem em tempo finito o qual pode ser assumido como sendo a origem: [x(t)=0, t=0].

Neste caso pode redefinir-se a transformada de Laplace como unilateral.

0( ) ( ) stX s x t e dt

∞ −= ∫ Transformada de Laplace (unilateral)



Condições de existência: Para que a transformada de Laplace exista é necessário que o integral

convirja. Isto é garantido se:

( ) tx t e dtσ∞ −

−∞≤ ∞∫

Isto é, x(t)e-σt tem de ser absolutamente integrável. Região de Convergência (ROC):

Valores de σ para os quais o transformada de Laplace converge. Sendo esta condição expressa em termos da parte real de s=σ+jw, ela estabelece como região de convergência um semi plano à direita de uma recta vertical : Re{s} > σ0.

σ0

S

0



Transformada inversa de Laplace:

A transformada inversa de Laplace de X(s) é dada por:

1( ) ( )2

stx t X s e dsj

σ

σπ+∞

−∞= ∫ Transformada inversa de Laplace bilateral

=> resolução através da expansão em fracções parciais e tabelas!!!!



Transformada de Laplace de funções básicas Função exponencial:

x(t)=e-at u(t) , a real

( ) ( )( )

( )0 0

0

s a tat st s a t eX s e e dt e dt

s a

∞− +∞ ∞− − − += = =− +∫ ∫ s=σ+jw ⇒ s+a=(σ+a)+jw

( ) ( )( )

0

1a t jwte es a s a

σ ∞− + −

= =− + + ;

ROC: Re{s} > -a .

Notar que |ejwt|=1 e para que -( )lim 0s a t

te +

→∞= , terá de ser

σ+a >0 , logo: σ >- a (ROC)

-aS

0



Função salto unitário:

x(t) = u(t) ( )0

11. stX s e dts

∞ −= =∫ , Re(s)>0 Função rampa unitária

x(t) = t u(t) ( ) 20

1. stX s t e dts

∞ −= =∫ , Re(s)>0

integração por partes: ´ ´fg fg f g= −∫ ∫ Função sinusoidal

x(t) = sen(wt).u(t)

2 20 0( ) ( )

2

jwt jwtst ste e wX s sen wt e dt e dt

j s w

−∞ ∞− −−= = =

+∫ ∫ , Re{S}>0 Analogamente, obtém-se para a função coseno: x(t) = sen(wt).u(t),

→ 2 2( ) sX ss w

=+



Tabelas de Transformadas de Laplace Tabela – Transformada de Laplace de funções elementares

Função temporal

x(t) Transformada de Laplace X(s) Notas

δ(t) 1 Impulso

u(t) 1s Salto unitário Re(s)>0

tu(t) 21s Rampa Re(s>0)

e-atu(t) 1

s a+ Exponencial Re{s}>-a

te-atu(t) 2

1( )s a+ Re{s}>-a



tn e-atu(t) ( ) 1 nn

s a +

↓

+ Re{s}>-a

sen(w0t)u(t) 0

220

ws w+ Seno Re(s)>0

cos(w0t)u(t) 220

ss w+ Coseno Re(s)>0

e-atsen(w0t)u(t) ( )0

2 20

ws a w− +

Seno amortecido Re{s}>-a



Propriedades da transformada de Laplace

Com base nas transformadas de funções simples obtidas de tabelas e nestas propriedades é possível uma um grande de transformadas de outras funções relacionadas com aquelas. i) Linearidade: x1(t) TL→X1(s), Roc=R1 ; x2(t) TL→X2(s), Roc=R2

=> ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2a a a + aTLx t x t X s X s+ → , RoC = R1∩ R2

ii) Deslocação no tempo: x(t) TL→ X(s), RoC = R

=> ( ) 0

0 ( )TL stx t t e X s−− → , RoC = R Mudança de variável: τ = t-t0 :

( ) ( )0 0 0

0( ) ( ) ( )s t st stst sx t t e dt x e d e x e d e X sτ ττ τ τ τ∞ ∞ ∞− + − −− −

−∞ −∞ −∞− = = =∫ ∫ ∫



iii) Translação em S (modulação): x(t) TL→ X(s), RoC = R Então: ( ) ( )0

0TLs te x t X s s→ − , RoC = R+ Re{S0}

iv) Escalamento no tempo: x(t) TL→ X(s), RoC = R

Então: ( ) 1aa a

TL sx t X → , RoC = a

R

v) Derivada no tempo: x(t) TL→ X(s), RoC = R1

Então: ( ) ( )TLdx t

sX sdt

→ , RoC contém R1 Nota: No caso da transformada de Laplace unilateral aparecem as condições iniciais x(0+), pois x(t) tem início em t = 0.

( ) ( ) ( )0TLdx t

sX s xdt

+→ −



vi) Derivada em S (no domínio S): x(t) TL→ X(s), RoC = R

Então: ( )( ) TL dX s

tx tds

− → , RoC = R

vii) Integração no tempo: x(t) TL→ X(s), RoC = R

Então: ( ) ( )1t TLx d X ss

τ τ−∞

→∫ , RoC contém R∩ Re(s)>0 viii) Convolução: x1(t)

TL→ X1(s), RoC =R1;

x2(t)TL→ X2(s), RoC =R2

=> ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2TLx t x t X s X s∗ → ⋅ , RoC contém R1∩ R2

Nota: O símbolo ∗ indica a operação de convolução que se define pelo

seguinte integral: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2t

x t x t x x t dτ τ τ−∞

∗ = ∗ −∫



ix) Valor Inicial e Valor Final:

Admite-se que x(t)=0 , t<0 e que não contém impulsos na origem.

( ) ( )0 lims

x sX s+

→∞= Resultado do teorema do valor inicial.

( ) ( )

0lim limt s

x t sX s→∞ →

= Resultado do teorema do valor final.

Estes dois resultados são muitos úteis pois, sem necessidade de conhecer a expressão temporal de x(t), permitem saber os seus valores iniciais e finais a partir da sua transformada de Laplace.



Tabela - Propriedades da Transformada de Laplace

Função temporalx(t)

Transformada de Laplace X(s) Notas

x(t); y(t) X(s); Y(s) a1x(t) + a2y(t) a1X(s) + a2Y(s) Linearidade x(t-t0) exp(-s t0)X(s) Deslocamento no tempo t0>0

x(at) 1a a

sX Escalamento no tempo a>0

eatx(t) X(s-a) Modulação tn x(t) ( ) ( ) -1

nn

n

d X sds n>0, e inteiro

( )dx tdt sX(s) - x(0) Derivação

( )n

n

d x tdt

snX(s) - sn-1x(0) -sn-2x(1)(0) -...- Derivação



x(n-1)(0)

( )t

x dτ τ−∞∫

( )X ss Integração

( ) ( )x t y t∗ X(s)Y(s) Convolução x(0) ( )lim

ssX s

→∞ Teorema do valor inicial

x(∞) ( )0

lims

sX s→ Teorema do valor final



Transformada inversa de Laplace Método da expansão em fracções simples

Assume-se que a transformada de Laplace está representada por uma

razão de polinómios, o que ocorre sempre para as funções que nos interessam no âmbito da engenharia.

( )( ) ( )1 1

1 1 0 1 1 01

1 11 1 0

... ...( )( )( ) ......

m m m mm m m m

n nn nn

b s b s b s b b s b s b s bN sX sD s s p s p s ps a s a s a

− −− −

−−−

+ + + + + + + += = =

− − −+ + + + Também poderíamos factorizar o numerador. Obteríamos m raízes que

seriam os zeros (zi´s). As raízes do polinómio denominador são os pólos (pi´s) de X(s) e são em número de n.

Em geral n>m isto é há mais pólos que zeros pelo que X(s) pode ser escrito como uma soma de termos em cujo denominador apenas existe um pólo (fracções simples):



( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2...

n

A A AnX ss p s p s p

= + + +− − −

Ak é o resíduo de X(s) no pólo pk. ( ) ( )

( )k

k ks p

N sA s pD s =

= − Das tabelas de transformadas: k TLp t kk

k

AA es p

←→−

Desta forma a inversão de cada uma das fracções simples é imediata. Estes resultados aplicam-se apenas a situações em que os pólos são todos diferentes (pi≠pj se i≠j). Exemplo 1: Obter x(t) a partir da sua transformada de Laplace X(s)

( ) ( )( )( )31 25 3

1 2 3 1 2 3As A AX s

s s s s s s+

= = + ++ + + + + +

Os resíduos nos pólos {-1;-2;-3} obtém-se da seguinte maneira:

( )1 1A s= +( )

( )5 3

1s

s+

+ ( )( ) ( )( )1

5 3 11 2 1 32 3

ss s

=−

− + = = −− + − + + +

( )

( )( )22

5 3 7 71 3 1

s

sA

s s=−

+ −= = = + + −

( )

( )( )33

5 3 12 61 2 2

s

sA

s s=−

+ −= = = − + +

Então X(s) expandido em fracções simples e a sua transformada inversa são:



( )1 2 31 7 6 ( ) 7 6 ( )

1 2 3TL t t tX s x t e e e u t

s s s− − − −− − == + + → = − + − + + +

Pólos de ordem múltipla Caso existam pólos de ordem superior à primeira (vários pólos iguais) aparecem no denominador da função termos do tipo (s+si)r. O procedimento a seguir apresenta-se no exemplo seguinte: Exemplo 2: ( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

11 2 31 2 3 3 3

( ) ... rr r r

N s A A B B BX ss s s s s ss s s s s s s s s s −

= = + + + + +

+ + ++ + + + +

Os resíduos A1 e A2 Correspondem a pólos simples e obtém-se da forma já vista no exemplo anterior. O pólo com multiplicidade r tem r resíduos que se calculam da seguinte forma:

( )3

1 3( ) r

s sB X s s s

=− = + Notar que ( )( ) ( )( )3

1 2

( )r N sX s s ss s s s

+ =+ +



( )3

2 3( ) r

s s

dB X s s sds =−

= + ( )

3

2

3 321 ( )2

r

s s

dB X s s sds =−

= + ........

( ) ( )3

1

311 ( )

1 !

rr

r r s s

dB X s s sr ds

−

− =− = + −

Expressão genérica para os resíduos. Exemplo 3: Obter a transformada inversa de X(s)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

31 2 1 23 3 21

2 11 2 1 1BA A B BX s

s s ss s s s s= = + + +

+ ++ + + +

( ) ( )1 30

1 121 2

s

As s

=

= =

+ + ;

( )2 32

1 121

s

As s

=−

= =

+

Pólo triplo S3=-1 ⇒ ( )( ) ( )3 11

2X s s

s s+ =

+. Assim os resíduos B1, B2 e B3 viram:

( )11

1 1 12 1

s

Bs s

=−

= = = − + −

( ) ( )2 22

11

1 (2 2) 0 02 12s

s

d sBds s s s s=−

=−

− += = = = + +

Notar que ( ) 2

1 12 2s s s s

=+ +



( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )

2

3 2 221

1

22 2

42

1

2 21 1 12 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 21 22 2

ss

s

sd dBs s dsds s s

s s s s s s

s s

=−=−

=−

− + = = = + +

− + + + + + = − +

A expansão em fracções simples e a transformada inversa vem:

( ) ( ) ( ) )(221

21

21)(

12

10

11

22

12

1)( 22

23

1

tueetetxsssss

sX tttTL

−++=→

+−

++

++−

++

+= −−−− Nota: 1) Pólos complexos conjugados ocorrem em pares complexos conjugados: S1⇒ S1

* Na expansão em fracções simples, os resíduos A1 e A1* também são complexos conjugados: Exemplo:

[ ] )()()())((

)( *11

1 *11*

1

*1

1

1*

11

tueAeAss

Ass

Assss

sN tstsTL −− +→+

++

=++

− De salientar que o sinal temporal também é real uma vez que se trata da soma de complexos conjugados.



Nota: 2) Aplicação da transformada de Laplace à resolução de equações diferenciais: Tomando a equação diferencial seguinte com as condições iniciais dadas:

=′−=

=++2)0(1)0(

)(5)(2)(3)(2

2

xx

tutxdt

tdxdt

txd Aplicando transformada de Laplace a ambos os membros:

2 5( ) (0) (0) 3 ( ) 3 (0) 2 ( )S X S Sx x SX S x X SS

′− − + − + = ⇔ ( )S

SSXSS 51)(232 +−−=++ Então: ( )23

5)( 2

2

+++−−

=SSSSSSX

Para obter a expressão temporal de x(t) é só calcular a transformada inversa.

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