Juan Guillermo Paniagua C 1

CÁLCULO DIFERENCIAL

FUNCIONES REALES

Juan Guillermo Paniagua C 2

FUNCIÓN

Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f de A en B, denotada por:

f : A→B ó A BEs una relación que permite asignar a todo elemento xA uno y sólo un elemento yB.

f

Juan Guillermo Paniagua C 3

FUNCIÓN

Una Función f es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x en un conjunto, denominado dominio, un solo valor f(x) de un segundo conjunto. El conjunto de todos los valores así obtenidos se denomina rango de la función

Juan Guillermo Paniagua C 4

D(f) = Dominio de f = {1, 2, 3, 4, 5, x}r(f) = Rango de f = {a, b, c, d, e, f(x)}

1

2

3

4

5

x

a

b

c

d

e

f(x)

fA B

Juan Guillermo Paniagua C 5

Tener en cuentaEn A no pueden sobrar elementos. El dominio de la función es igual al conjunto de partida ACada elemento de A sólo puede relacionarse con uno y sólo uno de BEl codominio de una función es aquel rango que es igual al conjunto de llegadaCuando la regla para una función está dada por medio de uan ecuación de la forma y=f(x), x es la variable independiente y y es la variable dependiente.

Juan Guillermo Paniagua C 6

¿Cuales son funciones?*

+

\

~

1

a

c

e

*

+

\

~

1

a

c

e

1

2

3

4

a

a

b

c

d

1

2

3

4

No es Función No es Función

Si es Función Si es Función

Juan Guillermo Paniagua C 7

Gráfica de Funciones

Cuando el dominio y el rango de una función son conjuntos de números reales, se puede describir la función mediante el trazo de su gráfica en un plano coordenado.

La gráfica de una función f es la gráfica de la ecuación y=f(x)

Juan Guillermo Paniagua C 8

EjemploBosqueje la gráfica de f(x)=x2-2

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Juan Guillermo Paniagua C 9

Criterio de la recta verticalUna curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna línea vertical se interseca con la curva más de una vez

Función

y=x2x2+y2=1

No es Función

Juan Guillermo Paniagua C 10

Funciones Crecientes y Decrecientes

Se dice que una función f es creciente sobre un intervalo I si: f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en I

Se dice que una función f es decreciente sobre un intervalo I si: f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en I

Juan Guillermo Paniagua C 11

Observemos la siguiente función

A

B

f(a)

f(b)

a b c

Cf(c)

D

La función en el intervalo [a,b] es creciente

La función en el intervalo [b,c] es decreciente

¿Cómo es en el intervalo [c,d]?

d

Juan Guillermo Paniagua C 12

Ejemplo

Determine los intervalos en los que la función es creciente y decreciente

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

Juan Guillermo Paniagua C 13

Simetría de FuncionesFunción ParSi una función f satisface f(-x)=f(x), para todo número x en su dominio, se denomina función par.El significado geométrico de una función par es que su gráfica es simétrica con respecto al eje y

Juan Guillermo Paniagua C 14

Ejemplo:Determine si la función f(x)=x2+1es par

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

y=x2+1

Juan Guillermo Paniagua C 15

Simetría de FuncionesFunción imparSi una función f satisface f(-x)=-f(x), para todo número x en su dominio, se denomina función impar.El significado geométrico de una función impar es que su gráfica es simétrica con respecto al origen.Si ya se tiene la gráfica de f para x0, para obtener la gráfica entera se rota 180° alrededor del origen

Juan Guillermo Paniagua C 16

Ejemplo:Determine si la función f(x)=x3+2x es impar

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

y=x3+2x

Juan Guillermo Paniagua C 17

Función InyectivaUna función es Inyectiva o “uno a uno” si y sólo si cada elemento del rango es imagen de un solo elemento del dominio

*

+

\

~

1

a

c

e

a

b

c

d

1

2

3

4

Función Inyectiva Función no Inyectiva

Juan Guillermo Paniagua C 18

Criterio de la Recta Horizontal

Una Función es Inyectiva si y sólo si ninguna línea horizontal interseca su gráfica más de una vez

No es Función Inyectiva

y=x2

y=x3

Función Inyectiva

Juan Guillermo Paniagua C 19

Función Sobreyectiva

Una Función f : A B es sobreyectiva o sobre, si todo elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A, es decirf : A B es sobre f(A) = B

a

b

c

d

1

2

3

4

a

b

c

d

1

2

3

4

Función Sobreyectiva No es Función Sobreyectiva

Juan Guillermo Paniagua C 20

Función Biyectiva

Una función f : A B es biyectiva si y sólo si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

a

b

c

d

1

2

3

4

a

b

c

d

1

2

3

4

Función no InyectivaFunción no SobreyectivaFunción no Biyectiva

Función InyectivaFunción SobreyectivaFunción Biyectiva

Juan Guillermo Paniagua C 21

Tipos de FuncionesFunciones

Polinómicas◦ Función Constante◦ Función Lineal◦ Función Cuadrática◦ Función Polinómica

Funciones Trascendentes◦ Función

Exponencial◦ Función logarítmica

◦ Funciones trigonométricas

Funciones Especiales◦ Función Valor

Absoluto◦ Función Racional◦ Funciones por

tramos◦ Función Mayor

Entero

Juan Guillermo Paniagua C 22

Función PolinómicaUna función polinomial de grado n es de la forma

Donde:n Z+, an 0

a0, a1, …,an-1, an Coeficientes del polinomio

a0 es el coeficiente constante o término constanten es el grado del polinomio

011

1 ...)( axaxaxaxP nn

nn

Juan Guillermo Paniagua C 23

Un polinomio de grado cero tiene la forma P(x)=k, con k constante, llamada función constanteUn polinomio de grado uno tiene la forma P(x)=mx+b, llamado función linealUn polinomio de grado dos tiene la forma P(x)= ax2+bx+c, se llama función cuadráticaUn polinomio de grado tres tiene la forma P(x)=ax3+bx2+cx + d, llamada función cúbica

Juan Guillermo Paniagua C 24

Función ConstanteLa función constante es de la forma f(x)=c, donde c es una constante.Es una función donde a cada número real x del dominio se le asigna el mismo valor c.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

f(x) = 3

Juan Guillermo Paniagua C 25

Función Lineal

La función lineal es de la forma f(x)=mx+b y su gráfica es una línea recta. m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen (intercepto con el eje y)Las funciones lineales crecen a una tasa constante. Esa tasa constante está representada por la pendiente, la cual se interpreta como la tasa de cambio de y con respecto a x

Juan Guillermo Paniagua C 26

Ejemplo

Graficar f(x)=3x-2 X 0 1

Y -2

1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

f(x) = 3x - 2

Juan Guillermo Paniagua C 27

El dominio de la función lineal son los reales

D(f) = Re

El rango de la función lineal son los reales

r(f) = Re

Juan Guillermo Paniagua C 28

EjemploA medida que el aire seco asciende, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es de 20°C y la temperatura a una altura de 1 Km es de 10°Ca. Exprese la temperatura T (en °C) en

términos de la altura h (en Km) (Suponga que la relación entre T y h es lineal)

b. Dibuje la gráfica de la ecuación lineal, ¿qué representa la pendiente?

c. ¿Cuál es la temperatura a una altura de 2.5 Km?

Juan Guillermo Paniagua C 29

Funciones de Potencia

Son funciones de la forma f(x)=xa, donde a es una constante. D(f) = Re

1.Si a=n, n Z+

Función Identidad

-2 -1 1 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

f(x) = xn=1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2-1

1234567891011

x

y

f(x) = x2

n=2

Juan Guillermo Paniagua C 30

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-40

-30

-20

-10

10

20

30

40

x

y

f(x) = x3n=3

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-200

-100

100

200

300

400

500

600

x

y

f(x) = x4

n=4

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-400

-200

200

400

600

800

1000

x

y

f(x) = x5

n=5

La función f(x)=xn en su forma depende de n si es par o impar. Si n es par, f(x)=xn es una función par y si n es impar, f(x)=xn es una función impar

Juan Guillermo Paniagua C 31

2.Si a=1/n, n Z+

La función es una función raíz.

nn xxxf 1

)(

n = 2Función raíz cuadradaD(f) = [0, +)

1 2 3 4 5

-1

1

2

3

x

y

xxf )(

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-2

-1

1

2

3

4

x

y

3)( xxf n = 3Función raíz cúbicaD(f) = Re

Juan Guillermo Paniagua C 32

3.Si a=-1

Función recíproca. Su gráfica es una hipérbola con sus ejes coordenados como asíntotas

xxxf

1)( 1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-5-4-3-2-1

1234567

x

y

xxxf

1)( 1

D(f) = Re – {0}

Juan Guillermo Paniagua C 33

Funciones Racionales

Una Función Racional f es una razón de dos polinomios.

Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Su dominio consiste en todos los valores de x tales que Q(x) 0Por ejemplo,

D(f)= Re – {-2, 2}

)(

)()(

xQ

xPxf

4

12)(

2

24

x

xxxf

Juan Guillermo Paniagua C 34

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

30

x

y

Juan Guillermo Paniagua C 35

Funciones Algebraicas

Son funciones que se constituyen usando operaciones algebraicas.

-3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

3)( xxxf

-15 -10 -5 5 10 15

1

2

3

4

x

y

4 2 25)( xxf

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

x

y

23

2

2)( xxxf

Juan Guillermo Paniagua C 36

Funciones Seccionalmente DefinidasSon funciones que están definidas por fórmulas distintas, en diferentes partes de sus dominios. Por ejemplo:

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

Juan Guillermo Paniagua C 37

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

x

y

Juan Guillermo Paniagua C 38

Función Cuadrática

Una función f es una función cuadrática si

donde a, b y c Re, a 0

Su gráfica corresponde a una parábola con vértice fuera del origen de coordenadas

Juan Guillermo Paniagua C 39

Por ejemplo

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Juan Guillermo Paniagua C 40

Si b = c = 0, entoncesLa gráfica es una parábola con vértice en el origen

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

x

y

Juan Guillermo Paniagua C 41

Si b = 0 y c 0, entonces La gráfica es una parábola con vértice en (0,c)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-15

-10

-5

5

10

15

20

25

x

y

Juan Guillermo Paniagua C 42

Si y b 0, completamos el trinomio cuadrado perfecto y lo llevamos a la forma

Donde (h, k) son las coordenadas del vértice de la parábola

Si a < 0 la parábola se abre hacia abajo y si a > 0, la parábola se abre hacia arriba.

Juan Guillermo Paniagua C 43

Ejemplo: Bosqueje la gráfica de

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

x

y

(-4,2)

Juan Guillermo Paniagua C 44

El vértice de la parábolaTiene la coordenada x

Si , con a 0, entonces:

es valor máximo si a < 0

es valor mínimo su a > 0

Juan Guillermo Paniagua C 45

Ejemplo 1Encuentre el valor máximo ó mínimo, el vértice y trace la gráfica de la parábola

Ejemplo 2Un objeto es lanzado en forma vertical hacia arriba con una velocidad inicial de Vo pies/s y su distancia s(t) en pies sobre el suelo después de t segundos está dada por

a.Si el objeto toca tierra después de 12 segundos, encuentre su velocidad inicial

b.Hallar su distancia máxima sobre el suelo

Juan Guillermo Paniagua C 46

Ejemplo 3En la construcción de seis jaulas para animales han de utilizarse 1000 pies de enrejado, según la figura

a.Exprese el ancho y como función de la longitud xb.Exprese el área A encerrada como función de xc.Encuentre las dimensiones que maximicen el

área

x

y