Tema 4 Funciones reales de varias variables....Tema 4 Funciones reales de varias variables. 4.1. El...

Tema 4

Funciones reales de varias

variables.

4.1. El espacio euclıdeo Rn.

Definicion 4.1.1. Se define el producto escalar entre vectores de Rn como la aplicacion:

(·) : Rn × Rn → R :

~x · ~y = (x1, x2, . . . , xn) · (y1, y2, . . . , yn) = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn.

Propiedades 4.1.2. ∀~x, ~y, ~z ∈ Rn y ∀α ∈ R se verifica:

a) • (~x+ ~y) · ~z = ~x · ~z + ~y · ~z.

• ~x · (~y + ~z) = ~x · ~y + ~x · ~z.

• ~x · (α~y) = (α~x) · ~y = α(~x · ~y).

b) (~x · ~y) = (~y · ~x).

c) • (~x · ~x) ≥ 0

• (~x · ~x) = 0⇐⇒ ~x = ~0.

d) (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) (~x · ~y)2 ≤ (~x · ~x) · (~y · ~y).

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Curso 2019/2020 Matematicas (Grado en Quımica)

Definicion 4.1.3. Llamamos espacio euclıdeo Rn al espacio vectorial (Rn,+, ·R) dotado

del producto escalar (·).

Definicion 4.1.4. Definimos la norma euclıdea en Rn como la aplicacion

|| · || : Rn → R, ||~x|| =√~x · ~x =

√x21 + x22 + · · ·+ x2n.

Propiedades 4.1.5. ∀~x, ~y,∈ Rn y ∀α ∈ R se tiene:

a) ||~x|| ≥ 0.

b) ||~x|| = 0⇐⇒ ~x = 0.

c) ||α~x|| = |α| ||~x||.

d) ||~x+ ~y|| ≤ ||~x||+ ||~y||.

A partir de esta norma podemos definir la distancia euclıdea.

Definicion 4.1.6. Se llama distancia euclıdea a la aplicacion:

d : Rn × Rn → [0,+∞), d(~x, ~y) = ||~y − ~x|| =√

(y1 − x1)2 + · · ·+ (yn − xn)2.

Propiedades 4.1.7. ∀~x, ~y, ~z ∈ R se verifica:

a) d(~x, ~y) = 0 si y solo si ~x = ~y.

b) d(~x, ~y) = d(~y, ~x).

c) Desigualdad triangular: d(~x, ~z) ≤ d(~x, ~y) + d(~y, ~z).

Definicion 4.1.8.

Se llama bola abierta (o simplemente bola) de centro ~a ∈ Rn y radio r > 0, al

conjunto

B(~a, r) = {~x ∈ Rn : d(~a, ~x) < r}.

Se llama bola cerrada de centro ~a ∈ Rn y radio r > 0, al conjunto

B(~a, r) = {~x ∈ Rn : d(~a, ~x) ≤ r}.

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Grupos A y B Curso 2019/2020

Se llama bola reducida de centro ~a ∈ Rn y radio r > 0, al conjunto

B∗(~a, r) = B(~a, r) \ {~a}.

Se llama entorno de un punto ~a ∈ Rn a todo conjunto que contenga alguna bola

abierta de centro ~a.

4.2. Funciones de varias variables. Lımites y continui-

dad.

Las funciones que van a ser objeto de estudio son las de la familia F(D,R) con D ⊂ Rn,

es decir las aplicaciones

~x ∈ D 7−→ f(~x) ∈ R.

Como ~x = (x1, x2, . . . , xn), se dice que f es una funcion de n variables.

Ahora nos fijaremos en la funcion real de dos variables, es decir, el caso n = 2. A este

tipo de funciones las llamaremos funciones reales de dos variables.

El conjunto D es el dominio de la funcion. Si este no se especifica, consideraremos D

como el dominio natural, es decir, como el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano

para los que la regla de la funcion tiene sentido y proporciona un valor numerico real. El

rango de una funcion es su conjunto de valores. Si z = f(x, y), decimos que x e y son las

variables independientes, mientras que z es la variable dependiente.

Todo lo dicho se extiende normalmente a funciones reales de tres o mas variables. Las

usaremos a veces, sobre todo las de tres variables.

Por la grafica de una funcion f de dos variables entenderemos la grafica de la ecuacion

z = f(x, y). Esta grafica sera por lo general una superficie y, como a cada punto (x, y)

le corresponde unicamente un valor z, cada recta perpendicular al plano XY corta a la

superficie en, a lo mas, un punto.

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4.2.1. Lımite de una funcion.

Recordemos previamente la definicion de lımite de una funcion real de variable real, y

ponemos de manifiesto que formalmente son iguales, de hecho, intuitivamente se trata de

ver que los valores de la funcion estan cerca de l ∈ R cuando ~x esta proximo a ~a.

En lo sucesivo, por ~x notaremos el punto (x, y) y por ~a, el punto (a, b).

Definicion 4.2.1. Sea f ∈ F(D,R) una funcion definida en D ⊂ R2, y sea ~a ∈ R2. Se

dice que l ∈ R es el lımite de f en el punto ~a si se verifica:

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que: (~x ∈ D \ {~a}, ||~x− ~a|| < δ) =⇒ |f(~x)− l| < ε.

La condicion anterior se puede expresar, recurriendo a las bolas de R2 y R, diciendo:

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que: si ~x ∈ B∗(~a, δ) ∩D ⇒ f(~x) ∈ B(l, ε),

y se denotara, indistintamente, por

lım(x,y)→(a,b)

f(x, y) = l o lım~x→~a

f(~x) = l.

Vemos ahora la definicion de lımite infinito

Definicion 4.2.2. Sea f ∈ F(D,R) una funcion definida en D ⊂ R2, y sea ~a ∈ R2. Se

dice que f tiene lımite infinito en ~a, si para cada K > 0 existe un δ > 0 tal que, para todo

~x ∈ B∗(~a, δ) ∩D, se verifica |f(~x)| > K. Cuando ası ocurre, se escribe:

lım~x→~a

f(~x) =∞.

Nota 4.2.3. El algebra de lımites dobles es la misma que la de lımites de una variable:

Si lım~x→~a

f(~x) = L1 ∈ R y lım~x→~a

g(~x) = L2 ∈ R, entonces

• lım~x→~a

(f(~x)± g(~x)

)= L1 ± L2, lım

~x→~af(~x) · g(~x) = L1 · L2.

• lım~x→~a

f(~x)/g(~x) =

L1/L2 si L2 6= 0.

∞ si L1 6= 0 = L2.

Indeterminado si L1 6= 0 = L2.

.

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En los casos en que algunos de estos lımites sean infinito, se seguiran las mismas

normas que en el caso de una variable (incluidas las indeterminaciones).

Si lım~x→~a

f(~x) = L ∈ R y no existe lım~x→~a

g(~x), entonces tampoco existen los lımites

lım~x→~a

(f(~x)± g(~x)

)ni lım

~x→~af(~x) · g(~x).

Definicion 4.2.4 (Lımites reiterados). Sea f : D → R una funcion definida en D ⊂ R2,

y sea (a, b) ∈ R2 un punto de D. Las expresiones

l1 = lımy→b

(lımx→a

f(x, y)), l2 = lım

x→a

(lımy→b

f(x, y)

)significan:

a) Para cada y de un cierto entorno reducido de b, se considera la funcion x 7→ f(x, y).

b) Se supone que esta funcion tiene lımite cuando x → a, al que llamaremos (por

depender de y), ϕ(y) = lımx→a

f(x, y).

c) La funcion y 7→ ϕ(y) tiene lımite l1 cuando y → b. En tal caso, a l1 se le llama

lımite reiterado de f cuando x tiende primero a a e y tiende, despues, al punto b.

Analogamente con l2.

Teorema 4.2.5. Sea f : D → R una funcion definida en D ⊂ R2, y sea (a, b) ∈ R2 un

punto de D. Si existe y vale l el lımite de f en (a, b), y si, para cada y de un entorno

reducido de b, existe el lımite de la funcion x 7−→ f(x, y), cuando x → a, entonces existe

y vale l el lımite reiterado

lımy→b

(lımx→a

f(x, y)).

Para el otro lımite reiterado se verifica un teorema analogo.

Notas 4.2.6. Puede ocurrir:

1) La funcion tiene lımite en un punto, pero no existe, en dicho punto, ninguno (o

alguno) de los lımites reiterados (por ejemplo, f(x, y) = x sen(1/y) + y sen(1/x) en

el origen).

2) La funcion tiene en un punto sus dos lımites reiterados y son iguales, pero no existe

su lımite en el punto (por ejemplo, f(x, y) = xyx2+y2 en el origen).

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3) La funcion tiene, en un punto, sus dos lımites reiterados y son distintos (por ejemplo,

f(x, y) = x2−y2x2+y2 en el origen).

En ocasiones, el anterior teorema permitira asegurar que una funcion no tiene lımite

en un punto: si los dos lımites reiterados existen y son diferentes (pudiendo ser ∞ alguno

de ellos), entonces el lımite doble no existe.

Definicion 4.2.7 (Lımites direccionales). Sea f : D → R una funcion definida en

D ⊂ R2, y sea ~a = (a, b) ∈ R2. Si y = ϕ(x) es una curva en R2 que pasa por ~a (es decir, si

b = ϕ(a)). Se dice que f tiene lımite l (finito o infinito) en ~a segun la direccion y = ϕ(x),

y lo denotaremos por lım(x,y)→(a,b)y=ϕ(x)

f(x, y) = l, si lımx→a

f(x, ϕ(x)) = l. A dicho lımite se le

conoce como lımite direccional de f(x, y) a traves de y = ϕ(x).

De forma analoga se puede definir el lımite direccional a traves de curvas del tipo

x = ψ(y).

En el caso particular en que y = ϕ(x) sea una recta que pase por (a, b), es decir,

ϕ(x) = b+m(x− a) (m ∈ R), el lımite se llamara lımite direccional por rectas.

Nota 4.2.8. Es evidente que si f tiene lımite l en ~a, entonces f tiene lımite l en ~a segun

toda direccion que pase por ~a. En particular, la existencia de lımite doble implica que

cualquier lımite direccional por rectas existe y vale lo mismo que el doble. Sin embargo,

no es suficiente que f tenga lımite l en ~a en todas las rectas para poder garantizar que f

tenga lımite l en ~a; lo que solo se puede asegurar, con caracter general, es que si f tuviera

lımite en ~a, dicho lımite serıa l.

Senalemos tambien que si no existiera el lımite de f en ~a segun una cierta recta r,

entonces f no tendrıa lımite en ~a; a esta misma conclusion llegarıamos en el caso de

que f tuviera en ~a lımites direccionales distintos segun dos rectas diferentes. Esto puede

extenderse a otras direcciones no necesariamente rectas.

4.2.2. Funciones continuas.

Definicion 4.2.9. Sea f : D → R una funcion definida en un conjunto D ⊂ R2, y sea

~a ∈ D. Se dice que f es continua en ~a si se verifica : ∀ε > 0, existe un δ > 0 tal que:

[~x ∈ D, ||~x− ~a|| < δ] ⇒ |f(~x)− f(~a)| < ε.

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Nota 4.2.10. A la vista de la definicion anterior y la definicion de lımite en un punto,

se tiene que f es continua en ~a, si y solo si f tiene lımite en ~a y dicho limite es f(~a).

Definicion 4.2.11. Si la funcion f no es continua en un punto ~a de D, se dice que f es

discontinua en ~a. En tal caso la discontinuidad sera evitable o esencial segun exista o no

el lımite de f en ~a.

Proposicion 4.2.12. Si f, g son dos funciones reales definidas en un mismo conjunto

D ⊂ R2, que son continuas en un punto ~a ∈ D, entonces tambien son continuas en ~a su

suma f + g, su producto f · g y su cociente f/g (siempre que g(~a) 6= 0).

4.3. Diferenciabilidad.

4.3.1. Derivadas parciales

Definicion 4.3.1. Sea f : S ⊂ R2 → R y ~a = (a, b) ∈ S.

Se llama derivada parcial primera de f respecto de la variable x en el punto ~a = (a, b)

y se denota por f ′x(~a), [D1f ] (~a),∂f(~a)

∂xal lımite (si existe y es finito)

∂f

∂x(a, b) = lım

h→0

f(a+ h, b)− f(a, b)

h

Se llama derivada parcial primera de f respecto de la variable y en el punto ~a = (a, b)

y se denota por f ′y(~a), [D2f ] (~a),∂f(~a)

∂yal lımite (si existe y es finito)

∂f

∂y(a, b) = lım

h→0

f(a, b+ h)− f(a, b)

h

Definicion 4.3.2. Si la funcion f : S ⊂ R2 → R tiene derivadas parciales en todos los

puntos del abierto S, se llama funcion derivada (parcial) de f respecto de x (respecto

de y) a la aplicacion f ′x, D1 [f ] ,∂f

∂x, de S en R, (f ′y, D2 [f ] ,

∂f

∂y, de S en R) definida

por:

∂f

∂x: (x, y) 7−→ ∂f

∂x(x, y) =

∂f(x, y)

∂x.

(∂f

∂y: (x, y) 7−→ ∂f

∂y(x, y) =

∂f(x, y)

∂y

)

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En la practica, para calcular la derivada parcial respecto de x de una funcion f(x, y),

consideraremos que la variable y es constante y se procede como en el caso de una variable.

Para derivar parcialmente respecto de y, se procede de igual forma considerando constante

la variable x.

Definicion 4.3.3. Sea la funcion f : S ⊂ R2 → R. Si existen las derivadas parciales de f

en un punto (a, b) ∈ S, se llama vector gradiente de f en (a, b) al vector:

∇f(a, b) =

(∂f

∂x(a, b),

∂f

∂y(a, b)

).

La existencia de derivadas parciales en un punto, no garantiza la continuidad de la

funcion en dicho punto, como se puede comprobar con la funcion:

f(x, y) =xy

x2 + y2, ∀(x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0,

que no es continua en el origen y sin embargo, ∇f(0, 0) = (0, 0).

4.3.2. Derivadas direccionales

Definicion 4.3.4. Sea f : S ⊂ R2 → R una funcion definida en un abierto S ⊂ R2.

Consideremos un punto (a, b) ∈ S y un vector unitario ~u = (cosα, senα). Se llama deri-

vada direccional de f en el punto (a, b) y en la direccion del vector ~u y se denota por

f ′~u(a, b), [D~uf ] (a, b),∂f(a, b)

∂~ual lımite (si existe y es finito)

∂f

∂~u(a, b) = lım

h→0

f(a+ h cosα, b+ h senα)− f(a, b)

h

Es claro que∂f

∂x(a, b) =

∂f

∂~u(a, b), con ~u = (1, 0)

y que∂f

∂y(a, b) =

∂f

∂~v(a, b), con ~v = (0, 1).

La existencia de todas las derivadas direccionales de una funcion en un punto tampoco

garantiza la continuidad de la funcion en dicho punto, como se puede comprobar con:

f(x, y) =xy2

x2 + y4, ∀(x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0.

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4.3.3. Diferenciabilidad

Definicion 4.3.5. Sea f : S ⊂ R2 → R y (a, b) ∈ S. Se dice que f es diferenciable en

(a, b) cuando existen y son finitas las derivadas parciales de f en (a, b) y se verifica:

lım(x,y)→(0,0)

f [(a, b) + (x, y)]− f(a, b)−∇f(a, b) · (x, y)

||(x, y)||= 0.

Si la funcion f : S → R es diferenciable en todos los puntos de S, se dice entonces que

f es diferenciable en S y a la aplicacion df definida (en S) mediante

df : (x, y) 7−→ df(x, y) =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy

se le llama diferencial de la funcion f . Se puede interpretar la diferencial de f como el

incremento que experimenta la funcion cuando incrementamos las variables x e y en una

cantidad dx y dy.

Veamos, a continuacion unas propiedades de las funciones diferenciables

Proposicion 4.3.6.

1. Si f es diferenciable en (a, b), entonces f es continua en (a, b). El recıproco, en

general, no es cierto.

2. Si f es diferenciable en (a, b) y ~u es un vector unitario de R2, entonces existe la

derivada direccional∂f

∂~u(a, b) y se verifica:

∂f

∂~u(a, b) = ∇f(a, b) · ~u.

3. Si existen y son continuas las derivadas parciales∂f

∂x,∂f

∂yen (a, b), entonces f es

diferenciable en (a, b). El recıproco, generalmente, es falso, como lo prueba la funcion:

f(x, y) = x2 sen1

x+ y2 sen

1

y, (x 6= 0, y 6= 0), f(x, 0) = f(0, y) = 0.

Si f es diferenciable en (a, b) y f(a, b) = c, el plano de ecuacion:

z − c =∂f

∂x(a, b)(x− a) +

∂f

∂y(a, b)(y − b)

Se llama plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto (a, b, c).

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4.3.4. Regla de la cadena

a) Una variable independiente.

Sea z = f(x, y) una funcion diferenciable y supongamos que x, y son funciones diferen-

ciables de una unica variable t. En este caso z = z(t) = f(x(t), y(t)) y existe la diferencialdz

dty viene dada por:

dz

dt(t) =

∂z

∂x(x(t), y(t)) · dx

dt(t) +

∂z

∂y(x(t), y(t)) · dy

dt(t).

b) Dos variables independientes

Sea z = f(x, y) una funcion diferenciable y supongamos que x, y son funciones dife-

renciables de u y v, es decir, x = x(u, v), y = y(u, v). Entonces, z es funcion de u y v,

z = z(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)) y existen las derivadas parciales∂f

∂uy∂f

∂vque vienen

dadas por:

∂f

∂u(u, v) =

∂f

∂x(x(u, v), y(u, v)) · ∂x

∂u(u, v) +

∂f

∂y(x(u, v), y(u, v)) · ∂y

∂u(u, v),

∂f

∂v(u, v) =

∂f

∂x(x(u, v), y(u, v)) · ∂x

∂v(u, v) +

∂f

∂y(x(u, v), y(u, v)) · ∂y

∂v(u, v).

4.3.5. Derivadas parciales de orden superior

Al igual que sucede con las funciones de una variable, es posible hallar derivadas par-

ciales de una funcion de varias variables y de ordenes superiores a uno.

En concreto, para una funcion f(x, y) hay cuatro posibilidades de obtener la derivada

parcial segunda:

a) Dos veces respecto de x:∂

∂x

(∂f

∂x

)=∂2f

∂x2= f ′′xx = D11f .

b) Dos veces respecto de y:∂

∂y

(∂f

∂y

)=∂2f

∂y2= f ′′yy = D22f .

c) Respecto de x y respecto de y:∂

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x= f ′′xy = D12f .

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d) Respecto de y y respecto de x:∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂y= f ′′yx = D21f .

La matriz hessiana de f es la matriz formada por las derivadas parciales de segundo

orden y se denota por Hf(~x). En R2:

Hf(~x) =

∂2f

∂x2∂2f

∂y∂x∂2f

∂x∂y

∂2f

∂y2

=

D11f D12f

D21f D22f

.

Teorema 4.3.7. Teorema de Schwartz. Si las derivadas parciales∂f

∂x,∂f

∂y,∂2f

∂x∂y

son continuas en un entorno de ~a, entonces existe∂2f

∂y∂xen ~a y se verifica:

∂2f

∂y∂x(~a) =

∂2f

∂x∂y(~a).

4.3.6. Formula de Taylor

En este apartado veremos el desarrollo de Taylor de funciones de 2 variables.

Sea f : D ⊂ R2 → R tal que f y sus derivadas parciales hasta de segundo orden son

diferenciables en D. Sean los puntos ~x,~a ∈ D, tales que el segmento que los une esta

contenido en D, L[~x,~a] ∈ D, entonces, existe un punto ~c ∈ L[~x,~a] tal que:

f(~x) = f(~a) +∇f(~a)t(~x− ~a) +1

2!(~x− ~a)tHf(~a)(~x− ~a) +R(~c)

Donde R(~c) es el termino complementario o resto.

Desarrollando la expresion anterior, podemos escribir:

f(x, y) = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)(x− a) +

∂f

∂y(y − b)+

+1

2!

(∂2f

∂x2(a, b)(x− a)2 +

∂2f

∂y2(a, b)(y − b)2 + 2

∂2f

∂x∂y(a, b)(x− a)(y − b)

)+R(c1, c2).

Si (a, b) = (0, 0) se tiene la formula de McLaurin.

4.3.7. Funciones homogeneas.

Definicion 4.3.8. Sea f : D ⊆ Rn → R, se dice que f es homogenea de grado r

(r ∈ R) si:

∀~x ∈ D, ∀t > 0 (t ∈ R) : t~x ∈ D =⇒ f(t~x) = trf(~x)

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Proposicion 4.3.9. Sean f, g : D ⊆ Rn → R homogeneas de grados r1 y r2 respectiva-

mente:

1. Si r1 = r2 = r, f ± g es homogenea de grado r.

2. f · g es homogenea de grado r1 + r2.

3. f/g, si esta definida, es homogenea de grado r1 − r2.

Teorema 4.3.10. Teorema de Euler. Sea f : D ⊆ Rn → R diferenciable en D.

f es homogenea de grado r ⇐⇒ rf(~x) = ∇f(~x) · ~x.

4.3.8. Funciones implıcitas.

Estudiaremos solo el caso de la funcion implıcita definida por una ecuacion de dos o

tres variables.

Teorema 4.3.11. Sea F : D ⊆ R3 → R, (x0, y0, z0) ∈ D y la ecuacion F (x, y, z) = 0.

Si se verifican las condiciones:

1. F es de clase C1 (tiene derivadas parciales de primer orden continuas).

2. F (x0, y0, z0) = 0.

3.∂F

∂z(x0, y0, z0) 6= 0

La ecuacion define a z como funcion implıcita de (x, y) en un entorno de (x0, y0, z0).

Si fuese F (x, y) = 0 y la ecuacion define a y como funcion implıcita de x, podemos

calculardy

dx(x0) utilizando la regla de la cadena y teniendo en cuenta que y = y(x).

Si fuese F (x, y, z) = 0 y la ecuacion define a z como funcion implıcita de (x, y), podemos

calcular∂z

∂x(x0, y0) y

∂z

∂y(x0, y0) teniendo en cuenta que z0 = z(x0, y0).

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4.4. Ejercicios resueltos

1.- Dada la funcion f(x, y) =xy2

x2 + y4, calcule los lımites reiterados de la funcion en el

punto (0, 0) y los lımites direccionales en dicho punto segun la direccion L = {(x, y) ∈R2 : x = my2, m 6= 0}. ¿Existe el lımite doble de la funcion en el origen?

SOLUCION:

φ1(x) = lımy→0

xy2

x2 + y4=

0

x2= 0, lım

x→0φ1(x) = lım

x→00 = 0

φ2(y) = lımx→0

xy2

x2 + y4=

0

y4= 0, lım

y→0φ2(y) = lım

y→00 = 0

lım(x,y)→(0,0)

x=my2

xy2

x2 + y4= lımy→0

my4

m2y4 + y4=

m

m2 + 1

Aunque los lımites reiterados de la funcion en el origen existen y coinciden, podemos

asegurar que no existe el lımite doble, dado que los lımites direccionales dependen

de la direccion.

2.- Dada la funcion f(x, y) =xy2

x2 + y2, calcule los lımites reiterados de la funcion en el

punto (0, 0) y los lımites direccionales en dicho punto segun la direccion L = {(x, y) ∈R2 : y = mx, m 6= 0}. ¿Existe el lımite doble de la funcion en el origen?

SOLUCION

φ1(x) = lımy→0

xy2

x2 + y2=

0

x2= 0, lım

x→0φ1(x) = lım

x→00 = 0

φ2(y) = lımx→0

xy2

x2 + y2=

0

y2= 0, lım

y→0φ2(y) = lım

y→00 = 0

lım(x,y)→(0,0)y=mx

xy2

x2 + y2= lımx→0

m2x3

x2 +m2x2= lımx→0

m2x3

x2(1 +m2)= lımx→0

m2x

1 +m2= 0

Dado que los lımites reiterados existen y coinciden y los direccionales segun rectas

tambien coinciden con los reiterados, podemos sospechar que ese es el lımite doble,

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por lo que descompondremos la funcion en el producto de otras dos, una acotada y

la otra tendiendo a 0, por lo que, de ser ası, el lımite doble valdrıa 0.

f(x, y) =xy2

x2 + y2= x

y2

x2 + y2.

Dado que lım(x,y)→(0,0)

x = 0 y que 0 ≤ y2

x2 + y2≤ 1 , podemos asegurar que

lım(x,y)→(0,0)

xy2

x2 + y2= 0.

3.- Hallar la derivada direccional de f(x, y) = x+ y3x2 en el punto (1, 1) en la direccion

que forma un angulo deπ

3con el semieje OX positivo. ¿En que direccion es maxima

la derivada direccional en el punto (1, 1)? ¿Cual es el valor de esta derivada direccional

maxima?

SOLUCION

En primer lugar calcularemos las parciales de f(x, y).

∂f

∂x= 1 + 2xy3,

∂f

∂y= 3y2x2. Como las parciales son funciones polinomicas, son

continuas en todo R2, luego en el punto (1, 1). Ası pues, para calcular la derivada

direccional, podemos usar la formula: D~uf(1, 1) = ∇f(1, 1) · ~u.

Pero ∇f(1, 1) =

(∂f

∂x(1, 1),

∂f

∂y(1, 1)

)= (1 + 2, 3) = (3, 3); y el vector de direccion

es ~u = (cos(π/3), sen(π/3)) = (1/2,√

3/2). Por lo tanto:

D~uf(1, 1) = (3, 3) · (1/2,√

3/2) =3

2+

3√

3

2=

3(1 +√

3)

2.

Por otro lado, la derivada direccional siempre es maxima en la direccion del gradiente,

en este caso en la direccion ∇f(1, 1) = (3, 3); y el valor de esta derivada direccional

coincide con el modulo del vector gradiente, en este caso |∇f(1, 1)| = |(3, 3)| =√

32 + 32 = 3√

2.

4.- Se considera la funcion f(x, y) = −x3 + 4xy − 2y2 + 1

a) Hallar el gradiente en el punto (1, 1) y la derivada direccional en dicho punto en

la direccion que forma un angulo de 45o con el semieje OX positivo.

56


SOLUCION

∇f(1, 1) =

(∂f

∂x(1, 1),

∂f

∂y(1, 1)

)= (−3 + 4, 4− 4) = (1, 0).

Para la derivada direcciona, el vector de direccion unitario sera ~u = (cos(45◦), sen(45◦)) =

(1/√

2, 1/√

2). Por lo tanto D~uf(1, 1) = ∇f(1, 1) · ~u = (1, 0) · (1/√

2, 1/√

2) = 1/√

2.

b)¿En que direccion es maxima la derivada direccional en el punto (1, 1)? ¿Cual es

el valor de esta derivada direccional maxima?

SOLUCION

La derivada direccional SIEMPRE es maxima en la direccion del gradiente. En es-

te caso la direccion sera ~v = (1, 0). Y el valor de dicha derivada direccional es

D~vf(1, 1) = |∇f(1, 1)| = |(1, 0)| = 1.

c) Hallar la ecuacion del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto

(1, 1, 2).

SOLUCION

Comprobemos, antes de comenzar, que el punto esta en la superficie, es decir, que

2 = f(1, 1). En efecto, f(1, 1) = −1 + 4− 2 + 1 = 2.

La formula del plano tangente sera:

z − 2 =∂f

∂x(1, 1)(x− 1) +

∂f

∂y(1, 1)(y − 1).

En nuestro caso,∂f

∂x(1, 1) = 1 y

∂f

∂y(1, 1) = 0, luego la ecuacion quedara

z − 2 = x− 1.

5.- Dada la funcion f(x, y) = (x+ y) ln(x2y2) se pide:

a.- Obtener el gradiente de f(x, y) en el punto (e, e).

SOLUCION

Para calcular el gradiente, hay que calcular las parciales:∂f

∂x= ln(x2y2) + (x+ y)

1

x2y22xy2 = ln(x2y2) + 2

x+ y

x,

57


∂f

∂y= ln(x2y2) + (x+ y)

1

x2y22yx2 = ln(x2y2) + 2

x+ y

y.

Si particularizamos en el caso x = y = e, resulta que

∇f(e, e) =

(ln(e4) + 2

e+ e

e, ln(e4) + 2

e+ e

e

)= (8, 8).

b.- Calcular la derivada direccional de f(x, y) en el punto (e, e) segun la direccion

del vector ~u = (3,−4).

SOLUCION

En primer lugar, veamos si el vector de direccion es unitario:

|~u|2 = 9 + 16 = 25, luego |~u| = 5. Ası que trabajaremos con ~u0 = (3/5,−4/5).

En segundo lugar, vemos que las derivadas parciales son continuas en el punto

(e, e), por lo tanto podemos utilizar la formula D~uf(e, e) = ∇f(e, e) · ~u0. En

nuestro caso, D~uf(e, e) = (8, 8) · (3/5,−4/5) = 8 · 35 − 8 · 45 = − 85 .

c.- ¿En que direccion es maxima dicha derivada direccional? Encuentra una direc-

cion ~v el la que D~vf(e, e) = 0.

SOLUCION

La derivada direccional siempre es maxima en la direccion del gradiente, en

nuestro caso, en la direccion ~u = (8, 8).

Para que la derivada direccional se anule, hace falta que, tomando ~v = (cosα, senα),

ocurra lo siguiente:

D~vf(e, e) = ∇f(e, e) · ~v = (8, 8) · (cosα, senα) = 8(cosα+ senα).

Por tanto, para que la derivada direccional se anule, hace falta que cosα +

senα = 0, es decir, cosα = − senα y esto ultimo ocurre, por ejemplo, si

α = 3π/4. Entonces la direccion serıa la del vector ~v = (−√

2/2,√

2/2).

NOTA: Tambien se anula la derivada direccional si α = −π/4, en cuyo caso

tendrıamos el vector ~v = (√

2/2,−√

2/2)

6.- ¿La ecuacion F (x, y) = 3xy−1+x2+y = 0 define implıcitamente a x como funcion

de y (x = f(y)) en un entorno del punto (0, 1)?. Calcule, si es posible, f ′(1) =dx

dy(1).

SOLUCION

Hay que comprobar que se cumplen las hipotesis del teorema de la funcion implıcita:

58


1) F es de clase uno en R2, es decir, es continua con derivadas parciales continuas

∂F

∂x(x, y) = 3y + 2x,

∂F

∂y(x, y) = 3x+ 1

Tanto F como sus derivadas parciales son polinomios.

2) F (0, 1) = −1 + 0 + 1 = 0.

3)∂F

∂x(0, 1) = 3y + 2x|(0,1) = 3 6= 0.

Como se verifican las tres hipotesis del teorema de la funcion implıcita, F (x, y) define

a x como funcion implıcita de y, x = f(y).

Para obtener f ′(1) =dx

dy(1), derivamos la ecuacion teniendo en cuenta que x = f(y).

3f ′(y)y + 3x+ 2xf ′(y) + 1|(0,1) = 0, ⇒ 3f ′(1) + 1 = 0, ⇒ f ′(1) = −1

3.

7.- ¿La ecuacion F (x, y, z) = xez − y2z + 5y + z − 1 = 0 define implıcitamente a z

como funcion de x, y (z = f(x, y)) en un entorno del punto (1, 0, 0)?. Calcule, si es

posible,∂z

∂x=∂f

∂x(1, 0),

∂z

∂y=∂f

∂y(1, 0).

SOLUCION

Al igual que en el problema anterior, hay que comprobar que se cumplen las hipotesis

del teorema de la funcion implıcita:

1) F es de clase uno en R3, es decir, es continua con derivadas parciales continuas

∂F

∂x(x, y, x) = ez,

∂F

∂y(x, y, z) = −2yz + 5,

∂F

∂z(x, y, z) = xez − y2 + 1

Tanto F como sus derivadas parciales son continuas.

2) F (1, 0, 0) = e0 − 0 + 0− 1 = 0.

3)∂F

∂z(1, 0, 0) = xez − y2 + 1|(0,1) = 2 6= 0.

Como se verifican las tres hipotesis del teorema de la funcion implıcita, F (x, y, z)

define a z como funcion implıcita de x, y, z = f(x, y).

Para obtener las derivadas parciales pedidas, derivamos respecto de x e y en la

ecuacion F (x, y, f(x, y)) = xef(x,y) − y2f(x, y) + 5y + f(x, y)− 1 = 0.

59


Derivando respecto de x:

ef(x,y) + xef(x,y)∂f

∂x− y2 ∂f

∂x+∂f

∂x

∣∣∣∣(1,0,0)

= 1+∂f

∂x(1, 0)+

∂f

∂x(1, 0) = 0⇒ ∂f

∂x(1, 0) = −1

2

Derivando respecto de y:

xef(x,y)∂f

∂y− 2yf(x, y)− y2 ∂f

∂y+ 5 +

∂f

∂y

∣∣∣∣(1,0,0)

=∂f

∂y(1, 0)+5+

∂f

∂y(1, 0) = 0⇒ ∂f

∂y(1, 0) = −5

2.

8.- Dada la funcion f(x, y) = 2x3 + 3xy2 comprobar que es homogenea y que verifica

el teorema de Euler.

SOLUCION

La funcionf(x, y) es homogenea de grado 3 ya que:

f(tx, ty) = 2(tx)3 + 3(tx)(ty)2 = 2t3x3 + 3txt2y2 = t3(2x3 + 3xy2) = t3f(x, y).

Como la funcion es diferenciable en R2 (es un polinomio) y homogenea de grado 3,

vamos a ver que verifica el Teorema de Euler:

∂f∂x = 6x2 + 3y2, ∂f

∂y = 6xy. Por tanto, ∇f(x, y) = (6x2 + 3y2, 6xy)

Debe verificarse rf(x, y) = ∇f(x, y) · (x, y), en efecto:

∇f(x, y) · (x, y) = (6x2 + 3y2, 6xy) · (x, y) = 6x3 + 9xy2 = 3(2x3 + 3xy2) = 3f(x, y)

4.5. Ejercicios propuestos

1.- Calcula las derivadas parciales de las funciones:

f(x, y) = x2 + y2 cos(xy)(a) f(x, y) =x√

x2 + y2(b)

f(x, y) = logx+ y

x− y(c) f(x, y) = arctan

x+ y

x− y(d)

f(x, y) = cos(3x) sen(3y)(e) f(x, y) = cos(x2 + y2).(f)

f(x, y, z) = x2 − y2 + 2z2(g) f(x, y, z) = x3− y3− 3xy(x− y) + ez(h)

60


2.- Comprobar que cada una de las funciones siguientes verifica la ecuacion indicada:

f(x, y) = exy + sen (x+ y) xD1f(x, y)− yD2f(x, y) = (x− y) cos(x+ y)

g(x, y, z) = cos

(x+ y

2z

)xD1g(x, y, z) + yD2g(x, y, z) + zD3g(x, y, z) = 0.

3.- Hallar la derivada de la funcion f(x, y) = x2 − y2 en el punto (1, 1) segun la direccion

que forma un angulo de 60◦ con el semieje OX positivo.

4.- Encuentra una funcion f(x, y) que verifique D1f(x, y) =x

x2 + y2.

5.- Hallar la derivada de la funcion f(x, y) = x2 − xy + y2 en el punto (1, 1) segun la

direccion que forma un angulo α con el semieje OX positivo. ¿En que direccion es

maxima?. ¿Y mınima?. ¿Y nula?

6.- Halla las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a cada una de las super-

ficies siguientes en los puntos que se indican:

z = e−(x2+y2) en el punto (0, 0, 1).(a)

z =x2

a2+y2

b2en el punto (a, b, 2).(b)

z = x2 + y3 en (3, 1, 10).(c)

z = −x3 + 4xy − 2y2 + 1 en el punto (1, 1, 2).(d)

7.- Calcula las derivadas de segundo orden de las funciones siguientes:

f(x, y) = xey + y lnx.(a) f(x, y, z) = xyz + zex.(b)

8.- En los siguientes apartados, calculardf

dtcuando se realiza el cambio de variables indi-

cado, de forma directa y mediante el uso de la regla de la cadena.

f(x, y) = cos(xy), x = e2t, y = e3t.(a)

f(x, y) = ex2+y2 , x = sen t, y = cos t.(b)

f(x, y, z) = x2 + xyz, x = 2 cos t, y = 2sen t, y z = t2.(c)

f(x, y) = lnx+ x2 arc cos y, x = et, y = cos t.(d)

61


9.- Transformar cada ecuacion en derivadas parciales cuando se realiza el cambio de va-

riables indicado.

D1f(x, y) = D2f(x, y), x = (u+ v)/2, y = (u− v)/2.(a)

xD2f(x, y) = yD1f(x, y), x = r cos t, y = r sen t (cambio a polares).(b)

10.- La temperatura en cada punto (x, y) de una placa circular delgada de radio 10 centıme-

tros viene dada por T (x, y) = 100− (x2 + y2). Se pide

(a) Encontrar la direccion en la que la velocidad de variacion de la temperatura en el

punto (4,3) sea lo mas grande posible.

(b) ¿Cuanto vale dicha velocidad?

11.- La cantidad de calor Q desprendida cuando x moleculas de SO4H2 se mezclan con y

moleculas de H2O es Q =ay

bx+ y(a, b constantes positivas).

(a) Hallar el incremento de calor por molecula de agua anadida si la cantidad de acido

es constante.

(b) Idem por molecula de acido anadida si la cantidad de agua es constante.

(c) Si en un momento dado el numero de moleculas de acido es diez veces mayor que

el de agua, hallar la variacion de calor si x aumenta en un 5 por 100, e y aumenta

en un 10 por 100.

12.- Demostrar que una funcion de la forma f(x, t) = f1(x+at)+f2(x−at), donde f1 y f2

son derivables dos veces y a es una constante, es solucion de la ecuacion unidimensional

de ondas, D22f(x, t) = a2D11f(x, t).

13.- Demostrar que la funcion f(x, y) = a log(x2 + y2) + b cumple la ecuacion de Laplace,

es decir, ∆f = D11f(x, y) +D22f(x, y) = 0.

14.- Dadas las funciones: f(x, y) = x3y − xy3, g(x, y) = x2 + y2 − x y h(x, y, z) = xyz3 −4x2y2z, estudiar si son homogeneas y, en su caso, determinar el grado de homogeneidad

y comprobar que se verifica el Teorema de Euler.

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15.- Dada la funcion F (x, y) = x2y − xy2, estudiar si la ecuacion F (x, y) = 0 define a y

como funcion implıcita de x en un entorno del punto (1, 1), y calcular la derivada de

y = y(x) en el punto x = 1.

16.- Dada la funcion F (x, y, z) = x3 +2y2−z2, estudiar si la ecuacion F (x, y, z) = 0 define

a z como funcion implıcita de x, y en un entorno del punto (1, 0, 1), y calcular las

derivadas parciales de z = z(x, y) en el punto (1, 0).

17.- Estudiar si F (x, y, z) = C defina a z como funcion implıcita de x y y en un entorno

del punto P (x0, y0, z0) y, en caso afirmativo, determinar C y calcular las derivadas

parciales de z = z(x, y) en (x0, y0) en los casos:

(a) F (x, y, z) = ln z − x2y

z, P (1, 1, 1)

(b) F (x, y, z) = ln

(10x

y

)+

z

100, P (10, 2, 200)

18.- Calcula los siguientes lımites dobles o demuestra que no existen.

lım(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2.(a) lım

(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2.(b) lım

(x,y)→(0,0)

3x2y

x2 + y2.(c)

lım(x,y)→(0,0)

xy2

x2 + y4(usar y = m

√x).(d) lım

(x,y)→(0,0)

x2

x2 + y2.(e)

lım(x,y)→(5,2)

(x5 + 4x3y − 5xy2

).(f) lım

(x,y)→(0,0)

(x+ y)2

x2 + y2.(g)

lım(x,y)→(0,0)

x2 + xy2

x2 + y2.(h) lım

(x,y)→(0,0)

xy√x2 + y2

.(i) lım(x,y)→(6,3)

xy cos(x−2y).(j)

lım(x,y)→(0,0)

xy + 1

x2 + y2 + 1.(k) lım

(x,y)→(0,0)

2x2y

x4 + y2.(l) lım

(x,y)→(0,0)

x2y2

x2 + y2.(m)

lım(x,y)→(1,2)

5x2y

x2 + y2.(n) lım

(x,y)→(0,0)

5x2y

x2 + y2.(n) lım

(x,y)→(0,0)

(x2 − y2

x2 + y2

)2

.(o)

lım(x,y)→(0,0)

x4 − y2

x4 + y2.(p) lım

(x,y)→(0,0)

x4

x4 + y2.(q) lım

(x,y)→(0,0)

x+ y

x+ cos(x).(r)

lım(x,y)→(0,4)

x√y + x

.(s) lım(x,y)→(0,0)

x2y4

x2 + y4 + (x− y2)2.(t)

lım(x,y)→(0,0)y 6=−x

x− yx+ y

.(u) lım(x,y)→(0,0)

y 6=0

x2 + y

y.(v) lım

(x,y)→(0,0)xy 6=0

xy

|xy|.(w)

lım(x,y)→(0,0)

x 6=0

sen(xy)

x.(x) lım

(x,y)→(0,0)

x2 + y2

x2 + y2 + (x− y)2.(y)

lım(x,y)→(π/2,0)

cos(x(y − 1)) arctan(ln(x+ y)− ln(x− y)).(z)

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