LOS NÚMEROS REALES · 2020. 12. 21. · Los números reales es un conjunto no vacio dotado por dos...

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Equipo de Matemática 5

Los números reales es un conjunto no vacio dotado por dos operaciones

internas, llamadas adición y multiplicación, denotadas por:

ψ (a, b) = a + b

ϕ (a, b) = a . b

y una relación de orden mayor, denotada por “>”.

Propiedades:

El conjunto de los números reales es infinito.

El conjunto de los números reales es denso; es decir que entre dos

números reales hay infinitos números reales

Se les representa gráficamente en una recta denominada recta real,

en la cual están ordenados de izquierda a derecha, de menor a

mayor. Por eso se dice que el conjunto R es ordenado.

A todo punto de la recta real le corresponde un único punto real y a cada

número real le corresponde un solo punto en la recta. Esta característica

nos dice que el conjunto R es completo.

LOS NÚMEROS REALES

¤ Racionales

Enteros¢

Naturales¥

IrracionalesI

2

3

M

ℝ

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1. ADICIÓN DE NÚMEROS REALES

Es la operación que hacen corresponder a cada par (a;b) de números

reales, un tercer número real único que se denota (a + b) y llamado

suma de los reales a y b.

Se escribe: a + b = c

Esto es: (a;b) a + b = c

1.1. Axiomas de la Adición

1.2. Sumas Notables:

a) Suma de los “n” primeros números naturales

b) Suma de los números pares

c) Suma de los números impares

Axiomas Expresión Matemática

Clausura a, b ℝ, a + b ℝ

Conmutativa a + b = b + a

Asociativa a + ( b + c) = ( a + b) + c

Existencia y unicidad del

elemento neutro aditivo 0 ℝ : a + 0 = 0 + a = a


elemento inverso aditivo

∀ “a” ℝ , existe –a ℝ

a + (- a) = (- a ) + a = 0

Cancelativa

Si : a+b+m=m+c a + b = c

n

n(n+1)S =1+2+3+...+n=

2

2nS =2+4+6+....+2n=n(n+1)

22n-1S =1+3+5+1...+(2n-1)=n

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d) Suma de los cuadrados de los “n” primeros números

e) Suma de los cubos de los “n” primeros números

f) Suma de los productos de 2 números consecutivos

2. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS REALES

Dados los números reales a y b se llama diferencia de a y b, y se

denota por a - b , al número real a + (- b)

Es decir: a – b = a + (-b)

MINUENDO – SUSTRAENDO = DIFERENCIA

2.1. Propiedades:

a) S i : M – S = D

M + S + D = 2 M

b ) ( M – x ) – ( S – x ) = D

c ) ( M + x ) – ( S + x ) = D

d ) S i : ab – ba = xy ⇒ x + y = 9

e) Si: abc es un número de tres cifras donde a c ; se

cumple:

a b c

c b a

x y z

y 9

x z 9

22 2 2 2

n

n(n+1)(2n+1)S =1 +2 +3 +...+n =

6

3

23 3 3 3

n

n(n+1)S =1 +2 +3 +...+n =

2

n(n+1)(n+2)S=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=

3

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f) Dado un número de cuatro cifras abcd donde a d ; se

cumple:

a b c d

d c b a

p q r s

18

p q r s ó

27

2.2. COMPLEMENTO ARITMÉTICO:

Sea N un número de “n” cifras entonces su complemento será:

Cuando se halla el CA de un número en otro sistema de

numeración, las expresiones son similares.

Observación:

Si: “d” es diferente de cero:

CA abcd 9 a 9 b 9 c 10 d

{{ (8) (8)87

CA 5342 7 0 243510

3. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES

Se llama multiplicación a la operación que hace corresponder a cada

par (a;b) de números reales, un tercer número real único que se

denota por a.b y que se llama producto de los reales a y b

Se escribe: a x b = c a.b = c ab = c

nCA N 10 N

n

(b) (b)CA N 10 N

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3.1. Axiomas de la Multiplicación

Axiomas Expresión Matemática

Clausura a, b ℝ; a . b ℝ

Conmutativa a, b ℝ , a . b = b . a

Asociativa a, b, c ℝ a.(b.c)=(a.b).c


elemento neutro multiplicativo a ℝ, 1 ℝ: a.1=1.a=a

Elemento absorbente a ℝ , a . 0 = 0 . a


elemento inverso multiplicativo a ℝ, a. -1a = 1; si a 0

Distributiva a, b, c ℝ,

a(b+c)=a.b+a.c

4. DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES

Tal como sucede en los números racionales Q, el cociente de dos

números reales es un número real, siempre que el divisor sea

diferente de cero.

Dada la siguiente división

D d

r q

Donde:

D: dividendo d: divisor q: cociente r: residuo

4.1. División Exacta

D d q

residuo 0

aa ; b ;b 0 ; ( )

b ¡ ¡ ¡

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D d

0 q

a) Alteraciones del cociente

Si al dividendo de una división exacta se le multiplica (o

divide) por un valor entero, el cociente queda

multiplicado (o dividido) por el mismo valor entero.

EJEMPLO

20 5

0 4

Si al divisor de una división exacta, se le multiplica (o

divide) por un valor entero el cociente queda dividido (o

multiplicado) por el mismo valor entero.

EJEMPLO

40 5

0 8

b) Inestabilidad del Cociente

Si al dividendo y al divisor de una división exacta se les

multiplica (o divide) por un mismo valor entero, el cociente

no varía.

EJEMPLO

40 5

0 8

4.2. División Inexacta o Euclidiana

a) Inexacta por Defecto

b) Inexacta por Exceso

20(5) 5

0 4(5)

40 5(2)

0 8 : 2

40(2) 5(2)

0 8

D d

r q

D d q r

0 r d

e

D d

r q 1

e

e

D d q 1 r

0 r d

D = d x q

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c) Propiedades:

er r d

r d

maxr d 1

mínr 1

d) Alteraciones de la División Inexacta

Por multiplicación de unidades al Dividendo

Alterando el Divisor

Si se multiplica al dividendo y al divisor por un mismo

valor, el cociente no varía y el residuo queda

multiplicado por el mismo valor.

EJEMPLO

50 6

2 8

Alterando el Cociente

Si se multiplica al dividendo y al cociente por un mismo

valor, el residuo queda multiplicado por dicho valor.

Pero se señala las mismas observaciones que en el

caso por adición.

20 3

2 6

Ejemplo:

Calcular la cantidad total de números enteros los cuales al ser

divididos entre 31, producen un resto triple que el cociente

corresponde.

Resolución

Sea “N” uno de dichos números:

N = 31q + 3q

N = 34q

Además, sabemos: resto < divisor q 3 31

q 31/3 q 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

Cantidad de valores =10

50(2) 6(2)

2(2) 8

20(5) 3

2(5) 6(5)

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5. POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES

Es aquella operación que consiste en multiplicar un número por si

mismo varias veces.

1 4 4 44 2 4 4 4 43n

"n" factores

a =a . a . a . a . a . a ...a =P

Teorema Fundamental

Para que un número entero positivo sea una potencia perfecta de

grado “n”; es condición necesaria y suficiente que todos los

exponentes de los factores primos en su descomposición canónica

sean múltiplos de “n”.

CASOS PARTICULARES

4.1. Cuadrado Perfecto (K2)

Si en su descomposición canónica, los factores primos, están

elevados a exponentes múltiplos de dos.

Donde:

A, B, C, …: factores primos

, , ,...: múltiplos de 2

Características de Exclusión de Cuadrados Perfectos

Si un número termina en: 2; 3; 7 u 8 no puede ser cuadrado

perfecto.

Para que un número, que termina en cero, pueda ser

cuadrado perfecto deberá terminar en una cantidad par de

ceros.

Para que un número que termina en cinco, pueda ser

cuadrado perfecto su cifra de decenas debe ser de dos y su

cifra de centenas 0,2 ó 6.

Si un número es múltiplo de un factor primo; para que pueda

ser cuadrado perfecto deberá ser también múltiplo del

cuadrado de dicho módulo.

N A B C ...

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4.2. Cubo Perfecto (K3)

Si en su descomposición canónica los factores primos, están

elevados a exponentes múltiplos de 3.

Donde:

A, B, C, …: factores primos

, , , ...: múltiplos de 3

Características de exclusión de cubos perfectos

Para que un número que termina en 5, pueda ser cubo

perfecto su cifra de decenas debe ser 2 ó 7.

Para que un número que acabe en cero pueda ser cubo

perfecto debe terminar en una cantidad de ceros múltiplo de 3

Si un número es múltiplo de un factor primo para que pueda

ser cubo perfecto deberá ser también múltiplo del cubo de

dicho factor.

Para que un número pueda ser cubo perfecto debe ser:

o3

k 9 ó

o3

k 9 1

Importante:

Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra.

Un cuadrado perfecto puede terminar en 0,1,4,5,6,9.

Para que un número sea cuadrado y cubo a la vez de ser:

6

N k

6. RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES

Operación matemática inversa a la potenciación, que consiste en que

dados dos números llamados índice y radicando, se calcula un tercer

número llamado raíz, donde este último elevado al índice reproduzca

el radicando.

En general

Donde:

N: es el radicando n: es el índice k: es la raíz “n-ésima”

N A B C ...

nk N n

N k

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6.1. Raíz Cuadrada

a) Raíz Cuadrada Exacta ( R 0 )

En general:

N k

0

2N k

b) Raíz Cuadrada Inexacta ( R 0 )

Se calcula de dos maneras:

Por Defecto:

En general:

d

N k

R 2

dN k R

Condición: d0 R 2k 1

Por Exceso:

En general:

e

N k 1

R

2

eN k 1 R

Propiedades:

d eR R 2k 1

máximoR 2k

mínimoR 1

6.2. Raíz Cúbica

a) Raíz Cúbica Exacta ( R 0 )

En general:

3 N k

0

3N k

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b) Raíz Cúbica Inexacta ( R 0 )

Se calcula de dos maneras:

Por Defecto:

En general:

3

d

N k

R 3

dN k R

Condición: d0 R 3k(k 1) 1

Por Exceso:

En general:

3

e

N k 1

R

3

eN k 1 R

Propiedades:

d eR R 3k k 1 1

máximoR 3k(k 1)

mínimoR 1

PROGRESIONES

Es un conjunto de números que aparecen ordenados, en forma general

una sucesión numérica se escribe así:

1 2 3 ka , a , a , a ,

1. PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Son aquellas sucesiones en la que se cumple que cualquier término,

después del primero es igual al anterior más una cantidad constante

llamada razón o diferencia

1.1. Notación de una Progresión Aritmética

1 2 3 n-1 na , a , a ,..., a ,a

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O también

De donde:

1a Primer término

na Término de lugar “n” ó último término

r Razón o diferencia

n Número de términos

S Suma de términos

1.2. Propiedades:

a) Un término cualquiera de una P.A.:

b) El primer término de una P.A.:

c) La razón o diferencia de una P.A.:

d) El número de términos de una P.A.:

e) El término central de una P.A.:

n 1a = a + n-1 r

1 na = a - n-1 r

n 1a - ar =

n - 1

n 1a - an = +1

r

1 na + aTc =

2

1 1 1 1 1a , a .r, a 2r, a . n 2 r,a n 1 r

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f) La suma de los “n” primeros términos de una P.A.:

1.3. Medios Aritméticos o Medios Diferenciales de una P.A.:

Son los términos de una P.A. comprendido entre sus extremos.

La razón de interpolación

2. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Es una sucesión de números, en la que cada término siguiente es

igual al término anterior multiplicado por una constante llamada razón

de la progresión.

2.1. Notación de una Progresión Geométrica:

O también

De donde:

1t Primer termino

nt Termino de lugar “n” o último termino

1 2 3 n 1 na , a , a , ...... , a , a

"n" términos

"m" medios aritméticos

1 na + aS = × n

2

n 1a - ar =

m + 1

1 2 3 n-1 nt , t , t , ...... , t , t

2 n 2 n 11 1 1 1 1t , t .q , t .q , ... , t q , t .q

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qRazón

n Número de términos

S Suma de términos

P Producto de términos

2.2. Propiedad:

a) Un término cualquiera de una P.G.

b) El primer término de una P.G.

c) La razón de una P.G.

d) El producto de los términos de una P.G.

e) La suma de los “n” primeros términos de una P.G.

f) Suma de los términos de una P.G. decreciente ilimitada:

n-1n 1t = t × q

n1 n-1

tt =

q

nn-1

1

tq =

t

n

n-1

tq =

t

n

1 nP = t ×t

n 1t ×q-tS =

q-1

1tS=1-q

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2.3. Medios Geométricos o Medios Proporcionales de una P.G.

Son los términos de una P.G. comprendidos entre sus extremos:

la razón de interpolación:

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Si: C.A. 1ab + C.A 2ab + C.A. 3ab +...+ C.A. 9ab = 41ab El valor de

ba es:

A) 1 B) 6 C) 8 D) 10 E) 4

Resolución

Por dato se tiene:

CA 1ab +CA 2ab +...+CA 9ab = 41ab

3 3 310 -1ab + 10 -2ab +...+ 10 -9ab = 41ab

39×10 - 1ab+2ab+...+9ab = 4100+ab

3 1ab+9ab9×10 - ×9 = 4100+ab

2

9000- 500+ab ×9 = 4100+ab

a + b = 4

CLAVE : E

1 2 3 n 1 nt , t , t , ...... , t , t

"m" medios geométricos

"n" términos

400 10 ab ab 40

nm+1

1

tq =

t

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2. Si en una división, el residuo por exceso, residuo por defecto, divisor y

cociente son números pares consecutivos. El valor del dividendo es:

A) 25 B) 52 C) 48 D) 60 E) 56

Resolución

Al ser pares consecutivos, entonces cada uno es igual al anterior

incrementado en 2 unidades.

eR =N ; dR =N+2 ; d=N+4 ; q=N+6

Sabemos que:

R + R = de d

N+2 + N = N+4 N=2

R = 2e ; R =4d ; d = 8 ; q=8

D = 6 8 + 4 = 52

CLAVE: B

3. La suma de 3 números en P.A. es 15, si a estos números se agregan el doble de la razón excepto al término central entonces ahora se encontrarán en P.G. indicar la razón de esta última progresión.

A) 20

3 B) -3 C) 5 D)

10

3 E)

5

3

Resolución

Sea la progresión aritmética: a - r, a, a + r

La suma de los términos es: 3a = 15 ⟹ a = 5

Por condición

5 – r, 5, 5 + r

5+r, 5, 5+ 3r P.G.

La razón es: 5 5 3r

5 r 5

⟺ 25 5 r 5 3r

225 25 20r 3r

23r 20r

20r

3

CLAVE: A

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4. Al extraer la raíz cúbica de abc se obtuvo como residuo por exceso

259 y por residuo por defecto 12. El valor de a x b es:

A) 14 B) 15 C) 18 D) 28 E) 56

Resolución

Por raíz cúbica sabemos:

d eR +R =3k k+1 +1

271=3 k k+1 +1

Resolviendo:

9 = k

3 3M=K +12=9 +12=741=abc

a = 7; b = 4; c = 1

a x b = 28 CLAVE: D

5. La cantidad de números de cuadrados perfectos de la forma 13 -4o

que

se encuentran entre 924 y 5960 es:

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

Resolución

Sea el número: 2N=K y 0

N=13 -4

2924<K < 5960

30,3<K<77,2

K = 31; 32; 33;…….; 77.

02N=13 -4=K

0213 -13=K -9

Hay 7 números.

CLAVE: D

eR 259

dR 12271

0

13 K 3 K 3

0

13 3 42,55,68

0

13 3 36,49,62,75

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