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HOJA DE PROBLEMAS Nº- 4 LEY DE GAUSS

1) Calcula el flujo del campo eléctrico E:

a) que atraviesa la caja triangular cerrada. b) que atraviesa la superficie parabólica.

c) que atraviesa una esfera de radio R situada a una distancia

d de una línea infinita con una densidad de carga lineal λ.

Considera los casos en que R ≤ d y R > d.

d) que atraviesa una caja de lado L, y es debido al campo

creado por una carga puntual Q colocada en su centro más

seis cargas puntuales q, idénticas entre sí, colocadas de

forma simétrica respecto a Q, y a una distancia de ésta menor

que L.

2) Encontrar el flujo neto de campo E que atraviesa el cubo de lado L =

1.4 m, que se muestra en la figura, cuando el campo E viene dado

por:

a) 3.0 y=E j

b) 4.0 (6.0 3.0 ) y= − + +E i j . c) ¿Qué carga encierra el cubo en cada uno de los casos

anteriores? Nota: las unidades son[E]= N/m e [y]= m

z

x

y

2

3) Obtener las expresiones del campo eléctrico E, en todas las regiones del espacio, con r >

0, debido a las siguientes distribuciones de carga. Hacer un gráfico de la dependencia de E

con la distancia y dibujar las líneas de campo eléctrico.

a) Una esfera aislante de radio r = a, que tiene una carga Q >0

distribuida uniformemente en su volumen. Escribir las

expresiones en función de la densidad de carga de volumen

ρ0.

b) Un cascarón esférico de radio r = a, con una carga Q > 0

distribuida uniformemente en su superficie. Escribir las

expresiones en función de la densidad de carga superficial σ0.

c) Una línea infinita cargada positivamente, con densidad de carga

lineal λ0.

d) Un plano aislante infinito cargado positivamente, con una densidad de carga superficial

σ > 0. Si colocásemos un segundo plano con una densidad de carga σ < 0 paralelo y a

una distancia d del primero, ¿cómo se modificarían los valores de E en el espacio

circundante a ambos planos y entre éstos?

Nota: Las densidades superficiales de carga en el caso de los dos planos son las mismas

pero de signo contrario, es decir, σσσ == −+ .

σ0

λ0

3

4) El sistema mostrado en la figura está formado por: 1) una línea infinita con densidad lineal

de carga constante, λ0= - 1 nC/m, paralela al eje Z y que pasa por el punto (-2,0,0), y 2)

una esfera de radio a = 0.2 m, cuyo centro se encuentra en el punto (2,0,0), y que tiene una

densidad de carga de volumen constante ρ0 = 10 nC/m3. En estas condiciones:

a) ¿cuánto vale el campo eléctrico en los

puntos del eje Z?

b) ¿qué densidad de carga debe tener la

esfera para que el campo eléctrico se

anule en el origen?

Nota: Las coordenadas están dadas en metros.

5) El campo eléctrico justo encima de la superficie terrestre es constante en módulo, E= 150

N/C, y está dirigido hacia el centro de la Tierra en cada punto.

a) Determinar cuál es la carga de la Tierra.

b) Si la carga está uniformemente distribuida en la esfera terrestre y consideramos una

esfera concéntrica en su interior, con radio RT/2, ¿cuál será la carga encerrada por esta

esfera?

c) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico en la superficie de la esfera de radio RT/2?

Dato: RT = 6370 km

6) Sobre una corteza cilíndrica de longitud infinita y radio R1

se deposita una densidad de carga superficial uniforme

σ1. Sobre una segunda corteza cilíndrica, concéntrica

con la anterior, y de radio R2 (R2 > R1) se deposita una

densidad de carga superficial uniforme σ2.

a) Calcular el campo eléctrico en cualquier punto del

espacio.

b) Calcular la relación entre las densidades de carga

para que el campo eléctrico en la región r > R2 sea

igual a cero.

4

7) Dada una carga puntual q = - 1 nC, colocada en el centro de una esfera de radio 10 cm y

que posee una distribución superficial de carga de densidad σ = 1 nC/m2,

a) calcular el campo eléctrico y el potencial en todos los puntos del espacio, con r > 0.

b) Si situamos un electrón a 50 cm de la carga puntual, ¿cuál será su velocidad cuando

se encuentre un punto muy alejado?

Nota: el cálculo del potencial y el solución del apartado b) se realizarán después de

estudiar el tema de potencial.

8) En un cilindro infinito de radio r = R como el que se

muestra en la figura tiene una densidad de carga de

volumen ρ0 Calcular el valor del campo eléctrico en

cualquier punto del espacio con r >0.

Soluciones

1)

a) ΦE= 0 b) ΦE= E0πr2 c) ΦE=0 si R ≤ d y ΦE=0

222ε

λ dR −si R > d

d) ΦE=066

εqQ −

2)

a) ΦE = 8.2 Nm2/C b) ΦE = 8.2 Nm2/C c) q =72.3 pC 3)

a) CNarrr

aQ

arr

ar

Q

/ , ˆ

3 ˆ

4

, ˆ13

ˆ 14

0

03

0

20

30

20

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<⇔

≥⇔=

rr

rrE

ερ

πε

ερ

πε

b) CNar

arr

ar

Q/

,ˆ 0

,ˆ 1 ˆ 14 2

0

20

20

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥⇔=

r

rrE ε

σπε

5

c) 0 ,/ ˆ2 0

0 >= rCNr

rEπελ

d) CNz

z/

0 2

0 ,2

0

0

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−

>

=k

kE

εσ

εσ

CN

z

dzd

z

/

0 0

22 ,

0 ,0

0

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

−>>−

>

=

k

k

k

Eεσ

4)

a) CNz

zz

/ )4(

39)4(

62/32

0

02/32

0

kiE+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−

= ; b) ρ = - 120 nC/m3

5) a) QT = -6.77×105 C b) Q = - 8.46×104 C c) E= 75 N/C 6)

a) CN

r

r/

Rr ,RR

RrR ,RR r ,0

E

20

2211

210

11

1

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>+

≤<

<

=

εσσ

εσ , b) ;

1

2

2

1

RR

−=σσ

7)

a) CN

r

r/

Rr ,4

1074.8

R r ,4

10

20

10

20

9

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>×−

<−

=−

−

r

rE

πε

πε V

r

r

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>×−

<−

=−

−

Rr ,4

1074.8

R r ,4103.11

V

0

100

9

πε

πε

b) v=2.3×106 m/s

8)

CN

rR

r

/Rr ,

2

R r ,2

0

20

0

0

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

<

=r

rE

ερ

ερ