UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

ELECTROSTATICA:Flujo Eléctrico y la Ley de Gauss

FFACULTAD DEACULTAD DE I INGENIERIANGENIERIA

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE FISICA

M.Sc. Norbil H. Tejada CamposM.Sc. Norbil H. Tejada Campos

07/04/2307/04/23 22

1.1. Flujo de un Campo Vectorial:

SS

NV dSVdSuV cos

Análisis:

a) Si: π/2 > θ ≥ 0; Φ(+) Saliente.

b) Si: π ≥ θ > π/2; Φ(-) Entrante.

c) Si: θ = π/2 ; Φ es nulo.

Si la superficie “S” es cerrada:

(esfera, elipsoide, cilindro, etc.)

SS

NV dSVdSuV cos

S

V SdV

Ley de Gauss:

Fig. Flujo de un campo vectorial a través de una

seperficie

1. FLUJO ELECTRICO Y LEY DE GAUSS

07/04/2307/04/23 33

1.2. Flujo de un Campo Eléctrico:

SS

NE dSEdSuE cos S

E SdE

Ley de Gauss:

Carga eléctrica puntual: (encerrada por una superficie arbitraria “S”)

S

e

S

eE qdKrdS

qK 2

cos

441qdqK

oS

eE

oE

q

1. FLUJO ELECTRICO Y LEY DE GAUSS

07/04/2307/04/23 44

1.3. Ley de Gauss para el campo eléctrico:

El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada o gaussiana, que encierra una carga neta, distribución continua o discontinua, es:

oo

1

1o

1

neta

n

iin

iiE

Qq

q

1. FLUJO ELECTRICO Y LEY DE GAUSS

07/04/2307/04/23 55

2. APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS:

1. Carga eléctrica puntual.- Ley de Coulomb:

+q

rE

ruS

+q rsd

E

Superficie gaussiana (cascarón esférico)

S Cálculo directo:

SS

E EdSSdE º0cos

Ley de Gauss:

oE

q

S

E rEdSE 24 . . . . . (1)

. . . . . (2)

De donde tenemos:

24 rq

Eo

r

o

urq

E 24

Así tenemos que: la fuerza sobre una carga puntual “q/ ”, a “r” de distancia de la carga “q”, será:

ro

ur

qqEqF

2

//

4

07/04/2307/04/23 66

2. Esfera: Distribución uniforme de carga:

Cálculo directo:

SS

E EdSSdE º0cos

a) Para: r>R (S1 superficie gaussiana: S1=4πr2):

ooE

RQ

3

4 3

S

E rEdSE 24 . . . . . (a)

. . . . . (b)

De donde tenemos:

ro

ro

urR

ur

QrE

2

3

2 34)(

Así tenemos que: el campo eléctrico producido por una esfera cargada “+Q”, en puntos fuera de ella, es igual al que produciría si toda la carga estuviera concentrada en su centro.

+ρr

E

NuS

1

R

07/04/2307/04/23 77

Cálculo directo:

SS

E EdSSdE º0cos

b) Para: r<R (S2 superficie gaussiana: S2=4πr2):

oooE

rQ

RrQ

341 3

3

3/

S

E rEdSE 24 . . . . . (a)

. . . . . (b)

De donde tenemos:

ro

ro

ur

uR

QrrE

34)( 3

ANALISIS:

+ρ

S2

R

r

1. Si, r = R (en el borde de la esfera):2. Si, r = 0 (en el centro de la esfera):

ro

ro

uR

uR

QrE

34)( 2

0)(

rE

2. Esfera: Distribución uniforme de carga:

07/04/2307/04/23 88

b) Para: r<R r

or

o

ur

uR

QrrE

34)( 3

ro

ro

urR

ur

QrE

2

3

2 34)(

a) Para:

r>R+ρ

S2

R

r

S1

r

0 R

o

R3

r

E(r)

rE 2/1 rE

2. Esfera: Distribución uniforme de carga:

07/04/2307/04/23 99

b) Para: r<R

32

)(2

2 rRrV

o

rR

rVo

3

)(3

a) Para: r>R

+ρ

S2

R

r

S1

r

0 R

o

R

3

2

r

V(r)

o

R

2

2

2. Esfera: Distribución uniforme de carga:

07/04/2307/04/23 1010

a) Para: r>R (S1 superficie gaussiana: S1=4πr2):

ro

ur

QrE

24)(

3. Esfera Conductora: Distribución uniforme de carga:

+σ rE

NuS

1

R

S2

b) Para: r<R (S2 superficie gaussiana: S2=4πr2):

rurE 00)(

0 R

24 RQ

o

r

E(r)

2/1 rE

07/04/2307/04/23 1111

a) Para: r>R r

QrV

o4)(

3. Esfera Conductora: Distribución uniforme de carga:

b) Para: r<R

0 R

R

Q

o4

r

V(r)

2/1 rV

RQ

rVo4

)(

+σ r

S1

R

S2

r

07/04/2307/04/23 1212

4. Línea infinita: Distribución lineal uniforme de carga:

Cálculo directo:

SS

E EdSSdE º0cos

ooE

hQ

S

E rhEdSE 2 . . . . . (a)

. . . . . (b)

De donde tenemos:

ro

ro

ur

urh

QrE

22)(

Ley de Gauss (S superficie gaussiana: S=2πrh):

rr

Lnrr

Lnh

QrV o

o

o

o

22)(

rλ

E

Nu

hQ

h

S

07/04/2307/04/23 1313

5. Cilindro: Distribución volumétrica uniforme de carga:

Cálculo directo:

SS

E EdSSdE º0cos

ooE

LRQ

2

S

E rLEdSE 2 . . . . . (a)

. . . . . (b)

De donde tenemos:

ro

ro

ur

Ru

rLQ

E

22

2

a) Para: r>R (S1 superficie gaussiana: S1=2πrL):

ANALISIS:1. Si, r = R (en la superficie del cilindro):

ro

ro

uR

uRLQ

E

22

R

S1

rρ

E

Nu

L

LRVQ 2

07/04/2307/04/23 1414

Cálculo directo:

SS

E EdSSdE º0cos

2

2/

R

QrQ

ooE

S

E rLEdSE 2 . . . . . (a)

. . . . . (b)

De donde tenemos:

ro

ro

ur

uLR

QrE

22 2

R

S2

rρ

E

Nu

Lb) Para: r<R (S2 superficie gaussiana: S2=2πrL):

ANALISIS:1. Si, r = R (en la superficie del cilindro):

ro

ro

uR

uRLQ

E

22

LRVQ 2

ruE 00

2. Si, r = 0 (en el mismo eje principal del cilindro):

5. Cilindro: Distribución volumétrica uniforme de carga:

07/04/2307/04/23 1515

ro

ro

ur

uLR

QrE

22 2

b) Para: r<R

R

S2

rρ

E

Nu

L

S1

a) Para: r>R

ro

ro

ur

Ru

rLQ

E

22

2

0 R

o

R2

r

E(r)

rE rE /1

5. Cilindro: Distribución volumétrica uniforme de carga:

07/04/2307/04/23 1616

6. Plano infinito: Distribución superficial uniforme de carga:

aESdES

E 2

ooE

aQ

. . . . . (a)

. . . . . (b)

Ley de Gauss (S superficie gaussiana: S=2πrh):

Cálculo directo:

De donde tenemos:

No

No

uua

QrE

22)(

σ

aQ

S

E

Nu

lu

Nua

lu

E

xxa

QrV

oo

22)(

07/04/2307/04/23 1717

7. Planos paralelos: Distribución superficial uniforme de carga:

a) Región 1:

0)(

rE1

23

aQ

b) Región 2:

ro

ro

uuaQ

rE

)(

a) Región 3:

0)(

rE