Flujo eléctrico

Michael Faraday,(Londres, 22 de(Londres, 22 deseptiembre de 1791 -íd. † 25 de agostode1867) fue un físico yquímico inglés)

Flujo eléctrico ( Φ)

⋅ mN 2rr

⋅⋅=φ ∫ C

mNAdE

2

A

rr

Flujo eléctrico ( Φ)

¿Cuál es el flujo eléctrico a través de las áreas 1 y 2

Flujo eléctrico ( Φ)

θ=θ=⋅=φ ∫∫ cosEAcosEdAAdErr

El flujo a través de las áreas 1 y 2 es el mismo ya que:

12 cos AA =θ

Áreas relacionadas por:

Flujo eléctrico

Considere una cajatriangular con L 1=20[cm] y L 2=15[cm] en uncampo eléctricouniforme

como se muestra enlafigura. Calcule el flujoeléctrico a través de lasuperficie inclinada (A).

×=C

Nj107.3E 4

r

Flujo eléctrico

Solución.

°=αα=⋅=φ ∫∫∫∫ ][30:donde;cosdAEAdE AAA

rr

( )( )

⋅=××=φ

==θ

=

°=αα=⋅=φ ∫∫∫∫

C

mN8.110930cos2309.015.0107.3

]m[2309.030cos

2.0

cos

Lh

][30:donde;cosdAEAdE

24

A

1

AAA

Flujo eléctrico a través de una superficie cerrada.

Flujo eléctrico

Cuando el área de los elementos tiende acero el número de elemento se aproxima ainfinito por lo tanto la suma se convierteinfinito por lo tanto la suma se convierteenuna integral

∫ ⋅=φs

AdErr

Ley de Gauss.

Cuando se obtiene el flujo del campoeléctrico a través de una superficiecerrada que contiene una carga neta, elcerrada que contiene una carga neta, elresultado es:

∫∫ =⋅=0ε

φ Ne

QAdErr

Expresión conocida como ley de Gauss.

Ley de Gauss

La ley de Gauss dice que el flujo eléctrico, através de cualquier superficie gaussiana esigual a la carga neta encerrada enlasuperficie dividida por la permitividadeléctrica del vacio o del aire.

∫ ε

=⋅=φ0

NSE

QSdErr

Ley de Gauss.

Karl Friedrich Gauss (1777–1855) matemático científicoalemánque establecióque elalemánque establecióque elflujo eléctrico neto a travésde cualquier superficiecerrada es igual a la carganeta de la superficie divididapor la permitividad eléctricadel medio.

Ley de Gauss

El contenidode la leyde Gauss surge alconsiderar el flujoeléctrico, que es lamedidadel númerode líneasde campomedidadel númerode líneasde campoeléctrico que atraviesanuna superficie,pero que enla mayoría de los casos esuna superficie cerrada, imaginariadenominada superficie gaussiana.

Flujo eléctrico

El flujo nos permite dibujarconvenientemente el número de líneas querepresentaun campoeléctrico.representaun campoeléctrico.Un factor de escala típico es consideraruna línea por metro cuadrado para unaintensidadde 1 [N/C].

Flujo eléctrico

Si tenemos una carga puntual Q positiva, lamagnitud del vector intensidad de campo enun punto alejado de la carga unradio r 0 es:

al colocar una superficie gaussiana quecontenga ese punto, se puede conocer elnúmero de líneas que atraviesan dichasuperficie

=CN

rQ

kE2

0

Flujo eléctrico

Continuación. Como el campo eléctrico esproporcional al número de líneas queatraviesanel áreade la superficie,atraviesanel áreade la superficie,

π⋅⋅⋅= 4QKNlin

2

0

2

0

linlin

r

Qk

r4

N

A

NE =

⋅π==

Flujo eléctrico

)1416.3)(4)(10141.0(109 99 −××=linN

Sustituyendo datos

)1416.3)(4)(10141.0(109 ××=linN

16=linN

Ley de Gauss

Utilizando los mismos datos del problemaanterior, se tiene ⋅

=×

==φ− mN10212.0Q 29

⋅=

××

=ε

=φ − C

mN95.23

1085.8

10212.0Q12

0

n

Al comparar los dos resultados anteriores, setiene que si el factor de escala es el adecuado,el flujo representará el número de líneas queatraviesanla superficie.

Ley de Gauss

En general el flujo de cualquier campovectorial a través de un elemento desuperficie se define como:

Donde se obtiene como resultado demultiplicar la componente del vectorperpendicular a la superficie por el valor deésta.

AdCdrr

⋅=φ

Ley de Gauss

Cuando se desea evaluar el flujo a través deuna superficie finita, la ecuación anteriorquedará

El flujo a través de una superficie cerradaque contiene una carga neta QNes:

∫∫ ⋅=A

AdCrr

φ

Ley de Gauss

⋅

=⋅= ∫∫mNQ

AdC N2

φrr

Queesla Ley deGauss.

⋅=⋅= ∫∫ C

mNQAdC N

A0ε

φ

Flujo eléctrico

Si una carga

se coloca en origen de un sistema de

][10141.0 9 Cq −×=se coloca en origen de un sistema dereferencia. ¿Cuál es el número de líneasque pasan por una superficie gaussianaesférica de radio r=2[cm] que se coloca demanera concéntrica conla carga?. De larelación

2r

QkE

A

Nlin ==

Flujo eléctrico

haciendo la proporcionalidad de numerode líneas por unidadde área

N

equivalente a la magnitud del campo, setiene

AN lin

2r

QkE

A

Nlin ==

Ley de Gauss.

La ley de Gauss es más convenienteque la de Coulomb para cálculos deque la de Coulomb para cálculos decampos eléctricos de distribuciones decarga altamente simétricos.

Campo eléctrico producido por una línea infinita

Sobre la línea se construye una superficie deGausscilíndrica.Gausscilíndrica.

Campo eléctrico producido por una línea infinita

La integral cerrada puede ser expresadacomotres integralesabiertascomotres integralesabiertas

∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅=⋅ 321 AdEAdEAdEAdErrrrrrrr

Campo eléctrico producido por una línea infinita

En las tapas los vectores formanun ángulode 90[°] por lo que el cosenoseráigual acero,de 90[°] por lo que el cosenoseráigual acero,entonces:

)2(2 hrEdAEAdE π∫∫ ∫∫ ==⋅rr

Campo eléctrico producido por una superficie cargada infinita

Usando la ley de Gauss

Q

0

)2(ε

π NQhrE =

Despejando

rE

λεπ

24

1

0

=

Campo eléctrico producido por una superficie cargada infinita

En la figura se muestra una superficiecargada rodeada de una superficie gaussianacilíndrica.cilíndrica.

Campo eléctrico producido por una superficie cargada infinita

Como el vector área de la superficiecilíndrica forma un ángulo conrespecto a laslíneas de campo de 90 [°], se cancela estalíneas de campo de 90 [°], se cancela estacomponente, teniendo:

∫∫ ∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅ 31 AdEAdEAdErrrrrr

Campo eléctrico producido por una superficie cargada infinita

Como los campos enlas tapas soniguales

∫∫ =⋅+⋅=⋅ EAAEAEAdE 2rr ∫∫ =⋅+⋅=⋅ EAAEAEAdE 231

Aplicando la ley de Gauss.

00

2ε

σε

AQEA N ⋅==

Por lo tanto

02 εσ⋅

=E

Ejemplo de flujo eléctrico

Una secciónde una línea muy larga con

distribución de carga lineal

×= − C910100λdistribución de carga lineal

se envuelve conuna superficie gaussiana enforma de cubo, de lado L=10 [cm].Determine el flujo eléctrico a través de lasuperficie gaussiana.

×=m

10100λ

Ejemplo de flujo eléctrico

. 12

9

00 1085.81.010100

−

−

×××=⋅==

ελ

εφ LQN

00 1085.8 ×εε

⋅=×

×=−

−

C

mN 2

12

8

94.11291085.8

101φ

Campo eléctrico en cilindros y esferas metálicas.

Considerando las definiciones de carga lineal y cargasuperficial se puede demostrar que el campoeléctrico en el exterior de una esfera metálica seeléctrico en el exterior de una esfera metálica sepuede determinar por la expresión de cargapuntual.También el campo en el exterior de un cilindro sepuede obtener por la expresión de una línea.

Bibliografía.

Gabriel A. Jaramillo Morales, Alfonso A. Alvarado Castellanos.Electricidad y magnetismo.Electricidad y magnetismo.Ed. Trillas. México 2003

Sears, Zemansky, Young,FreedmanFísica UniversitariaEd. PEARSON. México 2005