Análisis Matemático IV

Relación 4. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1: Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes series funcio-nales en los conjuntos que se indican

(i) Σ∞n=1

xn

n!e−nx en [0, 1]

Primero, estudiamos si la serie converge puntualmente, es decir, si la serie numérica Σ∞n=1

xn

n!e−nx

converge �jado un x ∈ [0, 1]. Para ello, aplicamos el criterio del cociente:

limx→∞

xn+1

(n+1)!e(n+1)x

xn

n!enx

=x

(n+ 1)ex= 0 < 1, por ser x < ex para todo x, por tanto, tenemos que

la serie es puntualmente convergente en [0, 1]

Ahora, intentamos aplicar el Criterio deWeierstrass, para lo que buscamos la mejor mayorantenumérica. Para conseguirla, estudiamos el crecimiento de fn(x) en [0, 1] :

fn(0) = 0, fn(1) = 1n!en

, f ′n(x) = nxn−1e−nx+(−nxn)e−nxn!

= nxn−1e−nx(1−x)n!

= 0 ⇐⇒ x = 1 luegoel supremo de la función está en fn(1) = 1

n!en. Por tanto, tomamosMn = 1

n!en. Como Σ∞n=1Mn

es convergente (aplicando de nuevo el criterio del conciente), podemos aplicar el criterio de

Weierstrass, obteniendo que Σ∞n=1

xn

n!e−nx es también uniformemente convergente en [0, 1]

(ii) Σ∞n=11

(n2+1)enxen R

Primero, estudiamos si la serie converge puntualmente, es decir, si la serie numérica Σ∞n=1

1

(n2 + 1)enx

converge �jado un x ∈ R. Para ello, aplicamos el criterio de la raíz

limn→∞1

n√

(n2 + 1)enx= limn→∞

1n√

(n2 + 1)ex= limn→∞

1n√n” + 1

limn→∞1

ex= 1

1

ex

luego:

convergente x ∈ (0,∞)

¾? x = 0

no− convergente x ∈ (−∞, 0)

Queda sólo el caso dudoso x = 0, Σ∞n=11

(n2+1)que converge usando el crtierio de comparación

con la serie Σ∞n=11n2

1

Por tanto, la serie converge puntualmente en el intervalo [0,∞)

Ahora, estudiemos si la serie converge uniformemente. Intentaremos utilizar el Criterio deWeierstrass para lo que buscamos la mejor mayorante numérica estudiando el crecimiento defn(x):

fn(0) = 1n2+1

, limn→∞fn(x) = 0, f ′n(x) = −n(n2+1)enx

que es estrictamente decreciente, luego

el supremo es fn(0) = 1n2+1

. Si tomamos Mn = 1n2+1

, cuya serie asociada es convergente

abolutamente por el criterio de comparación con la serie Σ∞n=11n2 , luego aplicando el Criterio

de Weierstrass tenemos que Σ∞n=11

(n2+1)enxconverge uniformemente en [0,∞)

(iii) Σ∞n=11

n2x2 en (0,∞)

Primero, estudiamos si la serie converge puntualmente, es decir, si la serie numérica Σ∞n=11

n2x2

converge �jado un x ∈ (0,∞). Para ello, aplicamos el criterio de comparación por cociente:

limn→∞

1n2x2

1n2

=1

x2> 0 para todo x ∈ (0,∞) con lo que la serie es convergente puntualmente,

ya que Σ∞n=11n2 es también puntualmente convergente.

Ahora, estudiaremos si la serie es absolutamente convergente intentando aplicar el criteriode Weierstrass. Para ello buscamos la mejor mayorante numérica estudiando el crecimientode fn(x):

limn→01

n2x2=∞, limn→∞

1n2x2 = 0, como no es acotada, no se puede aplicar el criterio de

Weierstrass en (0,∞), pero, sin embargo si tomamos el intervalo [a,∞), limn→a1

n2x2=

1

n2a2,

limn→∞1

n2x2 = 0, y f ′n(x) = −2n2x3 que es escrictamente decreciente por lo que el supremo

es fn(0) = 1n2a2

, asi que tomando Mn = 1n2a2

que es absolutamente convergente por lodemostrado anteriormente. Por consiguiente, aplicando el criterio de Weierstrass, se tieneque Σ∞n=1

1n2x2 uniformemente convergente en [a,∞)

(iv) Σ∞n=1nxn en [0, 1)

Primero, estudiamos si la serie converge puntualmente, es decir, si la serie numérica Σ∞n=1nxn

converge �jado un x ∈ [0, 1). Para ello, aplicamos el criterio de la raíz enésima:

limn→∞n√nxn = limn→∞x n

√n = xlimn→∞

n√n = x1 = x < 1 ya que x ∈ [0, 1), luego Σ∞n=1nx

n

es puntualmente convergente en [0, 1).

Ahora estudiemos la convergencia uniforme intentando utilizar el criterio de Weierstrass.Hallamos la mejor mayorante numérica estudiando el crecimiento de fn:

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fn(0) = 0, fn(1) = n, luego, como no está acotada no podemos usar el criterio de Weierstrass.Intentaremos utilizar entonces el criterio de Cauchy:

...

Ejercicio 2: Demostrar que Σ∞n=1sen(nx)

n2 x3 de�ne una función continua.

Para demostrar que la función suma de la serie dada por F (x) = Σ∞n=1sen(nx)

n2 x3 de�ne una

función continua basta con comprobar que las funciones fn(x) = sen(nx)n2 x3 convergen unifor-

memente hacia f . Para ello, vamos a intentar acotar los términos de la sucesión por un Mn

cuya serie sea convergente y, por tanto, se obtenga por el criterio de Weierstrass que la serieinicial es uniformemente convergente.

Como Σ∞n=1sen(nx)

n2 x3 = x3Σ∞n=1sen(nx)

n2 podemos estudiar la convergencia de la serie Σ∞n=1sen(nx)

n2

y después multiplicar por x3. sen(nx)n2 ≤ 1

n2 = Mn, cuya serie es sumable por ser una serie deltipo Σ∞n=1

1nα

con α > 1, luego podemos aplicar el criterio de Weierstrass y así, la serie

Σ∞n=1sen(nx)

n2 x3 es uniformemente convergente, por lo que la función suma de la serie F (x) =

Σ∞n=1sen(nx)

n2 x3 es una función continua.

Ejercicio 3: ¾Es la serie Σ∞n=1x

(1+x)nuniformemente convergente en el intervalo [1, 2]?¾Se

veri�ca que la integral de la suma coincide con la suma de las integrales en [1, 2]?

Primero, aplicamos el criterio de la raíz para intentar demostrar que la serie es puntualmenteconvergente con x ∈ [1, 2]

limn→∞n√x

n√

(1+x)n= 1

1+x= 0 < 1 para todo x ∈ [1, 2], luego es convergente puntualmente.

Ahora, intentaremos ver si es uniformemente convergente. Para ello, intentaremos usar elcriterio de Weierstrass buscando la mejor mayorante numérica, estudiando el crecimiento dela función fn:

fn(1) = 12n, fn(2) = 2

3n, f ′n(x) = (1+x)n−xn(1+x)n−1

(1+x)2n= 0 ⇐⇒ x = 1

n/∈ [1, 2] luego como

fn(x) < 0 con x ∈ [1, 2] es estrictamente decreciente y se obtiene que el supremo de lafunción es fn(1) = 1

2n, que será quien tomemos comoMn. La serie asociada a esta sucesión es

sumable puesto que es una serie geométrica de razón r < 1 con lo que, aplicando el criteriode Weierstrass, se tiene que la serie Σ∞n=1

x(1+x)n

es uniformemente convergente.

Como, además, las funciones fn(x) = x(1+x)n

son integrables por ser continuas en [1, 2], apli-

cando otro teorema podemos asegurar que la función f(x) = Σ∞n=1x

(1+x)nes integrable y que

la suma de las integrales es igual a la integral de la suma.

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Ejercicio 4: Sean a y b dos números reales tales que 0 < a < b. Probar que la funciónF : [a, b]→ R de�nida por F (x) = Σ∞n=1ne

−nx es integrable en [a, b] y calcular∫ b

aF (x)dx

Primero, veamos que es convergente puntualmente usando el criterio de la raíz enésima:

limn→∞n√ne−nx = limn→∞e

−x n√n = 1

ex< 1 ya que a, b ∈ R+y ex > 1, luego usando el

criterio de la raíz enésima la serie es puntualmente convergente.

Veamos ahora si la serie es uniformemente convergente, para ello, usaremos la mejor mayo-rante numérica estudiando el comportamiento de fn(x):

fn(a) = nena, fn(b) = n

enb, f ′n(x) = (−n2)e−nx < 0 por lo que fn es estrictamente decreciente

y con ello se tiene que el supremo es siempre fn(a) = nena

a la que tomaremos como Mn.Además, la serie asociada a esta sucesión es sumable por lo demostrado más arriba (por elcriterio de la raíz enésima) por lo que podemos concluir que la serie inicial es uniformementeconvergente aplicando el criterio de Weierstrass.

Consecuentemente, se tiene que como cada fn es continua y, por tanto, integrable, se tieneque la función suma F (x) = Σ∞n=1ne

−nx es integrable por ser fn uniformemente convergente

y∫ b

aF (x)dx = Σ∞n=1

∫ b

ane−nxdx = Σ∞n=1[−e−nx]ba = Σ∞n=1(−e−nb + e−na)

Ejercicio 5: Determinar el campo de convergencia y la suma de la serie Σ∞n=1x2

(1+x2)n.

Estudiar también si la convergencia es uniforme

Para determinar el intervalo de convergencia de esta serie es su�ciente escribir la serie comox2Σ∞n=1

1(1+x2)n

. Es obvio que la serie que queda dentro es convergente por ser una serie geo-

métrica de razón 1(1+x2)

< 1 para todo x ∈ R− {0}. Pero, para x = 0, se tiene que la serie esuna suma de ceros, con lo que también es convergente puntualmente. En conclusión, la seriex2Σ∞n=1

1(1+x2)n

es convergente puntualmente para todo x ∈ R.

Para estudiar su suma, basta aplicar la fórmula de la suma de una serie de progresión geo-

métrica en el caso de que x 6= 0: x2Σ∞n=11

(1+x2)n= x2

1(1+x2)

1− 1

(1+x2)

= x2 1x2 = 1; y en el caso de que

x = 0, x2Σ∞n=11

(1+x2)n= 0Σ∞n=1

1(1+02)n

= 0.

Ejercicio 6: Demostrar que la serie Σ∞n=11n(x2n − x2n+1) converge uniformemente en [0, 1]

Para intentar demostrar que la serie es convergente, primero, puntualmente, vamos a intentaraplicar el criterio del cociente:

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limn→∞1

n+1(x2n+2−x2n+3)

1n(x2n−x2n+1)

= limn→∞(n)x2n+2(1−x)(n+1)x2n(1−x) = limn→∞

(n)x2

(n+1)= x2 < 1 cuando x ∈ [0, 1)

luego por el criterio del cociente se tiene que la serie es puntualmente convergente con x ∈[0, 1). Si estudiamos el caso dudoso en el que x = 1 se tiene que la serie es una suma deceros con lo que también converge puntualmente a 0. Por tanto, Σ∞n=1

1n(x2n−x2n+1) converge

puntualmente en [0, 1]

Veamos ahora si la serie converge uniformemente y, para ello, intentemos usar el criterio deWeierstrass. Busquemos, pues, la mejor mayorante numérica Mn = sup|fn(x)|. Estudiamosel crecimiento de fn:

fn(0) = 0, fn(1) = 0, f ′n(x) = 1n(2nx2n−1−(2n+1)x2n) = x2n−1

n(2n−(2n+1)x) = 0 ⇐⇒ x =

2n2n+1

, por tanto existe un máximo en fn( 2n2n+1

) = 1n(( 2n

2n+1)2n − ( 2n

2n+1)2n+1) = 1

n( 2n2n+1

)2n(1 −( 2n2n+1

)) = 1n

(2n)2n

(2n+1)2n+1 que tomaremos como Mn. Veamos si la serie asociada a este Mn esconvergente. Si usamos el criterio de comparación, tenemos que:

Mn = 1n

(2n)2n

(2n+1)2n+1 ≤ (2n)2n

(2n+1)2n+1 ≤ (2n)2n

(2n+1)2n. Esta última es una subsucesión de la sucesión de

la progresión geométrica (2n)n

(2n+1)nque tiene razón r = 2n

2n+1< 1, ya que n > 0 y por tanto la

serie geométrica asociada también converge. Por tanto, aplicando el criterio de Weierstrass a

la serie Σ∞n=11n(x2n−x2n+1) con Mn = 1

n(2n)2n−1

(2n+1)2nse obtiene que es absolutamente convergente

en el intervalo [0, 1]

Ejercicio 7: Demostrar que la función F (x) = Σ∞n=1sen(nx)

n3 es derivable en todo punto

Primero estudiamos la convergencia uniforme de fn(x) = sen(nx)n3 . Esta función es fácilmente

acotable dado que posee la función seno en el numerador. Por tanto, si tomamos fn(x) =sen(nx)

n3 ≤ 1n3 = Mn y aplicamos el criterio de Weierstrass, dado que la serie Σ∞n=1

1n3 es sumable

porque es una serie del tipo Σ∞n=11nα

con α > 1, se obtiene que la convergencia de fn a Fes uniforme en todo punto x ∈ R. Por tanto, también existe una convergencia puntual de laserie en todo R.

Seguidamente, estudiamos si existe convergencia uniforme de la serie Σ∞n=1f′n. Para ello, co-

menzamos calculando f ′n(x) = ncos(nx)n2 = cos(nx)

n2 , por lo que es fácl ver que existe convergencia,

no sólo puntual, sino uniforme en la serie funcional ya que Σ∞n=1cos(nx)

n2 ≤ Σ∞n=11n2 = Mn, que

es sumable porque es una serie del tipo Σ∞n=11nα

con α > 1, con lo que aplicando el criteriode Weierstrass, se obitene la convergencia uniforme en R.

Además, se tiene que las funciones fn ∈ C1(R).

Por tanto, se cumplen las hipotesis de un teorema que asegura que, entonces F (x) = Σ∞n=1sen(nx)

n3

no es sólo derivable, sino que es de clase 1 en todo punto donde existan las convergencias, esdecir, en nuestro caso, todo R

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