Límite de una sucesión

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Límite de una sucesión Límite finito Se dice que una sucesión a n tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término a k , a partir del cual todos los términos de a n , siguientes a a k cumplen que |a n −L| < ε. También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos : Se dice que una sucesión a n tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno. Límite infinito Se dice que una sucesión a n tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término a k , a partir del cual todos los términos de a n , siguientes a a k cumplen que a n > M. Se dice que una sucesión a n tiene por límite − ∞ cuando para toda N >0 existe un término a k , a partir del cual todos los términos de a n , siguientes a a k cumplen que a n < −N. Sucesiones convergentes Son las que tienen límite finito. Sucesiones divergentes

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Lmite de una sucesinLmite finitoSe dice que una sucesin an tiene por lmite L si y slo si para cualquiera nmero positivo que tomemos, existe un trmino ak, a partir del cual todos los trminos de an, siguientes a ak cumplen que |anL| < .

Tambin podemos definir el lmite de una sucesin mediante entornos: Se dice que una sucesin an tiene por lmite L si y slo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeo que sea su radio , existe un trmino de la sucesin, a partir del cual, los siguientes trminos pertenecen a dicho entorno.

Lmite infinitoSe dice que una sucesin an tiene por lmite + cuando para toda M>0 existe un trmino ak, a partir del cual todos los trminos de an, siguientes a ak cumplen que an> M.

Se dice que una sucesin an tiene por lmite cuando para toda N >0 existe un trmino ak, a partir del cual todos los trminos de an, siguientes a ak cumplen que an < N.

Sucesiones convergentes Son las que tienen lmite finito. Sucesiones divergentes Son las que tienen lmite infinito (+ ). Sucesiones oscilantes No son convergentes ni divergentes. Sus trminos alternan de mayor a menor o viceversa. 1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...

Sucesiones alternadas Son aquellas que alternan los signos de sus trminos.

Propiedades de los lmites1 El lmite si existe es nico. 2 Si una sucesin an tiene lmite, todas las subsucesiones tienen el mismmo lmite que an. 3 Todas las sucesiones convergentes estn acotadas. 4 Hay sucesiones acotadas que no son convergentes. 5 Todas las sucesiones montonas y acotadas son convergentes. 6 Hay sucesiones convergentes que no son montonas.

InfinitsimosUna sucesin an es un infinitsimo si tiene por lmite cero. Propiedades: 1 La suma de dos infinitsimos es un infinitsimo. 2 El producto de un infinitsimo por una sucesin acotada es un infinitsimo. 3 El producto de infinitsimos es un infinitsimo. 4 El producto de una constante por un infinitsimo es un infinitsimo. 5 Si una sucesin an converge a L, la sucesin (an L) es un infinitsimo. 6 Si una sucesin an es divergente, su inversa es un infinitsimo.

Operaciones con lmiteslim (an + bn) = lim (an) + lim (bn) lim (an bn) = lim (an) lim (bn) lim (an bn) = lim (an) lim (bn)

lim k an =k lim an

lim ank = (lim an)k lim loga an = loga lim an Al aplicarse estas propiedades pueden presentarse estos casos:

Estudio de las indeterminacionesInfinito partido infinito

Se dividen todos los sumandos por la potencia de mayor exponente. Regla prctica 1 Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el lmite es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.

2 Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el limite es , dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.

3 Si el denominador tiene mayor grado el lmite es 0.

Infinito menos infinito

1. Sucesin entera.Se saca factor comn de la potencia de mayor exponente. Regla prctica: El lmite es , dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.

2. Sucesiones racionales.

Ponemos a comn denominador, y si obtenemos

resolvemos la indeterminacin.

3. Sucesiones irracionales.Multiplicamos y dividimos por el conjugado.

Cero por infinito

Se transforma a

.

Cero patido por cero

Se transforma a

Uno elevado a infinito

Se resuelve transformando la expresin en una potencia del nmero e .

1er Mtodo

2 Mtodo

Ejercicios resueltos de lmites de sucesiones 1Demuestra que la sucesin distancia a 2 es menor que 0.1. tiene lmite 2. Averigua los trminos cuya

A partir de a41 la distancia a 2 ser menor que una decima.

Ejercicios resueltos de lmites de sucesiones 2

Probar que la sucesin 0.001).

tiene por limite 4 y averiguar cuntos trminos de la sucesin estn fuera del entorno (4 - 0.001, 4 +

Quedan fuera del entorno los mil primeros trminos de la sucesin.

Ejercicios resueltos de lmites de sucesiones 3

Demuestra que la sucesin

tiene por limite 1 y averiguar cuntos trminos de la sucesin estn fuera del E (1 , 0.001).

Los primeros 54 trminos quedan fuera del entorno.

Ejercicios resueltos de lmites de sucesiones

4

Probar que

. Averigua los trminos cuya distancia al lmite es menor que 0.01.

A partir de a219 la distancia al lmite ser menor que una centsima.

Ejercicios resueltos de lmites de sucesiones 5

Demuestra que la sucesin

tiene por limite +. Y calcula cuntos trminos de la sucesin son menores que un milln.

No llegan al milln los 1999 primeros trminos de la sucesin.

Ejercicios resueltos de lmites de sucesiones 6

2 Demuestra que la sucesin an= n tiene por limite . Y calcula a partir de que trmino la sucesin toma valores menores que -10 000. 2 Vamos a comprobar que el lmite de la sucesin an= n es .

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Si tomamos N= 10 000, su raz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superar a 10 000. 2 a101= 101 = 10 201

Ejercicios resueltos de lmites de sucesiones 7Calcular los lmites:

1

2

3

4

5

Ejercicios resueltos de lmites de sucesiones 8Hallar los lmites:

5

6

7

Ejercicios resueltos de lmites de sucesiones 9Calcula los siguientes lmites.

1

2

3

4

5

Ejercicios resueltos de lmites de sucesiones 10Hallar los lmites:

1

2

Se transforma a

2

3

Ejercicios resueltos de lmites de sucesiones 11Calcula los siguientes lmites.

1

2

3

4

5

6

7

8

Ejercicios resueltos de lmites de sucesiones 12Calcula los siguientes lmites.

1

2

2

Ejercicios resueltos de lmites de sucesiones 13Hallar los lmites:

1

2

Ejercicios resueltos de lmites de sucesiones 14

1

2