Límite de una sucesión

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Límite de una sucesión Límite finito Se dice que una sucesión a n tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término a k , a partir del cual todos los términos de a n , siguientes a a k cumplen que |a n −L| < ε. También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos : Se dice que una sucesión a n tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno. Límite infinito Se dice que una sucesión a n tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término a k , a partir del cual todos los términos de a n , siguientes a a k cumplen que a n > M. Se dice que una sucesión a n tiene por límite − ∞ cuando para toda N >0 existe un término a k , a partir del cual todos los términos de a n , siguientes a a k cumplen que a n < −N. Sucesiones convergentes Son las que tienen límite finito. Sucesiones divergentes

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Límite de una sucesión

Límite finito

Se dice que una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |an−L| < ε.

También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:

Se dice que una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.

Límite infinito

Se dice que una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an> M.

Se dice que una sucesión an tiene por límite − ∞ cuando para toda N >0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an

< −N.

Sucesiones convergentes

Son las que tienen límite finito.

Sucesiones divergentes

Son las que tienen límite infinito (+∞ ó − ∞).

Sucesiones oscilantes

No son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...

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Sucesiones alternadas

Son aquellas que alternan los signos de sus términos.

Propiedades de los límites

1 El límite si existe es único.

2 Si una sucesión an tiene límite, todas las subsucesiones tienen el mismmo límite que an.

3 Todas las sucesiones convergentes están acotadas.

4 Hay sucesiones acotadas que no son convergentes.

5 Todas las sucesiones monótonas y acotadas son convergentes.

6 Hay sucesiones convergentes que no son monótonas.

Infinitésimos

Una sucesión an es un infinitésimo si tiene por límite cero.

Propiedades:

1 La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.

2 El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo.

3 El producto de infinitésimos es un infinitésimo.

4 El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.

5 Si una sucesión an converge a L, la sucesión (an − L) es un infinitésimo.

6 Si una sucesión an es divergente, su inversa es un infinitésimo.

Operaciones con límites

lim (an + bn) = lim (an) + lim (bn)

lim (an − bn) = lim (an) − lim (bn)

lim (an · bn) = lim (an) · lim (bn)

lim k· an =k· lim an

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lim ank = (lim an)k

lim loga an = loga lim an

Al aplicarse estas propiedades pueden presentarse estos casos:

Estudio de las indeterminaciones

Infinito partido infinito

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Se dividen todos los sumandos por la potencia de mayor exponente.

Regla práctica

1 Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.

2 Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el limite es ± ∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.

3 Si el denominador tiene mayor grado el límite es 0.

Infinito menos infinito

1. Sucesión entera.

Se saca factor común de la potencia de mayor exponente.

Regla práctica:

El límite es ± ∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.

2. Sucesiones racionales.

Ponemos a común denominador, y si obtenemos resolvemos la indeterminación.

3. Sucesiones irracionales.

Multiplicamos y dividimos por el conjugado.

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Cero por infinito

Se transforma a .

Cero patido por cero

Se transforma a

Uno elevado a infinito

Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e .

1er Método

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2º Método

Ejercicios resueltos de límites de sucesiones

1

Demuestra que la sucesión tiene límite 2. Averigua los términos cuya distancia a 2 es menor que 0.1.

A partir de a41 la distancia a 2 será menor que una decima.

Ejercicios resueltos de límites de sucesiones

2

Probar que la sucesión tiene por limite 4 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno (4 - 0.001, 4 +

0.001).

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Quedan fuera del entorno los mil primeros términos de la sucesión.

Ejercicios resueltos de límites de sucesiones

3

Demuestra que la sucesión tiene por limite 1 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del E (1 , 0.001).

Los primeros 54 términos quedan fuera del entorno.

Ejercicios resueltos de límites de sucesiones

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4

Probar que . Averigua los términos cuya distancia al límite es menor que 0.01.

A partir de a219 la distancia al límite será menor que una centésima.

Ejercicios resueltos de límites de sucesiones

5

Demuestra que la sucesión tiene por limite +∞. Y calcula cuántos términos de la sucesión son menores que un millón.

No llegan al millón los 1999 primeros términos de la sucesión.

Ejercicios resueltos de límites de sucesiones

6

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Demuestra que la sucesión an= −n2

tiene por limite −∞. Y calcula a partir de que término la sucesión toma valores menores que -10 000.

Vamos a comprobar que el límite de la sucesión an= −n2 es −∞.

−1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ...

Si tomamos N= 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a −10 000.

a101= −1012 = −10 201

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Calcular los límites:

1

2

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3

4

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Hallar los límites:

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Calcula los siguientes límites.

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Hallar los límites:

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2

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Se transforma a

2

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Calcula los siguientes límites.

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Calcula los siguientes límites.

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Hallar los límites:

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