Ley de PoiseuilleLa ley de Poiseuille (tambin conocida como ley de Hagen-Poiseuille despus de los experimentos llevados a cabo por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797-1884) en 1839) es la ley que permite determinar el flujo laminar estacionario V de un lquido incompresible y uniformemente viscoso (tambin denominado fluido newtoniano) a travs de un tubo cilndrico de seccin circular constante. Esta ecuacin fue derivada experimentalmente en 1838, formulada y publicada en 1840 y 1846 por Jean Louis Marie Poiseuille (1797-1869). La ley queda formulada del siguiente modo:

donde V es el volumen del lquido que circula en la unidad de tiempo t, vmedia la velocidad media del fluido a lo largo del eje z del sistema de coordenadas cilndrico, r es el radio interno del tubo, P es la cada de presin entre los dos extremos, es la viscosidad dinmica y L la longitud caracterstica a lo largo del eje z. La ley se puede derivar de la ecuacin de Darcy-Weisbach, desarrollada en el campo de la hidrulica y que por lo dems es vlida para todos los tipos de flujo. La ley de Hagen-Poiseuille se puede expresar tambin del siguiente modo:

donde Re es el nmero de Reynolds y es la densidad del fluido. En esta forma la ley aproxima el valor del factor de friccin, la energa disipada por la prdida de carga, el factor de prdida por friccin o el factor de friccin de Darcy en flujo laminar a muy bajas velocidades en un tubo cilndrico. La derivacin terica de la frmula original de Poiseuille fue realizada independientemente por Wiedman en 1856 y Neumann y E. Hagenbach en 1858 (1859, 1860). Hagenbach fue el primero que la denomin como ley de Poiseuille. La ley es tambin muy importante en hemodinmica. La ley de Poiseuille fue extendida en 1891 para flujo turbulento por L. R. Wilberforce, basndose en el trabajo de Hagenbach.Contenido[ocultar]

1 Clculo de la frmula 2 Curiosidad 3 Relacin con los circuitos elctricos 4 Relacin con el pulmn

5 Referencias

[editar]Clculo

de la frmula

Consideremos una tubera horizontal de radio R constante y dentro de ella dos secciones transversales 1 y 2 separadas una distancia L. Estas secciones delimitan un trozo de tubera que en la imagen adjunta queda delimitada por los puntos ABCD. Dentro de la tubera indicada consideramos a su vez un cilindro coaxial delimitado por los puntos abcd con rea de tapas A = r2 y radio r. Debido a la viscosidad del fluido, sobre este cilindro acta un esfuerzo cortante Que llamaremos T provocado por una fuerza cortante F sobre un rea longitudinal AL = 2 r L. Esta fuerza ser igual aF = p1A p2A tendr un sentido izquierda derecha igual al desplazamiento del fluido, provocado por un gradiente de presin en la que p1 es mayor quep2 (no guiarse por el dibujo adjunto, an no encontr la manera de cambiarlo). Integrando las fuerzas que actan sobre el cilindro considerado, se obtiene la expresin de la ley de Poiseuille. De acuerdo a la primera ley de Newton, si p1 y p2 son las presiones aplicadas en el centro de gravedad del rea transversal del cilindro en las secciones 1 y 2 tenemos que: p1A p2A + F = 0 En un slido el esfuerzo de corte es proporcional a la deformacin, pero un fluido se deforma continuamente mientras se aplique el esfuerzo, por lo tanto el esfuerzo de corte ser proporcional a la velocidad de corte por una constante llamada viscosidad,

es decir:

Sustituyendo el valor de la superficie AL por 2 r L y despejando F nos queda

Reemplazamos:

Simplificando queda:

Con lo que:

Integrando esta ecuacin:

El valor de la constante C queda determinada por las condiciones en los lmites. Es decir cuando r =R entonces v = 0. Por lo que:

Sustituyendo el valor de C en la ecuacin inicial tenemos que:

Esta ecuacin da la distribucin de velocidades en una tubera. Como se puede observar, el trmino del radio elevado al cuadrado indica que se trata de un paraboloide, donde la velocidad mxima se obtiene en el eje del mismo y que coincide con el eje de la tubera.

Zona en la que los efectos del rozamiento con las paredes de la tubera es mnima. La expresin de la velocidad mxima queda del siguiente modo:

En la prctica es ms sencillo medir la velocidad media que la velocidad mxima. La expresin de la velocidad media es la siguiente:

Para calcular el caudal en la tubera vamos a considerar un anillo diferencial de espesor dr entre dos circunferencias concntricas con el eje de la tubera y radios r y r + dr. En este caso la expresin del caudal queda: dQ = 2rdrv Sustituyendo la expresin de la velocidad calculada anteriormente tenemos que:

Integrando la ecuacin anterior entre los lmites 0 y R podremos calcular el caudal total:

y finalmente obtenemos la expresin de la ley de Poiseuille para el caudal:

si seguim os trabaja ndo sobre esta frmula y sustitui mos esta expresi n del caudal en la frmula anterior de la velocid a media obtene mos lo siguient e:

d e d o n d e s e d e d u c e q u e:

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